Devoir de mathématiques n° 2: limites, fonctions continues et probabilités
Classe : TES2 Le 19 novembre 2008
Temps prévu :1 heure 50 minutes
L’utilisation d’une calculatrice est autorisée.
Le sujet est composé de 5 exercices indépendants.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.
Exercice 1 : 4 points ( réunion septembre 2007 )
Jean s'amuse régulièrement sur un terrain de football avec le gardien de but. Chaque partie consiste à tirer successivement deux tirs au but.
Au vu des résultats obtenus au cours de l'année, on admet que :
la probabilité que Jean réussisse le premier tir au but est égale à 0,8 ;
s'il réussit le premier, alors la probabilité de réussir le second est 0,7 ;
s'il manque le premier, alors la probabilité de réussir le second est 0,5.
On note :
R1 l'évènement : "le premier tir au but est réussi" et R1 son évènement contraire.
R2 l'évènement: "le second tir au but est réussi" et R2 son évènement contraire.
1. Représenter la situation par un arbre pondéré.
2. Calculer la probabilité que les deux tirs au but soient réussis.
3. a) Calculer la probabilité que le second but soit réussi.
b) Les évènements R1 et R2 sont-ils indépendants ? Justifier la réponse.
4. On note A l'évènement : "Jean a réussi exactement un tir au but". Montrer que pA = 0,34
Exercice 2 : 6 points ( Pondichéry Avril 2008 )
Une agence de voyages propose exclusivement trois destinations : la destination A, la destination G et la destination M.
50 % des clients choisissent la destination A.
30 % des clients choisissent la destination G.
20 % des clients choisissent la destination M.
Au retour de leur voyage, tous les clients de l'agence répondent à une enquête de satisfaction.
Le dépouillement des réponses à ce questionnaire permet de dire que 90 % des clients ayant choisi la destination M sont satisfaits, de même que 80 % des clients ayant choisi la destination G.
On prélève au hasard un questionnaire dans la pile des questionnaires recueillis.
On note les évènements :
A : " le questionnaire est celui d'un client ayant choisi la destination A ";
G : " le questionnaire est celui d'un client ayant choisi la destination G ";
M : " le questionnaire est celui d'un client ayant choisi la destination M ";
S : " le questionnaire est celui d'un client satisfait ";
" le questionnaire est celui d'un client insatisfait ".
1. Traduire les données de l'énoncé sur un arbre de probabilité ( avec les données que vous pouvez calculer ).
2. a) Traduire par une phrase les évènements G S et M S puis calculer les probabilités P(G S)et P(M S).
b) L'enquête montre que 72 % des clients de l'agence sont satisfaits. En utilisant la formule des probabilités totales, calculer P(A S).
c) En déduire PA(S), probabilité de l'évènement S sachant que l'évènement A est réalisé.
3. Le questionnaire prélevé est celui d'un client qui est satisfait. Le client a omis de préciser quelle destination il avait choisie. Déterminer la probabilité qu'il ait choisi la destination G (on donnera le résultat sous la forme d'une fraction irréductible).
4. On prélève successivement au hasard trois questionnaires dans la pile d'enquêtes. On suppose que le nombre de questionnaires est suffisamment élevé pour considérer que les tirages successifs sont indépendants.
Calculer la probabilité de l'évènement : " les trois questionnaires sont ceux de clients insatisfaits " (on donnera le résultat arrondi au millième).
Exercice 3 :2 points
Soit f la fonction définie sur ] - 1 ; + ∞ [ par f ( x ) = 37x 1x 1) Étudier la limite de f en + ∞.
2) Étudier la limite de f en –1.
3) Donner les équations des asymptotes à la courbe représentative de la fonction f.
Exercice 4 :4 points
Voici le tableau de variation de la fonction f :
x – ∞ 2 5 + ∞
f(x) – ∞
+ ∞ 1
4
0
On sait de plus que limx −∞ f ( x ) - ( 5 x + 3 ) = 0 1) Déterminer A = limx−∞ f ( x ) B = limx ∞ f ( x )
2) Donner les équations des trois asymptotes à la courbe représentative de la fonction f.
3) L'équation f ( x ) = 0,5 admet combien de solutions ? Aucune justification n'est demandée.
4) Soit g la fonction définie par sur ] 2 ; + ∞ [ par g(x) =
fx .Déterminer la limite de la fonction g à l'infini.
Exercice 5 :4 points
Soit h la fonction définie sur ] - ∞ ; 10] par h ( x ) = x3– x2– 1. 1) Calculer h ' puis étudier son signe.
2) En déduire le tableau de variation de h.
Si vous n'avez pas réussi la question précédente, utilisez votre calculatrice pour trouver le tableau de variation de h.
3) Déterminer la limite de la fonction h en - ∞.
4) Démontrer que l'équation h ( x ) = 0 admet une seule solution sur l'intervalle [ 1 ; 10] . 5) A l'aide de la calculatrice, donner un encadrement de cette solution à 10-2 près.
