Exercice 1 : 4 points ( réunion septembre 2007 )Exercice 2 : 6 points ( Pondichéry Avril 2008 )Exercice 3 :2 points

Devoir de mathématiques n° 2: limites, fonctions continues et probabilités

Classe : TES2 Le 19 novembre 2008

Exercice 1 : 4 points ( réunion septembre 2007 ) Exercice 2 : 6 points ( Pondichéry Avril 2008 ) Exercice 3 :2 points

Soit f la fonction définie sur ] - 1 ; + ∞ [ par f ( x ) = 37x 1x 1) Étudier la limite de f en + ∞:

x ∞lim fx = 7 lim

x ∞

7x

x = _x^lim_{ ∞}⁷ = 7 2) Étudier la limite de f en –1:

lim

x– 137x = 3 – 7 = - 4

Comme x > -1 : 1 + x > 0 donc lim_{x– 1}1x = 0⁺

Par suite lim

x– 1fx _{= - ∞}

3) Donner les équations des asymptotes à la courbe représentative de la fonction f.

Une asymptote verticale d'équation x = -1.

Une asymptote horizontale d'équation y = 7 en + ∞.

Exercice 4 :4 points

Voici le tableau de variation de la fonction f :

x – ∞ 2 5 + ∞

f(x) – ∞

+ ∞ 1

4

0

On sait de plus que lim_{x −∞} f ( x ) - ( 5 x + 3 ) = 0 1) A = lim_{x −∞} f ( x ) = - ∞ B = lim_{x ∞} f ( x ) = 0

2) Donner les équations des trois asymptotes à la courbe représentative de la fonction f.

Une asymptote verticale d'équation x = 2.

Une asymptote horizontale d'équation y = 0 en + ∞.

Une asymptote oblique d'équation y = 5x + 3 en - ∞.

3) L'équation f ( x ) = 0,5 admet deux solutions : une dans l'intervalle ] - ∞ ; 2[ et une dans [5 ; +∞ [.

4) Soit g la fonction définie par sur ] 2 ; + ∞ [ par g(x) =



lim_x∞ f ( x ) = 0 et lim

x0



Exercice 5 :4 points

Soit h la fonction définie sur ] - ∞ ; 10] par h ( x ) = x³– x²– 1. .

1) h ' ( x ) = 3 x² - 2 x = x ( 3 x – 2 )

h' est un polynôme du second degré: du signe de a = 3 à l'extérieur des racines ( 0 et ² 3 ).

On peut faire le tableau de signe :

x –∞ 0 3

2 +∞

h ' (x) + 0 – 0 +

2) Tableau de variation:

x –

∞ 0 2

3 +∞

h'(x) + 0 – 0 +

h(x)

-1

–31 27

A la calculatrice, on trouve h( ²₃ ) = ^–31₂₇

3) h est un polynôme donc lim_{x −∞} h(x) = lim_{x −∞} x³ = - ∞ 4) h(1) = 1 – 1 – 1 = - 1

Sur l'intervalle ] - ∞ ; 1 ] , d'après le tableau de variations, h admet donc un maximum local en 0 et en 1 : -1 négatif donc l'équation h(x) = 0 n'admet aucune solution sur l'intervalle

] - ∞ ; 1 ].

5) h(10) = 10^3 – 10^ 2 – 1 =1000 – 100 – 1 = 899

h(1) = -1 < 0 < h(10) et sur l'intervalle [ 1 ; 10 ] , la fonction h est continue, strictement croissante donc , d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation h(x) = 0 admet une unique solution sur

l'intervalle [ 1 ; 10 ] .

6) Avec la calculatrice : h(1,46) < 0 < h(1,47 ) donc 1,46 est une solution approchée à 10^{– 2} de l'équation h(x) = 0.