Devoir surveillé n°07 –1
èreS – jeudi 16 mars 2017
Nom : Prénom :
Compétences Acquis En cours
d’acquisition
Non acquis Calcul d’une dérivée
Etude du signe d’une expression Variations d’une fonction Optimiser un problème
Lecture graphique d’une image- d’un nombre dérivé Déterminer une équation réduite d’une tangente Tracer une droite
Résoudre un système Modélisation d’un problème Maitrise des calculs
Justifier - argumenter Exercice n°1 : [4.5 points]
Dans le Périgord, un producteur de truffes noires cultive, ramasse et conditionne de 0 à 45 kilogramme de ce produit par semaine durant la période de production de la truffe.
On désigne par 𝑥 le nombre de kilogrammes de truffes traités chaque semaine et par 𝐶(𝑥) le coût total pour la production de 𝑥 truffes.
Pour ce producteur 𝐶(𝑥) = 𝑥3 − 60𝑥² + 975𝑥.
Chaque kilogramme de truffes conditionné est vendu 450€.
La recette pour la vente de 𝑥 𝑘𝑔 est donnée par 𝑟(𝑥) = 450×𝑥
.
Le bénéfice positif ou négatif réalisé par le producteur pour la production et la vente de 𝑥 𝑘𝑔 de truffes est défini par 𝐵(𝑥) = 𝑅(𝑥) − 𝐶(𝑥).
1. Exprimer le bénéfice 𝐵(𝑥) réalisé par le producteur pour 𝑥 𝑘𝑔 de truffes vendues. 0.75
2. Etudier le sens de variation de la fonction 𝐵. 0.75 (dérivée)+0.75 (signe) + 0.5 (variations) + 0.5 (images) 3. Pour quelle quantité de truffes le bénéfice du producteur est-il maximal ? 0.75
4. Quel est alors le bénéfice maximal ? 0.5
Exercice n°2 : [4 .5 points]
Une fonction est définie sur ℝ par 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 .
La courbe représentative 𝐶𝑓 de la fonction 𝑓 est représentée ci-contre.
On a placé sur sa courbe représentative les points A(1 ;2), B(0 ;1) et le sommet S de la parabole. Soit 𝑇 la tangent à 𝐶𝑓 en A.
1. A l’aide des renseignements de l’énoncé et du dessin, Déterminer 𝑓(0), 𝑓(1)𝑒𝑡 𝑓 ’(1) 0.25+0.25+0.5 2. Justifier que c = 1 0.5
3. Montrer que les nombres a et b sont solutions du système : {a + b = 1
2a + b = 4 0.5
En déduire les valeurs de a et b. 1
4. Calculer l’équation réduite de la tangente 𝑇 à 𝐶𝑓 au point d’abscisse -1. Placer cette tangente 𝑇 sur le graphique. 1+0.5
𝐄𝐱𝐞𝐫𝐜𝐢𝐜𝐞 𝐧°𝟑 : [4 points]
On considère la fonction h définie sur ℝ par ℎ(𝑥) = 2𝑥
𝑥2+9 .
1. Déterminer le tableau des variations de la fonction h. 1 (dérivée) + 1 (signe)+0.5(variations)
2. Déterminer le meilleur encadrement possible de 𝑓(𝑥) lorsque 𝑥 est compris entre −4 𝑒𝑡 4. 1 (min et max) + 0.5 (encadrement)
Exercice n°4 : [5 points]
Problématique :
1. Démontrer que répondre à la problématique revient à prouver 𝑃(𝑥) ≥ 40 pour tout 𝑥 > 0, où 𝑥 est une variable que vous définirez et 𝑃(𝑥) = 2𝑥 +200
𝑥 . 1.5 points
2. Démontrer que pour tout réel 𝑥 >0, 𝑃(𝑥) ≥ 40. 1 (dérivée) + 1 (signe)+0.5 (variations)+1 (minimum) + 0.5 (ccl) 3. Répondre à la problématique. 0.5
Démontrer que tous les rectangles d’aire 100 ont un périmètre supérieur ou égal à 40
Aire = 100
