Méthodes de synthèse fréquentielle H pour la commande

(1)

Méthodes de synthèse fréquentielle H pour la commande multivariable et le diagnostic de procédés (Partie 1)

AC515 : Volume (45h)

– Partie 1 Synthèse H∞

– Partie 2 Synthèse FDI via l’espace parité et observateurs

Mots clefs: H, LMI, analyse, performance, robustesse, FDI Analyse de performance et robustesse

– Approche fréquentielle

– Modélisation LFT (application du théorème du faible gain) Synthèse de lois de commande

» LQG (rappel)

» H loop-shapping (modelage du transfert de boucle)

» H par pondération fréquentielle

Synthèse

H

de lois de commande robuste aux incertitudes

» Application du théorème du faible gain

Diagnostic par synthèse LMI

» Estimation de défaut(s) par synthèse de commande H mise sous forme standard

» Atténuation et suivi de consigne : approche H sous forme standard

(2)

Référence

– Laurent El Ghaoui Cours "Commande robuste" École Nationale Supérieure de Techniques Avancées – Duc G., Font S., 2000, "Commande H et -analyse", éditions Hermes.

– Sigurd Skogestad et Ian Postlethwaite, 1998 « Multivariable feedback control: analysis and design" Edition John Wiley & Sons

– G. Scorletti et Vincent Fromion, 2003, "Introduction à la commande multivariable des systèmes: méthodes de synthèse fréquentielle H", Cours de 3ème année de l’ENSI de Caen.

– Denis Arzelier, 2005, « Course on LMI Optimization with applications in Control » www.laas.fr/arzelier

(3)

Partie 1 : Définitions des normes

Vecteur

» La norme euclidienne de

Matrices représente la notion de valeur singulière

» avec

est R

x x

x ⁿ

n 1



 







 







= 

2 / n 1

1 i

2 i

T x x

x

x 



 



= 

=

^

=

( ) ^A

u sup Au

0 u



=



u sup Au A

0 2 u



=

u A Au

( ) ( )

❑ Norme H:

( ) ( ( ) )

( )

( ) ( ) ² ₂

H s

U max

w U s

s sup Y

jw G

sup s

G



2

 =  =

Interprétation : elle mesure le gain maximal de la réponse

(4)

Partie 1 : Définitions des normes (vecteur, matrice, signal, système)

Notion de valeurs singulières

– Pour un système SISO, on définit à partir G(s), le gain du système à la pulsation w, par le module

– Pour un système MIMO, on utilise la notion de valeurs singulières

» Les valeurs singulières étant des nombres réels positifs ou nuls, elles peuvent être classées.

» Pour un système monovariable (m=p=1), il existe qu'une seule valeur singulière, en l'occurrence :

» Les valeurs singulières constituent donc une généralisation de la notion de gain aux systèmes multivariables.

( )

^s ^G

( )

^s

G _ = max

( )

( ) ( ( ) ( ) ) ( ⁽ ^{) ( )} )

( ^m ^, ^p )

min ,

1 i

jw G

jw

G _i ^T _i ^T

i

=

−



=

−



=



( )

( ^G ^jw ) ⁼ ^ ₁ ( ^G ( ) ^jw ) ^ ^ ₂ ( ^G ( ) ^jw ) ^ ^ ^ ( ^G ( ) ^jw )

 

( )

( ^G ^jw ) ⁼ ^ ( ^G ( ) ^jw ) ⁼ ^G ( ) ^jw



(5)

Exemple 1 : SISO

Notion de valeurs singulières

– Exemple 1: Système SISO

» Par définition

» Soit

» On retrouve la définition du module

( ) s 2 s 1

G

₁

= +

( )

( ) ( ( ) ( ) ) ( ⁽ ^{) ( )} )

( ^m ^, ^p )

min ,

1 i

jw G

jw

G _i ^T _i ^T

i

=

−



=

−



=



( )

( ) 



 





= +

 

 





−

 +

=



1 1 2

w 4

1 jw

2 1 jw

2 jw 1

G

( )

( ) ( )

1 2

w 4

jw 1 G

jw

G = = +



Frequency (rad/sec)

Singular Values (dB)

Singular Values

10-1 100 101

-22 -20 -18 -16 -14 -12 -10 -8 -6

(6)

Exemple 2: MIMO

Notion de valeurs singulières

– Exemple 2: Système MIMO

» Par définition

on obtient une matrice carrée de dimension 22 fonction de w où pour chaque w

il existe 2 valeurs propres ₁ et ₂

dont les racines forment respectivement les 2 valeurs singulières ₁ et ₂.

( ) ( ) ( ) ⁽ ⁾ ( ⁽ ⁾ )

( ) ( ) ⁽ ⁾ ( ) ^ ^

 





 





+ +

+

+ +

− + + +

+ +

+

=

10 s

2 s

4 s

15 s

2 10

s 2 s

4 s

1 10 s

2 s

4 s

2 s

3 10

s 2 s

4 s

20 s

s G

2 2

2 ( )

( ) ( ( ) ( ) ) ( ⁽ ^{) ( )} )

( ^m ^, ^p )

min ,

1 i

jw G

jw

G _i ^T _i ^T

i

=

−



=

−



=



dB

Singular Values

-70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0

(7)

Partie 1 : Boucle d’asservissement

Boucle d’asservissement

» r(t) : consigne ou signal de référence

» y(t): signal de sortie ou réponse

» e(t): erreur de suivi (tracking error)

» u(t): commande

» w_i(t): perturbation de la commande

» w₀(t): perturbation de la sortie

» n(t): bruit de mesure

K G

+

-

r e u

w_i

w_o

y

n Boucle de suivi (tracking)

(8)

Partie 1 : Boucle d’asservissement

Propriétés des asservissements

– Stabilité

Il convient de distinguer la stabilité BIBO (bounded input/bounded output) de la stabilité interne.

• Stabilité BIBO: elle exige que l’énergie des signaux en sortie (y) soit bornée dès que l’énergie fournie en entrée ( r ) est bornée, i.e.,

• Stabilité interne: elle exige que tous les signaux circulant dans la boucle soient d’énergie finie, i.e.,

( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ) ¹

0 n w

w

s K s G I

s K s G s

) T s ( r

) s ( y

o i

−

=

+

=

( ) ( ( ) ( ) ) ¹

0 r n o w

s K s G I

s ) S

s ( w

) s ( y

i

−

=

+

=

( ) ^s ^G ( ) ( ) ^s ^K ^s ( ^I ^G ( ) ( ) ^s ^K ^s ) ¹ =

T = + ⁻

( ) ( ) ^s ^S ^s

) K s ( n

) s ( u )

s ( r

) s ( u

0 r w

w 0

n w

w

_i ₀ _i ₀

=

−

=

= ( ) ( ( ) ( ) ) ¹

0 r n i w

s G s K I

s ) G

s ( w

) s ( y

o

−

=

+

=

(9)

Partie 1 : Boucle d’asservissement

Stabilité externe

– Exemple, on considère le système G avec le correcteur K suivant

» On obtient dès lors

» Lequel est BIBO stable, puisqu’il n’y a pas de changement de signe au dénominateur (voir critère de Routh)

Stabilité interne

» Instable, d’après le transfert

» On constate qu’il y a eu simplification du pole instable s=0, par un zéro de K

( ) s 1 s s

K = +

( ) s ( s 1 ) s 1

G = +

( ) ( ) ²

0 n w

w 1 s 1

s 1 ) T

s ( r

) s ( y

o

i

= = + +

=

( ) ( ( ) ( ) )

( )

( ² )

1 0

r n

i w s 1 s 1

1 s s

G s K I

s ) G

s ( w

) s ( y

o

+ +

= + +

= ⁻

=

( ) ( )

( ^s ^s ¹ ) ₍ _s ¹ ₁ ₎ ²

) 1 s ( s s 1

K s

G = +

+

= +

(10)

Partie 1 : Boucle d’asservissement

Stabilité interne

– Il est donc dangereux d’analyser la stabilité au seul vu des pôles de S(s) et T(s), i.e., aux racines de det(I+G(s)K(s))=0

– Il faut plutôt calculer le spectre de A_BF à partir des réalisations minimales de G et K

» Exemple

avec u(t) = Kx(t).

Soit A_BF=A+BK et un spectre de A_BF =det(I-(A+BK))=0.

Le système bouclé, présentera alors une stabilité interne si et seulement si (_i) < 0, où  sont les vp de A_BF.

( )   

=

+

= =

 

 

= y Cx

Bu Ax

x 0

C B s A

G 

(11)

Partie 1 : Boucle d’asservissement

 

 



 



 



= 

 

 





b r KSG

KS

SG S

u e

Performance

Robustesse BP

Module idéale du transfert de boucle |KG|

(12)

Partie 1 : Boucle d’asservissement

Pour compléter ce raisonnement asymptotique on peut rappeler que :

– la marge de module (distance minimale entre un point du lieu de Nyquist et le point critique -1) est l’inverse du maximum de S(jw)

– la pulsation au gain unité w₀ de la BO :

» donne une image de la BP de l’asservissement

» et conditionne fortement le temps de réponse tr  w₀t_m où t_m est le temps de passage au premier maximum de la réponse indicielle

– La BP détermine la classe de signaux l’asservissement est capable de suivre ou de contrer.

» Plus elle est étendue, plus l’asservissement est capable de réagir à des variations rapides.

» Elle mesure la zone de fonctionnement de l’asservissement.

(

jw₀

) (

K jw₀

)

=1 G

(13)

Partie 1: Propriétés des asservissements (Compensation de pôles et/ou zéros instables )

Hypothèse

– pour assurer une stabilité interne en présence de pôles et/ou zéros instables on suppose qu’il n’y a pas de compensation de ces pôles et zéros entre K(s) et G(s) (robustesse aux incertitudes de modèle).

Exemple:

– Le correcteur K₁(s) compense le pôle instable p=1, on obtient dès lors pour K₁(s) et K₂(s) respectivement les fonctions de sensibilité complémentaire

– Si l’on considère maintenant une petite variation  du pôle du procédé

» On obtient

» T₁(s) est alors instable et ce pour une perturbation  très faible (chg de signe dans le denominateur)

» Par contre T (s) reste stable et ce pour  >-1

( ) ( ) ^, ^K ( ) ^s ²

1 s

1 s s

K 1 ,

s s 1

P

₁ ₂

=

+

= −

( ) ( )

1 s

2 1

s 1 2

1 s

2 s

T 2 ,

s 1 1

1 s

T

₁ ₂

= + + −

= −

= + + +

= +

( ) ^,

1 s s 1

P

^

= − + 

( ) ( )( ) s ( 1 ) s 2 ^,

1 s 1

s 1

s

1 s 1

s 1 s 1

s 1 1

1 s

1 s 1

s 1 s

T

1 2

−

 + +

 +

= −

− + +

 +

−

= − +

−

 + + −

+

−

 +

= − ( )

 +

= +

 + + −

 +

= −

1 s

2 1

s 1 2

1 s

2 s

T

₂

(14)

Relation entre S et la marge de Module

Marge de module

L(jw) PM

w_c

Re(G(jw)K(jw) -1

Im(G(jw)K(jw)) L(jw₁₈₀)

Marge de Gain

w₁₈₀

−1

S



( ) S K S

MM =

⁻_₁

= 

⁻₁

= 1

₁ 

K 1

k₁

S(jw)

( )

jw w₁



(15)

Robustesse aux incertitudes

On peut considérer deux classes d’incertitudes

– Incertitude paramétrique

» Comme son nom l’indique, il s’agit d’incertitude sur les paramètres : gain statique, cte de temps…

– Dynamique non modélisée, négligée

» Par exemple G(s)=G₁(s)*G₂(s) où G₂(s) est négligé (il peut s’agir d’un retard e^-s, ou encore d’un mode 1/(s+1))

– Où 0 <  < _max, 0 <  < _max

» _max et _max sont connus

(16)

Incertitude paramétrique

Exemple : Gain incertain

– Où k_p est gain incertain borné et Go(s) est un transfert nominal (i.e., sans incertitudes)

On montre que l’incertitude paramétrique peut se réécrire sous la forme d’un système à incertitude multiple

Si l’on écrit

– On obtient dès lors

( )

_p _o

( )

_min _p _max

p

s k G s , k k k

G =  

w_I _I

G

Gp

( ) ( ) ( ( ) ( ) ) ( )



 



 



1 I

I I

p

I

w 1

jw ,

s s

w 1

s G s

G



 _







 +

=

Système avec incertitude multiple

( )

2 k k k

k , k

k w k

, w

1 k

k

^max ^min

min max

min I max

I p

= + +

= −

 +

=

(17)

Stabilité robuste en présence d’incertitude multiple

On considère la synthèse de control classique

– laquelle présente un transfert de boucle

La stabilité au sens de Nyquist est vérifié si

– L_p n’entoure pas le point –1  Lp

w_I _I

G

Gp K

( ¹ ^w ) ^L ^w ^L ^, ¹

GK K

G

L

_p

=

_p

= +

_I



_I

= +

_I



_I



_I _



(18)

Stabilité robuste en présence d’incertitude multiple

Nyquist : L

_p

n’entoure pas le point –1  Lp

– En d’autre termes, il faut

» Que la distance |-1-L(jw)|= |1+L(jw)| > |w_IL(jw)| w

– Soit

En conclusion, la stabilité robuste est garantie si

– Cela montre que T doit être faible dans la zone où l’incertitude relative w_I excède 1

Im

Re -1

L(jw)

|w_IL|

|1+L|

( ¹ ^w ) ^L ^w ^L ^, ¹

GK K

G

L

_p

=

_p

= +

_I



_I

= +

_I



_I



_I _



w ,

1 T

w w

, L 1

1 L w

I

  

I

 

+

w w ,

T 1

I





(19)

Exemple

1/w

_I

T

₁

: pas stable

T

₂

stable

(20)

Exemple de mise sous forme LFT:

application à la modélisation d’une dynamique hautes fréquences négligée

Soit G

_p

(s) une fonction transfert perturbée et G

_o

(s) celle du système nominal, laquelle néglige une dynamique qu’on suppose être du premier ordre, avec une constante de temps  < 

_max

:

– La connaissance de la valeur  _max permet d’établir une borne sur l’erreur relative sur la réponse fréquentielle, à savoir

– On peut modéliser la dynamique négligée par une réécriture sous la forme d’un système à incertitude multiple

– où

( )

_o

( )

_max

p

;

s 1

s 1 G s

G   



= +

( ) ( )

( ) ^jw ¹ ^jw ^jw ¹ ^jw ^jw

G

jw G

max max o

o p

 +

 

 +

= 

 −



( ) ( )

( ) ^w ( ) ( ) ^s ^s ^soit ^G ( ) ^s ^G ( ) ^s ( ¹ ^w ( ) ( ) ^s ^s )

s G

s G s

G

1 1

o p

1 o 1

o

p

− =  = + 

(21)

Modélisation d’une dynamique hautes fréquences négligée (suite)

Avec représentation par LFT des incertitudes de modélisation

– On a

– On veut

– Par identification, on obtient

_I

Go

Gp

( ) ( ) ( ( ) ( ) ) ( )



 



 



1 I

I I

o p

I

w 1

jw ,

s s

w 1

s G s

G



 _







 +

=

Système avec incertitude multiple

H(s)

_I(s)

v z

y w

Représentation par LFT w

z v

w_I

( )

( ) ( ) ( )

( ) ^ _ ^ ⁼ ^ _ ^ ( ) ( ) ( ) ^ _ ^ ^ _ ^ ^ _ ^

 

 

 

 



= 

 

 





) s ( w

) s ( v s

G s

w s G

1 0

s y

s z )

s ( w

) s ( s v

s H y

s z

o 1

o

|w₁(jw)|

1/_max 1/ w

1

(22)

Autre exemple : incertitude paramétrique

Supposons à présent que G

_p

(s) s’écrive :

– En posant a=a_o+b, -1 <  < +1, et en remarquant que

– On obtient le schéma-bloc suivant, lequel est associé à l’incertitude multiple inverse

( ) ( ^s â ) âvec â ^b â â ^b

s 1

G

_o _o

p 2

−   +

= +

1 o

o

s a

1 b a

s 1 a

s

1

⁻

 

 





 + + +

+ =

1/(s+a_o)



w

v₁

z₁ b

1/(s+a_o) v₂ 

b

z₂

y

(23)

De l’incertitude paramétrique à la LFT

Par identification, on obtient

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )   





 







 





 





+ +

− +

−

+ +

− +

−

+ +

−

 =

 





 







 =

 





 







) s ( w

s v

a s

1 a

s b a

s

b

a s

1 a

s b a

s

b

a s 0 1

a s

b

) s ( w

s v

s v s H )

s ( y

s z

2 1

o 2 2 o

o

o 2 2 o

o

o o

2 1 2

1

( ) 



 







= 

 0

s 0

H(s)

_I(s)

v z

y w

1/(s+a_o)



w

v₁

z₁ b

1/(s+a_o) v₂ 

b

z₂

y

(24)

Propriété des LFT

Une propriété importante des LFT est que toute association de LFT est encore une LFT.

– Ainsi si nous considérons une boucle d’asservissement, avec un correcteur K(s) appliqué au modèle G_p(s) qui présente une incertitude paramétrique et une dynamique négligée, nous obtenons à nouveau une LFT

– Où la structure générale de la matrice d’incertitude est

1/(s+a_o) v₂ 

z₂ b

1/(s+a_o) v₃ 

b

z₃

y

_I w₁(s)

z₁ v₁

w

Boucle d’asservissement avec 2 types d’incertitudes K(s)

( ) ⁼  ^ ( ) ^ ^ 

 s diag

₁

s , ,

(25)

De l’étude de la robustesse au théorème du faible gain

L’étude de la robustesse consiste à chercher à garantir par exemple la stabilité pour un ensemble d’incertitudes (s)

– Si H(s) et (s) sont stables, la seule source d’instabilité provient du bouclage par (s)

– il est donc équivalent d’étudier la stabilité du système de la figure suivante avec M(s)=H_zv(s)

Robustesse de la stabilité : analyse non structurée

– Théorème du petit gain: Si M(s) et (s) sont stables, le système de la figure ci-dessus est stable pour tous

(s) tel que ||(s)||_   si et seulement si ||M(s)||_  ^-1, où M(s)=H_zv(s)

(s)

M(s)

Schéma d’analyse de la robustesse de la stabilité

(26)

Preuve du théorème du faible gain

Si ||M(s)||

_

 

^-1

alors || (s)M(s)||

_

 || (s)||

_

||M(s)||

_

  ||M(s)||

_

  

^-1

=1 on a donc

Le pire des cas est donné pour une incertitude |(s)|=  soit

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ^M ^jw ^jw ^jw ^M ^jw ) ⁰

1 1 jw

M jw

T

−  −  

−

















( )

( ) ( ( ) )

( )

( ) ^jw

M

0 jw

M 1

0 jw

M 1

jw M 1

1















−









 +



−







−

(27)

Conclusion

Si on considère à nouveau le système G

_p

(s) avec une dynamique négligée

– La structure de contrôle peut être réduite au schéma d’analyse de la robustesse de la stabilité

– Où

(s)

M(s)

z v

w_I

_I

G

Gp K

z v

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ^s ^G ^s

K 1

s G s K s s w

v M

z

_I

+

= −

=

(28)

Conclusion (suite)

Dans notre cas ||(s)||

_

  < 1, on en déduit par le théorème du faible gain

– Rappel : (Théorème du faible gain) Si M(s) et (s) sont stables, la BF est stable pour tous (s) tel que ||(s)||_

  si et seulement si ||M(s)||_  ^-1, où M(s)=H_zv(s) – Soit ||M(s)||_ < 1 ou encore

– avec

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ^jw ^G ^jw ^w ( ) ¹ ^jw

K 1

jw G

jw K

s 1 G s K 1

s G s K s w

I I

+ 

 + 

−



1/|w₁(jw)|

( ) ( ) ( ) ( ) ^jw ^G ^jw

K 1

jw G

jw K

+

w

( ) ^et ( ) ^jw ¹ ( ) ^s ¹

s 1

s s

w

₁ ₁

max

1 max

      

 +

= 

_

(29)

Partie 3: Synthèse de lois de commande (LQG,H, optimisation LMI)

– Synthèse de lois de commande

» LQG

» H loop-shapping (modelage du transfert de boucle)

» H par pondération fréquentielle

(30)

Introduction à la commande par résolution LMI

Préambule

– Étude de la stabilité d’un système autonome au sens du théorème de Lyapunov

Théorème de Lyapunov (1890!)

– Une CNS de stabilité est qu’il  une fonction quadratique définie-positive V() = ^TS, avec S=S^T> 0, telle que V décroît le long de toute trajectoire non nulle du système, i.e., dV/dt < 0.

– Une telle fonction si elle , joue le rôle d’une « énergie totale » pour le système, et est appelée fonction de Lyapunov

– S’il  une fonction de Lyapunov quadratique prouvant la stabilité asymptotique, on dira que le système est quadratiquement stable

Rappel: Stabilité asymptotique

» une des premières spécifications que l’on cherche à analyser, ou à imposer à un système est sa capacité de retour à l’équilibre (exemple: pendule, …)

– Définition

» On dira qu’un système est asymptotiquement stable si pour toute CI x(0), on a x(t) →0 pour t →

Aleksandr Mikhailovich Lyapunov (1857-1918)

(31)

Analyse par fonction de Lyapunov

Objectif:

– Prouver la stabilité du système au sens de Lyapunov

Rappel: Critère de stabilité

Le système est stable si la partie réelle des vp de A sont < 0

Autre critère : Prouver la stabilité au sens de Lyapunov, i.e. rechercher une fonctionnelle V(x) = x

^T

Sx, avec S=S

^T

> 0 telle que

Or

Le système est donc asymptotiquement stable ssi il  S=S

^T

>0 telle que la LMI suivante en S est vérifiée

( ) ^t ( ^A ^S ^SA ) ^x ^{( )} ^t ⁰

dt x

)) t ( x (

dV = _T _T + 

0 V  

x=  Ax

0 SA

S

A ^T + 

(32)

Exemple (système stable)

On propose

Le système scalaire est bien évidemment stable, car la vp est < 0

– Au sens de Lyapunov, cela revient à déterminer S=S^T>0, telle que,

Exemple S=2 est une solution au problème posé

– Avec S=S^T> 0

− 1

= A

x x  = −

0 SA

S

A ^T + 

0 4

0 2

* 1 2

* 1

0 SA

S A ^T



−





−

− +

−





+

(33)

Exemple (système instable)

On propose

Le système scalaire est bien évidemment instable, car la vp est > 0 Au sens de Lyapunov, il n’existe pas de matrice S=S

^T

> 0, telle que

Preuve par contradiction

= 1 A

x x  =

0 ,

0 2

0 ,

1 ,

0 







=

 +

S S

A SA

S

A

^T ^T

0 SA

S

A ^T + 

(34)

Cas général: LMI c’est quoi !!!

Une Inégalité Matricielle Linéaire est une contrainte sur un vecteur réel x 

^m

de la forme

– où les matrices symétriques F_i=F_i^T^nn sont données et le symbole F  0 signifie que F est semidéfinie- positive, i.e. que u^TFu  0 pour tout u

Exemple

D’après l’étude précédente le système est stable au sens de Lyapunov s’il existe une matrice telle que

Soit et

( )

⁰

1

0+ 

 

= i m i xiF F

x F

 

 





−

= −

1 0

2 A 1 



 



= 

3 2

2 1

p p

p P p

Ax x  =

 0 + PA P

A

^T

 0

= P

^T

P

4 0 4

3 2

2

3 2

2 1

1

 



 





−

p p

p 0

3 2

2

1

 



 





p p

( )

⁰ ⁴ ⁰ ⁰

0 0 0 0 0

0 4 3

0 0 3

0 0

2

0 0 2 2

 







 +





 + −









−



 +

 m

(35)

Quelques exemples de base

Convertir la contrainte quadratique convexe

– où R=R^T > 0 et x₀ sont données, en la contrainte LMI

On rencontre plus souvent des LMIs qui portent sur des variables matricielles, par exemple l’inégalité de Riccati

» où A, B, Q = Q^T, R = R^T > 0 sont des matrices données de tailles appropriées et P=P^T est la variable

– est une LMI en P

Ou encore, le système est stable si et seulement si, il existe une (

x −x₀

)

^TR⁻¹

(

x −x₀

)

1

( )

( ¹ ₀ ) ⁰ _ ^ ^ ⁰

 

− −

R x

x

x ^T

1 +  0

+

+ PA PBR ⁻ B P Q P

A ^T ^T

 0











− − −

R P

B

PB Q

PA P

A

T T

Ax x  =

T + 

 

  −

 

  −

⁻ ⁻

I B A I

I B A

I

^T

0 0 ,

1

Lemme de Schur :

 1) C - B^TA^-1B > 0 ,

 2) A - BC^-1B^T > 0 ,

Avec A =A^T> 0, C =C^T> 0

Preuve 1): Multiplier à gauche et à droite resp. par

0 ,

0

0 

=



=

 

 



T T

T

C C

A A

avec C B

B

A

(36)

Quelques exemples de base

Les valeurs propres de A sont – elles comprises entre –h

₁

et –h

₂

?

– Oui si et seulement si il existe une solution X=X^T>0 qui vérifie les 2 LMI’s

Explication

-h₁

-h₂ 0

2 ₂  +

+ XA h X

AX ^T

0 2 ₁  +

+ XA h X

AX ^T

0 4

10  +  − 

− X AX XA^T X

(

^A⁺²^I

)

^X ⁺ ^X

(

^A⁺²^I

)

^T ^ ⁰

(

^A ⁵^I

)

^X ^X

(

^A ⁵^I

)

^T

0  + + +

 0

= X^T X

(

A+2I

)

:stable

(

− ^A−⁵^I

)

^: ^stable

( )

(

⁺²

)

^ ⁰

  A I

( )

(

− −5

)

 0

  A I

( )

^ ⁻²

  A

( ) (



)

(1)

(37)

Commande par retour d’état (outils LMI)

On considère le système LTI

» avec u = Kx

Objectif: rechercher K par une synthèse LMI, tel que la BF soit stable

Solution

– Déterminer un X et U solution de la LMI

– Le correcteur K est donné par la relation K=UX^-1

Bu Ax

x  = +

( ^A ^BK ) ^x

x  = +

(

+

)

0  0 +

+B U AX B U , X

AX _u _u ^T

(38)

Exemple de programmation sous matlab

A=[1 0; 2 -2]; B=[1; 0];

% le correcteur K (u=Kx) est donné par résolution

% AX+BU+(AX+BU)'<0 et X > 0

% K=U*inv(X)

setlmis([]); % ouverture de la procédure de construction de la LMI X=lmivar(1,[2,1]); % déclaration de X en précisant sa taille 2*2

U=lmivar(2,[1,2]); % déclaration de U en précisant sa taille 1*2

% Déclaration

% S = lmivar(type,struct)

% type = 1 si S est symétrique

% type = 1 et struct = [i,1] -> block size i*i

% type = 2 et struct = [M,N] -> S est rectangle de dimension MxN lmiterm([1, 1, 1, X], A, eye(2),'s'); % LMI #1: A*X+X'*A'

lmiterm([1, 1, 1, U], B, eye(2),'s'); % LMI #1: B*U+U'*B' lmiterm([-2, 1, 1, X], 1, 1); % LMI #2: 0 < X

%TERMID(1) = -2 -> right-hand side of the 2-th LMI

lmicont=getlmis; % diag et fermeture de la proc. de construction de la LMI

[ob,val]=feasp(lmicont,[0 1000 1e6 10 0], -0.01); % résolution de la LMI construite X=dec2mat(lmicont,val,X); %recupere et assigne a X la solution obtenue)

(39)

Explication : Stabilisation par retour d’état

Le système bouclé est stable ssi la condition suivante est vérifiée

– pour une certaine matrice symétrique X > 0 (correspondant à la fonction de Lyapunov V()= ^TX^-1)

La condition (i) n’est pas une LMI à la fois en X et K, à cause du terme quadratique KX.

– On pose U=KX, on obtient dès lors une LMI en X et U :

(

A+ B_uK

)

X +X

(

A+ B_uK

)

^T 0

(

+

)

 0 0 +

+ B U AX B U , X

AX _u _u ^T

( ) ( ( ) ( ) )

( ) ( )

( )

( ) ⁰ ⁰

1 0

1  +

+ +

=

 +

+ +

=

 +

+ +

= ⁻ ⁻

x BU

AX BU

AX x

x X BK A

BK A

X x

x BK A

X X

BK A

x x

V

T T

T

 T

( )

( ) ^x ^X ^x

Lya

x BK A

x Sys

T 1

x V

BF

= −

+

 =

(i)

(40)

Stabilisation par retour d’état

avec placement des pôles entre –h ₂ et –h ₁

Solution

( )

0 , 0 2

, 0 2

1 2



=

 +

+ +

+

 +

+ +

+

T

u T u

X X

X h U

B AX

U B AX

X h U

B AX

U

B

AX

(41)

Propriétés Entrée-Sortie

Étude de l’effet d’une entrée sur la sortie du système

On définit le Gain L

₂

du système par la quantité

– où la norme L₂ d’un signal w est définie par

Le gain L

₂

sert à mesurer la quantité d’énergie transmise par le système.

La notion de gain L

₂

est utile pour quantifier la façon dont le système rejette les perturbations externes (collectées dans le signal w)

( )

⁰ = ⁰





=

+

= x

x C z

w B Ax x

z

 w



 ^



     

0 2 0

2 2

2 2 2

2 0

wdt w

zdt z

w

sup z ^T ^T

w



=

0 2

2 w wdt

w ^T

(i)

(42)

Rappel

Dans la cas des systèmes LTI, la borne ainsi obtenue est égale à la norme H de la fonction de transfert du système, i.e

( )



−



 _z − _w

s

B A

sI C

max ¹

0

Ee^jwt

G(s)

G(jw) E e^jwt

( )

^jw _

G

( ) (

G jw

)

i

2

( ) (

G jw

)



=

₃

( ) (

G jw

)



=

₁

w

(43)

Exemple 1: Système monovariable

On considère le système

Par définition :

– soit

Remarque :

– Comme G₁ est un système monovariable, on retrouve la définition du module, à savoir

( )

2 1

1 = +

s s G

( )

( ) ( ( ) ( ) ) ( ⁽ ^{) ( )} )

(

m, p

)

min ,

i

jw G jw G

jw G

jw G jw

G _i ^T _i ^T

i

=1

−



=

−



=



( )

_



 





= +



 





−

 +

=

₁ ₁ ₂

4 1 2

1 2

1

jw w jw jw

G

( )

( ) ( )

1 2

4 1

w jw

G jw

G = = +



Frequency (rad/sec)

Singular Values (dB)

Singular Values

10^-1 10⁰ 10¹

-22 -20 -18 -16 -14 -12 -10 -8 -6

(44)

Propriétés Entrée-Sortie : Gain L ₂

Solution

– On suppose qu’il existe une fonction quadratique V()= ^TS , S > 0 et un scalaire  > 0 tels que, pour tout t,

– En intégrant l’inégalité de 0 à T, avec x(0)=0, on obtient – Puisque V(x(t)) > 0 alors

– où l’inégalité (*) s’écrit

( )

(i) vérifiant w

x, pour tout

2  0

−

+ z z w w

dt t x

dV _T  _T

( )

⁰ = ⁰





=

+

= x

x C z

w B Ax x

z

 w

(i)

( )

( ) ( )

⁰

0

2 



−

+^T_ z^Tz w^Tw dt t

x V

( )

( ) ( )

( ) ^ ( ) ^











+

−







2 2 0

2 0

0 0 2

w dt z

w w dt

z z

dt w w z

z t

x V

T T T T

T T T

(*)

2  0

 





 





− +

+

I S

B

SB C

C SA

S A

w T

w T z

T z



Système :

(ii)

(45)

Synthèse H : approche standard par LMI

Problème standard

– La synthèse H illustrée sur la figure suivante est représentée par un procédé P(s) et son contrôleur K(s) associé

– où

Problème H standard : P(s) et  étant donnés, déterminer K(s) qui stabilise le système bouclé de la figure ci-dessus et assure une norme H du transfert entre w et z inférieure à 

( )

_^



























 =











= 

u w

x D

D

D D

C C

B B

A y

z x :

s P

yu yw

zu zw

y z

u

 w

P(s)

K(s)

w u z

y

( )

_



 















=



 



= 

y x D C

B A

u s x

K 

:

(46)

Hypothèses du pb H standard par LMI

La synthèse par LMI fournit une autre façon de résoudre le pb standard développé également par la résolution de 2 équations de Riccati (voir poly cours AC511). Elle est plus générale, dans la mesure où elle ne nécessite pas, contrairement à l’approche par équations de Riccati le respect des hypothèses H

₂

, H

₃

et H

₄

(l’hypothèse H

₁

reste nécessaire) :

– H₁ : (A, B_u) stabilisable et (C_y, A) détectable

– H₂ : rang(D_zu) = dim(u) et rang(D_yw)=dim(y)

– H₃ :  est de plein rang colonne pour tout w

 



 −

zu z

u

D C

B jwI A



 −A jwI B

Hypothèse classique existe en commande modale ou en encore en synthèse LQG, elle est nécessaire pour obtenir la stabilité du système bouclé

Hypothèse nécessaire pour avoir un correcteur strictement propre

(47)

Exemple élémentaire

Les deux schémas suivant sont équivalents

– w=(b v)^T est le vecteur des entrées

– z=(e u)^T est le vecteur de signaux à contrôler

La représentation de la matrice P(s) s’écrit alors sous la forme standard suivante :

Méthodes de synthèse fréquentielle H pour la commande