Idempotents dans les C
∗-algèbres de groupes
Nicolas PrudhonÉcole doctorale de mathématiques Genève-Neuchâtel Semestre d'hiver 2004/2005
Introduction
Ces notes sont pour une large part la mise au propre de notes que j'avais prises lors d'un cours donné par P. Julg à Strasbourg durant l'année académique 1998-1999. Elles ont égale-ment servi de support à un cours que j'ai donné en Novembre-Décembre 2004 dans le cadre de l'école doctorale de mathématiques Genève-Neuchâtel. Le but ultime du cours strasbourgeois était de montrer que le morphisme λ∗ induit en K-théorie par le morphisme d'algèbres
λ : Cmax∗ (F2) −→ Cred∗ (F2)
était un isomorphisme, où F2 est le groupe libre sur deux générateurs. La di culté d'un tel
résultat réside dans le fait que le morphisme de C∗-algèbres λ n'est pas un isomorphisme.
Cela signi e que la K-théorie, qui est néanmoins une théorie puissante, ne détecte pas la diérence entre les C∗-algèbres maximale et réduite des groupes libres. Une des motivations
pour montrer ce résultat est que l'on en déduit facilement que l'algèbre C∗
red(F2) ne possède
pas d'idempotent non-trivial. Le cours donné par P. Julg a duré 56 heures (28 × 2heures), si mes souvenirs sont exacts et sans compter les arrêts de jeu qui atteignaient souvent le quart-d'heure. En fait, il existe une méthode plus courte (elle ne demande - presque ? - aucune connaissance sur la théorie des C∗-modules par exemple) pour montrer ce résultat sur les
idempotents de C∗
red(F2), dû à A. Connes, et que nous présentons ici, qui fait apparaître des
idées de géométrie diérentielle. Je crois d'ailleurs que le but de P. Julg était surtout de faire une introduction solide à la K-théorie des C∗-algèbres, voire secrétement à la KK-théorie
de Kasparov. Comme la méthode d'A. Connes est plus courte, elle a pu être présentée en 28 heures.
Soit X un espace topologique compact. Une des questions des plus simples que l'on puisse poser concernant la topologie de X est de déterminer ses composantes connexes. Or cela est équivalent à déterminer les idempotents de l'algèbre commutative C(X) (rappelons qu'un idempotent e dans un anneau est un élément véri ant e2 = e). Une question de topologie
plus avancée est celle de classi er, à isomorphisme près, les brés vectoriels complexes sur X. Or d'après le théorème de Serre-Swann, cela revient à déterminer les classes d'équivalence d'idempotents dans les algèbres (non-commutatives) Mn(C(X)). Ceci conduit à la dé nition
de la K-théorie d'un anneau unital quelconque, plus précisément à celle du groupe K0. La
question des idempotents est donc du point de vue de la géoémtrie non-commutative, une des questions de nature topologique des plus simples, et la K-théorie y apparaît comme outil de compréhension important. La conjecture des idempotents de Kaplanski-Kadison propose une réponse à ce problème dans le cas des groupes.
Conjecture 0.1. Soit Γ un groupe démonbrable sans torsion. Alors la C∗-algèbre réduite
Cred∗ (Γ)de Γ ne possède pas d'autre idempotent que 0 et 1.
Cette conjecture est une conséquence d'une autre conjecture, la conjecture de Baum-Connes, qui propose une méthode générale pour calculer la K-théorie de la C∗-algèbre réduite
d'un groupe (dénombrable) quelconque. Une notion utile à la dé nition de ces conjectures et à leur étude, et qui est de nature plus diérentielle que topologique, est celle de module de Fredholm.
Un module de Fredholm (impair) sur une algèbre normée A est la donnée d'un couple (H, F ), où H est un espace de Hilbert dans laquelle A est représentée, et F un opérateur
borné, véri ant en outre les relations
F2 = 1 , aF − F a est un opérateur à trace (a ∈ A).
Donnons un exemple de module de Fredholm dans le cas commutatif. Ceci illustrera la nature diérentiel de cette dé nition. Soient H = L2(S1) l'espace des fonctions de carré intégrable
sur le cercle et D = −id
dθ. La décomposition polaire de D est D = F |D|, où F est l'opérateur
borné F (einθ) = sgn n einθ. Alors (H, F ) est un module de Fredholm sur A = C∞(S1). En
eet, les opérateurs [F, einθ]sont de rang ni, et par conséquent, les opérateurs [F, a] où a est
un polynôme de Laurent sont aussi de rang ni. Par approximation, on montre alors que les opérateurs [F, a] sont à trace pour toute fonction lisse a. Remarquons, que si l'on considére les fonctions continues à la place des fonctions lisses, les opérateurs F a − aF sont compacts, mais n'ont plus de raison d'être à trace.
Dé nition 0.2. Un opérateur T est dit de Fredholm lorsque ker T et ker T∗ sont de dimension
nie. L'indice de T est alors l'entier
indice T = dim ker T − dim ker T∗.
Soit P = 1/2(F + 1). Alors pour toute fonction lisse partout non nulle u, l'opérateur P uP est un opérateur de Fredholm de P H. En eet, remarquons tout d'abord que P n'est autre que la projection orthogonale sur l2(N) ⊂ l2(Z) = L2(S1), ce qui permet par exemple de voir que
P uP = Sn, où S est le Shift, lorsque u = einθ, (n ≥ 0). On montre alors la formule suivante. −4 trace F [F, u][F, u−1] = indice P uP = − 1
2πi Z
S1
u−1du .
La seconde égalité est la formule d'indice classique dite formule de Cauchy, tandis que la première résulte d'un calcul rapide dans le cas des générateurs. Ceci conduit à considérer la dérivation d: a 7→ da = [F, a]. Ainsi, d conserve des propriétés importantes de D, sur le plan algébrique comme topologique (indice). Pour cette raison, un module de Fredholm est un objet de nature géométrique (diérentielle), qui contient des informations topologiques (indice), de la même façon que le complexe de De Rham par exemple.
Ce cours est divisé en quatre chapitres. Dans les premiers, sont mis en place les notions fondamentales pour l'étude des C∗-algèbres. Nous classi ons par exemple les C∗-algèbres
com-mutatives, et donnons la structure des C∗-algèbres associées aux groupes abéliens (discrets).
Dans le troisième chapitre, nous introduisons la K-théorie, ainsi que ses propriétés fondamen-tales : exactitude, invariance par homotopie, périodicité de Bott, stabilité, et quelques autres propriétés trés utiles comme l'utilisation du calcul fonctionnel holomorphe. Le quatriéme chap-titre est consacré aux opérateurs de Fredholm. Aprés avoir fait le lien avec la K-théorie, nous étudions les modules de Fredholm proprement dits. Nous sommes alors en mesure de montrer la conjecture des idempotents (conjecture 0.1) dans le cas du groupe libre F2.
Nous ajoutons deux appendices. Le premier fait le lien entre la notion de moyennabilité, et les C∗-algèbres de groupes. Le second est une introduction à des notions plus avancées, comme
les C∗-modules. Nous utilisons alors ces résultats pour montrer que λ
∗ est un isomorphisme
pour F2. Ce résultat permet aussi de montrer la conjecture0.1pour F2, comme nous le faisons
Table des matières
Introduction. . . 1
1 Algèbres de Banach 4 1.1 Exemples . . . 4
1.2 Spectre dans une algèbre de Banach unitale . . . 7
1.3 Cas d'une algèbre commutative. . . 9
1.4 Transformation de Gelfand . . . 11
1.5 Exexcices . . . 11
2 C∗-algèbres 12 2.1 C∗-algèbres de groupes . . . 12
2.2 C∗-algèbres commutatives . . . 13
2.3 Votre C∗-algèbre, avec ou sans unité ? . . . 15
2.4 Formes linéaires positives et représentations . . . 18
2.5 Exercises. . . 20
3 K-théorie des C∗-algèbres 22 3.1 Dé nitions et premières propriétés . . . 22
3.2 Propriétés fondamentales. . . 25
3.3 Sur la trace des idempotents. . . 33
3.4 Exercices . . . 35
4 Modules de Fredholm 36 4.1 Opérateurs de Fredholm . . . 36
4.2 Modules de Fredholm et K-théorie . . . 38
4.3 Idempotents de C∗ red(F2) . . . 41
A Moyennabilité 43 A.1 Dé nitions de la moyennabilité . . . 43
A.2 Non-moyennabilité du groupe libre . . . 44
B C∗-modules 46 B.1 Dé nitions. . . 46
B.2 Modules de Fredholm (bis). . . 49
Chapitre 1
Algèbres de Banach
1.1 Exemples
Soit k un corps commutatif.
Dé nition 1.1. Une algèbre A sur k est la donnée sur l'ensemble A d'une structure d'anneau et d'une structure d'espace vectoriel à gauche sur k telles que l'application produit
A × A → A soit k-bilinéaire.
La structure d'anneau sous-jacente à une algèbre A ne possède pas nécessairement d'unité. Si cela est le cas, l'algèbre est dite unitale.
Exemple 1.2. (Endomorphismes)
L'ensemble des matrices Mn(k) sur k est une algèbre sur k. Plus généralement, si V est un
espace vectoriel sur k, l'espace des endomorphismes End(V ) est une algèbre sur k. Le sous-espace de Mn(k) formé des matrices triangulaires supérieures est une sous-algèbre.
Exemple 1.3. (Algèbres de fonctions)
Soit I un ensemble1. Les espaces suivants sont des algèbres pour la multiplication coordonnée
par coordonnée :
A = ⊕nj=1k = {(xj)j=1,...,n; xj ∈ k, j = 1, . . . , n} ,
A = ⊕i∈Ik
= {(xi)i∈I; xi ∈ k, , xi = 0 pour tout i ∈ I sauf un nombre ni } ,
A =Q
i∈I = {(xi)i∈I; xi ∈ k, i ∈ I} .
(1.1) Dans le deuxième de ces exemples, l'algèbre A est canoniquement isomorphe à l'algèbre des fonctions à support ni sur I. L'espace sous-jacent à cette algèbre est aussi noté k[I] et ces éléments s'écrivent sous la forme a = Pi∈Iaiui où ui, i ∈ I, est la fonction caractéristique
de {i}. La famille (ui)i∈I est alors une base de k[I].
(Algèbres de fonctions continues)
Soit X un espace topologique localement compact et supposons que k est soit le corps des réels
soit le corps des nombres complexes, munis de leur topologie habituelle. Les espaces suivants sont des algèbres sur k :
Cc(X) ⊂ C0(X) ⊂ Cb(X) . (1.2)
L'image de chacune de ces inclusions est un idéal bilatére. Ces algèbres sont commutatives et seule la dernière possède une unité, la fonction constante égale à 1. Ces inclusions sont continues lorsque ces algèbres sont munies de la topologie uniforme, c'est-à-dire la topologie donnée par la norme
kf k = supx∈X|f (x)| . Si d'autre part l'espace topologique X est une variété alors C∞
c (X)est une sous-algèbre dense
de Cc(X).
Exemple 1.4. (Algèbres de groupes) Soit Γ un groupe. Soit
k[Γ] = {a =X
γ∈Γ
aγuγ; aγ = 0 pour tout γ ∈ Γ sauf un nombre ni }
l'espace des fonctions à support ni sur Γ à valeurs dans k. Muni du produit induit par la structure de groupe, i.e.
ugug0 = ugg0,
cet espace devient une algèbre sur k.
Petit exercice. Écrire le produit pour des éléments quelconques.
Exemple 1.5. Soit U le disque unité ouvert. L'espace A(U) des fonctions holomorphes sur U et continues sur U, muni de la multiplication point par point, est une algèbre.
Soit maintenant k = R ou k = C. Toutes les algèbres considérées sont alors des algèbres sur k.
Dé nition 1.6. Une algèbre normée est une algèbre munie d'une norme véri ant l'inégalité kabk ≤ kak kbk (a, b ∈ A) .
Une algèbre de Banach A est une algèbre normée complète.
Exemple 1.7. Le corps k est une algèbre de Banach. Soit A une algèbre normée de norme k·kA. On obtient une structure d'algèbre normée sur An(n ≥ 1)en posant k(a
i)k = kP a∗iaik
1 2
A.
Alors l'algèbre Mn(A), munie de la norme d'opérateurs
kM kop = supkxk=1kM (x)k ,
est une algèbre normée. Soit H un espace de Hilbert. L'algèbre B(H) des opérateurs bornés sur Hest une algèbre normée pour la norme d'opérateurs.
Dé nition 1.8. Soit A une algèbre normée. Une application anti-linéaire ∗: A → A est appelée une involution lorsqu'elle est isométrique et qu'elle véri e, pour tous a, b ∈ A,
(a∗)∗ = a et (ab)∗= b∗a∗.
Une algèbre de Banach involutive est une C∗-algèbre lorsque, pour tout a ∈ A,
ka∗ak ≥ kak2. (1.3)
L'autre inégalité étant toujours vraie, nous avons alors une égalité.
Remarque 1.9. Dans une algèbre normée involutive unitale, nous avons toujours k1k ≥ 1 car kxk = kx · 1k ≤ kxk k1k. On peut se ramener au cas où k1k = 1 au moyen la norme équivalente dé nie par kxk0 = sup
y, kyk≤1kxyk.
Dans une C∗-algèbre on a automatiquement k1k = 1 car k1k2 = k1∗1k = k1k. D'ailleurs, on
verra par la suite (voir l'exercice 1.36) qu'il existe sur une algèbre de Banach involutive au plus une norme qui en fait une C∗-algèbre. Ceci est dû au fait que LA norme d'une C∗-algèbre
contient des informations de nature uniquement algébrique. C'est toute la particularité des C∗-algèbres parmi les algèbres de Banach.
Exemple 1.10. Les exemples1.7sont des C∗-algèbres. Pour M = (m
ij) ∈ Mn(A)nous avons
posé
(mij)∗= m∗ji,
et pour un opérateur borné T nous avons besoin de la proposition suivante.
Proposition 1.11. Soit T un opérateur borné dans un espace de Hilbert H. Alors il existe un unique opérateur borné T∗ véri ant
(T x|y) = (x|T∗y) (x, y ∈ H) .
Cette proposition est une conséquence immédiate du théorème de représentation de Riesz pour les formes linéaires continues sur un espace de Hilbert. En utilisant l'inégalité de Cauchy-Schwarz, il vient alors pour tout x ∈ H,
kT xk2= |(T x|T x)| = |(T∗T x|x)| ≤ kT∗T xkkxk ≤ kT∗T kkxk2.
On en déduit immédiatement l'inégalité (1.3).
Exemple 1.12. Si Γ est un groupe muni, de la mesure de dénombrement, l'algèbre l1(Γ) =n Xaγuγ;la série
X
γ∈Γ
|aγ|converge.
o
est une algèbre de Banach involutive pour X
aγuγ
∗
=Xaγuγ−1,
mais n'est pas une C∗-algèbre.
Exemple 1.13. Les algèbres de fonctions dans les inclusions (1.2) sont des algèbres normées involutives, avec f∗(x) = f (x). Celles qui sont complètes sont des C∗-algèbres.
Exemple 1.14. L'algèbre A(U) de l'exemple 1.5 n'est pas une sous-algèbre involutive (dire pourquoi) de C(U). Mais en prenant pour involution
f∗(z) = f (z) ,
1.2 Spectre dans une algèbre de Banach unitale
Soit k = R ou k = C. Soit également A une algèbre de Banach unitale. Proposition 1.15. Si kxk < 1, alors 1 − x est inversible et (1 − x)−1=P
n≥0xn.
En eet, la série P xn est convergente et
(1 − x)
k
X
n=0
xn= 1 − xk+1. On conclut en passant à la limite.
Corollaire 1.16. L'ensemble des inversibles de A est ouvert dans A et l'application x 7→ x−1
est continue.
Démonstration. Soit u inversible. Soit x tel que kxkku−1k < 1. Tout d'abord u + x = u(1 +
u−1x)est inversible d'après la proposition précédente. Ceci montre la première assertion. De plus, (u + x)−1− u−1 = u−1X n≥1 (−1)n(u−1x)n. Donc, k(u + x)−1− u−1k ≤ ku−1k 1 1 − ku−1xk− 1 . Nous en déduisons alors que
lim
x→0k(u + x)
−1− u−1k = 0 .
Dé nition 1.17. Soit x ∈ A. Le spectre de x, noté2 Sp x, est dé ni par
Sp x = {λ ∈ k ; x − λ n'est pas inversible} .
Remarquons tout d'abord que le spectre est fermé dans A d'après la proposition précédente. Exemple 1.18. Le spectre d'une matrice dans Mn(C) est l'ensemble de ses valeurs propres.
Théorème 1.19. Soit x ∈ A. Le spectre de x est compact et la fonction λ 7→ (x − λ)−1
est analytique sur k \ Sp x et tend vers 0 à l'in ni. En particulier, Sp x est non-vide. De plus, supλ∈Sp x|λ| = limn→∞kxnk1n.
La démonstration nécéssite le lemme suivant.
Lemme 1.20. Soit (vn) une suite de réels positifs telle que vn+m≤ vnvm. Alors la suite (v
1 n n) converge et lim n→∞v 1 n n = inf n∈N∗v 1 n n
2 Lorsque cela est nécessaire ou aide à la clarté du texte, le spectre de x ∈ A sera aussi noté Sp Ax.
Démonstration. Fixons m et écrivons pour tout n ≥ m, n = p(n)m + q(n). Nous avons alors, v 1 n n ≤ v 1 n p(n)mv 1 n q(n) ≤ v p(n) n m v 1 n q(n)
Comme q(n) est borné et p(n)
n →n→∞m, il vient lim sup v 1 n n ≤ v 1 m m (∀m ≥ 1) .
La conculsion résulte alors de cette inégalité.
Démonstration. (Théorème 1.19) Si λ ∈ C est tel que |λ| > kxk, alors kx/λk < 1 et donc 1 −xλ est inversible. Donc le spectre est borné. Soit λ0 ∈ Sp x/ et considérons un disque ouvert
de centre λ0 assez petit. Il faut montrer que dans tel disque (à déterminer), l'application
λ → (x − λ)−1 est une série entière en z = λ − λ0. Nous avons alors
(x − λ)−1= (x − λ0− z)−1 = (x − λ0)−1 1 − (x − λ0)z
−1 . Choisissons alors λ tel que 1 − (x − λ0)z
−1
soit inversible, ce choix permettant alors d'ecrire 1 − (x − λ0)−1z
−1
=X
n≥0
(x − λ0)−nzn.
Nous avons donc montré l'analyticité. Comme il est évident que l'application λ 7→ (x − λ)−1
tend vers 0 à l'in ni et n'est pas nulle, le spectre est nécessairement non-vide d'après le théorème de Liouville.
Soient mainenant λ ∈ k et r > 0 tels que
|λ| > r ≥ lim kxnk1n = inf kxnk 1
n. (1.4)
Montrons que x − λ est inversible. Comme x − λ = λ(x/λ − 1), il su t de montrer que la série P x/λconverge normalement. Or ceci est une conséquence de l'équation (1.4).
La démonstration sera terminée lorsque nous aurons démontré que ρ(x) = sup
λ∈Sp x
|λ| ≥ lim
n→∞kx nkn1 .
Soit λ > supλ∈Sp x|λ|. Comme le passage à l'inverse dans k est aussi analytique, l'application
µ0 = 1
λ0 7→ −µ
0(1 − µ0x)−1 = (x − λ0)−1
est analytique sur un voisinage de µ = 1
λ. Nous en déduisons que pour µ < 1/ρ(x), la série
P(µx)n converge. Par conséquent, k(µx)nk < 1, soit |µ|kxnkn1 < 1, pour tout µ < 1/ρ(x).
D'où, lim n→∞kx nkn1 ≤ 1/|µ| (µ < 1/ρ(x)) . Il suit limn→∞kxnk 1
n ≤ ρ(x), ce qui achève la démonstration.
Corollaire 1.21. Soit A une algèbre de Banach sur C. Si A est un corps, alors A = C. Démonstration. Soit x 6= 0. Comme le spectre de x est non-vide, choisissons λ ∈ Sp x. Alors, x − λ = 0car A est un corps.
1.3 Cas d'une algèbre commutative.
Soit A une algèbre de Banach commutative et unitale.
Dé nition 1.22. Un caractère χ de A est un morphisme d'algèbres unitales χ : A → C .
En particulier, χ(1A) = 1. L'ensemble des caractères est noté X(A) et s'appelle le spectre de
A.
Exemple 1.23. Soit A = C(X), où X est un espace topologique compact. Pour tout x ∈ X, l'application
χx: f 7→ f (x) (f ∈ C(X)) ,
est un caractère.
Théorème 1.24. Tout caractère χ de A est continu de norme kχk ≤ 1. La démonstration repose sur la proposition suivante.
Proposition 1.25. Soit x ∈ A. Les assertions suivantes sont équivalentes : (i) x n'est pas inversible,
(ii) Il existe un caractère χ de A tel que χ(x) = 0.
Dans le sens (ii)⇒(i), c'est une conséquence facile de la dé nition. Montrons (i)⇒(ii). Considérons l'application
X(A) −→ {idéaux maximaux de A} χ 7−→ ker χ .
Le lecteur véri era facilement que cette application est bien dé nie et qu'elle est bijective (exhiber la réciproque en utilisant le corollaire 1.21). D'autre part, remarquons qu'un idéal maximal est fermé car son adhérence est un idéal distinct de A (les idéaux distincts de A ne contiennent pas d'éléments inversibles et ceux-ci forment un ouvert). L'élément x n'est pas inversible et est donc contenu dans un idéal maximal I = ker χ. La proposition est donc démontrée.
Nous en déduisons le théorème comme ceci. Tout d'abord, pour tout caractère χ, χ(x − χ(x)) = χ(x) − χ(x) = 0, donc χ(x) ∈ Sp x d'après la proposition précédente. Le théorème
1.19implique alors |χ(x)| ≤ kxk. Ceci achève la démonstration du théorème1.24.
Nous avons montré que le spectre de A était contenu dans la boule unité du dual topo-logique de A. Cette boule est compacte pour la topologie faible (donnée par la convergence simple). Or le spectre est fermé dans cette boule pour cette topologie car, pour tous x, y ∈ A, les applications
χ 7→ χ(xy) − χ(x)χ(y) , χ 7→ χ(1) ,
sont continues sur la boule. Nous avons donc montré que muni de cette topologie, l'espace X(A)est compact.
Nous sommes maintenant prêts à identi er les idéaux d'une algèbre de Banach commu-tative de la forme A = C(X) pour un espace compact X. Nous en déduisons que tous les caractères de C(X) sont les caractères donnés dans l'exemple1.23.
Théorème 1.26. Il y a une bijection entre l'ensembles des idéaux fermés de A et les parties fermées de X. Plus précisément les applications
F 7−→ I(F ) = {f ∈ A ; f |F = 0} et
J 7−→ Z(J ) = {x ∈ X ; f (x) = 0pour tout f ∈ J} sont réciproques l'une de l'autre.
Démonstration. Remarquons tout d'abord que ces applications sont bien dé nies. Nous devons montrer d'une part que Z(I(F )) = F et que I(Z(J)) = J. Commençons par montrer la premère égalité. Nous avons F ⊂ Z(I(F )) par dé nition. Soit x /∈ F . D'après le lemme d'Urysohn, il existe une fonction f nulle sur F telle que f(x) 6= 0. Donc x /∈ Z(I(F )) et la première égalité est démontrée.
Le seconde égalité est plus délicate, mais par dé nition nous avons déjà J ⊂ I(Z(J)). Soit F = Z(I) et f ∈ I(F ) une fonction s'annulant sur F . Nous allons construire une suite (fn) ⊂ J de fonctions qui converge uniformément vers f. Nous pourrons alors en déduire que
f ∈ J.
Pour tout n ≥ 1, posons
Yn= x ∈ X ; |f (x)| ≥ 1 n .
Alors Yn est une partie compacte de X qui n'intersecte pas F . Donc pour tout x ∈ Ynil existe
une fonction fx ∈ J non-nul en x. Sans perte de généralité on peut supposer que |fx(x)| > 1.
En particulier il existe un voisinage ouvert Vx de x sur lequel le module de f est strictement
supérieur à 1. On peut aussi supposer que f est à valeurs réelles positives, quitte à prendre f f, et la propriété sur le module de f reste vraie. On extrait un sous-recourement ni de Yn= ∪Vx pour obtenir des fonctions f1, . . . , fkn. On pose alors gn=P fk et
fn=
gn 1 n+ gn
· f .
Les fonctions fn sont dans J par construction car J est un idéal. Il reste à montrer que la
convergence uniforme de la suite (fn) vers f. Soit ε > 0. Sur Yn, on montre que
|f − fn| ≤ 1/n
1 + 1/n < ε , (pour n assez grand) ,
tandis que sur le complémentaire de Yn, |f| ≤ 1/n < ε et donc |f − fn| < 2ε. En résumé, la
suite (fn) ⊂ J converge uniformément vers f, et nalement f ∈ J. Ceci achève la preuve de
la deuxième égalité.
Corollaire 1.27. Les idéaux maximaux de A = C(X) sont en bijection avec les points de X. Nous avons vu que les idéaux maximaux de A était en bijection avec les caractères de A, doù une bijection entre X et les caractères de A. Ces derniers espaces étant compacts, cette bijection est un homéomorphisme si et seulement si elle est continue. Or si f est continue sur X, l'application x 7→ χx(f )est continue. Nous avons donc montré le théorème suivant.
Théorème 1.28. Soit X un espace topologique compact. Soit A = C(X). L'application qui à x ∈ X fait correspondre le caractère χx de A, dé ni par χx(f ) = f (x), est un diéomorhisme.
1.4 Transformation de Gelfand
Soit A une algèbre de Banach commutative unitale.
Dé nition 1.29. Soit x ∈ A. On appelle transformée de Gelfand x, la fonction ˆx sur l'espace X(A) des caractères de A dé nie par
ˆ
x(χ) = χ(x) . Proposition 1.30. L'application
G : A −→ C X(A) x 7−→ x ,ˆ est un morphisme d'algèbres de Banach de norme ≤ 1.
1.5 Exexcices
Exercice 1.31. Soient B une algèbre de Banach avec unité, A une sous-algèbre de B conte-nant l'unité, et munie d'une norme qui en fait une algèbre de Banach, véri ant en outre, pour tout x ∈ A, kxkA≥ kxkB. On dit que A est pleine dans B si pour tout x ∈ A, SpAx = SpBx.
Considérons l'hypothèse
(H) Pour tout x ∈ A , ρA(x) = ρB(x) .
1. Montrer que si A est dense dans B et véri e (H), alors A est pleine dans B.
2. Supposons de plus que B est une C∗-algèbre et que A est une sous-algèbre involutive.
Montrer que si A véri e (H), alors A est pleine dans B. (On se ramènera au cas d'un élément autoadjoint x puis on considérera le rayon spectral de (i + x)−1).
3. Si A est une sous-algèbre de B munie de la norme induite, montrer que A véri e (H). Exercice 1.32. Soit a ∈ Mn(A). Les assertions suivantes sont équivalentes.
(i) Pour tout z ∈ S1, 1 − a + za est inversible ;
(ii) Sp a ∩ {λ ∈ C , Re λ = 1/2} = ∅ .
Exercice 1.33. Soit A une algère de Banach. Démontrer que la boule unité du dual topologique de A, munie de la topologie faible, est compacte.
Exercice 1.34. Véri er la proposition1.30.
Exercice 1.35. Soient V un espace vectoriel complexe, T un endomorphisme de V et A la sous-algèbre de End(V ) engendrée par T et Id.
1. Montrer que le spectre de A est l'ensemble des valeurs propres de T .
2. Montrer que le noyau de la transformation de Gelfand G est engendré par les projections sur les blocs de Jordan de T .
Exercice 1.36. Montrer que tout morphisme (involutif) de C∗-algèbres est continue de norme
≤ 1. On pourra commencer par montrer que si x = x∗ est autoadjoint, alors ρ(x) = kxk.
Exercice 1.37. Montrer que le spectre d'un élément unitaire (u∗u = uu∗ = 1) est contenu
dans le cercle unité. En déduire que le spectre d'un élément autoadjoint x est contenu dans R. On pourra poser u = exp ix, après avoir dé ni l'exponentielle.
Chapitre 2
C
∗
-algèbres
Dans ce chapitre, nous montrons que dans le cadre des C∗-algèbres, la transformation
de Gelfand est un isomorphisme. Nous en pro tons alors pour étudier les groupes abéliens localement compacts de ce point de vue, et nous décrivons les idemotents de la C∗-algèbre
maximale ou réduite du groupe Z. Dans le cas non-commutatif, les caractères ne su sent plus à décrire une C∗-algèbre et il faut introduire la notion de représentation. Nous parvenons alors
à représenter toute C∗-algèbre comme algèbre d'opérateurs dans un espace de Hilbert.
2.1 C
∗-algèbres de groupes
Un tel exemple fondamental pour la suite de ce cours, et que nous avons évoqué ci-avant, est celui des C∗-algèbres associées à un groupe. Nous avons déjà construit pour tout groupe
discret Γ l'algèbre de Banach l1(Γ)et nous avons remarqué que cette algèbre n'était pas une
C∗-algèbre en général. Nous pouvons aussi construire l'espace de Hilbert l2(Γ)des fonctions de carré intégrable sur Γ. Soit δx, (x ∈ Γ)la masse de Dirac en x ∈ Γ. Cette famille de fonctions
forme une base hilbertienne de l2(Γ). Rappelons encore que U(H) désigne l'ensemble des
opérateurs unitaires de l'espace de Hilbert H. Le groupe Γ agit par translation à gauche sur l'espace de Hilbert l2(Γ) de la façon suivante.
Γ−→ U (H) ,λ λ(γ)δx= δγx.
Cette représentation de Γ s'appelle la représentation régulière gauche de Γ. Prolongeons par linéarité cette représentation à l'algèbre CΓ. Nous obtenons alors un morphisme d'algèbres involutives, encore noté λ,
λ : CΓ → B(H) .
Proposition 2.1. Ce morphisme se prolonge à l1(Γ) en un morphisme injectif d'algèbres de
Banach involutives.
Dé nition 2.2. L'adhérence de l'image de l1(Γ) dans B(H) est une C∗-algèbre, appelée C∗
-algèbre réduite de Γ et noée C∗ red(Γ).
Le but de ce cours est de montrer que lorsque Γ = F2 est un groupe libre sur deux
générateurs, cette C∗-algèbre ne possède pas d'idempotent (i.e. un élément véri ant e2 = e)
Une autre C∗-algèbre importante associée à un groupe Γ est la C∗-algèbre maximale
(cer-tains disent pleine ) de Γ. Il s'agit d'un cas particulier d'une construction qui à toute algèbre de Banach involutive A associe de façon canonique une C∗-algèbre, dite C∗-algèbre
enveloppante de A.
Dé nition 2.3. Une C∗-norme p sur une algèbre de Banach involutive A est une
semi-norme sous-multiplicative véri ant en outre, pour tout x ∈ A, p(x∗x) = p(x)2 et
p(x∗) = p(x) .
Proposition 2.4. La donnée d'une C∗-semi-norme sur A est équivalente à la donnée d'un
couple (B, ϕ), où B est une C∗-algèbre et ϕ: A → B est un morphisme d'algèbres de Banach
involutives.
Remarquons que l'ensemble S des C∗-semi-normes n'est pas vide car il contient 0. Nous
pouvons donc considérer la plus grande semi-norme p∗(x) = supp∈S p(x). La C∗-algèbre
ob-tenue à partir de cette semi-norme est la C∗-algèbre enveloppante C∗(A) de A. Il suit la
propriété universelle suivante : tout morphisme d'algèbres de Banach involutives A → B dans une C∗-algèbre B se factorise en un morphisme de C∗-algèbres C∗(A) → B. Dans le cas de
l'algèbre l1(Γ), nous appelons cette C∗-algèbre la C∗-algèbre maximale de Γ et nous écrivons
Cmax∗ (Γ) = C∗(Γ). Nous obtenons en particulier un morphisme surjectif λ : Cmax∗ (Γ) −→ Cred∗ (Γ) .
2.2 C
∗-algèbres commutatives
Rappelons que la transformation de Gelfand a été dé nie page 11.
Théorème 2.5. Soit A une algèbre de Banach involutive unitale et commutative. 1) La transformation de Gelfand est d'image dense.
2) Si A est une C∗-algèbre, tous les caractères de A sont hermitiens, i.e.
χ(x∗) = χ(x) , x ∈ A , χ ∈ X(A).
3) Si A est une C∗-algèbre, la tranformation de Gelfand est une isométrie.
Corollaire 2.6. (théorème de Gelfand)
Soit A une C∗-algèbre commutative avec élément unité. Alors la transformation de Gelfand
G : A −→ C(X(A)) est un isomorphisme.
Démonstration. (théorème2.5)
1) Si x est autoadjoint, son spectre est réel et donc χ(x) est réel pour tout caractère. Par conséquent, χ(x∗) = χ(x) = χ(x). Dans le cas gén'eral, on écrit x = a + ib où a et b sont deux
éléments autoadjoints : x = 1 2 x+x
∗ +i 2 ix
∗−ix
. Il vient alors, χ(x∗) = χ(a)−iχ(b) = χ(x).
2) L'image G(A) de la transformation de Gelfand est une sous-algèbre stable par involution d'après 1) de C(X(A)). De plus, cette sous-algèbre sépare les points. D'après le théorème de Stone-Weierstrass, elle est dense.
3) Remarquons que kˆxk = supχ∈X(A)|χ(x)| = ρ(x), d'après la proposition1.25. Par
consé-quent, en utilisant l'indication de l'exercice1.36, il vient
kˆ(x)k2= k ˆx∗xk = ρ(x∗x) = kx∗xk = kxk2.
Démonstration. (corollaire)
Si ˆxnconverge vers f ∈ C(X(A)), alors, comme par ailleurs nous avons kxn−xmk = kˆxn− ˆxnk,
nous concluons que la suite xn converge vers x ∈ A.
Soit Γ un groupe (discret) abélien dénombrable. Soit U(1) le cercle unité, muni de sa structure de groupe topologique.
Dé nition 2.7. Un caractère de Γ est un morphisme de groupes χ : Γ → U (1) .
L'ensemble des caractères est noté ˆΓ. Lorsqu'il est muni de la topologie de la convergence simple, cet ensemble s'appelle le dual de Γ.
Par exemple, le lecteur véri era que le dual de Z est le cercle S1.
Théorème 2.8. L'application, qui à tout caractère χ de Γ fait correspondre le caractère ξχ
de l1(Γ) dé ni par ξχ(f ) = X γ∈Γ fγχ(γ) , (f = X fγuγ) , est un homéomorphisme.
Démonstration. Pour la continuité, il su t d'appliquer le théorème de convergence dominée. Remarquons que
ξχ(uγf ) = χ(γ)ξχ(f ) . (2.1)
Montrons l'injectivité. Soient deux caractères χ1, χ2 tels que 0 6= ξχ1 = ξχ2. Soit une fonction
f telle que ξχ1(f ) 6= 0. D'après l'équation (2.1), nous avons pour tout γ ∈ Γ, χ(γ)ξχ1(f ) =
ξχ1(uγf ) = ξχ2(uγf ) = χ(γ)ξχ2(f ). En simpli ant, il ressort que nous avons montré
l'injecti-vité. Soit maintemant ξ un caractére de l1(Γ)non nul. Soit f une fonction telle que χ(f) 6= 0.
Alors,
χ(γ) = ξ(uγf ) ξ(f ) ,
ne dépend pas de f et est un caractère de Γ. L'application ainsi obtenue est l'inverse recherché. Il reste à remarquer que cet inverse est continu par dé nition.
Nous obtenons ainsi un morphisme d'algèbres de Banach
l1(Γ) −→ C(ˆΓ) a =P aγuγ 7−→ F (a) : χ 7→P aγχ(γ) .
Ce morphisme, ainsi que son extension à la C∗-algèbre maximale de Γ, est appelé
Théorème 2.9. La transformation de Fourier F : C∗
max(Γ) → C(ˆΓ)est un isomorphisme.
Démonstration. Comme F = G, il faut montrer que ˆΓ est homéomorphe à X(C∗
max(Γ)). Nous
savons déjà que ˆΓ est homéomorphe à X(l1(Γ)), et que X(C∗
max(Γ)) ⊂ X(l1(Γ)) est constitué
de caractères hermitiens de l1(Γ) et cette inclusion est continue. Or par densité tous les
caractères hermitiens de l1(Γ) peuvent être prolongés à C∗
max(Γ). De plus, les caractères de
l1(Γ)sont tous hermitiens car ξ(u∗
γ) = χξ(γ−1) = χξ(γ) = ξ(uγ). Cette bijection est donc une
bijection continue entre espaces compacts ; c'est un homéomorphisme. Corollaire 2.10. La C∗-algèbre C∗
red(Z) ne possède pas d'idempotent (e2 = e) non-trivial, i.e.
autre que 0 et 1.
En eet, comme les groupes abéliens sont moyennables, nous avons,d'après le théorème
A.4, des isomorphismes,
Cred∗ (Z)←− Cλ max∗ (Z)−→ C(SF 1) .
En outre, il est clair que C(S1)ne possède pas d'idempotent non-trivial. Nous avons
mainte-nant atteint notre objectif pour le groupe libre sur 1 générateur.
2.3 Votre C
∗-algèbre, avec ou sans unité ?
La plupart des résultats importants que nous avons obtenus jusqu'ici concernent les C∗
-algèbres avec unité. Pour traiter le cas des C∗-algèbres sans unité, nous allons disposer de
deux stratégies. La plus simple va simplement consister à ajouter une unité aux algèbres qui n'en possèdent pas. Cette technique fera l'aaire pour les questions spectrales par exemple. Une technique plus élaborée consistera á approximer une unité. Cela permettra par exemple de donner une structure de C∗-algèbre sur un quotient. Cette notion est également utile pour
traiter des algèbres des groupes localement compacts non-discrets, par exemple pour démontrer le théorème2.8dans ce cadre.
Proposition 2.11. Soit A une algèbre sur un corps (commutatif) k. Alors il existe une unique k-algèbre unitale ˜A telle que
A soit un idéal bilatère de ˜A; l'on ait un isomorphisme ˜A/A = k.
En eet, si ˜Aexiste, alors tout élément s'écrit sous la forme λ · 1 +x. De plus cette écriture est unique d'après la deuxième condition. Par conséquent, l'existence de ˜Aimplique ˜A = A⊕C comme espace vectoriel. Les relations x · 1 = 1 · x = x doivent être également véri ées, ce qui impose une unique strucure de produit.
Si φ: A → B, alors il existe un unique morphisme d'algèbres unitales ˜φ: ˜A → ˜B qui prolonge φ. Lorsque k = C, alors une involution de A impose une unique involution sur ˜A. Elle est dé nie par (λ + x)∗ = λ + x∗. De même, si A est une algèbre de Banach, alors ˜A est
une algèbre de Banach, par exemple pour la norme kλ + xkA˜ = |λ| + kxk .
Cependant, si A est une C∗-algèbre, cette norme ne fait pas de ˜Aune C∗-algèbre en général.
Pour montrer ce résultat, on dé nit une norme (sous-multiplicative !) par kλ + xkA˜= sup
y∈Akyk≤1
k(λ + x)yk .
Il est alors aisé de véri er que cette norme fait de ˜A une C∗-algèbre. Nous pouvons maintenant nous intéresser aux spectres.
Dé nition 2.13. Soient A une algèbre de Banach et x ∈ A. Si A n'a pas d'unité, on pose Sp0Ax = SpA˜x. Si A possède une unité, on pose Sp0Ax = SpA˜x ∪ {0}.
Notons que 0 ∈ Sp0
Ax. Soit A une algèbre de Banach commutative. Soit X0(A)l'ensemble
des morphismes d'algèbres A → C. Remarquons que cet ensemble est en bijection avec X( ˜A), et le morphisme nul de A → C correspond à la projection canonique ˜A → ˜A/A = C. De plus, si A possède une unité, alors X0(A) = X(A) ∪ {0}. Ceci nous conduit à poser, pour une
C∗-algèbre commutative A sans unité,
X(A) = X0(A) \ {0} .
Proposition 2.14. L'espace X(A) est localement compact. Il est compact si et seulement si A est unitale. Dans tous les cas, l'espace X0(A) est le compacti é d'Alexandro de X(A). Nous pouvons résumer tout le travail eectué jusquà présent sur les C∗-algèbres commutatives
comme suit.
Théorème 2.15. Soit A une C∗-algèbre commutative. Notons i
A l'inclusion de A dans ˜A et
considérons l'idéal de C(X0(A)) = C(X( ˜A)) dé ni par C
0(X(A)) = {f ∈ C(X0(A)) ; f (0) =
0}. Alors la transformation de Gelfand G = ˜G ◦ iA est un isomorphisme de A sur C0(X(A)).
Une façon d'énoncer ce théorème est de dire que la transformation de Gelfand établit une équivalence de catégorie entre la catégorie des C∗-algèbres commutatives, munies des
mor-phismes d'algèbres involutives, vers la catégorie des espaces topologiques localement compacts, munie des applications continues propres. Ce foncteur contravariant A 7→ X(A) commute au foncteur qui fait correspondre à la catégorie des C∗-algèbres avec unité, munies des morphismes
unitaux, la catégorie des espaces compacts, munis des applications continues, via le foncteur d'adjonction d'une unité.
Nous avons vu en démontrant le théorème de Gelfand que les éléments de la forme x∗x
jouaient un rôle important dans les C∗-algèbres commutatives. C'est grâce à un contrôle de la
norme de ces éléments, qui n'existe pas dans les algèbres de Banach involutives quelconques, que nous avons pu montré que la transformation de Gelfand était isométrique. Il apparaît donc important détudier ces éléments dans le cadre des C∗-algèbres quelconques.
Soit A une C∗-algèbre.
Dé nition 2.16. Un élément autoadjoint x ∈ A est dit positif lorsque Sp x ⊂ [0, +∞]. On écrit x ≥ 0.
Lemme 2.17. [Dix96,Ped79] L'ensemble A+ des éléments positifs est un demi-cône convexe
fermé saillant. Autrement dit,
(i) si λ ≥ 0 et x ∈ A+, alors λx ∈ A+;
(ii) si x, y ∈ A+, alors x + y ∈ A+;
(iii) A+ est fermé dans A ;
(iv) si x ∈ A+ et −x ∈ A+, alors x = 0.
Théorème 2.18. Soit x ∈ A un élément autoadjoint. Les assertions suivantes sont équiva-lentes :
(i) x ≥ 0 ;
(ii) il existe un autoadjoint y tel que x = y2 ;
(iii) il existe un autoadjoint y tel que x = y∗y .
Démonstration. (i) ⇔ (ii). Soit x ∈ A+. Alors la C∗-algèbre engendrée par x dans A est
isomorphe à C(Sp x) et Sp x ⊂ R+. Par conséquent, on peut donner un sens à l'expression
y = x1/2. Alors x = y2.
(ii) ⇒ (iii). C'est évident. (iii) ⇒ (i).
Soit x = y∗y. Montrons que x ≥ 0. Comme x est autoadjoint, on peut voir x comme une
fonction à valeurs réelles. Par conséquent, nous pouvons écrire x = x+− x−, avec x± ≥ 0et
x+x−= 0. Il faut montrer que x−= 0. Soit z = yx1/2− . Alors,
z∗z = x1/2− y∗yx 1/2 − = x
1/2
− (x+− x−)x1/2− = −x−≤ 0 . (2.2)
Écrivons maintenant z = a + ib avec a, b autoadjoints. Alors, un calcul simple montre que z∗z + zz∗= 2(a2+ b2) ∈ A+,
car A+est un demi-cône. Donc, zz∗ = (zz∗+z∗z)−z∗z ≥ 0. Cette équation et l'équation (2.2),
combinées avec le fait que Sp xy = Sp yx, impliquent que z∗z = zz∗= 0. D'où x −= 0.
Dé nition 2.19. Soit A une C∗-algèbre. Une approximation (dénombrable) de l'unité est une
famille un d'éléments positifs (cf. dé nition 2.16) de A tels que
kunk ≤ 1 ;
si m ≤ n , alors um ≤ un;
lim kunx − xk = lim kxun− xk = 0 (x ∈ A) .
Proposition 2.20. Soient A une C∗-algèbre séparable et m un idéal bilatére dense de A. Alors
il existe une approximation de l'unité de A, composée d'éléments de m.
Grâce à cette notion, nous pouvons maintenant montrer que le quotient d'une C∗-algèbre
par un idéal fermé est une C∗-algèbre.
Théorème 2.21. Soient A une C∗-algèbre et I un idéal bilatère fermé.
(i) I est autoadjoint ; (ii) A/I est une C∗-algèbre.
Démonstration. Soit unune unité approchée de I. La première partie est aisée. En eet, nous
avons par exemple
kx∗un− x∗k = kxun− xk → 0 ,
Ceci implique que A/I est une algèbre involutive. La norme sur A/I est obtenue en posant (comme d'habitude)
kxkA/I = inf
y∈Ikx + yk .
Pour montrer que A/I est une C∗-algèbre commen ons par montrer que kxk = lim kx − xu nk
En eet,
lim sup kx − xunk = lim sup kx − xun+ y − unyk (y ∈ I)
= lim sup k(x + y)(1 − un)k (dans ˜A)
≤ kx + yk ≤ kxk , et, par conséquent,
kxk ≥ lim sup kx − xunk ≥ lim inf kx − xunk ≥ inf
y∈Ikx + yk = kxk . Maintenant, kxk2 = lim kx − u2 nxk = lim k((x − unx)∗(x − unx))k = lim kx∗x + z − zun− x∗unx − x∗unx − unz + unzun+ x∗u2nxk = lim kx∗(1 − un)(1 − un)x + (1 − un)z(1 − un)k = lim k(1 − un)(x∗x + z)(1 − un)k ≤ kx∗x + zk
2.4 Formes linéaires positives et représentations
Dé nition 2.22. Une forme linéaire positive ϕ sur A est une forme linéaire telle que, pour tout x ≥ 0, on ait ϕ(x) ≥ 0.
Une forme linéaire positive est automatiquement continue (exercice2.31). Soit ϕ une forme linéaire positive sur une C∗-algèbre A. Alors l'application
( | )ϕ: A × A −→ C
(x, y) 7−→ (x|y)ϕ= ϕ(x∗y) , est une forme hermitienne positive. D'après l'exercice2.32, l'ensemble
C(ϕ) = {x ∈ A ; (x∗|x)ϕ= 0}
est un sous-espace vectoriel fermé de A. Par passage au quotient, nous obtenons donc un espace préhilbertien, dont le complété est noté Hϕ.
Appelons représentation un morphisme de C∗-algèbres A → B(H). Une représentation
est dite non-dégénérée s'il existe un vecteur ξ ∈ H tel que les vecteurs π(a)ξ, pour a ∈ A, engendrent un sous-espace dense de H.
Proposition 2.23. Pour tout a ∈ A, l'application
La: A/C(ϕ) −→ A/C(ϕ)
b 7−→ ab
est bien dé nie, linéaire continue, et dérmine par prolongation une représentation de A dans B(Hϕ).
Cette construction est dûe à Gelfand, Naimark et Segal. On dit souvent la construction GNS pour nommer cette construction qui associe une représentation à une forme linéaire positive. Il su t de remarquer qu'une forme linéaire positive préserve le sens des inégalités, et d'utiliser l'exercice2.30, équation (2.3).
Soit ϕ une forme linéaire positive. Pour a ∈ A, notons a → ξa l'application canonique. Si
unest une approximation de l'unité dans A, alors (ξun) converge vers un vecteur unitaire que
l'on note ξϕ. D'autre part, pour tout a ∈ A, πϕ(a)ξϕ= ξa, comme nous le voyons par passage
à la limite. Ceci montre que la représentation πϕ est non-dégénérée. D'autre part, nous avons
par dé nition
ϕ(a) = π(a)ξϕ|ξϕ
ϕ, (a ∈ A) .
En résumé nous avons montré le théorème suivant.
Théorème 2.24. La construction GNS établit une bijection entre l'ensemble des formes li-néaires positives sur A, et l'ensemble des (classes d'isomorphisme de) triplets (H, π, ξ), où H est un espace de Hilbert, π une représentation de A sur H, non-dégénérée, et ξ un vecteur unitaire totalisateur (i.e. l'ensemble {π(a)ξ, a ∈ A} est dense dans H).
Nous avons vu que toute forme linéaire positive était continue. D'autre part, d'aprés l'inéga-lité de Cauchy-Schwarz (exercice 2.32), si A est unitale, |ϕ(x)|2 ≤ ϕ(1)2ϕ(x∗x) ≤ ϕ(1)2kxk2.
Par conséquent, kϕk ≤ ϕ(1) ≤ kϕkk1k = kϕk. Donc kϕk = ϕ(1). Montrons que ces deux propriétés caractérisent les formes positives sur une C∗-algèbre unitale.
Proposition 2.25. Soient A une C∗-algèbre unitale et ϕ une forme linéaire. Les assertions
suivantes sont équivalentes. (i) ϕ est positive ;
(ii) ϕ est continue et kϕk = ϕ(1).
Démonstration. On peut supposer que ϕ est non-nulle, puis que ϕ(1) = 1. Montrons que ϕ est une forme hermitienne. Soit x ∈ A un élément autoadjoint, tel que kxk ≤ 1. Alors,
kx + ink2= k(x + in)∗(x + in)k = kx∗x + n2k ≤ 1 + n2, (n ∈ Z) . Il vient donc,
1 + n2≥ |ϕ(x + in)|2 = ϕ(x)ϕ(x) + n2− 2nImϕ(x) , (n ∈ Z) . Ceci implique ϕ(x) ∈ R. Supposons mainteant que x ≥ 0. Il vient,
ϕ(x) − kxk ≤
x − kxk ≤ kxk . D'où, ϕ(x) ≥ 0.
Théorème 2.26. Soit A une C∗-algèbre et a ∈ A un élément autoadjoint. Alors il existe une
forme linéaire positive ϕa, normalisée, telle que |ϕa(a)| = kak.
Une forme linéaire positive normalisée est appelée un état. Nous notons S(A) l'ensemble des états sur A.
Démonstration. Comme la restriction d'une forme linéaire positive à une sous-algèbre involu-tive est encore une forme linéaire posiinvolu-tive, on peut supposer que A est unitale. Soient a ∈ A un élément positif et B la sous-C∗-algèbre engendrée par a. Alors kak = sup
ϕ∈S(B)|ϕ(a)|.
Comme S(B) est compact, ce supremum est atteint par un état χa. D'après le théorème de
Hahn-Banach, on peut prolonger χa en une forme linéaire continue ϕa sur A de même norme
que χa. D'après la proposition2.25, la forme linéaire ϕ est un état tel que |ϕa(a)| = kak.
Corollaire 2.27. Pour toute C∗-algèbre séparable A, il existe une représentation dèle de A
dans un espace de Hilbert séparable.
Démonstration. On peut supposer que A est unitale car A s'injecte dans ˜A. Pour tout a ∈ A autoadjoint, choisissons un état (une forme linéaire positive normalisée) ϕ, telle que ϕ(a∗a) =
kak2, comme le permet le théorème. Soit (H
a, πa)la représentation obtenue par la construction
GNS. Alors,
kak = kakϕa = kπa(a) · 1kϕa ≤ kπa(a)k ≤ kak .
Par conséquent, kπa(a)k = kak. Soit an une suite dénombrable dense d'éléments de A.
Consi-dérons maintenant la représentation
(H = ⊕nHan, ⊕nπan) .
Cette somme est une somme hilbertienne. La représentation ainsi obtenue convient.
2.5 Exercises
Exercice 2.28. Soit X un espace topologique compact. Déterminer les idempotents de C(X). Exercice 2.29. Montrer qu'un morphisme injectif entre deux C∗-algèbre est une isométrie.
On pourra commencer par étudier la sous-C∗-algèbre engendrée par un élément hermitien
(x∗x = xx∗).
Exercice 2.30. Soit x, y ∈ A deux éléments autoadjoints. Montrer que −kxk ≤ x ≤ kxk. Supposons que x ≤ y. Montrer que pour tout a ∈ A, on a axa∗ ≤ aya∗. En déduire que
x∗y∗yx ≤ kyk2x∗x . (2.3)
Exercice 2.31. Montrer que toute forme linéaire positive ϕ sur une C∗-algèbre A est continue.
Si A est unitale, cela est facile. Dans le cas général, on pourra commencer par montrer que pour toute suite (xn) d'éléments positifs tels que kxnk ≤ 1,
n X k=1 2−kϕ(xk) ≤ ϕ X k≥1 2−kxk .
Exercice 2.32. (Cauchy-Schwarz)
Soit ϕ une forme linéaire positive sur une C∗-algèbre A. Montrer que pour tous x, y ∈ A,
|ϕ(y∗x)|2 ≤ ϕ(x∗x)ϕ(y∗y) .
En déduire que {x ∈ A ; ϕ(x∗x) = 0} est un sous-espace vectoriel fermé de A.
Exercice 2.33. (i) lien forme linéaire positive et fonctions de type positif sur un groupe (ii) GNS et FTP => FTP*FTP=FTP
Chapitre 3
K
-théorie des C
∗
-algèbres
3.1 Dé nitions et premières propriétés
Soit A un anneau unital.
Dé nition 3.1. Un A-module E est dit projectif de type ni lorsqu'il existe un entier n ∈ N et des morphismes de A-modules ϕ: E → An et ψ : An→ E tels que Id
E = ψ ◦ ϕ.
Proposition 3.2. Les assertions suivantes sont équivalentes. (i) E est projectif de type ni.
(ii) Il existe un A-module F tel que E ⊕ F ' An.
(iii) Il existe un idempotent e ∈ Mn(A)tel que eAn' E.
Les classes d'isomorphisme de A-modules projectifs de type ni forment un ensemble, noté V (A). Nous notons également [E] la classe d'isomorphisme de E.
Exemple 3.3. Soit k un corps. Alors V (k) = N. En eet, tout module projectif de type ni est un espace vectoriel de dimension ni et est donc isomorphe à kn.
Posons
[E ] + [F ] = [E ⊕ F ] .
Cette loi fait de V (A) un monoïde commutatif associatif, possédant [0] comme élément neutre. Cependant, ce monoïde n'est pas un monoïde à simpli cation en général (cf. exercice 3.45). Proposition 3.4. Deux couples[E ], [F ] et [E0], [F0] sont équivalents lorsqu'il existe G tel que
[E ] + [F0] + [G] = [E0] + [F ] + [G] . L'ensemble K0(A)des classes d'équivalence de couples
[E ], [F ] est un groupe abélien. Le groupe K0(A) véri e la propriété universelle suivante. Tout morphisme de monoïde
ϕ : V (A) → Boù B est un groupe abélien se factorise en un morphisme de groupe ˜ϕ : K0(A) →
B.
Dé nition 3.5. Deux idempotents e et f sont dits équivalents lorsqu'il existe deux éléments x, y tels que
Montrons qu'il s'agit bien d'une relation d'équivalence. Véri ons par exemple la transi-tivité. Soient e = xy, f = yx = uv et g = vu. Il vient, e = e2 = xf y = (xu)(vy) et
g = g2 = vf u = (vy)(xu).
Lemme 3.6. Deux idempotents e, f ∈ Mn(A)sont équivalents si et seulement si les A-modules
eAn et fAn sont isomorphes.
Démonstration. Supposons que e = xy et f = yx soient équivalents. Soit ly: eAn → f An
(resp. lx: f An → eAn) la multiplication par y (resp. x) à gauche. Alors on véri e facilement
que lx et ly sont des isomorphismes réciproques l'un de l'autre.
Réciproquement, si ϕ: eAn→ f Anet ψ : fAn→ eAnsont des isomorphismes réciproques
l'un de l'autre, dé nissons ˜ϕ (resp. ˜ψ) sur An par ˜ϕ = ϕ ◦ e (resp. ˜ψ = ψ ◦ f). Alors il est facile de voir que f = ˜ϕ ˜ψ et e = ˜ψ ˜ϕ.
Dé nissons l'anneau M∞(A) comme la limite inductive 1 des anneaux Mn(A) avec les
morphismes ϕn: Mn(A) → Mn+1(A)dé nis par ϕn(X) = X 00 0
. D'après le lemme précédent, les classes d'équivalence d'idempotents dans M∞(A)forment un monoïde isomorphe à V (A).
Soit maintenant A une algèbre de Banach. Théorème 3.8. Le monoïde
V (A) = Idem M∞(A)/ ∼
est l'ensemble des composantes connexes de Idem M∞(A). Plus précisément, les classes
d'équi-valence dans Idem M∞(A) sont connexes par arcs.
Ce théorème résulte facilement des trois lemmes suivants. Lemme 3.9. (invariance par perturbation)
Soit e un idempotent dans Mn(A). Alors il existe ε > 0, tel que pour tout idempotent f ∈
Mn(A) véri ant ke − fk < ε, e ∼ f.
Lemme 3.10. Si e ∼ f dans Mn(A), alors e et f sont conjugués dans M2n(A).
Lemme 3.11. Si e et f sont des idempotents conjugués dans Mn(A), alors il existe u ∈
Gl2n(A) dans la composante connexe de l'identité tel que
(e 00 0) u = u f 00 0 . En particulier, (e 0
0 0) et f 00 0
sont dans la même composante connexe de Idem M2n(A).
1 De façon abstraite, la notion de limite inductive peut être dé nie comme suit.
Théorème et dé nition 3.7. Soit En des ensembles et pour tous m ≤ n des applications fn,m: Em→ En
telles que si m ≤ n ≤ p, alors fn,p◦ fm,n= fm,p. Alors il existe un ensemble E∞, appelé limite inductive du
système inductif (En, fn), et des applications fn,∞: En→ E∞ telles que fm,∞ = fn,∞◦ fm,n, et véri ant la
propriété universelle suivante. Si (E0
∞, fn,∞0 ) est une famille ayant les mêmes propriétés, alors il existe une
application f telle que, pour tout n, l'on ait f0
n,∞= f ◦ fn,∞.
Lorsque les ensembles possèdent une structure (groupe, espace topologique, anneau, corps, espace vectoriel, algèbre, . . .) et que les applications sont des morphismes, l'ensemble E∞ possède la même structure, et les
applications fn,∞ sont des morphismes.
Démonstration. (lemme d'invariance par perturbation, 3.9) Remarquons tout d'abord que deux idempotents e, f conjugués par un inversible z sont équivalents. En eet, si ez = zf, nous pouvons écrire e = (ez)z−1 et f = z−1(zf ) = z−1(ez). Nous posons alors z = 1 + (2e −
1)(2f − 1). Alors, ez = e + 4ef − 2e − 2ef + e = 2ef = f + 4ef − 2ef − 2f + f = zf, d'une part ; et d'autre part, kz − 2k ≤ 2kek · ke − fk ≤ 2kekε.
Démonstration. (lemme3.10) Pour e = xy et f = yx, prendre u = x 1n−e
f −1n y .
Démonstration. (lemme3.11) Si eu = uf, alors e 0 0 0 u 0 0 u−1 = u 0 0 u−1 f 0 0 0 .
Il su t donc de montrer que la matrice
u 0
0 u−1
est connectée à l'identité. Considérons pour cela la matrice
Xt= u 0 0 1n cos t − sin t sin t cos t 1n 0 0 u−1 cos t sin t − sin t cos t . Alors, X0= u 0 0 u−1 et Xπ/2 = 12n.
Remarque 3.12. Nous pouvons aussi nir la démonstration en écrivant la matrice u 0 0 u−1
comme produit de matrices élémentaires, comme dans la formule4.2. L'avantage est, en com-binant avec la formule 3.1de montrer que cette matrice est contenue dans le groupe engendré par les commutateurs.
Nous dé nissons maintenant le groupe K1= K1top pour une algèbre de Banach unitale.
Rappel 3.13. Soit A une algèbre de Banach unitale. L'ensemble G des inversibles de A est ouvert, et est une groupe topologique. La composante connexe de l'identité, notée G0, est un
sous-groupe normal de G.
Proposition 3.14. Le groupe G0 est le groupe engendré par les éléments exp x, pour x ∈ A.
Démonstration. L'homotopie t 7→ exp tx montre que le groupe engendré par les exp x est contenu dans G0. Il reste à montrer que le groupe engendré par les exp x est ouvert. Soit donc
z = exp x1· · · exp xn et z0 proche de z. Il vient z0= z + (z0− z) = z(1 + z−1(z0− z)) = z(1 + x)
avec par exemple kxk ≤ 1. Posons alors y = P−1n
n xn. Il suit exp y = 1 + x.
Plongeons GLn(A)dans GLn+1(A)par
u 7→ u 0 0 1 . Les groupes GLn(A) forment ainsi un système inductif.
Dé nition 3.16. Soit D(GL∞(A)) le sous-groupe engendré par les commutateurs.
K1alg(A) : = GL∞(A)/D
GL∞(A)
et
K1(A) = K1top(A) : = Π0(GL∞(A)) = GL∞(A)/ GL∞(A)0.
Proposition 3.17. On a l'inclusion
D(GL∞(A)) ⊂ GL∞(A)0.
En particulier, on a un morphisme surjectif Kalg 1 → K
top 1 .
Ceci est une conséquence de l'identité ghg−1h−1 0 0 1 = g 0 0 g−1 h 0 0 h−1 g−1h−1 0 0 hg . (3.1)
Intéressons nous maintenant aux questions de fonctorialité. Soit ϕ: A → B un morphisme d'algèbres de Banach unitales. Alors ϕ se prolonge en un morphisme de Mn(A)dans Mn(B),
puis de M∞(A)dans M∞(B)et ce prolongement est compatible avec la relation d'équivalence
sur les idempotents. D'où un morphisme de V (A) dans V (B), puis de K0(A) dans K0(B)
par universalité. De même, ϕ se prolonge en un morphisme de GL∞(A) dans GL∞(B) pour
lequel la composante connexe de l'identité (resp. tout commutateur) s'envoie sur la composante connexe de l'identité (resp. sur un commutateur), et donc φ induit un morphisme ϕ∗: K∗(A) →
K∗(B) en degré 0 et 1. Si ψ est un second morphisme après ϕ, alors (ψ ◦ ϕ)∗ = ψ∗◦ ϕ∗. La
K-théorie est donc un foncteur covariant.
Supposons maintenant que A est une algèbre de Banach quelconque. Soit ˜A l'algèbre de Banach obtenue par adjonction d'une unité, ε: ˜A → C l'augmentation. Nous avons donc une suite exacte courte
0 → A −→ ˜A −→ C → 0 .
Cette suite est scindée par λ 7→ λ · 1. Rappelons que K0(C) = Z. Alors, ε∗: K0( ˜A) → Z. Un
idempotent e ∈ Mn( ˜A) s'écrit e = (λij · 1) + (xij) avec xij ∈ A, et ε(e) = (λij). Il est alors
facile de voir que,
ε∗: K0( ˜A) −→ Z
[e] 7−→ rang ε(e)
D'autre part, K1(C) est nul car GLn(C) est connexe. Comme nous voulons que la K-théorie
soit un foncteur exacte pour les suites exactes scindées, cela impose les dé nitions suivantes. Dé nition 3.18.
K0(A) = ker ε∗ et K1(A) = K1( ˜A) .
La K-théorie est un foncteur covariant, compatible avec l'adjonction d'une unité.
3.2 Propriétés fondamentales
Pour une algèbre de Banach B quelconque, soit B[0, 1] l'algèbre C [0, 1], B des fonctions continues de l'intervalle [0, 1] dans B. Pour t ∈ [0, 1], soit evt le morphisme de B[0, 1] dans B
Dé nition 3.19. Soient A, B deux algèbres de Banach et ϕ, ψ des morphismes de A dans B. Alors ϕ et ψ sont homotopes lorsqu'il existe un morphisme Φ: A → B[0, 1] tel que ϕ = ev0◦ Φ
et ψ = ev1◦ Φ.
Concrétement, en posant ϕt= evt◦ Φ, alors ϕ0 = ϕ, ϕ1= ψ et
(i) pour tout a ∈ A, ϕt(a) : [0, 1] → B est continue ,
(ii) il existe c ∈ R+, tel que pour tout a ∈ A, sup
tkϕt(a)k ≤ ckak.
Théorème 3.20. (invariance par homotopie)
Si ϕ et ψ sont deux morphimes homotopes, ils dé nissent les mêmes morphismes en K-théorie i.e. ϕ∗ = ψ∗.
Démonstration. Tout d'abord on peut supposer que les algèbres de Banach sont unitales. Pour le K0, c'est une reformulation du théorème 3.8. Pour le K1, remarquons que l'application
t 7→ ϕt(u) est continue, et donc son image est contenue dans une seule composante connexe
de GLn.
Théorème 3.21. (exactitude de la K-théorie) Considérons une suite exacte courte
0 - J
j
- A
π
- B - 0 ,
où A et B = A/J sont des algèbres de Banach et J = ker π. Alors il existe un unique morphisme de groupes δ compatible avec la fonctorialité et rendant exacte la suite
K1(J ) → K1(A) → K1(B) δ
−→ K0(J ) → K0(A) → K0(B) .
Dé nition 3.22. Le suspendu SA de l'algèbre de Banach A est l'algèbre de Banach SA = {f ∈ C(S1, A) ; f (1) = 0} = C0(R, A) .
Corollaire 3.23. Soit A une algèbre de Banach. Il existe un isomorphisme naturel θA: K1(A) → K0(SA) .
Posons CA = C0([1, ∞), A). Il su t de considérer la suite exacte courte
0 → SA → CA → A → 0
f 7→ f (1) ,
et de remarquer que αt(f )(x) = f (tx) est une homotopie entre CA Id
→ CA et le morphisme nul.
Démonstration. (théorème d'exactitude3.21) On peut supposer que A et B sont unitales car le théorème dans le cas général s'en déduit aisément ; et l'on a alors un diagramme commutatif
A π- B ˜ J j6 ε- C can 6
Commençons par l'exactitude en K1(A). Tout d'abord, π∗◦ j∗ = (π ◦ j)∗ = 0, donc im j∗ ⊂
ker π∗. Soient [u] ∈ ker π∗, et n tel que u ∈ GL(n, A). Alors [π(u)] = π∗[u] = 0, et si n est
Lemme 3.24. l'application exp est surjective au niveau de GLn(·)0.
En eet, si w = exp x1· · · exp xk avec xi = π(yi), alors w = π(exp y1· · · exp xk) par
continuité.
Donc il existe v ∈ GL(n, A)0tel que π(u) = π(v). Alors π(vu−1−1) = 0et donc par exactitude
vu−1 ∈ Mn( ˜J ). On montre de même que uv−1∈ Mn( ˜J ). Il suit [u] = [uv−1] ∈ im j∗.
Montrons maintenant l'exactitude en K0(A). De même que précédemment, im j∗⊂ ker π∗.
Soit x ∈ ker π∗ ⊂ K0(A).
Lemme 3.25. Tout élément de K0(A) s'écrit sous la forme [E] − [An].
Démonstration. Tout élément s'écrit sous la forme [E] − [E0], où [E0]est un module projectif
de type ni. Donc il existe [E00]tel que [E0] + [E00] = [An]. D'où,
[E ] + [An] = [E ] + [E0] + [E00] . Ce qui signi e précisément [E] − [E0] = [E ⊕ E00] − [An].
Écrivons donc x = [e] − [1n]. Par hypothèse, [π(e)] = [π(1n)] dans K0(B). Il existe donc
m tel que π(e) ∼ 1m dans M∞(B). Il existe donc un élément v ∈ GL∞(A) tel que u = π(v)
véri e uπ(e)u−1 = 1
m. Nous en déduisons que vev−1− 1m ∈ M∞(J ) par exactitude. Donc
vev−1 = vev−1−1m)+1m ∈ M∞( ˜J )et x = [vev−1]−[1m] ∈ K0( ˜J ). Soit ε: ˜J → C la projection
canonique. Comme vev−1− 1
m∈ M∞(J ), ε(vev−1− 1m) = 0, et ainsi x ∈ ker ε∗ = K0(J ).
Nous passons maintenant à la construction de δ. Soit [u] ∈ K1(B). Rappelons qu'il existe
w ∈ GL∞(A)0 tel que π(w) = u0 u−10
∈ GL2n(B)0. Soit pn = 10 0n0
∈ M2n(A). Alors
wpnw−1− pn∈ M2n(J ). En eet, π(wpnw−1− pn) = π(w)pnπ(w)−1− pn= 0car pnw = wpn.
Le même raisonnement que précédemment montre alors que [wpnw−1] − [pn] ∈ K0(J ).
Dé nition 3.26.
δ([u]) : = [wpnw−1] − [pn] ∈ K0(J )
Exercice 3.27. Montrer que δ est bien dé nie, i.e. ne dépend ni de w ni de n. Remarque 3.28. Lorsque la suite exacte est scindée, l'application δ est nulle.
Si u ∈ GLn(B)0, alors il existe v tel que u = π(v), et l'on peut alors prendre w = v0 v−10
. Comme w commute à pn, on a bien δ([u]) = 0. Ainsi δ est bien dé nie et δ([1]) = 0. Pour
montrer que δ est un morphisme de groupes, il reste à montrer que δ est mutliplicatif. Lemme 3.29. Dans K1(B), [uv] = [u] + [v] . En eet, [uv] = [(uv 0 0 1)] = [(u 00 v)][ v0 v−10 ]et v 0 0 v−1 ∈ GLn(B)0.
Soient u, v ∈ GLn(B) et w, z, x tels que,
π(w) = u0 u−10 , π(z) = v0 v−10 et π(x) = " (u 00 v) 0 0 u−1 0 0 v−1 # . Or π(x) est obtenu à partir π (w 0
0 z) par des opérations élémentaires, ce qui entraîne
[xp2nx−1] − [p2n] = [(w 00 z)]p2n h w−1 0 0 z−1 i − [p2n] ∈ K0( ˜J ) .
Il nous reste à montrer l'exactitude en K1(B)et en K0(J ). Commençons par K1(B). Tout
d'abord on voit facilement que δ ◦ π∗ = 0. En eet, si v ∈ GLn(A), on pose w = v0 v−10
et alors wpn= pnw, ce qui implique δ◦π∗ = 0. Soit maintenant [u] ∈ K1(B)tel que δ([u]) = 0, et
montrons qu'il existe v tel que [u] = π∗[v]. Comme [wpnw−1] = [pn] ∈ K0( ˜J ), on peut supposer
que les idempotents wpnw−1 et pn sont conjugués dans Mn( ˜J ), i.e. wpnw−1 = vpnv−1 (quitte
à choisir n plus grand). Nous en déduisons que v−1wcommute à p
net par conséquent v−1west
de la forme (∗ 0
0 ∗). De plus, ε(vpnv−1) = ε(wpnw−1) = ε(pn) = pn. Donc ε(v) commute à pn.
Il existe donc des inversibles u1, u2 ∈ GLn(A) tels que ε(v)v−1w = u0 u1 02
. En outre, grace au diagramme commutatif (3.2), π(ε(v)v−1w) = π(w) = u 0
0 u−1
. Par conséquent, π(u1) = u
et donc [u] = π∗([u1]) ∈ im π∗.
Montrons l'exactitude en K0(J ). Tout d'abord j∗ ◦ δ = 0 par construction. Soit donc
x ∈ ker j∗. Écrivons x = [e] − [pn], où e est un idempotent de M2n( ˜J ) et ε(e) = pn. Si n est
assez grand, on peut supposer que e et pn sont conjugués par un élément w ∈ GL2n(A)0 dont
l'image par π est non-triviale. De plus, comme π(e) = pn d'après le diagramme commutatif
(3.2), pnπ(w) =
π(e) 0 0 0
π(w) = π(w)pn. Par suite, π(w) = (u 00 v) est une matrice diagonale,
et est dans la composante connexe de l'identité. A rmation. δ([u]) = x.
Comme les matrices (u 0 0 v) et
u 0 0 u−1
sont dans la composantes connexes de l'identité de GL∞(B), nous avons dans GL∞,
uv 0 0 1n =
u 0
0 u−1 (v 00 u) ∼ 12n.
Soit donc a dans la composante connexe de l'identité de GL2n(A) tel que π(a) = (uv 00 1) ∈
M2n(A). Posons w0 = w 00 1n
1n 0
0 a−1 ∈ M3n(A). Alors, d'une part π(w
0) = diag(u, u−1, 1 n) et d'autre part w0pnw0−1 = (w 00 1) (1 00 a) pn 10 a−10 w0−1 0 0 1 = wpnw−1 0 0 0 car pn et (1 00 a) commutent. Finalement, δ([u]) = [w0p nw0−1] − [pn] = [wpnw−1] − [pn] = xet donc x ∈ im δ.
Théorème 3.30. (périodicité de Bott)
Soit A un algbre de Banach. Soit e ∈ Mn(A) un idempotent. Alors
ue: z = eit7→ 1 − e + ze = exp ite
détermine un élément ue∈ GL(n, fSA). Alors l'application
βA: K0(A) −→ K1 SA
e 7−→ [ue] .
est bien dé nie, et est un isomorphisme.
La démonstration facile du corollaire suivant est laissée au lecteur. Corollaire 3.31. (du théorème3.30)
(suite hexagonale en K-théorie) Soit
une suite exacte courte d'algèbres de Banach. Soit δ0 = β
∗ ◦ δ ◦ θ∗. Alors la suite hexagonale
suivante est exacte,
K0(J ) - K0(A) - K0(B) K1(B) δ 6 K1(A) K1(J ) . δ0 ?
De plus, les morphismes δ et δ0 sont naturels au sens suivant. Si le diagramme suivant est
commutatif, 0 - J - A - B - 0 0 - J0 ? - A0 ? - B0 ? - 0
alors les diagrammes
K0(B) δ0 - K1(J ) K1(B) δ - K0(J ) et K0(B0) ? δ0 - K1(J0) ? K1(B0) ? δ - K0(J0) ?
sont également commutatifs.
Pour montrer ce théorème, nous rappelons en l'admettant un théorème de théorie spectrale. Théorème 3.32. [Bourbaki, théorie spectrale, chapitre 1] (calcul fonctionnel holomorphe) Soit A une algèbre de Banach unitale. Soit x ∈ A. Soit encore une fonction de la variable complexe f, holomorphe au voisinage de Sp x. Alors il existe un unique élément f(x) ∈ A véri ant les propriétés suivantes.
(i) L'application f 7→ f(x) est un morphisme d'algèbres unitales ; (ii) l'élément f(x) ne dépend que du germe de f sur Sp x.
De plus, nous avons Sp f(x) = f Sp x et si f est holomorphe sur un disque U contenant Sp x, alors f (x) = 1 2πi Z ∂U f (z) z − xdz .
Démonstration. L'application u 7→ ue se prolonge à M∞(A) à valeurs dans GL∞( fSA),
sim-plement car u0 = 1. En outre, pour tout u ∈ GL∞( fSA)0, uueu−1 = uueu−1. Par conséquent,
l'application βAest bien dé nie. Pour montrer qu'il s'agit d'un morphisme de groupes, écrivons
βA([e] + [e0]) = βA e 0 0 e0 = u e 0 0 ue0 ∼ ueue00 0 1 .
Pour continuer dé nissons les espaces topologiques suivants, l'un contenant les suivants. GL∞( fSA) = n f : S1 → GL∞( eA) ; f continue, f(1) ∈ GL∞(C) o ; L∞(A) = n f : S1 → GL∞( ˜A) ; f continue , f(1) = 1 o ; LLaurent ∞ (A) = n f : S1 → GL ∞( ˜A) ; f (z) =P|k|≤Nakzk, ∃n, ak= Mn( ˜A) , f (1) = 1 o ; Lpol∞(A) = n f : S1 → GL∞( ˜A) ; f (z) =P0≤k≤Nakzk, ∃n, ak= Mn( ˜A), f (1) = 1 o ; Llin ∞(A) = n f : S1 → GL ∞( ˜A) ; f (z) = (1 − a) + az, ∃n, a = Mn( ˜A) o ; Lidem∞ (A) = n f : S1 → GL∞( ˜A) ; f (z) = (1 − e) + ez, ∃n, e = Idem Mn( ˜A) o . Commençons par noter que
K1(SA) = π0 GL∞( fSA) = π0 L∞(A) ,
car GLn(C) est connexe. En outre, tout élément de L∞(A) peut être approché par une suite
d'éléments de LLaurent
∞ (A). Or, deux éléments proches sont dans la même composante connexe.
Par conséquent,
π0 L∞(A) = π0 LLaurent∞ (A) .
Maintenant, montrons que
π0 Lpol∞(A) = π0 Llin∞(A) .
Soient f = P aizi ∈ π0 Lpol∞(A) un lacet polynomial et A(z) la matrice
A(z) = a0 a1 · · · am −z 1 ... ... −z 1 ,
où ai ∈ Mn(A). Notons que A(1)−1A ∈ Llin∞(A) Par opérations élémentaires sur les lignes et
les colonnes de la matrice A(z) on obtient la matrice
B(z) = a0+ a1z + · · · amzm 1 ... 1 ,
Donc, il existe des matrices P et Q dans Lpol
∞(A)telles que B = P AQ. Soit Ptet Qtdes chemins
reliant ces matrices à l'identité et A0
t= ((PtAQt)(1))−1PtAQt. Alors A0test un chemin contenu
dans Lpol
∞(A)tel que A00 = A(1)−1A et A01 = B.
Montrons maintenant que
π0 Llin∞(A) = π0 Lidem∞ (A) .
Lemme 3.33. (cf. exercice1.32) Soit a ∈ Mn(A). Les assertions suivantes sont équivalentes.
(i) Pour tout z ∈ S1, 1 − a + za est inversible ;
![Travail de fin d'études[BR]- Travail de fin d'études: "Propositions visant une meilleure identification des forces et facteurs de réceptivité au sein de l'outil d'évaluation YLS/CMI- YCA."[BR]- Séminaire d'accompagnement à l'écriture](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)