HAL Id: tel-01679640
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Sur une anomalie du développement perturbatif de la
théorie de Chern-Simons
Kévin Corbineau
To cite this version:
Kévin Corbineau. Sur une anomalie du développement perturbatif de la théorie de Chern-Simons. Topologie générale [math.GN]. Université Grenoble Alpes, 2016. Français. �NNT : 2016GREAM038�. �tel-01679640�
THÈSE
Pour obtenir le grade deDOCTEUR DE la Communauté UNIVERSITÉ
GRENOBLE ALPES
Spécialité :Topologie Arrêté ministériel : 7 Août 2006
Présentée par
Kévin Corbineau
Thèse dirigée parChristine Lescop
préparée au sein de l’Insitut Fourier
et deMSTII
Sur une anomalie du
développe-ment perturbatif de la théorie de
Chern-Simons
Thèse soutenue publiquement le21 Septembre 2016,
devant le jury composé de :
Mr Gwénaël Massuyeau
Chargé de Recherche, Université de Strasbourg et CNRS, Président
Mr Pierre Vogel
Professeur émérite, Université Paris Diderot , Rapporteur
Mr Thomas Fiedler
Professeur, Institut de Mathématiques de Toulouse, Rapporteur
Mr Louis Funar
Professeur, Institut Fourier, Examinateur
Mr Jean-Baptiste Meilhan
Maître de Conférence, Institut Fourier, Examinateur
Mme Christine Lescop
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▼❛①✐♠ ❑♦♥)*❡✈✐❝❤ ❛ ❞0✜♥✐ ✉♥ ✐♥✈❛3✐❛♥) Z ❞❡* *♣❤53❡* ❞✬❤♦♠♦❧♦❣✐❡ 3❛)✐♦♥♥❡❧❧❡ ♦3✐❡♥)0❡* ❞❡ ❞✐♠❡♥*✐♦♥ 3 ❞❛♥* ❬❑♦♥✾✹❪✱ ❡♥ ♣♦✉3*✉✐✈❛♥) ❧✬0)✉❞❡ ✐♥✐)✐0❡ ♣❛3 ❊❞✇❛3❞ ❲✐))❡♥ ❬❲✐)✽✾❪ ❞✉ ❞0✈❡❧♦♣♣❡♠❡♥) ♣❡3)✉3❜❛)✐❢ ❞❡ ❧❛ )❤0♦3✐❡ ❞❡ ❈❤❡3♥✲❙✐♠♦♥*✳ ●3❡❣ ❑✉♣❡3❜❡3❣ ❡) ❉②❧❛♥ ❚❤✉3*)♦♥ ♦♥) ♠♦♥)30 ❡♥ ✶✾✾✾ M✉❡ )♦✉* ❧❡* ✐♥✈❛3✐❛♥)* ❞❡ )②♣❡ ✜♥✐ ❞❡* *♣❤53❡* ❞✬❤♦♠♦❧♦❣✐❡ ❡♥)✐53❡ *❡ ❢❛❝)♦3✐*❡♥) ♣❛3 Z ❞❛♥* ❬❑❚✾✾❪✳ ❈❡ 30*✉❧)❛) ❛ 0)0 ❣0♥03❛❧✐*0 ❛✉① *♣❤53❡* ❞✬❤♦♠♦❧♦❣✐❡ 3❛)✐♦♥♥❡❧❧❡ ❛✈❡❝ ❧❛ )❤0♦3✐❡ ❞✬✐♥✈❛3✐❛♥)* ❞❡ )②♣❡ ✜♥✐ ❞0✈❡❧♦♣♣0❡ ♣❛3 ❉❡❧♣❤✐♥❡ ▼♦✉**❛3❞ ❬▼♦✉✶✷❪✳ ▲✬✐♥✈❛3✐❛♥) Z ❞❡ ❑♦♥)*❡✈✐❝❤ ❡*) ❣3❛❞✉0✳ ■❧ *✬0❝3✐) Z = (Zn)n∈N✱ ♦Q Zn ♣3❡♥❞ *❡* ✈❛❧❡✉3* ❞❛♥* ✉♥ ❡*♣❛❝❡ An ❡♥❣❡♥❞30 ♣❛3 ❞❡* ❞✐❛❣3❛♠♠❡* )3✐✈❛❧❡♥)* ❛♣♣❡❧0* ❞✐❛❣$❛♠♠❡' ❞❡ ❋❡②♥♠❛♥✲❏❛❝♦❜✐✱ ✐♥)3♦❞✉✐) ♣❛3 ❉3♦3 ❇❛3✲◆❛)❛♥ ❞❛♥* ❬❇◆✾✺❛❪ ❡) 0)✉❞✐0 ❡♥ ♣3♦❢♦♥❞❡✉3 ♣❛3 T✐❡33❡ ❱♦❣❡❧ ❞❛♥* ❬❱♦❣✶✶❪✳ ▲✬✐♥✈❛3✐❛♥) Z ❛♣♣❛3❛✐) ❞✬❛❜♦3❞ ❝♦♠♠❡ ✉♥ ✐♥✈❛3✐❛♥) Z(M, τ) ❞❡* *♣❤53❡* ❞✬❤♦♠♦❧♦❣✐❡ 3❛)✐♦♥♥❡❧❧❡ M ❞❡ ❞✐♠❡♥*✐♦♥ 3 ♠✉♥✐❡* ❞✬✉♥❡ ♣❛3❛❧❧0❧✐*❛)✐♦♥ τ✳ ■❧ ❡*) ❧✬❡①♣♦♥❡♥)✐❡❧❧❡ ❞✬✉♥ ✐♥✈❛3✐❛♥) z(M, τ) = (zn(M, τ ))n∈N❞♦♥) ❧❛ ♣❛3)✐❡ ❞❡ ❞❡❣30 n ❝♦♠♣)❡ ❛❧❣0❜3✐M✉❡♠❡♥) ❧❡* ♣❧♦♥❣❡♠❡♥)* ❞❡* ❞✐❛❣3❛♠♠❡* ❞❡ ❋❡②♥♠❛♥✲❏❛❝♦❜✐ ❝♦♥♥❡①❡* X 2n *♦♠♠❡)* ❛**✉❥❡))✐* X ✈03✐✜❡3 ❝❡3)❛✐♥❡* ❝♦♥❞✐)✐♦♥* ❡♥ ✉♥ *❡♥* ❞0✜♥✐ ♣30❝✐*0♠❡♥) ❞❛♥* ❬▲❡*✶✸❪ ❡) ❬▲❡*✵✹❛❪✳ ❖♥ ♣❡✉) ❛**♦❝✐❡3 ✉♥ ✐♥✈❛3✐❛♥) ❤♦♠♦)♦♣✐M✉❡ ❡♥)✐❡3✻ p1(τ )✱ ❞#✜♥✐ ❝♦♠♠❡ ✉♥❡ ❝❧❛..❡ ❞❡ /♦♥01❥❛❣✐♥ 1❡❧❛0✐✈❡✱ ❛✉① ♣❛1❛❧❧#❧✐.❛0✐♦♥. τ ❞❡. ✈❛1✐#0#. ♦1✐❡♥0#❡. ❞❡ ❞✐♠❡♥.✐♦♥ 3✱ ❡0 ✐❧ ❡①✐.0❡ ✉♥ #❧#♠❡♥0 β = (βn)n∈N ❞❡ An ❛♣♣❡❧# ❛♥♦♠❛❧✐❡ 0❡❧ 7✉❡ zn(M, τ )− p1(τ ) 4 βn .♦✐0 ✐♥❞#♣❡♥❞❛♥0 ❞❡ τ ❡0 ♥♦0# zn(M )✳ Z(M ) = exp ((zn(M ))n∈N) . ❖♥ .❛✐0 ❞❡♣✉✐. ❧✬✐♥01♦❞✉❝0✐♦♥ ❞❡ ❧❛ ❝♦♥.0❛♥0❡ β ♣❛1 ●1❡❣ ❑✉♣❡1❜❡1❣ ❡0 ❉②❧❛♥ ❚❤✉1.0♦♥ ❡♥ ✶✾✾✾ 7✉❡ βn = 0 .✐ n ❡.0 ♣❛✐1 ❡0 7✉❡ β1 6= 0✳ ▼❛✐. ♦♥ ♥❡ ❝♦♥♥❛✐0 ♣❛. βn ♣♦✉1 ❧❡. ❡♥0✐❡1. n ✐♠♣❛✐1. ♣❧✉. ❣1❛♥❞. 7✉❡ 2✳ ❈❡00❡ 0❤F.❡ ♣♦10❡ .✉1 ❧❡ ❝❛❧❝✉❧ ❞❡ ❧❛ ♣1❡♠✐F1❡ ✈❛❧❡✉1 ✐♥❝♦♥♥✉❡ β3✳ ❊❧❧❡ ❡♥ ♣1#.❡♥0❡ ❞❡. ❡①♣1❡..✐♦♥. 01F. .✐♠♣❧✐✜#❡. ❡0 ✐♠♣❧#♠❡♥0❛❜❧❡. .✉1 ♦1❞✐♥❛0❡✉1✳ ▲❛ 0❤#♦1✐❡ ❞❡. ✐♥✈❛1✐❛♥0. ❞❡. ✈❛1✐#0#. ❞❡ ❞✐♠❡♥.✐♦♥ 3 7✉✐ ✏❝♦♠♣0❡♥0✑ ❞❡. ♣❧♦♥❣❡♠❡♥0. ❞❡ ❣1❛♣❤❡. 01✐✈❛❧❡♥0. ❞❛♥. ❧❡. .♣❤F1❡. ❞✬❤♦♠♦❧♦❣✐❡ 1❛0✐♦♥♥❡❧❧❡ ❡.0 ♣❛1❛❧❧F❧❡ K ✉♥❡ 0❤#♦1✐❡ .✐♠✐❧❛✐1❡ ♣1#❝#❞❡♠♠❡♥0 ❞#✈❡❧♦♣♣#❡ ♣♦✉1 ❧❡. ♥♦❡✉❞. ❞❡ R3 ♣❛1 ❜❡❛✉❝♦✉♣ ❞✬❛✉0❡✉1. ♣❛1♠✐ ❧❡.7✉❡❧. ●✉❛✲ ❞❛❣♥✐♥✐✱ ▼❛10❡❧❧✐♥✐ ❛♥❞ ▼✐♥0❝❤❡✈ ❬●▼▼✾✵❪✱ ❇❛1✲◆❛0❛♥ ❬❇◆✾✺❜❪✱ ❑♦♥0.❡✈✐❝❤ ❬❑♦♥✾✹❪✱ ❇♦00 ❡0 ❚❛✉❜❡. ❬❇❚✾✹❪✱ ❆❧0.❝❤U❧❡1 ❛♥❞ ❋1❡✐❞❡❧ ❬❆❋✾✼❪ ❛✉..✐ ✐♥.♣✐1#. ♣❛1 ❧❡. 01❛✈❛✉① ❞❡ ❲✐00❡♥ .✉1 ❧❡ ❞#✈❡❧♦♣♣❡♠❡♥0 ♣❡10✉1❜❛0✐❢ ❞❡ ❧❛ 0❤#♦1✐❡ ❞❡ ❈❤❡1♥✲❙✐♠♦♥.✳ ❈♦♠♠❡ ❉②❧❛♥ ❚❤✉1.0♦♥ ❬❚❤✉✾✾❪ ❡0 ❙②❧✈❛✐♥ /♦✐1✐❡1 ❬/♦✐✵✷❪ ❧✬♦♥0 ❡①♣❧✐7✉# ✐♥❞#♣❡♥❞❛♠♠❡♥0✱ ♦♥ ♣❡✉0 ♣❡♥.❡1 K ❧❛ ♣❛10✐❡ Zc n ❞❡ ❞❡❣1# n ❞❡ ❧✬✐♥✈❛1✐❛♥0 ❞❡ ❱❛..✐❧✐❡✈ ✉♥✐✈❡1.❡❧ Zc= (Znc)n∈N 7✉✐ 1#.✉❧0❡ ❞❡. 01❛✈❛✉① ❞❡ ❝❡. ❛✉0❡✉1. ❝♦♠♠❡ K ✉♥ ♥♦♠❜1❡ ❛❧❣#❜1✐7✉❡ ❞❡ ♣❧♦♥❣❡♠❡♥0. ❞❡ ❣1❛♣❤❡. ✉♥✐✲01✐✈❛❧❡♥0. K 2n .♦♠♠❡0. ❞❛♥. R3 ❞♦♥0 ❧❡. .♦♠♠❡0. ✉♥✐✈❛❧❡♥0. .♦♥0 ❛..✉❥❡00✐. K ❛♣♣❛10❡♥✐1 K ❧✬✐♠❛❣❡ ❞✉ ♥♦❡✉❞ ❡0 ❧✬❡♥.❡♠❜❧❡ ❞❡. ❞✐1❡❝0✐♦♥. ❞❡. ❛1]0❡. ♣❧♦♥❣#❡. ❝♦♠♠❡ ❞❡. .❡❣♠❡♥0. ❧✐♥#❛✐1❡. ❞♦✐0 .✬✐♥❥❡❝0❡1 ❞❛♥. ✉♥ ❡♥.❡♠❜❧❡ ❣#♥#1✐7✉❡ ✜①# ❞❡ 3n ❞✐1❡❝0✐♦♥.✳ ▲K ❛✉..✐✱ ❧✬✐♥✈❛1✐❛♥0 Zc❛♣♣❛1❛✐0 ❞✬❛❜♦1❞ ❝♦♠♠❡ ✉♥ ✐♥✈❛1✐❛♥0 ❞❡ ♥♦❡✉❞. ♣❛1❛❧❧#❧✐.#.✱ ❡0 ♦♥ .✬❛✛1❛♥❝❤✐0 ❞❡ ❧❛ ♣❛1❛❧❧#❧✐.❛0✐♦♥ ❝♦♠♠❡ ♣1#❝#❞❡♠♠❡♥0 K ❧✬❛✐❞❡ ❞❡ ❧✬❛✉0♦✲❡♥❧❛❝❡♠❡♥0 ❛..♦❝✐# K ✉♥❡ ♣❛1❛❧❧#❧✐.❛0✐♦♥ ❞❡ ♥♦❡✉❞.✱ 7✉✐ ❛ ❧❡ ♠]♠❡ 1_❧❡ 7✉❡ p1(τ )❡0 ❞✬✉♥❡ ❝♦♥.0❛♥0❡ α = (αn)n∈N ❛♣♣❡❧#❡ ❛♥♦♠❛❧✐❡ ❞❡ ❇♦)) ❡) ❚❛✉❜❡-✳ ❈❡00❡ ❛♥♦♠❛❧✐❡ ❡.0 ❛✉..✐ ♥✉❧❧❡ ❡♥ ❞❡❣1# ♣❛✐1 ❡0 ♥♦♥ ♥✉❧❧❡ ❡♥ ❞❡❣1# 1✳ ❙②❧✈❛✐♥ /♦✐1✐❡1 ❛ ♠♦♥01# 7✉✬❡❧❧❡ .✬❛♥♥✉❧❛✐0 ❡♥ ❞❡❣1# 3 ❡0 5✱ ❝♦♥❢♦10❛♥0 ❛✐♥.✐ ❧❡. ♣❤②.✐❝✐❡♥. ❞❛♥. ❧❡✉1 ❝♦♥❥❡❝0✉1❡ 0♦✉❥♦✉1. ♦✉✈❡10❡ ❞❡♣✉✐. ♣❧✉. ❞❡ ✈✐♥❣0 ❛♥. 7✉✐ .0✐♣✉❧❡ 7✉❡ ❝❡00❡ ❛♥♦♠❛❧✐❡ α .✬❛♥♥✉❧❡ ❡♥ ❞❡❣1# ✐♠♣❛✐1 ❞✐✛#1❡♥0 ❞❡ 1✳ ▲✬✐♥0#❣1❛❧❡ ❞❡ ❑♦♥0.❡✈✐❝❤ ❞❡. ♥♦❡✉❞. ❡0 ❝❡0 ❛✉01❡ ✐♥✈❛1✐❛♥0 Zc = (Zc n)n∈N 7✉❡ ❧✬♦♥ ♣❡✉0 ❛✉..✐ ❛001✐❜✉❡1 K ❑♦♥0.❡✈✐❝❤ .✬♦❜0✐❡♥♥❡♥0 ❧✬✉♥ K ♣❛10✐1 ❞❡ ❧✬❛✉01❡ ♣❛1 ✉♥ ✐.♦♠♦1♣❤✐.♠❡ ❞❡ ❧✬❛❧❣F❜1❡ ❞❡ ❞✐❛❣1❛♠♠❡. ❞❡ ❋❡②♥♠❛♥✲❏❛❝♦❜✐ ❞❛♥. ❧❛7✉❡❧❧❡ ✐❧. ♣1❡♥♥❡♥0 ❧❡✉1. ✈❛❧❡✉1.✳ ❈❡0 ✐.♦♠♦1♣❤✐.♠❡ ❡.0 ❡①♣❧✐❝✐0❡♠❡♥0 ❞#❝1✐0 ❡♥ ❢♦♥❝0✐♦♥ ❞❡ ❧✬❛♥♦♠❛❧✐❡ α ♣❛1 ❈❤1✐.0✐♥❡ ▲❡.❝♦♣ ❞❛♥. ❬▲❡.✵✷❪✳ ■❧ ❡.0 ❧✬✐❞❡♥0✐0# .✐ ❡0 .❡✉❧❡♠❡♥0 .✐ ❧✬❛♥♦♠❛❧✐❡ .✬❛♥♥✉❧❡ ❡♥ ❞❡❣1# ✐♠♣❛✐1 ❞✐✛#1❡♥0 ❞❡ 1✳ ▲✬❛♥♥✉❧❛0✐♦♥ ❞❡ β3 .✐♠♣❧✐✜❡1❛✐0 ♥♦0❛❜❧❡♠❡♥0 ❧❛ ❞#✜♥✐0✐♦♥ ❞❡ z3(M ) ❝♦♠♠❡ ❝♦♠♣0❡ ❛❧❣#✲ ❜1✐7✉❡ ❞❡ ❣1❛♣❤❡. K 6 .♦♠♠❡0. ❞❛♥. M✳ ❙✐ β3 #0❛✐0 ♥♦♥ ♥✉❧❧❡✱ ✐❧ .❡1❛✐0 ✐♥0#1❡..❛♥0 ❞❡ ❝♦♠✲ ♣1❡♥❞1❡ ❧❛ ❞✐✛#1❡♥❝❡ ✐♥❛00❡♥❞✉❡ ❡♥01❡ ❧❡. 0❤#♦1✐❡. ❛✛#1❡♥0❡. ❛✉① ♥♦❡✉❞. ❡0 ❛✉① ✈❛1✐#0#. ❛✐♥.✐ ❡①❤✐❜#❡✳ ▲❡ ❜✉0 ✐♥✐0✐❛❧ ❞❡ ❝❡00❡ 0❤F.❡ #0❛✐0 ❞❡ ❞#0❡1♠✐♥❡1 β3✳ ◆♦✉. ❛✈♦♥. 1#✉..✐ K ❡♥ .✐♠♣❧✐✜❡1 ❝♦♥.✐❞#1❛❜❧❡♠❡♥0 ❧❡ ❝❛❧❝✉❧ ❡0 ♥♦✉. ❡♥ ♣1#.❡♥0♦♥. ✉♥ ❛❧❣♦1✐0❤♠❡ ❝♦♠♣❧❡0 ✐♠♣❧#♠❡♥0❛❜❧❡✳
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✽ ❈❡ ❧❡♠♠❡ %❡&❛ ❞)♠♦♥,&) ❞❛♥% ❧❡ ♣❛&❛❣&❛♣❤❡ ✸✳✶✳
▲❡♠♠❡ ✷✳✸ ❉❛♥# ❧✬❡#♣❛❝❡ ✈❡❝*♦,✐❡❧ A3✱ ♦♥ ❛ ❧❡# ,❡❧❛*✐♦♥# #✉✐✈❛♥*❡# ✿ [Γ1B] = 2[ΓT] [Γ2B] = 4[ΓT] [Γ3B] = 4[ΓT] [ΓL] = 0 [ΓC] = 0 ❡* ❧❛ ❝❧❛##❡ ❞✬✉♥ ❣,❛♣❤❡ 4✉✐ ❝♦♥*✐❡♥* ✉♥❡ ❜♦✉❝❧❡ ✐♥*❡,♥❡ ❡#* ♥✉❧❧❡✳ ▲❡# ❣,❛♣❤❡# #♦♥* ♠✉♥✐# ❞❡ ❧✬♦,✐❡♥*❛*✐♦♥ ✐♥❞✉✐*❡ ♣❛, ❧✬♦,❞,❡ *,✐❣♦♥♦♠9*,✐4✉❡ #✉, ❧❡# ❞❡##✐♥#✳ ❈❡ #♦♥* ❧❡# #❡✉❧❡# ,❡❧❛*✐♦♥# ❡①✐#*❛♥*❡#✱ ❝❡ 4✉✐ ❢❛✐* 4✉❡ ❧✬❡#♣❛❝❡ A3 ❡#* ❞❡ ❞✐♠❡♥#✐♦♥ 1✱ ❡♥❣❡♥❞,9✱ ♣❛, ❡①❡♠♣❧❡✱ ♣❛, ❧❛ ❝❧❛##❡ ❞❡ ΓT✱ #♦✐* ✿ A3 = Q[ΓT]. ❈❡ ❧❡♠♠❡ %❡&❛ ❞)♠♦♥,&) ❞❛♥% ❧❛ %❡❝,✐♦♥ ✸✳✷✳
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❯♥❡ ✈❛,✐9*9 M *♦♣♦❧♦❣✐4✉❡ ❞❡ ❞✐♠❡♥#✐♦♥ n #❛♥# ❜♦,❞ ❡%, ✉♥ ❡%♣❛❝❡ ,♦♣♦❧♦❣✐8✉❡ %)♣❛&)✱ 8✉✐ ❡%, ✉♥❡ ✉♥✐♦♥ ❞❡ %♦✉%✲❡♥%❡♠❜❧❡% ♦✉✈❡&,% Ui ✐♥❞❡①)% ♣❛& ✉♥ ❡♥%❡♠❜❧❡ I✱ ♦> ❝❤❛8✉❡ Ui ❡%, ✐❞❡♥,✐✜)@ ✉♥ ♦✉✈❡&, Vi ❞❡ Rn ♣❛& ✉♥ ❤♦♠)♦♠♦&♣❤✐%♠❡ φi : Ui → Vi ❛♣♣❡❧) ❝❛,*❡✳ ▲❡% ✈❛&✐),)% %♦♥,
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❉❡✉① +♦✉+✲✈❛"✐'&'+ A ❡& B ❞✬✉♥❡ ✈❛"✐'&' M +♦♥& ❞✐&❡+ &"❛♥+✈❡"+❡+ +✐ ❡♥ ❝❤❛=✉❡ ♣♦✐♥& ❞✬✐♥✲ &❡"+❡❝&✐♦♥ x✱ TxM = TxA + TxB✳ ▲✬✐♥&❡"+❡❝&✐♦♥ &"❛♥+✈❡"+❡ ❞❡ ❞❡✉① +♦✉+✲✈❛"✐'&'+ A ❡& B ❞✬✉♥❡
✈❛"✐'&' M ❡♥ ✉♥ ♣♦✐♥& x ❡+& ♦"✐❡♥&'❡ ❞❡ &❡❧❧❡ ♠❛♥✐>"❡ =✉❡ ❧❡ ✜❜"' ♦"&❤♦❣♦♥❛❧ ❞❡ A ∩ B ❡♥ x ❡+& ((TxA)⊥ ⊕ (TxB)⊥)✳ ❙✐ ❞❡✉① +♦✉+✲✈❛"✐'&'+ ♦♥& ❞❡+ ❞✐♠❡♥+✐♦♥+ ❝♦♠♣❧'♠❡♥&❛✐"❡+✱ ❧❡ +✐❣♥❡ ❞✬✉♥
♣♦✐♥& ❞✬✐♥&❡"+❡❝&✐♦♥ ❡+& +1 +✐ ❧✬♦"✐❡♥&❛&✐♦♥ ❞❡ +♦♥ ✜❜"' ♥♦"♠❛❧ ❝♦B♥❝✐❞❡ ❛✈❡❝ ❧✬♦"✐❡♥&❛&✐♦♥ ❞❡ ❧✬❡+♣❛❝❡ ❛♠❜✐❛♥&✱ ❝✬❡+& C ❞✐"❡ +✐ TxM = (TxA)⊥⊕ (TxB)⊥ ✭❝♦♠♠❡ ❡+♣❛❝❡+ ✈❡❝&♦"✐❡❧+ ♦"✐❡♥&'+✮✳
❙✐♥♦♥✱ +♦♥ +✐❣♥❡ ❡+& −1✳ ❙✐ A ❡& B +♦♥& ❝♦♠♣❛❝&❡+ ❡& ♦♥& ❞❡+ ❞✐♠❡♥+✐♦♥+ ❝♦♠♣❧'♠❡♥&❛✐"❡+✱ ❛❧♦"+ ❧❡✉" ✐♥"❡$%❡❝"✐♦♥ ❛❧❣+❜$✐-✉❡✱ ♥♦&'❡ hA, Bi✱ ❡+& ❧❛ +♦♠♠❡ ❞❡ &♦✉+ ❧❡+ +✐❣♥❡+ ❞❡+ ♣♦✐♥&+ ❞✬✐♥&❡"+❡❝&✐♦♥+✳ ❖♥ ✈'"✐✜❡ ❢❛❝✐❧❡♠❡♥& ❧❡ ❧❡♠♠❡ +✉✐✈❛♥&✳
▲❡♠♠❡ ✷✳✹ ❙♦✐❡♥" A ❡" B ❞❡✉① %♦✉%✲✈❛$✐+"+% ❞❡ M ❞❡ ❞✐♠❡♥%✐♦♥% ❝♦♠♣❧+♠❡♥"❛✐$❡% ❡" "$❛♥%✲ ✈❡$%❡%✳ ▲❡ %✐❣♥❡ ❞✬✉♥ ♣♦✐♥" ❞✬✐♥"❡$%❡❝"✐♦♥ x ❡%" +1 %✐ ❡" %❡✉❧❡♠❡♥" %✐ TxM = TxA⊕TxB✭❝♦♠♠❡ ❡%♣❛❝❡% ✈❡❝"♦$✐❡❧% ♦$✐❡♥"+%✮✳ !❡✉✈❡✿ ❖♥ +❛✐& =✉❡ TxM = (TxA)⊥⊕ TxA TxM = (TxB)⊥⊕ TxB ❡& ♣❛" ❤②♣♦&❤>+❡✱ ♦♥ ❛ TxM = (TxA)⊥⊕ (TxB)⊥
❝❛" ❧❡+ ❞❡✉① ✈❛"✐'&'+ +♦♥& &"❛♥+✈❡"+❡+ ❡& ❞❡ ❞✐♠❡♥+✐♦♥+ ❝♦♠♣❧'♠❡♥&❛✐"❡+✳ ❖♥ ♥♦&❡ p = dim(A) ❡& q = dim(B)✳ ❖♥ ❝❤♦✐+✐& ✉♥❡ ❜❛+❡ (e1, . . . , ep)❞❡ TxA=✉❡ ❧✬♦♥ ❝♦♠♣❧>&❡ ♣❛" ✉♥❡ ❜❛+❡ (b1, . . . , bq)
❞❡ (TxA)⊥✱ ❡& ✉♥❡ ❜❛+❡ (e′1, . . . , e′q)❞❡ TxB=✉❡ ❧✬♦♥ ❝♦♠♣❧>&❡ ♣❛" ✉♥❡ ❜❛+❡ (b′1, . . . , b′p)❞❡ (TxB)⊥✳
❖♥ ✈❡✉& ♠♦♥&"❡" =✉❡ (e1, . . . , ep, e′1, . . . , e′q)❡+& ❞✉ ♠H♠❡ +✐❣♥❡ =✉❡ ❧❛ ❜❛+❡ (b1, . . . , bq, b′1, . . . , b′p)✳
▲❛ ♠❛&"✐❝❡ ❞❡ ❝❤❛♥❣❡♠❡♥& ❞❡ ❜❛+❡ ❞❡ (b1, . . . , bq, e1, . . . , ep) C (e′1, . . . , e′q, e1, . . . , ep) ❡+& ❞❡ ❧❛
❢♦"♠❡ M1 × 0 1 ✳✳✳ 1
❉✬❛✉&"❡ ♣❛"&✱ ❧❛ ♠❛&"✐❝❡ ❞❡ ❝❤❛♥❣❡♠❡♥& ❞❡ ❜❛+❡ ❞❡ (b′
1, . . . , b′p, e′1, . . . , e′q)C (b′1, . . . , b′p, b1, . . . , bq) ❡+& ❞❡ ❧❛ ❢♦"♠❡ 1 ✳✳✳ 1 0 × M1−1
✶✵ ❈♦♠♠❡ ♣❛( ❞*✜♥✐.✐♦♥✱ ❧❡1 ❜❛1❡1 (b1, . . . , bq, e1, . . . , ep) ❡. (b1′, . . . , b′p, e′1, . . . , e′q) 1♦♥. ❞✐(❡❝.❡1✱ ❧❡1 ❜❛1❡1 (e′ 1, . . . , e′q, e1, . . . , ep) ❡. (b′1, . . . , b′p, b1, . . . , bq) ♦♥. ❞♦♥❝ ❧❡ ♠4♠❡ 1✐❣♥❡✱ ❞♦♥❝ ❧❡1 ❜❛1❡1 (e1, . . . , ep, e′1, . . . , e′q)❡. (b1, . . . , bq, b′1, . . . , b′p) ♦♥. ❧❡ ♠4♠❡ 1✐❣♥❡✳ ❙♦✐. h ✉♥❡ ❛♣♣❧✐❝❛.✐♦♥ ❞✐✛*(❡♥.✐❛❜❧❡ ❞✬✉♥❡ ✈❛(✐*.* ♦(✐❡♥.*❡ A 1✉( ✉♥❡ ✈❛(✐*.* M ♦(✐❡♥.*❡✳ ❙♦✐. B✉♥❡ 1♦✉1✲✈❛(✐*.* ♦(✐❡♥.*❡ ❞❡ M✳ ❊❧❧❡ ❡1. ❞♦♥❝ ❝♦✲♦(✐❡♥.*❡ ✭1♦♥ ✜❜(* ♥♦♠❛❧ ❡1. ♦(✐❡♥.* ❝♦♠♠❡ ❝✐✲❞❡11✉1✮✳ ❊♥ ✉♥ ♣♦✐♥. (*❣✉❧✐❡( x ✭✉♥ ♣♦✐♥. ❡♥ ❧❡@✉❡❧ ❧❛ ❞✐✛*(❡♥.✐❡❧❧❡ ❡1. 1✉(❥❡❝.✐✈❡✮ ❞❡ h−1(B)✱ ♦♥ ❝♦✲♦(✐❡♥.❡ h−1(B)♣❛( (Dh)−1(N h(x)B)✳ ▲♦(1@✉❡ M ❡1. ✉♥❡ ✈❛(✐*.* ♦(✐❡♥.*❡✱ (−M) ❞*1✐❣♥❡ ❧❛ ♠4♠❡ ✈❛(✐*.*✱ ♠❛✐1 ♠✉♥✐❡ ❞❡ ❧✬♦(✐❡♥✲ .❛.✐♦♥ ❝♦♥.(❛✐(❡✳ ❉❛♥1 ✉♥❡ ✈❛(✐*.* M✱ ✉♥❡ k−❝❤❛E♥❡ ❡1. ✉♥❡ ❝♦♠❜✐♥❛✐1♦♥ ✜♥✐❡ ✭F ❝♦❡✣❝✐❡♥.1 ❞❛♥1 Z✮ ❞❡ 1♦✉1 ✈❛(✐*.*1 C ❧✐11❡1 ♦(✐❡♥.*❡1 ❞❡ ❞✐♠❡♥1✐♦♥ k ❞❡ M✱ ❛✈❡❝ ❜♦(❞1 ❡. ❝♦✐♥1✱ ♦H ❧✬♦♥ ✐❞❡♥.✐✜❡ −C ❛✈❡❝ (−1)C ❡. ❧❛ (*✉♥✐♦♥ ❞✐1❥♦✐♥.❡ ❞❡ ❞❡✉① ✈❛(✐*.*1 ❡1. ✐❞❡♥.✐✜*❡ F ❧❡✉( 1♦♠♠❡✳ ❙❛✉❢ ✐♥❞✐❝❛.✐♦♥ ❝♦♥.(❛✐(❡✱ ❞❛♥1 .♦✉.❡ ❧❛ .❤K1❡✱ ❧❡1 ✈❛(✐*.*1 1♦♥. ♦(✐❡♥.*❡1✳ ▲✬♦(✐❡♥.❛.✐♦♥ ❝❛♥♦♥✐@✉❡ ❞✬✉♥ ♣♦✐♥. ❡1. ❧❡ 1✐❣♥❡ +1✱ ❡. ∂[0, 1] = {1} − {0}✳ ▲✬♦!✐❡♥%❛%✐♦♥ ❞✬✉♥ ❡♥1❡♠❜❧❡ ✜♥✐ ❡1. ✉♥ ♦(❞(❡ 1✉( ❝❡. ❡♥1❡♠❜❧❡ F ✉♥❡ ♣❡(♠✉.❛.✐♦♥ ♣❛✐(❡ ♣(K1✳ ❙✐ X ❡1. ✉♥ ❡♥1❡♠❜❧❡ ✜♥✐✱ ♦♥ ❞*1✐❣♥❡ ♣❛( |X| 1♦♥ ❝❛(❞✐♥❛❧✳
✷✳✸ ❉$✜♥✐(✐♦♥ ❞❡ ❧✬❛♥♦♠❛❧✐❡ β
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❖♥ ❞*❝(✐. ❞❛♥1 ❝❡..❡ 1❡❝.✐♦♥ ❧❛ ❞*✜♥✐.✐♦♥ ❞❡ ❧✬❛♥♦♠❛❧✐❡ βn✳ ❉!✜♥✐%✐♦♥ ✷✳✺ ❙♦✐. X ✉♥ ❡♥1❡♠❜❧❡ ✜♥✐✳ ❖♥ ♥♦.❡ CX(R3) ❧✬❡♥1❡♠❜❧❡ ❞❡1 ✐♥❥❡❝.✐♦♥1 c : X ֒→ R3✳ ❈✬❡1. ❛✉11✐ ❧✬❡1♣❛❝❡ ❞❡1 ❝♦♥✜❣✉(❛.✐♦♥1 ❞❡ X ❞❛♥1 R3✳ ❯♥❡ ♦(✐❡♥.❛.✐♦♥ ❞❡ X ✐♥❞✉✐. ✉♥❡ ♦(✐❡♥.❛.✐♦♥ ♥❛.✉(❡❧❧❡ ❞❡ CX(R3)✱ ❡♥ ♦(❞♦♥♥❛♥. ❧❡1 ❢❛❝.❡✉(1 ❞❡ (R3) X F ✉♥❡ ♣❡(♠✉.❛.✐♦♥ ♣❛✐(❡ ♣(K1✳ ❖♥ ❞*✜♥✐. ❛✉1✐ ❧❡ @✉♦.✐❡♥. ˜CX(R3) := CX(R3)/H ❞❡ ❧✬❡1♣❛❝❡ ❞❡ ❝♦♥✜❣✉(❛.✐♦♥1 ♣❛( ❧❡1 .(❛♥1❧❛.✐♦♥1 ❡. ❧❡1 ❞✐❧❛%❛%✐♦♥) @✉✐ 1♦♥. ❧❡1 ❤♦♠♦.❤*.✐❡1 ❞❡ (❛♣♣♦(. 1.(✐❝.❡♠❡♥. ♣♦1✐.✐❢✳ ❉❛♥1 ❝❡ @✉♦.✐❡♥.✱ ♦♥ ❛ ❧❡1 (❡❧❛.✐♦♥1 1✉✐✈❛♥.❡1 ✿ c = c + v ♣♦✉( v ∈ R3 ❡. ((c + v) : x 7→ c(x) + v)✱ ❡. c = λc♣♦✉( λ > 0 ❡. (λc : x 7→ λc(x))✳ ❖♥ ✉.✐❧✐1❡ ❧❛ ❝♦♠♣❛❝.✐✜❝❛.✐♦♥ *.✉❞✐*❡ ♣❛( ❉✳ ❙✐♥❤❛ ❬❙✐♥✵✹❪ ✿ ❚❤!♦,-♠❡ ✷✳✻ ■❧ ❡①✐)%❡ ✉♥❡ ✈❛!✐.%. ❧✐))❡ / ❝♦✐♥)✱ ❝♦♠♣❛❝%❡✱ ❜✐❡♥ ❞.✜♥✐❡ CX ❞♦♥% ❧✬✐♥%.!✐❡✉! ❡)% ❝❛♥♦♥✐7✉❡♠❡♥% ❞✐✛.♦♠♦!♣❤❡ / ˜CX(R3)✳ ❈❡%%❡ ✈❛!✐.%. CX ❡)% ❞❡ ❞✐♠❡♥)✐♦♥ 3|X| − 4✳ ❉❡ ♣❧✉)✱ ♣♦✉! (i, j) ∈ X2 ❛✈❡❝ i 6= j✱ ❧✬❛♣♣❧✐❝❛%✐♦♥ πij : CX(R3) −→ S2 c 7−→ ||c(j)−c(i)||c(j)−c(i) ♣❛))❡ ❛✉ 7✉♦%✐❡♥% ❡% )✬.%❡♥❞ / CX ❡♥ ✉♥❡ ❛♣♣❧✐❝❛%✐♦♥ ❡♥❝♦!❡ ♥♦%.❡ πij✳✶✶ ❈♦♠♣%❡ %❡♥✉ ❞✉ %❤+♦,-♠❡✱ ♣♦✉, ♦,✐❡♥%❡, CX✱ ✐❧ 1✉✣% ❞✬♦,✐❡♥%❡, ˜CX(R3) := CX(R3)/H✳ ❖♥ ♦,✐❡♥%❡ ˜CX ❞❡ 1♦,%❡ 6✉❡ ❧❡ ❞✐✛+♦♠♦,♣❤✐1♠❡ f : CX(R3) → R3×]0, +∞[× ˜CX ❞+✜♥✐ ♣❛, f (c) = (c(x0),||c − c(x0)||, c) 1♦✐% ✉♥ ❞✐✛+♦♠♦,♣❤✐1♠❡ 6✉✐ ♣,+1❡,✈❡ ❧✬♦,✐❡♥%❛%✐♦♥✳ ❈❡❝✐ ♥❡ ❞+♣❡♥❞ ♣❛1 ❞✉ ♣♦✐♥% x0❝❤♦✐1✐ ♣✉✐16✉❡ ❝❡❧❛ ,❡✈✐❡♥% < ♦,✐❡♥%❡, ❧♦❝❛❧❡♠❡♥% ❧❡ ❣,♦✉♣❡ H ❝♦♠♠❡ ✉♥ ♣,♦❞✉✐% ❞✉ ❣,♦✉♣❡ ❞❡ %,❛♥1❧❛%✐♦♥ ♣❛, ✉♥ ❣,♦✉♣❡ ❞❡ ❞✐❧❛%❛%✐♦♥ ❡% < ♦,✐❡♥%❡, ❧❡ 6✉♦%✐❡♥% ❞❡ 1♦,%❡ 6✉❡ ❧♦❝❛❧❡♠❡♥%✱ CX(R3) ❡1% ♦,✐❡♥%+ ❝♦♠♠❡ ❧❡ ♣,♦❞✉✐% ❞❡ ❝❡ ❣,♦✉♣❡ ♣❛, CX✳ ❯♥ ❣!❛♣❤❡ &!✐✈❛❧❡♥& ❝♦♥♥❡①❡ Γ ❞❡ ❞❡❣!/ n ❡1% ❧❛ ❞♦♥♥+❡ ❞✬✉♥ ❡♥1❡♠❜❧❡ H(Γ) < 6n +❧+♠❡♥%1 ♠✉♥✐ ❞❡ ❞❡✉① ♣❛,%✐%✐♦♥1 V (Γ) ❡% E(Γ) ♦A V (Γ) ♣❛,%✐%✐♦♥♥❡ H(Γ) ❡♥ %,✐♣❧❡%1 ❞✬+❧+♠❡♥%1✱ ❡% V (Γ) ♣❛,%✐%✐♦♥♥❡ H(Γ) ❡♥ ♣❛✐,❡1 ❞✬+❧+♠❡♥%1✳ ▲❡1 ♣❛,%✐%✐♦♥1 V (Γ) ❡% E(Γ) ,❡♣,+1❡♥%❡♥% ,❡1♣❡❝%✐✈❡♠❡♥% ❧✬❡♥1❡♠❜❧❡ ❞❡1 1♦♠♠❡%1 ❡% ❞❡1 ❛,C%❡1 ❞✉ ❣,❛♣❤❡ Γ✱ ❡% H(Γ) ❡1% ❧✬❡♥1❡♠❜❧❡ ❞❡1 ❞❡♠✐✲❛,C%❡1 ❞❡ Γ✳ ❊①❡♠♣❧❡ ✷✳✼ ❙✐ ♦♥ ❝♦♥1✐❞-,❡ ❧❡ ❣,❛♣❤❡ Γ 1✉✐✈❛♥% ✿ d1 d3 d2 d4 d5 d6 ▲❡ ❣,❛♣❤❡ Γ ❡1% ❛❧♦,1 ❧❛ ❞♦♥♥+❡ ❞❡ ❧✬❡♥1❡♠❜❧❡ H(Γ) = {d1, d2, d3, d4, d5, d6} ♠✉♥✐ ❞❡1 ❞❡✉① ♣❛,%✐%✐♦♥1 V (Γ) = {{d1, d2, d3}, {d4, d5, d6}} ❡% E(Γ) = {{d1, d4}, {d2, d6}, {d3, d5}}✳ ❯♥ ✐0♦♠♦!♣❤✐0♠❡ f ❞✬✉♥ ❣,❛♣❤❡ Γ ❞❛♥1 ✉♥ ❣,❛♣❤❡ Γ′ ❡1% ✉♥❡ ❛♣♣❧✐❝❛%✐♦♥ f : H(Γ) → H(Γ′) 6✉✐ ,❡1♣❡❝%❡ ❝❤❛❝✉♥❡ ❞❡1 ❞❡✉① ♣❛,%✐%✐♦♥1 1✉, H(Γ) ❡% H(Γ′) ❛✉ 1❡♥1 ♦A✱ 1✐ {e 1, e2, e3} ∈ V (Γ)✱
❛❧♦,1 {f(e1), f (e2), f (e3)} ∈ V (Γ′) ❡% 1✐ {e1, e2} ∈ E(Γ)✱ ❛❧♦,1 {f(e1), f (e2)} ∈ E(Γ′)✳ ❯♥
❛✉&♦♠♦!♣❤✐0♠❡ ❡1% ✉♥ ✐1♦♠♦,♣❤✐1♠❡ ❞✬✉♥ ❣,❛♣❤❡ ❞❛♥1 ❧✉✐ ♠C♠❡ ❡% ♦♥ ♥♦%❡ Aut(Γ) ❧❡ ❣,♦✉♣❡ ❞❡1 ❛✉%♦♠♦,♣❤✐1♠❡1 ❞✬✉♥ ❣,❛♣❤❡✳ ❊①❡♠♣❧❡ ✷✳✽ ■❧ ♥✬❡1% ♣❛1 ❞✐✣❝✐❧❡ ❞❡ ♠♦♥%,❡, 6✉❡ |Aut | = 12✳ ❊♥ ❡✛❡%✱ ❧❡1 ❛✉%♦♠♦,✲ ♣❤✐1♠❡1 6✉✐ ✜①❡♥% ❧❡1 1♦♠♠❡%1 1♦♥% ❧❡1 1✐① ♣❡,♠✉%❛%✐♦♥1 ❞❡1 %,♦✐1 ❛,C%❡1✱ ❡% ✐❧ ❡①✐1%❡ ❞❡1 ❛✉%♦✲ ♠♦,♣❤✐1♠❡1 6✉✐ +❝❤❛♥❣❡♥% ❧❡1 ❞❡✉① 1♦♠♠❡%1✳ Dor n ❞+1✐❣♥❡ ❧✬❡♥1❡♠❜❧❡ ❞❡1 ❣,❛♣❤❡1 %,✐✈❛❧❡♥%1 ❝♦♥♥❡①❡1 < 2n 1♦♠♠❡%1 1❛♥1 ❜♦✉❝❧❡1 ✐♥%❡,♥❡1 ❞♦♥% ❧❡1 ❛,C%❡1 1♦♥% ♥✉♠+,♦%+❡1 ❞❛♥1 {1, . . . , 3n} ✭♣❛, ✉♥❡ ❜✐❥❡❝%✐♦♥ ❞❡ E(Γ) ❞❛♥1 {1, . . . , 3n}✮ ❡% ♦,✐❡♥%+❡1✱ < ❛✉%♦♠♦,♣❤✐1♠❡1 6✉✐ ♣,+1❡,✈❡♥% ❝❡%%❡ 1%,✉❝%✉,❡ ♣,-1✳
✶✷ ❊①❡♠♣❧❡ ✷✳✾ ❖♥ ♣❡✉' ❞)❝+✐+❡ +❛♣✐❞❡♠❡♥' Dor 1 ✳ ❈♦♠♠❡ ❧❡3 ❣+❛♣❤❡3 ❞❡ Dor1 ♥❡ ❝♦♥'✐❡♥♥❡♥' ♣❛3 ❞❡ ❜♦✉❝❧❡3 ✐♥'❡+♥❡3✱ ✐❧ ♥✬❡①✐3'❡ :✉✬✉♥ ❣+❛♣❤❡ ♣♦33✐❜❧❡ ✿ :✉❡ ❧✬♦♥ ❞♦✐' ♠✉♥✐+ ❞❡ '♦✉'❡3 ❧❡3 ♥✉♠)+♦'❛'✐♦♥3 ❡' ♦+✐❡♥'❛'✐♦♥3 ♣♦33✐❜❧❡3✳ ❈❡❧❛ ♥♦✉3 ❞♦♥♥❡✱ < ❛✉'♦♠♦+♣❤✐3♠❡ ♣+=3✱ ❧❡3 ✹ ♣♦33✐❜✐❧✐')3 3✉✐✈❛♥'❡3✱ :✉✐ +❡♣+)3❡♥'❡♥' ❧❡3 4 )❧)♠❡♥'3 ❞❡ Dor 1 ✿ 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 ❊♥ ❣)♥)+❛❧✱ ♣♦✉+ ✉♥ ❣+❛♣❤❡ '+✐✈❛❧❡♥' ❛❜3'+❛✐' ❞❡ ❞❡❣+) n✱ ✐❧ ② ❛ 23n(3n)! |❆✉"(Γ)| )❧)♠❡♥'3 ❞❡ Dorn✳ ❙♦✐' Γ ∈ Dor n✳ ▲✬♦+✐❡♥'❛'✐♦♥ ❞❡3 ❛+D'❡3 ✐♥❞✉✐' ✉♥❡ ♦+✐❡♥'❛'✐♦♥ 3✉+ ❧✬❡♥3❡♠❜❧❡ H(Γ) ❞❡3 ❞❡♠✐✲ ❛+D'❡3 ❞❡ Γ ✿ ♥♦'♦♥3 u1 i ❧❛ ❞❡♠✐✲❛+D'❡ ✐33✉❡ ❞❡ ❧❛ 3♦✉+❝❡ ❞❡ ❧✬❛+D'❡ i ❡' u2i ❧❛ ❞❡♠✐✲❛+D'❡ ✐33✉❡ ❞✉ ❜✉' ❞❡ ❧✬❛+D'❡ i✳ ❆❧♦+3 ❧✬♦+❞+❡ 3✉+ ❧✬❡♥3❡♠❜❧❡ H(Γ) ✐♥❞✉✐' ♣❛+ ❧✬♦+✐❡♥'❛'✐♦♥ ❞❡3 ❛+D'❡3 ❡3'✱ < ✉♥❡ ♣❡+♠✉'❛'✐♦♥ ♣❛✐+❡ ♣+=3 ✿ (u1 1, u21, . . . , u13n, u23n)✳ ❖♥ ♥✉♠)+♦'❡ ❛+❜✐'+❛✐+❡♠❡♥' ❧❡3 3♦♠♠❡'3 ❞❡ Γ ❞❛♥3 V (Γ) = {M1, . . . , M2n }✳ ▲♦+3:✉❡ Γ ❡3' ♠✉♥✐ ❞✬✉♥❡ ♦+✐❡♥'❛'✐♦♥ oΓ ❞❡ 3❡3 3♦♠♠❡'3 ❛✉ 3❡♥3 ❞❡ ❧❛ ❞)✜♥✐'✐♦♥ ✷✳✶✱ ❧✬♦+✐❡♥'❛'✐♦♥ nΓ ❞❡ V (Γ) ✐♥❞✉✐'❡ ♣❛+ ❧❛ ♥✉♠)+♦'❛'✐♦♥ ❞❡3 3♦♠♠❡'3 ✐♥❞✉✐' ✉♥❡ 3❡❝♦♥❞❡ ♦+✐❡♥'❛'✐♦♥ 3✉+ H(Γ)✳ ❙♦✐' Mi ∈ V (Γ)✱ ♦♥ ♥♦'❡ (Mi 1, M2i, M3i)❧❡3 ❞❡♠✐✲❛+D'❡3 ✐33✉❡3 ❞✉ 3♦♠♠❡' Mi✱ ❞❛♥3 ❧✬♦+❞+❡ ❝②❝❧✐:✉❡✳ ▲✬♦+❞+❡ 3✉+ H(Γ) ✐♥❞✉✐' ♣❛+ ❧✬♦+✐❡♥'❛'✐♦♥ ❞❡3 3♦♠♠❡'3 ❡3' ❛❧♦+3✱ < ✉♥❡ ♣❡+♠✉'❛'✐♦♥ ♣❛✐+❡ ♣+=3 ✿ (M1 1, M21, M31, . . . , M12n, M22n, M32n)✳ ❖♥ ♥♦'❡ ǫ(nΓ, oΓ) ❧❡ 3✐❣♥❡ ❞❡ ❧❛ ♣❡+♠✉'❛'✐♦♥ ❡♥'+❡ ❝❡3 ❞❡✉① ♦+✐❡♥'❛'✐♦♥3✳ ❊①❡♠♣❧❡ ✷✳✶✵ ❖♥ ♠♦♥'+❡ ✉♥ ❡①❡♠♣❧❡ ❞❡ ❝❛❧❝✉❧ ❞❡ ǫ(nΓ, oΓ) ❛✈❡❝ n = 3✳ ❖♥ ❝♦♥3✐❞=+❡ ✉♥ ❡①❡♠♣❧❡ ❞❡ ♥✉♠)+♦'❛'✐♦♥ ❞❡3 ❛+D'❡3✱ ❛✈❡❝ ❧❡3 ♦+✐❡♥'❛'✐♦♥3 ✜①)❡3 ♣❛+ ❞)✜♥✐'✐♦♥✱ ❡' ❧❛ ♥✉♠)+♦'❛✲ '✐♦♥ (O, B, C, D, E, F ) ❞❡3 3♦♠♠❡'3 3✉✐✈❛♥'❡ ✿ 3 1 2 7 8 9 6 4 5 F C D O E B ▲✬♦+✐❡♥'❛'✐♦♥ ❞❡ ❧✬❡♥3❡♠❜❧❡ ❞❡3 1/2 ❛+D'❡3 ✐♥❞✉✐'❡ ♣❛+ ❧✬♦+❞+❡ 3✉+ ❧❡3 3♦♠♠❡'3 ✿
✶✸ C1 C2 C3 F1 F2 F3 D1 D2 D3 O1 O2 O3 E1 E2 E3 B1 B 3 B2 ▲✬♦%❞%❡ (✉% ❧❡( (♦♠♠❡,( ✐♥❞✉✐, ❧✬♦%❞%❡ (O1, O2, O3, B1, B2, B3, C1, C2, C3, D1, D2, D3, E1, E2, E3, F1, F2, F3) (✉% ❧❡( 1/2 ❛%0,❡(✳ ▲✬♦%❞%❡ ✐♥❞✉✐, ♣❛% ❧✬♦%✐❡♥,❛,✐♦♥ ❞❡( ❛%0,❡( ❡(, (O3, B2, B3, C1, C2, O2, D1, E1, E3, F3, F2, D2, C3, F1, O1, D3, B1, E2) ▲❛ ♣❡%♠✉,❛,✐♦♥ ❛((♦❝✐4❡ ❡♥,%❡ ❝❡( ❞❡✉① ♦%❞%❡( ❡(, (O1, O3, B3, O2, B2, C2, E1, C3, E3)(B1, C1, D1, F3, E2, F1, D3, D2, F2) 6✉✐ ❡(, ❞♦♥❝ ❞❡ (✐❣♥❛,✉%❡ 1✳ ❙♦✐, Γ ∈ Dor n ✳ ❖♥ ♥♦,❡ E(Γ) ❧✬❡♥(❡♠❜❧❡ ❞❡( ❛%0,❡( ❞❡ Γ ❡, ♣♦✉% k ∈ N∗✱ ♦♥ ♥♦,❡ k = {1, . . . , k}✳ <❛% ❞4✜♥✐,✐♦♥✱ ❧❡( ❛%0,❡( ❞❡ Γ (♦♥, ♥✉♠4%♦,4❡(✱ ❞♦♥❝ ✐❧ ❡①✐(,❡ ✉♥❡ ❜✐❥❡❝,✐♦♥ e(Γ, .) : 3n → E(Γ)✳ ❈❡❧❛ %❡✈✐❡♥, A 4,✐6✉❡,❡% ,♦✉,❡( ❧❡( ❛%0,❡( ❞❡ Γ ♣❛% ✉♥ ❡♥,✐❡% i ∈ 3n✳ <❛% ❝♦♥(46✉❡♥,✱ e(Γ, i) ❝♦%%❡(♣♦♥❞ A ❧✬❛%0,❡ ❞❡ Γ ♣♦%,❛♥, ❧✬✐♥❞✐❝❡ i✳ ❖♥ ♥♦,❡ N ❧❛ (♦✉%❝❡ ❞❡ ❧✬❛%0,❡ i ❡, M (♦♥ ❜✉, ✿ ✐ ▼ ◆ ❖♥ ❞4✜♥✐, ❛❧♦%( πe(Γ,i): CV (Γ)→ S2 ❞❡ (♦%,❡ 6✉❡ πe(Γ,i)= πN M. ❙✉% ❧✬✐♥,4%✐❡✉% ˜CV (Γ)(R3)✱ ♦♥ ❛ πe(Γ,i)(c) = c(M )− c(N) ||c(M) − c(N)||.
✶✹ ❈❡$$❡ ❛♣♣❧✐❝❛$✐♦♥ ❞-♣❡♥❞ ❞❡ ❧❛ ♥✉♠-0♦$❛$✐♦♥ ❛0❜✐$0❛✐0❡ ❝❤♦✐3✐❡✳ ❖♥ ♦❜$✐❡♥$ ❛❧♦03 3n ❛♣♣❧✐❝❛$✐♦♥3 (πe(Γ,i))✳ ❖♥ -$❡♥❞ ❝❡3 ❛♣♣❧✐❝❛$✐♦♥3 ❡♥ ❞❡3 ❛♣♣❧✐❝❛$✐♦♥3 ❡♥❝♦0❡ ♥♦$-❡3 πe(Γ,i) ✿ ∀i ∈ 3n, πe(Γ,i): [0, 1]× B3× CV (Γ) → [0, 1] × B3× S2 ♣❛0 πe(Γ,i)= id[0,1]×B3 × πe(Γ,i). ❖♥ -❝0✐$ B3 ❝♦♠♠❡ ❧❛ ❜♦✉❧❡ ❞❡ 0❛②♦♥ 2π✳ ❚♦✉$ ♣♦✐♥$ m ∈ B3 3✬-❝0✐$ 3♦✉3 ❧❛ ❢♦0♠❡ m = θu✱ ❛✈❡❝ θ ∈ [0, 2π] ❡$ u ∈ S2✱ ♦= S2 ❞-3✐❣♥❡ ❧❛ 3♣❤?0❡ ✉♥✐$- ❞❡ R3✳ ❖♥ ❞-✜♥✐$ ❧✬❛♣♣❧✐❝❛$✐♦♥ ρ : B3 −→ SO(3) m 7−→ ρ(m) = ρm ♦= ρθu ❞-3✐❣♥❡ ❧❛ 0♦$❛$✐♦♥ ❞✬❛①❡ u ❡$ ❞✬❛♥❣❧❡ θ✳ B♦✉0 U ❡$ V ❞❡✉① ✈❡❝$❡✉03 ♥♦♥ ♣0♦♣♦0$✐♦♥♥❡❧3 ❞❡ S2✱ ❧❛ ♥♦$❛$✐♦♥ [U, V ] ❞-3✐❣♥❡ ❧✬❛0❝ ❣-♦❞-3✐C✉❡ ❧❡ ♣❧✉3 ❝♦✉0$ 0❡❧✐❛♥$ U ❡$ V ✳ ❙♦✐$ V ∈ S2✳ ❖♥ ❞-✜♥✐$ ∂V ⊂ [0, 1] × B3× S2 ♣❛0 ∂V =−{0} × B3× {V } − [0, 1] × ∂B3× {V } + {(1, m, ρm(V )), m∈ B3}. ▲❡♠♠❡ ✷✳✶✶ ❙♦✐# V ∈ S2✱ ✐❧ ❡①✐(#❡ ✉♥❡ ❝❤❛✐♥❡ ˜G V ❞❡ ❝♦❞✐♠❡♥(✐♦♥ 2 ❞❡ [0, 1] × B3× S2 #❡❧❧❡ 0✉❡ ∂ ˜GV = ∂V✳ ❈❡ ❧❡♠♠❡ 3❡0❛ ✉♥ ❝♦0♦❧❧❛✐0❡ ❞❡ ❧❛ ♣0♦♣♦3✐$✐♦♥ ✹✳✼✱ C✉✐ ♠♦♥$0❡ C✉❡ ❧❡3 ❝❤❛F♥❡3 GV(t) ❞✉ ♣❛0❛✲ ❣0❛♣❤❡ ✷✳✹ 3♦♥$ ❞❡ $❡❧❧❡3 ❝❤❛F♥❡3✱ ♣♦✉0 $♦✉$ V ❞❡ S2✳ ❙♦✐❡♥$ (V 1, . . . , V3n)∈ (S2)3n ❡$ ✉♥❡ ❢❛♠✐❧❧❡ (GV1, . . . , GV3n)❞❡ ❝❤❛F♥❡3 ❛33♦❝✐-❡3✱ GVi ❡3$ ✉♥❡ ❝❤❛F♥❡ ❞❡ ❝♦❞✐♠❡♥3✐♦♥ 2 ❞❡ ⊂ [0, 1] × B 3× S2 ❡$ ∂GVi = ∂Vi✳ ❆❧♦03 ♣♦✉0 $♦✉$ i ∈ 3n✱ π −1 e(Γ,i)(GVi) ❡3$ ✉♥❡ ❝❤❛F♥❡ ❞❡ ❝♦❞✐♠❡♥3✐♦♥ 2 ❞❛♥3 [0, 1]× B3× C V (Γ)✱ ❝♦✲♦0✐❡♥$-❡ ♣❛0 ❧❛ ❝♦✲♦0✐❡♥$❛$✐♦♥ ❞❡ GVi✳ ▲♦03C✉❡ ❧❡3 ❝❤❛F♥❡3 π −1 e(Γ,i)(GVi) 3♦♥$ $0❛♥3✈❡03❡3✱ Ti=3n i=1 π −1 e(Γ,i)(GVi) ❡3$ ✉♥❡ ❝❤❛F♥❡ ❞❡ ❝♦❞✐♠❡♥3✐♦♥ 6n ❞❛♥3 ✉♥ ❡3♣❛❝❡ ❞❡ ❞✐♠❡♥3✐♦♥ 6n− 4 + 4 = 6n✱ ❝✬❡3$ ❞♦♥❝ ✉♥ ❡♥3❡♠❜❧❡ ❞❡ ♣♦✐♥$3 ❛✈❡❝ ❞❡3 3✐❣♥❡3 ✐♥❞✉✐$3 ♣❛0 ❧❡3 ❝♦✲♦0✐❡♥$❛$✐♦♥3 ❞❡3 π−1 e(Γ,i)(GVi)✱ ❡$ ❧✬♦0✐❡♥$❛$✐♦♥ ❞❡ [0, 1] × B 3× C V (Γ) ✐♥❞✉✐$❡ ♣❛0 ❧✬♦0✐❡♥$❛$✐♦♥ nΓ ❞❡ V (Γ)✳ ❖♥ ♥♦$❡ IΓ,nΓ(GV1, . . . , GV3n)❧❛ 3♦♠♠❡ ❞❡ ❝❡3 3✐❣♥❡3✳ ▲❡ ♣0♦❞✉✐$ IΓ,nΓ(GV1, . . . , GV3n)ǫ(nΓ, oΓ)[Γ, oΓ] ❡3$ ✐♥❞-♣❡♥❞❛♥$ ❞❡ nΓ ❡$ oΓ✳ ❖♥ ♣❡✉$ ♠♦♥$0❡0 C✉✬✐❧ ❡①✐3$❡ ✉♥ ❡♥3❡♠❜❧❡ ♦✉✈❡0$ ❡$ ❞❡♥3❡ An ❞❡ (S2)3n $❡❧ C✉❡ ♣♦✉0 $♦✉$ (V 1, . . . , V3n)✱ ♣♦✉0 $♦✉$ ❣0❛♣❤❡ Γ✱ ❧❡3 ❝❤❛F♥❡3 πe(Γ,i)−1 GVi = GVi i 3n+1 ❝♦♥3$0✉✐$❡3 ❞❛♥3 ❧❛ ♣0♦♣♦3✐$✐♦♥ ✹✳✼ 3♦♥$ $0❛♥3✈❡03❡3✳ ❖♥ ❧❡ ♠♦♥$0❡0❛ ❛✉ ❝❤❛♣✐$0❡ ✺ ♣♦✉0 n = 3✳ B❛0 ❝♦♥3-C✉❡♥$✱ ♣♦✉0 (V1, . . . , V3n)∈ An✱ ❧❛ 3♦♠♠❡ βn = X Γ∈Dor n IΓ,nΓ(GV1, . . . , GV3n)ǫ(nΓ, oΓ) (3n)!23n [Γ, oΓ]∈ An ❛ ✉♥ 3❡♥3✳
✶✺ !♦♣♦$✐&✐♦♥ ✷✳✶✷ ▲❛ ❞#✜♥✐'✐♦♥ ❝✐✲❞❡,,✉, ❞❡ βn ❡,' ✐♥❞#♣❡♥❞❛♥'❡ ❞✉ ❝❤♦✐① ❞❡ (V1, . . . , V3n)
❞❛♥, An✳ ▲❡, ❝❤❛2♥❡, GVi ♣♦✉33❛✐❡♥' ❛✉,,✐ 4'3❡ ❝❤❛♥❣#❡, ❡♥ ❞✬❛✉'3❡, ❝❤❛2♥❡, ˜GVi ❞❡ ❜♦3❞ ∂Vi ❛✈❡❝ ❧❡, ♠4♠❡, ♣3♦♣3✐#'#, ❞❡ '3❛♥,✈❡3,❛❧✐'#✳
❖♥ ♠♦♥&'❡ ❝❡&&❡ ♣'♦♣♦+✐&✐♦♥ ❡♥ ❞.&❛✐❧+ ❛✉ ❝❤❛♣✐&'❡ ✺ ❞❛♥+ ❧❡ ❝❛+ n = 3 +✉' ❧❡3✉❡❧ ♦♥ +❡ ❝♦♥❝❡♥&'❡ ❞❛♥+ ❝❡&&❡ &❤4+❡✳
❈❡&&❡ ♣'♦♣♦+✐&✐♦♥ ♣❡✉& ❛✉++✐ 7&'❡ ✈✉❡ ❝♦♠♠❡ ✉♥ ❝♦'♦❧❧❛✐'❡ ❞❡ ❧✬.&✉❞❡ ❞✉ ❧♦❣❛'✐&❤♠❡ z ❞❡ ❧✬✐♥✈❛'✐❛♥& Z 3✉❡ ❑♦♥&+❡✈✐❝❤ ❛ ❞.✜♥✐ ❞❛♥+ ❬❑♦♥✾✹❪✱ ❡& 3✉✐ ❡+& ✉♥ ✐♥✈❛'✐❛♥& ✉♥✐✈❡'+❡❧ ❞❡ &②♣❡ ✜♥✐ ❞❡+ +♣❤4'❡+ ❞✬❤♦♠♦❧♦❣✐❡ ❡♥&✐4'❡ ❞❡ ❞✐♠❡♥+✐♦♥ 3✱ ❞✬❛♣'4+ ❞❡+ &'❛✈❛✉① ❞❡ ●'❡❣ ❑✉♣❡'❜❡'❣ ❡& ❉②❧❛♥ ❚❤✉'+&♦♥ ❬❑❚✾✾❪✳
❈❡& ✐♥✈❛'✐❛♥& z ❡+& ❞.✜♥✐ +❡❧♦♥ ❧❡ +❝❤.♠❛ +✉✐✈❛♥& ♣♦✉' ❧❡+ +♣❤4'❡+ ❞✬❤♦♠♦❧♦❣✐❡ '❛&✐♦♥♥❡❧❧❡ M ❞❡ ❞✐♠❡♥+✐♦♥ 3✳
❖♥ +❡ ✜①❡ ✉♥ ♣❧♦♥❣❡♠❡♥& φ ❞✬✉♥ ✈♦✐+✐♥❛❣❡ N(∞) ❞✉ ♣♦✐♥& ∞ ❞❛♥+ ❧❛ +♣❤4'❡ S3 = R3
∪{∞} ❞❛♥+ M✱ ♦♥ ♥♦&❡ ∞ = φ(∞) ❡& ˇM = M \ {∞}✳ ❖♥ ❞.✜♥✐& ✉♥❡ ❝♦♠♣❛❝&✐✜❝❛&✐♦♥ C2(M ) ❞✉
❝♦♠♣❧.♠❡♥&❛✐'❡ ❞❡ ❧❛ ❞✐❛❣♦♥❛❧❡ ❞❛♥+ ˇM2
✱ H ♣❛'&✐' ❞❡ M2❡♥ ② .❝❧❛&❛♥& +✉❝❝❡++✐✈❡♠❡♥& (∞, ∞)✱
♣✉✐+ ❧❡+ ❛❞❤.'❡♥❝❡+ ❞❡ {∞} × ˇM✱ ˇM × {∞} ❡& ❞❡ ❧❛ ❞✐❛❣♦♥❛❧❡ ❞❡ ˇM2
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3✉✐ ❡+& ✐❞❡♥&✐✜. ❛✉ ✜❜'. ✉♥✐&❛✐'❡ &❛♥❣❡♥& ❞❡ ˇM ♣❛' ❧✬❛♣♣❧✐❝❛&✐♦♥ ((x, y) 7→ y − x)✳ ➚ ✉♥❡ ♣❛'❛❧❧.❧✐+❛&✐♦♥ τ ❞❡ ˇM 3✉✐ ❡+& ✐♥❞✉✐&❡ ♣❛' φ ❡& ♣❛' ❧❛ ♣❛'❛❧❧.❧✐+❛&✐♦♥ +&❛♥❞❛'❞
τs: R3× R3 → T R3
❞❡ R3+✉' φ(N(∞))✱ ♦♥ ❛++♦❝✐❡ ✉♥❡ ❛♣♣❧✐❝❛&✐♦♥ ❝❛♥♦♥✐3✉❡ p
τ: ∂C2(M )→ S2✳ ❈❡&&❡ ❛♣♣❧✐❝❛&✐♦♥
❛++♦❝✐❡ H ✉♥❡ ❝♦♥✜❣✉'❛&✐♦♥ ❧✐♠✐&❡ ❞❡ ❝♦♥✜❣✉'❛&✐♦♥+ ❞❡ ❞❡✉① ♣♦✐♥&+ ❞✐+&✐♥❝&+ ❞❡ ˇM✱ ❧❛ ❧✐♠✐&❡ ❞❡ ❧❛ ❞✐'❡❝&✐♦♥ ❞✉ ♣'❡♠✐❡' ♣♦✐♥& ❛✉ ❞❡✉①✐4♠❡ ❧♦'+3✉❡ ˇM = R3 ❡& τ = τ
s✳ ❉❛♥+ ❧❡ ❝❛+ ❣.♥.'❛❧✱ ❝❡&&❡
❧✐♠✐&❡ ❣❛'❞❡ ✉♥ +❡♥+ ♥❛&✉'❡❧ +✉' ∂C2(M )❛❧♦'+ 3✉❡ ❧❛ ❞✐'❡❝&✐♦♥ ❞✉ ♣'❡♠✐❡' ♣♦✐♥& ❛✉ ❞❡✉①✐4♠❡
♥✬❡+& ♣❛+ ❞.✜♥✐❡ +✉' ❧✬✐♥&.'✐❡✉' ❞❡ C2(M )❬▲❡+✶✸✱ Q'♦♣♦+✐&✐♦♥ ✷✳✸❪✳
Q♦✉' ✉♥ ♣♦✐♥& W ❞❡ S2✱ ♦♥ ❞.✜♥✐& ✉♥ ♣3♦♣❛❣❛'❡✉3 ❛++♦❝✐. H (M, τ, W ) ❝♦♠♠❡ ✉♥❡ ❝❤❛R♥❡
❞❡ ❞✐♠❡♥+✐♦♥ 4 ❞❡ ❧❛ ✈❛'✐.&. ❧✐++❡ ❝♦♠♣❛❝&❡ H ❜♦'❞+ ❡& ❝♦✐♥+ C2(M )❞♦♥& ❧❡ ❜♦'❞ ❡+& p−1τ (W )⊂
∂C2(M )✳ ▲✬❡①✐+&❡♥❝❡ ❞❡ &❡❧+ ♣'♦♣❛❣❛&❡✉'+ ❡+& ❥✉+&✐✜.❡ ❞❛♥+ ❬▲❡+✶✸✱ ❙❡❝&✐♦♥ ✷✳✸❪✳
Q♦✉' &♦✉& ❡♥+❡♠❜❧❡ ✜♥✐ V ✱ ✐❧ ❡①✐+&❡ ✉♥❡ ❝♦♠♣❛❝&✐✜❝❛&✐♦♥ CV(M )❞❡ ❧✬♦✉✈❡'& ❞❡ ˇMV ❝♦♥+&✐&✉.
❞❡+ ❛♣♣❧✐❝❛&✐♦♥+ ✐♥❥❡❝&✐✈❡+ c ❞❡ V ❞❛♥+ ˇM✱ &❡❧❧❡ 3✉❡ CV(M ) ❡+& ✉♥❡ ✈❛'✐.&. ❧✐++❡ H ❝♦✐♥+ ❞❡
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ij: CV(M )→ C2(M )✳ ❈❡&&❡ ❝♦♠♣❛❝&✐✜❝❛&✐♦♥ ❡+&
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Q♦✉' ✉♥ .❧.♠❡♥& (W1, . . . , W3n) ❞❡ An ⊂ (S2)3n✱ ✐❧ ❡①✐+&❡ ❞❡+ ♣'♦♣❛❣❛&❡✉'+ Pi ❛++♦❝✐.+ H
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