Etude de la convection thermosolutale dans les milieux poreux confinés

UNIVERSITÉ DE MENTOURI CONSTANTINE FACULTÉ DES SCIENCES DE L'INGENIEUR

DÉPARTEMENT DE GÉNIE MÉCANIQUE

N° d’ordre : …... / … / 2008 Série : ……. / GM / 2008

Mémoire

Présenté pour obtenir le diplôme de magister en Génie mécanique

Option

: thermo fluides

Etude de la convection thermosolutale

dans les milieux poreux confinés

Présenté par : OUAZAA Nabil

Soutenu le : ... / ... / 2008

Devant le jury composé de :

Président : M. Zoubir NEMOUCHI Prof. Université Mentouri Constantine Rapporteur : M. Smail BENISSAAD M.C. Université Mentouri Constantine Examinateurs : M. Saadoune BOUDEBOUS Prof. Université Mentouri Constantine

DÉDICACES

Á mes très chers parents

Á ma femme et à ma fille

Á mes frères et leurs familles

REMERCIEMENTS

Je remercie vivement Monsieur Smail BENISSAD, Maître de conférence et chef de Département de Génie Mécanique à l’Université Mentouri de Constantine encadreur de ce mémoire, pour la confiance qu’il a placée en moi, pour sa disponibilité permanente, pour sa patience, pour ses conseils, pour sa contribution majeure à l'orientation de mes recherches, pour son aide et son soutien permanents.

Je tiens à exprimer mes remerciements à Monsieur le Professeur Zoubir NEMOUCHI pour avoir accepter de présider le jury de ce mémoire.

J’exprime mes remerciements à Monsieur Saadoune Boudabous professeur àl’Université Mentouri de Constantine et à Monsieur Kamel Talbi Maître de conférence à l’Université Mentouri de Constantine pour avoir bien voulu accepter de participer à mon jury.

Mes remerciements vont également au groupe de travail du laboratoire précisément Messieurs, Abass Attia et Adel Hamouche.

DEDICACES...i

REMERCIEMENTS ...ii

SOMMAIRE ...iii

NOMENCLATURE ...v

INTRODUCTION...1

CHAPITRE I : REVUE BIBLIORAPHIQUES………...3

CHAPITRE II : GÉOMÉTRIEET MODÈLE MATHÉMATIQUE ...10

2.1 Description et géométrie du problème ...11

2.2 Hypothèses simplificatrices...12

2.3 Formulation mathématique...13

2.3.1 Équation de continuité...13

2.3.2 Équation de conservation de quantité de mouvement suivant x’...13

2.3.3 Équation de conservation de quantité de mouvement suivant y’...14

2.3.4 Équation de conservation de l’énergie ...14

2.3.5 Équation de conservation de masse...14

2.4 Les équations adimensionnelle...14

2.4.1 Équation de continuité...15

2.4.4 Équation de conservation de quantité de mouvement suivant x...15

2.4.3 Équation de conservation de quantité de mouvement suivant y...15

2.4.4 Équation de conservation de l’énergie ...15

2.4.5 Équation de conservation de masse...16

2.5 Conditions aux limites...16

2.5.1 Conditions aux frontières hydrodynamiques...16

2.5.2 Conditions aux frontières thermiques et massiques ...16

2.6 Transfert thermique et massique ...17

CHAPITRE III: SOLUTION ANALYTIQUE………...18

3.1 Introduction ...19

3.2 Concept de l’écoulement parallèle ...20

3.3 Équations de base simplifiées...22

3.4 Solution générale de la fonction de courant et de la vitesse...23

3.5 Équations générales du profil de température et de concentration...23

3.6 Les gradients horizontaux de température et de concentration ...24

3.7 Rayleigh supercritique...27

3.8 Rayleigh souscritique ...27

3.9 Les taux de transferts de chaleur et de masse...28

3.9.1 Nombre de Nusselt ...28

3.9.2 Nombre de Sherwood ...29 ِ

CHAPITRE IV: SOLUTION NUMERIQUE ...30

4. 1 Méthode des Volumes Finies ...31

4. 2 Maillage...32

4. 3 Stockage des variables...33

4 .4 Forme générale de l’équation de transport ...34

4. 5 Discrétisation...35

Intégration l’équation générale de transport...35

Différentes schéma de discrétisation: ...37

4.5. 1 Discrétisation de l’équation de quantité de mouvement suivant X ...38

4.5. 2 Discrétisation de l’équation de quantité de mouvement suivant Y ...39

4.5. 3 Discrétisation de l’équation de l’énergie...42

4.5. 4 Discrétisation de l’équation de concentration ...43

4.6 Algorithme SIMPLER...44

* Séquence de l'algorithme SIMPLER ...44

4.7 Méthode de résolution ...46

* Méthode de TDMA (Algorithme de Thomas)...46

4.8 Critère denvergence.………....………...…48

CHAPITRE V: RESULTATS ET DISCUTIONS ...49

5.1 Introduction: ...50

5.2 Validation et effet du maillage………53

5.3 Influence du rapport de forme de la cavité ...58

5.4 Influence du nombre Rayleigh thermique ...62

5.4.1 Cas thermique pur : N=0 ...62

5.4.2 Cas coopérant : N>0 ...64

5.4.3 Cas opposant : N<0 ...67

5.5 Influence du rapport de force de volume...70

5.3.1 Cas de diffusivité massique dominante: ...70

5.3.2 Cas de diffusivités égales ...73

5.3.3 Cas de diffusivité thermique dominante...76

5.6 Influence du nombre de Lewis ...79

ِCONCLUSION ET PERSPECTIVES ...82

REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES ...84

INTRODUCTION

La convection désigne l'ensemble des mouvements naturels de la matière qui a tendance à monter grâce à la poussée d’Archimède lorsqu'elle est chaude et à redescendre une fois refroidie. Elle tient une place importante dont on n’a pas toujours conscience. Elle assure les échanges de chaleur dans la plupart du temps dans notre environnement quotidien.

De l'air à l’intérieur des maisons comme celui de l'atmosphère, à l'eau dans une casserole, ou encore les rivières et les océans sont autant d'exemples où ce phénomène se manifeste.

Plus encore, la pollution due aux gaz émis par les automobiles et les effluents industriels doit être évacuée assez rapidement par les mouvements atmosphériques, sinon l'air deviendrait irrespirable. Cependant, et heureusement, la température étant plus élevée au sol qu'en altitude, des mouvements de convection assure cette évacuation. Depuis une vingtaine d’années, un autre type de transport convectif en milieux fluides ou poreux attire l’attention des chercheurs, c’est la convection double diffusive ou thermosolutale qui se manifeste en présence de deux composants différents (par exemple la chaleur et la salinité) ayant différents taux de diffusion. Par exemple, si une couche d'eau plus chaude et plus salée recouvre une couche d'eau douce et plus fraîche il en résulte que la densité de la couche supérieure est égale ou moindre que celle de la couche inférieure.

L'eau la plus salée à l'interface perdra de la chaleur vers l'eau la plus fraîche au-dessous, plus rapidement qu'elle diminuera sa concentration en sel en raison des différences dans les diffusivités moléculaires.

Le phénomène de la double diffusion a été découvert la première fois en 1959 par Stommel dans un contexte océanographique, et sa formulation théorique a été réalisée par Stern.

Il peut se produire dans les milieux liquides ou poreux, tels que les magmas, stellaires et planétaires, métaux liquides, océans, lacs et atmosphère, et aussi dans beaucoup d'applications technologiques en ingénierie telles que les étangs solaires, les réservoirs pour le stockage de gaz naturel et de déchet radioactif, la fabrication du cristal, le transport de polluants dans le sol, etc.

La résolution d’un problème type de convection double diffusive en milieux poreux se ramène à prédire les champs de température, de concentration et de vitesse ainsi que l’intensité de l’écoulement en fonction des divers paramètres du problème.

Il est également important de prédire les taux de transferts thermique (nombre de Nusselt) et massique (nombre de Sherwood) correspondants.

CHAPITRE I

1. REVUE BIBLIOGRAPHIQUE

De nombreuses recherches ont été menées sur la modélisation du phénomène de la convection double diffusive. Une synthèse des travaux effectués dans le passé est présentée dans le livre de Nield et Bejan [1] pour les milieux poreux.

L'intérêt pour la convection double-diffusive dans les milieux poreux a commencé après que Nield [2] ait étudié la stabilité d’une couche poreuse horizontale, chauffée et salée par le bas. En utilisant l’analyse de la stabilité linéaire, il a déterminé les valeurs des nombres de Rayleigh critiques caractérisant le début de la convection stationnaire pour différentes conditions aux frontières.

Bennacer et al. [3] dans une étude plus générale, ont considéré une cavité verticale soumise à des températures et des concentrations constantes sur les parois verticales. Les forces de volume induisant l’écoulement sont supposées coopérantes. L’analyse d’échelle a été utilisée dans les cas limites thermique pure (N<<1) et solutal pure (N>>1) en régime de couche limite. Ils ont démontré que les propriétés anisotropiques du milieu poreux affectent considérablement les taux de transfert de la chaleur et de la masse dans la cavité.

Khair et Bejan [4] ont considéré le phénomène de la convection thermosolutale qui survient au voisinage d’une plaque verticale plongée dans un milieu poreux saturé par un fluide. Une analyse d’échelle a permis d’identifier quatre régimes possibles de convection selon les valeurs des forces de volume N et le nombre de Lewis Le.

Trevisan et Bejan [5] ont utilisé une méthode numérique pour étudier la convection double diffusive dans une cavité carrée poreuse avec des parois verticales maintenues à des températures et des concentrations constantes et des parois horizontales adiabatiques et imperméables. Une analyse d'échelle a été utilisée pour traiter ce problème dans les cas limites des écoulements entraînés par les effets thermiques ou massiques et de dégager les divers effets qui influencent les résultats globaux de transfert de chaleur et de masse. Il a été trouvé que l’écoulement du fluide était possible au-delà d’un certain nombre de Rayleigh critique quand Le ~ 1. Cependant, le mouvement du fluide disparaît complètement pour Le = 1 et N = -1. Les résultats de cette analyse ont été trouvés en accord avec les calculs numériques.

Poulikakos [6] a présenté un travail sur l’analyse de la stabilité linéaire dans une couche poreuse horizontale en double diffusion. Les paramètres critiques du problème sont déterminés et les frontières définissant les régions des régimes de convection sont obtenues.

L'écoulement dans la matrice poreuse est modélisé en utilisant l’équation de Darcy Brinkman qui tient compte du frottement dû au cisaillement. Des résultats pour le cas limite d’un fluide classique ont également été obtenus. Parallèlement, Taslim et Narusawa [7] ont prouvé qu'il y a une analogie entre les effets Soret et Dufour et la double diffusion dans le sens que les équations peuvent être mises sous la même forme mathématique.

Mehta et Nandakumar [8] ont étudié l'effet de l'hétérogénéité du milieu dans le cas de la convection naturelle dans une couche poreuse verticale. Les écoulements sont engendrés par des flux de chaleur et de masse uniformes imposés le long des deux parois verticales de la couche poreuse. Ils ont trouvé que l'effet de l'hétérogénéité est sensible pour des variations importantes de perméabilité et de grandes valeurs du nombre de Rayleigh, du nombre de Lewis et du rapport de forces de volume. Les estimations des nombres de Nusselt et de Sherwood dans de telles conditions sont très différentes de celles obtenues pour un milieu homogène. Le transfert de masse par convection thermique à grands nombres de Rayleigh (50-2000) dans un milieu poreux chauffé par le bas a été traité théoriquement et numériquement par Trevisan et Bejan [9]. Les prédictions d’une analyse d’échelles proposée par ces auteurs se sont avérées en bon accord avec leurs résultats numériques.

Murray et Chen [10] ont été les premiers à étudier expérimentalement la convection double diffusive dans un milieu poreux. Leur dispositif, composé d’une boîte métallique remplie de billes de verre saturées avec de l'eau distillée, était soumis à des flux de masse et de chaleur. Une bonne concordance pour le nombre de Rayleigh thermique critique a été obtenue entre les expériences et la théorie de la stabilité linéaire.

Rosenberg et Spera [11] ont démontré numériquement que la dynamique des écoulements pour des nombres de Rayleigh et de Lewis donnés dépend fortement du rapport des forces de volume dans le cas d’une couche poreuse chauffée par le bas. Ils ont constaté que l’écoulement évoluait d’un régime convectif permanent vers un régime oscillant chaotique puis vers l’état de repos.

Chen et Chen [12] ont considéré la double diffusion dans une couche poreuse horizontale saturée. Le modèle de Darcy avec les termes de Brinkman et de Forchheimer (termes tenant compte des effets visqueux et d'inertie), a été utilisé. Une méthode numérique

mixte Galerkin- différences finies a été adoptée pour prédire les limites de stabilités délimitant les différents régimes d’écoulements en fonction du nombre de Rayleigh thermique et solutal. Le cas précédant a été repris par Goyeau et al. [13] qui ont considéré la convection coopérante (N > 0). Les résultats numériques se sont avérés en accord avec l’analyse d’échelles en régime de couche limite. Des corrélations pour les transferts de la chaleur et de la masse, Nu et Sh, respectivement ont été proposées.

Nithiarasu et al. [14] ont développé un modèle généralisé simulant la gamme entière de l'écoulement de Darcy en milieu poreux jusqu’au cas du fluide pur. Les résultats obtenus montrent l’augmentation des taux de transfert de chaleur et de masse avec le nombre de Darcy. L’influence du rapport de forces de volume, du nombre de Rayleigh, du nombre de Biot et du nombre de Darcy sur le transfert de la chaleur et de la masse a été discutée dans une autre publication de Nithiarasu et al. [15]. Ils ont trouvé que le nombre de Sherwood devient constant à mesure que le nombre de Biot augmente.

Karimi-Fard et al. [16] ont décrit numériquement, en utilisant la méthode des volumes finis, l’effet des termes de Forchheimer et de Brinkman sur l’écoulement convectif dans une cavité poreuse carrée. Leur étude a montré comment la variation du nombre de Darcy et de Lewis peut affecter l’écoulement au sein de l’enceinte poreuse. Plus récemment, Amahmid et

al. [17] et Mamou et al. [18] ont utilisé le modèle de Brinkman pour étudier analytiquement et

numériquement la convection naturelle thermosolutale induite dans une couche poreuse verticale soumise à des flux de chaleur et de masse uniformes. Ils se sont intéressés, particulièrement, au cas où les forces de volume thermique et solutale sont opposées et de même intensité. Les nombres de Rayleigh critiques caractérisant l’apparition des mouvements convectifs sont calculés analytiquement en fonction des nombres de Lewis Le et de Darcy (Da). Il a été trouvé que le nombre de Rayleigh thermique critique augmente lorsque Da augmente ou lorsque Le tend vers l’unité. De plus, il a été montré que l’augmentation de Da induit une diminution de l’intensité de l’écoulement et des transferts thermique et massique. Par contre l’augmentation du nombre de Rayleigh cause l’augmentation monotone de l’intensité de l’écoulement. Les résultats du milieu fluide ont été également obtenus à partir de la présente solution pour des nombres de Darcy suffisamment élevés.

Alavyoon [19] a reconsidéré la configuration étudiée précédemment par Trevisan et Bejan [20]. Il a proposé des solutions analytiques et numériques dans le cas où les forces de volume thermique et solutale coopèrent. Une analyse d’échelle a été également appliquée au

développée et basée sur l’hypothèse d’un écoulement parallèle a été trouvée être en bon accord avec les calculs numériques quand le rapport de forme devient assez élevé. Le même problème a été repris par Alavyoon et al [21] dans le cas où les forces de volume thermique et solutale ont des effets opposés. Ils ont montré que pour une combinaison donnée des paramètres de contrôle, le problème peut avoir plusieurs solutions. Par ailleurs, il a été montré, qu’il est possible d’obtenir une solution fortement convective même dans le cas où les forces de volume thermique et solutale sont égales, sachant que pour cette situation particulière le repos est une solution exacte du problème.

La convection à amplitude finie dans une cavité poreuse de forme carrée, soumise a des flux horizontaux uniformes de chaleur et de masse a été considérée par Mamou et al [22]. Ils ont montré que pour une même combinaison des paramètres, le problème peut avoir plusieurs solutions quand les forces thermique et massique sont opposées et de même ordre de grandeur. Ces solutions sont fortement dépendantes du nombre de Rayleigh thermique et du nombre de Lewis. Les mêmes auteurs [23] ont revu numériquement et analytiquement le problème précédent mais cette fois pour le cas d’une couche poreuse inclinée. La solution analytique, basée sur l’hypothèse d’un écoulement parallèle, a été trouvée être en bon accord avec les résultats numériques. Ils ont observé que les nombres de Nusselt et de Sherwood étaient minimums à proximité de N = -1 et que des solutions multiples étaient aussi possibles. Les nombres de Rayleigh critiques correspondant à l’apparition des mouvements convectifs ont été également déterminés dans le cas limite d’une couche horizontale. L’effet de l'inclinaison de la cavité sur la nature de l’écoulement convectif a été aussi discuté dans leur étude.

Mamou et al. [24] (cavité inclinée, chauffée et salée sur ces parois verticales et adiabatiques selon les parois horizontales) ont développés une méthode numérique des éléments finis, qui leur a permis d’étudier la stabilité linéaire transitoire en fonction de l’angle d’inclinaison de la cavité, du rapport de forme et du nombre de Lewis. Ils ont démontré que le principe de l’échange de stabilité n’est valide que lorsque la porosité du milieu poreux est égale à l’unité. Les résultats trouvés viennent compléter les travaux de Charrier-Mojtabi et al. [25].

Sezai et Mohamad [26] ont présenté des résultats pour l'écoulement tridimensionnel dans une cavité poreuse cubique soumise à des gradients de chaleur et de concentration opposés, appliqués sur les parois verticales. Leurs résultats ont indiqué que pour une certaine gamme des paramètres de contrôle, l'écoulement devient tridimensionnel et plusieurs

solutions sont possibles. Par conséquent, il est difficile de justifier les prédictions du cas bidimensionnel pour cette gamme de paramètres de contrôle. Ce genre de problème a été récemment considéré par Sezai [27] qui a étudié la même cavité soumise à des flux de chaleur et de masse sur ces parois horizontales. Il identifia 36 structures d’écoulement symétrique en fonction de N, Le et RT..

Bahloul et al. [28] ont examiné les écoulements dans une cavité horizontale soumise à des flux verticaux de chaleur et de masse avec effet Soret. Ils ont démontré que la solution prend la forme d’une bifurcation qui peut être sous critique ou fourche, dépendamment du rapport des forces de volume N et du nombre de Lewis, Le. Avec les mêmes conditions précédentes, le cas de la cavité verticale a été étudié par Boutana et al. [29] qui ont prédit divers types d’écoulements. Ils ont démontré que dans le cas d’un écoulement opposé et au voisinage de N >-1, des solutions multiples sont possibles pour des valeurs données des paramètres de contrôle du problème.

Bourich et al.[30] ont analysé numériquement la convection double diffusive dans une cavité poreuse carrée dont les parois horizontales sont chauffées à des températures constantes et des concentrations sont appliqués sur les parois verticales. Les auteurs ont démontré que pour un certain nombre de rapport de forme, et pour N supérieur à un N critique, les solutions multiples disparaissent. Par contre une solution monocellulaire se maintient quand N > 0 (coopérant) ou N < 0 (opposant). Des corrélations des valeurs critiques, pour lesquelles la transition de l’écoulement monocellulaire naturel vers l’écoulement monocellulaire antinaturel, ont été proposées.

Pour la convection à double diffusion Attia [33] a considéré une étude numérique bidimensionnelle de la convection naturelle à double diffusion dans une enceinte rectangulaire soumise à des gradients de température et de concentration horizontaux en présence d’un champ magnétique externe uniforme et constant. Les autres parois sont imperméables et adiabatiques. Les nombres de Grashof solutal et de Hartmann sont variés. Les résultats obtenus montrent que la variation du nombre de Grashof solutal a permis l’obtention de plusieurs types d’écoulements, et aussi qu’un champ magnétique relativement élevé (Ha=100) provoque la suppression des oscillations et fournit un effet de stabilisation de l'écoulement. Il a été aussi observé que ce champ magnétique cause des modifications dans la structure de l’écoulement et permet de contrôler la convection et les transferts de chaleur et de masse.

Le présent travail est structuré de la façon suivante :

Dans un premier temps, nous présentons le problème étudié en introduction. Dans le premier chapitre, un travail de recherche bibliographique portant sur la convection thermosolutale dans les milieux poreux sera présenté. Il sera suivi dans le second chapitre par la formulation mathématique du problème où les équations de bases gouvernant le système et les conditions aux frontières associées seront présentées. Ensuite on décrira les méthodes de résolution utilisées dans le cadre de cette étude à savoir, la méthode analytique et numérique. L'objet du troisième chapitre concerne la solution analytique qui utilise l’approche de l’écoulement parallèle. Le quatrième chapitre quant à lui est consacré à la résolution numérique des équations décrivant l’écoulement par la méthode des volumes finies. Le cinquième chapitre contient les différents résultats obtenus dans ce mémoire et leurs discussions. Enfin, on termine avec une conclusion générale retraçant les principaux résultats trouvés le long de cette étude ainsi que les perspectives futures.

CHAPITRE II

GÉOMÉTRIE ET

2. GÉOMÉTRIE ET MODÈLE MATHÉMATIQUE

2.1 DESCRIPTION ET GÉOMÉTRIE DU PROBLÈME

La configuration géométrique bidimensionnelle de notre écoulement est montrée dans la figure 2.1. Nous considérons le cas d’une cavité rectangulaire de hauteur H ′ et de longueur

L′ contenant un milieu poreux saturé par un fluide binaire. Les axes de coordonnées x′ et y′

sont respectivement orientés suivant les directions horizontale et verticale. Les parois horizontales de la cavité sont soumises à des flux de chaleur q′ et d’espèce uniformes j′ tandis que les parois verticales sont considérées comme adiabatiques et imperméables.

Figure 2.1. Géométrie du modèle physique. ' j ' q ' j ' q x',u' y', v' Adiabatique et imperméable Adiabatique et imperméable ' L ' H

2.2 HYPOTHÈSES SIMPLIFICATRICES

Pour simplifier le modèle mathématique, on considère les hypothèses les plus couramment utilisées dans ce type de problème. Nous supposons alors que :

1. La vitesse transversale suivant la direction z ′ est supposée négligeable par rapport aux composantes de la vitesse suivant x ′ et y ′ , ceci nous ramène à un problème bidimensionnel comme le montre la figure 2.1.

2. la solution est un fluide newtonien et incompressible. 3. La matrice poreuse est isotrope, perméable et homogène. 4. L’écoulement est supposé laminaire.

5. il n’y a ni réaction chimique ni source de chaleur et de masse. 6. Le transfert de chaleur par rayonnement est négligeable.

7. Les interactions entre le transfert de chaleur et de masse (effets de Soret et Dufour) sont négligeables.

8. Toutes les propriétés thermo-physiques du fluide sont constantes sauf le terme de la densité du fluide dans les forces de volume qui varie linéairement avec la température et la concentration. On considère alors l’approximation de Boussinesq qui est donnée par la relation suivante :

[

]

0 0 0

( , )T S (1 T(T T ) s(S S )

ρ =ρ −β − −β − (2.1) 0 ( ,T0 S0)

ρ =ρ : La masse volume de référence.

0

T , S : La température et la concentration de référence. ₀

Dans l’équation (2.1)βt, βs représente respectivement les coefficients d’expansion

volumique thermique et solutal du fluide.

. 0 1 t S P T ρ β ρ ∂ ⎛ ⎞ = − _{⎜ ⎟} ∂ ⎝ ⎠ ; βt> 0 (2.2) . 0 1 s T P S ρ β ρ ∂ ⎛ ⎞ = − _{⎜ ⎟} ∂ ⎝ ⎠ ; βs> 0 (2.3)

2.3 FORMULATION MATHÉMATIQUE

Pour étudier le phénomène de la convection naturelle dans les milieux poreux, nous supposons que la matrice poreuse est solide, perméable, isotrope et saturée par le fluide. Nous négligeons aussi les forces d’inertie. Ces forces peuvent être négligées lorsque :

' 6 0,8 Da 10 Re 1 − ⎫ ε ≤ ⎪ ≤ _⎬ ⎪ < _⎭

Où ε′est la porosité du milieu poreux, Da et Re sont les nombres de Darcy et de Reynolds. Ces derniers sont définis par : ₂

' H K Da= et ν K V' Re=

Où V ′est la vitesse moyenne des particules de fluide à travers la matrice solide, K la

perméabilité du milieu poreux, ν la viscosité cinématique du fluide.

2.3.1 Équation de continuité 0 u v x y ′ ′ ∂ ₊∂ ₌ ′ ′ ∂ ∂ (2.4) 2.3.2 Équation de conservation de quantité de mouvement suivant x

2 2 2 2 2 u u u p u u u v u t x y x x y K ρ ρ _µ µ ε ε ′ ⎛ ′ ′⎞ ′ ⎛ ′ ′⎞ ∂ _′∂ _′∂ ∂ ∂ ∂ _′ + _⎜ + _⎟= − + _⎜ + _⎟− ′ ∂ ′ ′ _⎝ ∂ ′ ∂ ′_⎠ ∂ ′ _⎝∂ ′ ∂ ′ _⎠ (2.5)

Il a noté que pour la partie analytique on utilise la vitesse de filtration d'après la loi de Darcy [1] suivant la direction x:

K p u x µ ′ ∂ ⎡ ⎤ ′ = − _{⎢ ⎥} ′ ∂ ⎣ ⎦ (2.5 '₎

2.3.3 Équation de conservation de quantité de mouvement suivant y

[

]

2 2 0 0 0 2 2 2 t( ) s( ) v v v p v v u v v g T T S S t x y y x y k ρ ρ _µ µ _{ρ β β} ε ε ′ ⎛ ′ ′⎞ ′ ⎛ ′ ′⎞ ∂ _{+ ′}∂ _{+ ′}∂ _{= −}∂ ₊ ∂ ₊ ∂ _{− ′+ ′− ′ + ′− ′} ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ′ ∂ ′ ′ _⎝ ∂ ′ ∂ ′_⎠ ∂ ′ _⎝∂ ′ ∂ ′ _⎠ (2.6) La vitesse de filtration suivant la direction y:

(

)

(

)

0 T 0 S 0 K p v g T T S S y ρ β β µ ′ ⎡∂ ⎤ ′= − _⎢ − ⎡_⎣ ′− ′ + ′− ′ ⎤_⎦⎥ ′ ∂ ⎣ ⎦ (2.6 '₎

2.3.4 Équation de conservation de l’énergie

(

)

'

(

)

_' ' _' ' 2 _' ' ' ' p p f T T T C C u v k T t x y ρ ∂ + ρ ⎛_⎜ ∂ + ∂ ⎞_⎟= ∇ ∂ _⎝ ∂ ∂ _⎠ (2.7)

Où : k p est la conductivité thermique du milieu poreux

2.3.5 Équation de conservation de masse 2 ' ' ' ' ' ' ' p S S S u v D S t x y ε′∂ ′+ ∂ + ∂ = ∇ ′ ∂ ∂ ∂ (2.8) Où : D p est la diffusivité thermique du milieu poreux

2.4 LES ÉQUATIONS ADIMENSIONNELLES

Pour mettre les équations précédentes (2.4) à (2.8) sous une forme adimensionnelle nous introduisons les variables adimensionnelles suivantes:

2 2 0 0 0 * * u v (x , y) = , , (u, v) = , ( / H ) ( / ) t p t , P = , ( H / ) H , x y H H H T T S S T S T S α α ε ε α _α σ ρ ⎫ ′ ′ ⎛ ′ ′ ⎞ ⎛ ⎞ ⎪ ⎜ ⎟ ⎜ _{′ ′}⎟ _{′ ′} ⎝ ⎠ ⎝ _{⎠ ⎪} ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ′ ′ ′ ⎬ = = ′ _{⎛ ⎞ ⎪} ⎜ _′⎟ ⎪ ⎝ ⎠ _⎪ ⎪ ⎪ ′− ′ ′− ′ _⎪ = = ⎪ ∆ ∆ ⎭ (2.9)

Ou α et σ désigne la diffusivité thermique du fluide et le rapport des chaleurs massiques, ils sont définis par :

( )

p f k c α ρ = ,

( )

( )

fp c c ρ σ ρ =

Les différences caractéristiques de température et de concentration sont définies par:

* _, * p p q H j H T S k D ′ ′ ′ ′ ∆ = ∆ =

En introduisant les variables adimensionnelles dans les équations précédentes (2.4) à (2.8) on obtient les adimensionnelles suivantes

2.4.1 Équation de continuité 0 u v x y ∂ ₊∂ ₌ ∂ ∂ (2.10) 2.4.2 Équation de conservation de quantité de mouvement suivant x

2 1 1 ( ) ( ) Pr Pr u u u P u u u v u t x y x x x y y Da ε ε ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ∂ ₊ ∂ ₊ ∂ _{= −}∂ ₊ ∂ ∂⎛ ⎞₊ ∂ ∂ ₋ ⎢ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎥ ⎢ ⎥ ∂ ⎣ ∂ ∂ ⎦ ∂ ⎣∂ ⎝∂ ⎠ ∂ ⎝∂ ⎠⎦ (2.11.a)

Pour la vitesse de filtration suivant x:

p u x ∂ = − ∂ (2.11.b) 2.4.3 Équation de conservation de quantité de mouvement suivant y

(

)

2 1 1 ( ) ( ) Pr Pr Pr _T v v v P v v u v v t x y y x x y y Da R T NS ε ε ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ∂ ₊ ∂ ₊ ∂ _{= −}∂ ₊ ∂ ∂⎛ ⎞₊ ∂ ∂ _{− +} ⎢ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎥ ⎢ ⎥ ∂ ⎣ ∂ ∂ ⎦ ∂ ⎣∂ ⎝∂ ⎠ ∂ ⎝∂ ⎠⎦ + (2.12.a)

Pour la vitesse de filtration suivant y:

T

(

)

p v R T NS y ⎛∂ ⎞ = −_{⎜ ⎟}− + ∂ ⎝ ⎠ (2.12.b)

2.4.4 Équation de conservation de l’énergie 2 T T T u v T t x y ⎛ ⎞ ∂ ₊ ∂ ₊ ∂ _{= ∇} ⎜ ⎟ ∂ _⎝ ∂ ∂ _⎠ (2.13)

2.4.5 Équation de conservation de masse S S S 1 2 u v S t x y Le ε∂ + ∂ + ∂ = ∇ ∂ ∂ ∂ (2.14) Dans les équations ci dessus on définie les paramètres caractéristiques adimensionnelles

,Pr, , , , T R Le N ε Da par : t T g K TH R β αν ′ ∆ = , Pr p ν α = , p p Le D α = , N = S t S T β β ∆ ∆ , ε ε σ ′ = , Da K₂ H = ′

Le problème reste incomplet sans l’introduction des conditions aux limites que nous spécifions ci-dessous.

2.5 CONDITIONS AUX LIMITES

2.5.1 Conditions aux frontières hydrodynamiques

On considère la condition de non glissement dans toutes les parois. A à x = ; = v = 0 2 1 à y = ; u = v = 0 2 u ⎫ • ± _⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ • ± ⎭ (2.15)

Où A =L′/H′ représente le rapport d'aspect de la cavité

2.5.2 Conditions aux frontières thermiques et massiques

Les conditions aux frontières sont exprimées par :

, 0 2 1 , 1 2 A T S à x x x T S à y y y ⎫ ∂ ∂ = ± = = _⎪ ∂ ∂ _⎪⎪ ⎬ ⎪ ∂ ∂ _⎪ = ± = = − ∂ ∂ _⎪⎭ (2.16)

2.6 TRANSFERT THERMIQUE ET MASSIQUE 2.6.1 Le nombre de Nusselt

Le taux de transfert de chaleur à travers la couche poreuse est exprimé par le nombre de Nusselt noté Nu. Dans notre étude, les parois actives sont soumises à des flux de chaleur constants. Pour cette situation, le nombre de Nusselt est défini par la relation suivante :

* 1 p q Nu T T k H ′ = = ∆ ∆ ′ (2.17)

Où ΔT est la différence de température adimensionnelle évaluée à x = 0 tel que :

ΔT =T (0, −1/ 2) −T (0, 1/ 2). 2.6.2 Le nombre de Sherwood

Le taux de transfert de masse dans la cavité, quand les parois actives de celle-ci sont exposées à des flux de masses constants, s’exprime par le nombre de Sherwood Sh tel que :

1 p j Sh S _S D H ′ = _{∆ ′} = ∆ ′ (2.18)

Où ΔS est la différence de concentration adimensionnelle évaluée à x = 0 définie par

CHAPITRE III

3. SOLUTION ANALYTIQUE

3.1 INTRODUCTION

Dans le chapitre précédent, nous avons établi les équations de base qui régissent les phénomènes d’écoulements et de transferts thermique et solutal de fluides binaires au sein de milieux poreux saturés. Ces dernières consistent en un système d’équations aux dérivées partielles non linéaires et fortement couplées. La résolution d’un tel système, de manière analytique, est extrêmement compliquée voire impossible. Cependant, dans le cas limite d’une cavité horizontale de grande extension, des solutions analytiques approximatives sont possibles. Ainsi, dans le présent chapitre, on présente le développement d’une telle solution, basée sur le concept de l’écoulement parallèle. Le modèle résultant donne un aperçu général sur l’écoulement et les champs de température et de concentration ainsi qu’une description quantitative des transferts de chaleur et de masse impliqués.

L’approximation de l’écoulement parallèle a été utilisée par Alavyoon [19], Bejan [20], Mamou [32], Kalla [33] et Dina [34] et par plusieurs autres auteurs.

3.2 CONCEPT DE L’ÉCOULEMENT PARALLÈLE

Le concept de l’écoulement parallèle consiste à supposer que dans une cavité de grande extension, l’écoulement engendré peut être décomposé en trois zones.

Ces dernières consistent en deux régions à l’extrémité de la cavité dans lesquelles l’écoulement tourne à 180° et la région centrale de la couche dans laquelle l’écoulement est parallèle relativement aux longues parois de la cavité. Ceci permet de négliger la composante de la vitesse perpendiculaire aux parois horizontales, de telle sorte que :

u(x, y) =u(y) (3.1) v(x, y) =0 (3.2) Dans ce type de problèmes il est courant d'éliminer la pression en utilisant la formulation de la fonction de courant, Ψ =Ψ′/α

Où: _{Ψ est la fonction de courant dimensionnelle.} '

Ψ est la fonction de courant sous la forme adimensionnelle. Les relations qui lient les vitesses avec la fonction de courant sont:

u y ∂Ψ = ∂ et v x ∂Ψ = − ∂

En utilisant le concept de l'écoulement parallèle la fonction de courant Ψ dépende uniquement de l'ordonné y :

Ψ (x, y) = Ψ (y) (3.3) Les profils de la température et de la concentration sont alors donnés par la somme d’un terme définissant une variation longitudinale linéaire et d’un autre terme donnant la distribution transversale :

T(x, y)= C x_T +θ_T( )y (3.4)

S(x, y) = C xS +θS( )y (3.5) Où CT et CS sont des constantes qui expriment respectivement les gradients de température et de concentration selon la direction x.

Les équations (3.3), (3.4) et (3.5) sont valides seulement au coeur de la cavité.

intégrant les équations de conservation de l’énergie et de concentration sur le volume de contrôle (ϑ ) montré sur la figure 3.3 tout en tenant compte des conditions aux frontières hydrodynamiques, thermique et massique (2.16).

Pour vérifier le bien-fondé de l’approximation basée sur le concept de l’écoulement parallèle, nous présentons des résultats numériques typiques, obtenus en résolvant le système d’équations (2.10), (2.11.a), (2.12.a), (2.13) et (2.14) au complet pour RT =100, Le = 2, N =1.

En examinant les résultats numériques obtenus (figures 3.1 et 3.2), nous pouvons constater l’effet du rapport de forme de la cavité, pour A= 1 et A= 8, sur la structure de

l’écoulement et sur les profils de température et de concentration pour les deux cas de convection naturelle étudiés.

Sur la figure 3.1, on observe que pour un rapport de forme A=1, la structure de l’écoulement est bidimensionnelle. Par contre, avec un rapport de forme A= 8, figure 3.2, la

structure de l’écoulement et des profils de température et de concentration illustrent clairement le parallélisme des lignes de courant dans la partie centrale de la cavité et la stratification linéaire de la température et de la concentration dans la direction horizontale. Ces prédictions numériques sont la base du concept de l’écoulement parallèle utilisée dans cette section.

Figure 3.1. Lignes de courant : Ψ, isothermes : T et isoconcentrations : S, obtenues avec : RT = 100 ; Le =2 ; N =1 ; A = 1 : Ψ₀ = 3,989 ; Nu = 3,619 ; Sh = 5,378.

Figure 3.2. Lignes de courant : Ψ, isothermes : T et isoconcentrations : S, obtenues pour : RT =50 ; Le = 2 ; N = 0.5 ; A = 8. Ψ₀ = 4,693, Nu = 4,286 ; Sh = 5,390.

3.3 ÉQUATIONS DE BASE SIMPLIFIÉES

En substituant les équations de l’approximation de la fonction de courant (3.3) et des profils de température et de concentration (3.4) et (3.5) dans les équations de base (2.11.b), (2.12.b),(2.13) et (2.14), nous obtenons le système d’équations différentielles ordinaires suivant : 2 2 T( T S d R C NC d y Ψ = − + ) (3.6) 2 2 T T d d C dy dy θ Ψ = (3.7) 2 2 S S d d LeC dy dy θ ₌ Ψ (3.8) Ψ S T

3.4 SOLUTION GÉNÉRALE DE LA FONCTION DE COURANT ET DE LA VITESSE

Après intégration de l’équation (3.6) et en satisfaisant les conditions aux frontières (2.18), la solution générale de l’équation du mouvement (3.6) donne le résultat suivant pour

Ψ :

2 0

( )y (1 4y )

Ψ = Ψ − (3.9)

Dans lequel la fonction de courant au centre de la cavitéΨ , qui caractérise l'intensité ₀ de l'écoulement, s'écrit : 0 ₈ ( ) Ψ = T + T S R C NC (3.10)

Nous pouvons déduire de l’équation (3.9) l’expression de la distribution de la vitesse suivant y :

u = -8 ψ 0 y (3.11)

3.5 ÉQUATIONS GENERALES DU PROFIL DE TEMPERATURE ET DE CONCENTRATION

Pour obtenir la forme générale de la distribution de température θT en fonction

de y, nous substituons d'abord l'expression de la distribution de vitesse (3.11) dans l'équation de base (3.7), ce qui nous donne :

2 0 2 8 T T d yC dy θ = − Ψ (3.12) En intégrant cette équation et en appliquant les conditions aux frontières thermiques, (Eq.2.16), nous obtenons :

(

3

)

T 0 T C 3 y 4 y y 3 Ψ θ = − − (3.13)

Nous procédons de la même manière pour obtenir la distribution de concentration.Cette fois-ci, en intégrant l’équation de base (3.8) et après substitution de l’équation (3.11) dans celle-ci, nous obtenons l’équation suivante :

2 0 2 1 8 S S d d y Le dy dx θ θ ⎛ ⎞ = − Ψ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ (3.14)

En utilisant les conditions aux frontières (2.16), l’intégration de l’équation ci-dessus donne :

(

3

)

0 ( ) 3 4 3 S S LeC y y y y θ = Ψ − − (3.15)

Nous obtenons les équations générales du profil de température et de concentration en substituant respectivement dans les équations (3.4) et (3.5) les équations de la distribution de la température et de la concentration (3.13) et (3.15) :

(

3

)

0 ( , ) 3 4 3 T T C T x y =C x + Ψ y − y − (3.16) y

(

3

)

0 ( , ) 3 4 3 S S Le C S x y =C x + Ψ y − y − (3.17) y

3.6 LES GRADIENTS HORIZONTAUX DE TEMPÉRATURE ET DE CONCENTRATION

Nous considérons le volume de contrôle (ϑ) montré sur la figure 3.3 pour la détermination des gradients thermique et solutal C et_T C_S .

Figure 3.3. Volume de contrôle.

La méthode utilisée consiste à intégrer les équations du bilan d’énergie et de l’espèce sur ce volume de contrôle en tenant compte des conditions aux frontières hydrodynamiques, thermiques et massiques (2.15) et (2.16). Dans le cas de la

' q x', u' ' j ' q / 2 j′ A 1/ 2 − 1/ 2 / 2 A − Volume de contrôle ( )ϑ y’, v’

conservation de l’énergie (2.13), on obtient :

.( T d) .(V T d)

ϑ∇ ∇ ϑ= ϑ∇ ϑ

∫∫∫

JG JG

∫∫∫

JG JG (3.18) En utilisant le théorème de Gauss, l’intégrale de volume (3.18) peut être transformée en une intégrale équivalente sur la surface ( d AJG) de la cavité :

. .

A∇T d A = AV T d A

∫∫

JJG

∫∫

JJG

JG JG JG JG

(3.19)

L’intégrale (3.19), appliquée sur chacune des faces du volume de contrôle, en tenant compte des conditions aux frontières mentionnées précédemment, nous donne l’équation suivante : 1/ 2 1/ 2 1/ 2 x 1/ 2 x T dy T dy x y − − ∂ ₌ ∂Ψ ∂ ∂

∫

∫

(3.20) Cette relation est similaire à la relation du bilan d’énergie donnée par Trévisan et Bejan [5] pour la détermination du gradient thermique.

Le terme du gradient thermique CT est obtenu en substituant dans l’équation du bilan

d’énergie (3.20), l’équation générale du profil de température (3.16). Après intégration et réarrangement des termes, nous obtenons l’expression suivante pour C_T :

0 2 0 4 3(2 ) Ψ = + Ψ T b C b (3.21) Avec :(b=15/16)

En suivant la démarche précédente, nous obtenons le terme du gradient solutal CS, cette fois-ci, en utilisant l’équation de base de la conservation de la masse (2.14) :

1

.(V S d) .( S d)

Le

ϑ∇ ϑ = ϑ∇ ∇ ϑ

∫∫∫

JG JG

∫∫∫

JG JG (3.22) En appliquant toujours le théorème de Gauss, on obtient :

1

. = ∇ .

∫∫

JG

∫∫

JG

JG JG JG JG

AV S d A _Le A S d A (3.23)

La relation précédente (3.23), appliquée sur chacune des faces de la cavité, nous donne la relation du bilan de la matière suivante, en considérant les conditions aux frontières (2.16) :

1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1 x x S dy SU dy Le₋ x ₋ ∂ ₌ ∂

∫

∫

(3.24) Comme précédemment, nous substituons l’approximation (3.3), les équations générales du profil de température (3.16) et de concentration (3.17), dans l’équation (3.24), et après intégration, nous obtenons l’expression suivante pour C : _S

2 0 2 0 4 3(2 ) Ψ = + Ψ S bLe C b Le (3.25)

En combinant l’équation de la fonction de courant au centre de la gravité (3.10) avec les termes des gradients de température et de concentration C et _T C en (3.21) et (3.25), nous _S

obtenons l’équation ci-dessous :

0 0 0 2 2 2 0 0 4 4 8 3(2 3(2 T b bLe R N b b Le ⎡ Ψ ⎛ Ψ ⎞⎤ Ψ = _⎢ + _{⎜ ⎟⎥} + Ψ _⎝ + Ψ _⎠ ⎣ ⎦ (3.26)

Après arrangement, nous obtenons alors une équation de cinquième ordre en terme de la fonction de courant Ψ tel que : ₀

4 4 2 2 2 0⎡Le 0 2bLe 0d1 b d2⎤ 0 Ψ _⎣ Ψ − Ψ − _⎦= (3.27)

(

)

(

)

(

)

2 1 2 2 2 1 12 1 4 3 T T R d Le Le N Le R d Le NLe Le ⎫ = + − _{+ ⎪⎪} ⎬ ⎪ = + − ⎪⎭ (3.28)

L’équation (3.28) montre qu’on a cinq solutions possibles dont l’une est nulle et correspond à l’état du fluide au repos :

0 0

Ψ = (3.29)

Les quatre autres solutions sont les solutions convectives données par : 1/ 2 2 0 1 1 2 b d d d Le ⎡ ⎤ Ψ = ± _⎣ ± + _{⎦ (3.30)}

Les signes (±) à l’extérieur du crochet indiquent le sens trigonométrique ou horaire de l’écoulement convectif tandis que les signes (±) à l'intérieur du crochet indiquent les deux

signe (+) dans notre solution indique que l’écoulement est stable et le signe (-) correspond à une solution instable.

Selon les valeurs des groupements 2

1 1 2

d ± d +d et d2₁+ dans l'équation (3.30) la d₂

naissance de la convection se fait selon deux types de bifurcation. Le premier type est une bifurcation supercritique dont le seuil de convection se produit avec une amplitude nulle,

0

Ψ = 0, et est donné par le nombre de Rayleigh supercritique sup

TC

R .

Le second type de bifurcation est une bifurcation souscritique pour laquelle le seuil de convection se produit avec une amplitude finie Ψ ≠ ,et donné par le nombre de Rayleigh ₀ 0 souscritique, sub

TC

R .

3.7 RAYLEIGH SUPERCRITIQUE

Le seuil de convection, exprimés en terme du nombre de Rayleigh supercritique est obtenu pour les conditions suivantes :

d1 < 0 et d2 = 0 (3.31) A partir des équations (3.28) et (3.31), on obtient le nombre de Rayleigh supercritique suivant :

(

)

sup sup 1 TC R R NLe = + (3.32) sup ₁₂ R =

Dans le cas où les forces de volume sont coopérantes, N > 0 , nous avons uniquement de la convection supercritique. Ceci est dû au fait que les forces de volume agissent dans le même sens et qu’elles tendent tous deux à déstabiliser le système. Les forces de convection sont dites coopérantes. Dans le cas contraire c'est-à-dire N < 0, les forces de convection sont opposées et la convection peut être sous critique. Ce cas est discuté dans la section suivante.

3.8 RAYLEIGH SOUSCRITIQUE

Les seuils critiques, exprimés en terme de nombre de Rayleigh souscritique, sont obtenus en satisfaisant les conditions suivantes :

1

d >0 et d₁2+d₂ = (3.33) 0

Le nombre de Rayleigh souscritique qui marque le seuil de la convection est déterminé à partir des équations (3.28) et des conditions (3.33), en terme de N :

(

) (

)(

)

(

)(

)

(

)

sup 2 1 1 2 1 1 sub TC R Le Le N Le NLe Le Le R Le Le N ⎡ ⎤ + _⎣ − − + − − _⎦ = + (3.34)

L’amplitude de la fonction de courant au point de bifurcation est donnée par :

1 0

bd Le

Ψ = ± (3.35) En général, la convection souscritique n’existe que lorsque les forces de volume thermique et solutale sont opposées (N < 0).

3.9 LES TAUX DE TRANSFERTS DE CHALEUR ET DE MASSE

Les transferts thermique et massique sont exprimés respectivement en terme de nombre de Nusselt et de Sherwood.

3.9.1 Nombre de Nusselt

Dans l’équation (2-18), nous avons défini que lorsque les parois horizontales sont exposées à de flux de chaleur constant q′ , le nombre de Nusselt est donné par Nu =1/ T∆ où la variation de température ∆ T = T (0, -1 / 2 )- T (0,1/2) est définie à x = 0.

(0, 1/ 2) (0,1/ 2) 1 Nu T ₋ T = − (3.36)

En substituant l’équation du profil de température (3.16) dans l’équation (3.36), on obtient pour le nombre de Nusselt, l’expression suivante :

0 1 2 1 3 T Nu C = − Ψ (3.37)

Nous obtenons l'expression du nombre de Nusselt en fonction de courant Ψ et du ₀ paramètre b en substituant le terme du gradient thermique (3.21) dans l'équation (3.37).

(

2

)

0 2 0 6 2 12 b Nu b Ψ + = Ψ + (3.38)

3.9.2 Nombre de Sherwood

Nous procédons de la même manière que précédemment pour déterminer le nombre de Sherwood, quand les parois sont soumises à des flux de masse j ′ . On a vu dans la relation (2-21) que Sh = ∆1/ S et que la variation de la concentration

(

0, 1/ 2

)

(

0,1/ 2

)

S S S ∆ = − − est définie à x=0 :

(

0, 1/ 2

)

1

(

0,1/ 2

)

Sh S S = − − (3.39)

Après substitution de l'équation du profil de concentration (3.17) dans l'équation ci-dessus, nous obtenons l'expression du nombre de Sherwood suivant :

0 1 1 2 / 3( _S ) Sh LeC = − Ψ (3.40) Enfin nous obtenons l'expression du nombre de Sherwood en fonction de la fonction de courant Ψ et du paramètre b en substituant le terme du gradient ₀ C _S

solutal.

(

2 2

)

0 2 2 0 6 2 2 Le b Sh Le b Ψ + = Ψ + (3.41)

CHAPITRE IV

4. SOLUTION NUMÉRIQUE

Les écoulements de fluides en régimes laminaire ou turbulent, sont décrits par le système d’équations aux dérivées partielles. Ainsi tous les phénomènes physiques sont régis par ce système formé par les équations de continuité, de quantité de mouvement et d’énergie et de masse, qu’il convient de résoudre pour connaître les caractéristiques du champ thermique, massique et d'écoulement.

Pour la discrétisation de ces équations différentielle il existe plusieurs méthodes numériques se classent en trois grandes familles, à savoir les méthodes de

- La méthode des différences finies. - La méthode des volumes finis. - La méthode des éléments finis.

Dans la présente étude, on a utilisé la méthode des volumes finies.

4.1 MÉTHODE DES VOLUMES FINIS

Comme introduite par Patankar [35], la méthode des volumes finis repose sur le fait que les équations qui décrivent les écoulements du fluide sont des équations de conservation, dont la forme fondamentale est une forme intégrale, et consiste à discrétiser cette forme intégrale des équations. Cette méthode consiste à diviser le domaine de calcule (figure 4.1) en un nombre fini de volumes de contrôle ou mailles. Le maillage est structuré et uniforme. Les équations de base sont intégrées sur chaque volume de contrôle. Un maillage décalé est employé pour discrétiser les équations de Navier – Stocks. Autrement dit les composantes de la vitesse sont stockées aux interfaces des volumes de contrôle, alors que la pression, la température et la concentration sont stockées aux centres des volumes de contrôle (figure 4.2).

4.2 MAILLAGE

Le domaine physique de calcul est divisé en un certain nombre de volumes. Chaque volume de contrôle a pour dimension∆X. Y∆ .1. Les faces d’un volume de contrôle typique sont localisées aux points e, w, n, s (voir figure 4.1).

Notons que P est le centre du volume de contrôle considéré et E, W, N, S sont les centres des volumes de contrôles adjacents situés respectivement à l’Est, à l’Ouest, au Nord et au Sud.

Figure 4.1. Volume de contrôle associé à la variable générale de transport.

X ∆ W E N S Y ∆ n Y δ s Y δ e X δ w X δ s w _e n P

4.3 STOCKAGE DES VARIABLES

Les variables dépendantes des quantités scalaires pression, température et concentration (P, θ, Φ) sont stockées aux centres des volumes finis (figure 4.2). Par contre, les quantités vectorielles (composantes U, V) sont localisées aux interfaces du volume de contrôle e, w, n, s (figure 4.2). Les équations de quantité de mouvement sont résolues dans des volumes finis décalés vers la droite et vers le haut. Ce type de maillage, permet une meilleure estimation des flux convectifs, et une bonne estimation des forces de pression dans les équations de quantité de mouvement.

Figure 4.2 : stockage des variables scalaires et les quantités vectorielles.

: Les variables scalaires ( , ,P T S ) sont stockées aux nœud du maillage.

: Les vitesses U sont stockées sur la face du volume de contrôle associé à la variable scalaire

: Les vitesses V sont stockées sur la face du volume de contrôle associé à la variable scalaire

4.4 FORME GÉNÉRALE DE L’ÉQUATION DE TRANSPORT

Les équations différentielles aux dérivées partielles adimensionnelles présentées dans le chapitre II (2.10)-(2.14) peuvent se mettre sous la forme générale d’une équation de transport

(u ) (v ) A A S t x y x x y y Ω Ω Φ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ∂Φ_{+ ′} ∂ Φ ₊∂ Φ ₌ ∂ ⎛_Γ∂Φ⎞₊ ∂ _Γ∂Φ ₊ ⎢ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎥ ⎢ ⎥ ∂ ⎣ ∂ ∂ ⎦ ⎣∂ ⎝ ∂ ⎠ ∂ ⎝ ∂ ⎠⎦ (4.1)

Tableau 4.1. VariableΦ , coefficient de diffusion Γ et terme source S_Φ pour les équations de notre problème

Equation Φ Γ A_Ω A_Ω′ S_Φ Continuité 1 0 0 1 0 Quantité de mouvement suivant x u Pr 1 ε 2 1 ε Pr P u x Da ∂ − − ∂ Quantité de mouvement suivant y v Pr 1 ε 2 1 ε Pr P v y Da ∂ − − ∂ + PrR T_T( +NS) Energie T 1 1 1 0 concentration S 1 Le ε 1 0

4.5 DISCRÉTISATION

4.5.1 Intégration l’équation générale de transport

On fait l'intégration sur le volume de contrôle et sur le temps on trouve :

t t n e t t n e t t n e t s w t s w t s w t t n e t t n e t t n e t s w t s w t s w u V

A dxdydt A dxdydt A dxdydt

t x y

dxdydt dxdydt S dxdydt

x x y y φ φ φ φ φ φ +∆ +∆ +∆ Ω Ω Ω +∆ +∆ +∆ ∂ _{+ ′} ∂ _{+ ′ =} ∂ ∂ ∂ ⎛ ⎞ ∂ ⎛_Γ∂ ⎞ ₊ ∂ _Γ∂ ₊ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∂ ⎝ ∂ ⎠ ∂ ⎝ ∂ ⎠

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

(4.2)

L’intégration des différents termes s’effectue comme suit : • Terme de la variation temporelle :

1 0 ( ) t t n e P P t s w A dxdydt A x y t φ _{φ φ} +∆ Ω Ω ∂ _{= − ∆ ∆} ∂

∫ ∫ ∫

(4.2.1) 0 P φ et 1 P

φ représentent les valeurs du φ au point P aux temps τ et τ +∆τ respectivement • Termes de transport diffusif :

t t n e t t n e t s w t s w e w n s dxdydt dxdydt x x y y y t x t x x y y φ φ φ φ φ φ +∆ _{∂ ∂} +∆ _{∂ ⎛ ∂ ⎞} ⎛_Γ ⎞ _{+ Γ =} ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∂ ⎝ ∂ ⎠ ∂ ⎝ ∂ ⎠ ⎡ ⎤ ⎡⎛_Γ∂ ⎞ _{− Γ}⎛ ∂ ⎞ ⎤_{∆ ∆ + Γ}⎛ ∂ ⎞ _{− Γ}⎛ ∂ ⎞ _{∆ ∆} ⎢⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎥ ⎢⎜_{⎝ ∂} ⎟_⎠ ⎜_{⎝ ∂} ⎟_⎠ ⎥ _{∂ ∂} ⎢⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

(4.2.2)

• Termes de transport convectif :

[

( ) ( )

]

[

( ) ( )

]

t t n e t t n e t s w t s w e w n s u v A dxdydt A dxdydt x y A u u y t A v v x t φ φ φ φ φ φ +∆ +∆ Ω Ω Ω Ω ∂ ′ + ′ = ∂ ∂ ′ − ∆ ∆ + ′ − ∆ ∆

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

(4.2.3) • Terme source : t t n e t s w S dxdydt_φ S_φ x y t +∆ = ∆ ∆ ∆

∫ ∫ ∫

(4.2.4) φ

Après intégration, et la division par∆t l’équation (4.4) devient :

[

]

[

]

1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P P e w n s e w n s A x y A u u y A v v x t y x S x y x x y y φ φ φ _{φ φ φ φ} φ φ φ φ Ω Ω Ω − _{′ ′} ∆ ∆ + − ∆ + − ∆ ∆ ⎡ ⎤ ⎡⎛ ∂ ⎞ ⎛ ∂ ⎞ ⎤ ⎛ ∂ ⎞ ⎛ ∂ ⎞ = Γ_{⎢⎜ ⎟} − Γ_{⎜ ⎟ ⎥}∆ + Γ_{⎢⎜ ⎟} − Γ_{⎜ ⎟ ⎥}∆ + ∆ ∆ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎢⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (4.3) , 2 2 , 2 2 P W E P e w N P P S n s Φ + Φ Φ + Φ ⎫ Φ = Φ = _⎪⎪ ⎬ Φ + Φ _{Φ + Φ ⎪} Φ = Φ = ⎪⎭ (4.4.1)

( )

( )

( )

( )

, , W P E P e _e w _w N P S P n n s s x dx x dx y dy y dy Φ − Φ ⎫ Φ − Φ ∂Φ ∂Φ = = _⎪ ∂ ∂ _⎪ ⎬ Φ − Φ Φ − Φ ∂Φ ∂Φ _⎪ = = _⎪ ∂ ∂ _⎭ , (4.4.2)

En remplacent ces expressions (4.4.1) et (4.4.2) dans l'équation (4.3) et Après réarrangement : b A A A A A_PΦ_P = _EΦ_E + _WΦ_W + _NΦ_N + _SΦ_S + (4.4)

( )

(

)

( )

(

)

( )

(

)

( )

(

)

max ,0 max ,0 max ,0 max ,0 E e e e W w w w N n n n S s s s A D A P F A D A P F A D A P F A D A P F ⎫ = + − ⎪ ⎪ ⎪ = + _⎪ ⎪ ⎬ ⎪ = + − _⎪ ⎪ ⎪ ⎪ = + _⎭ (4.4.1) 0 p s n w e S N W E P A A A A F F F F A A = + + + − + − + + (4.4.2) 0 p x y A t ∆ ∆ = ∆ (4.4.3)

• Le terme source : 0 0 P P P b =S ∆ ∆ +x y A φ (4.4.3) Où : 0 p

A est le coefficient de la variable φ au temps t

0

P

φ est la valeur de φ calculé au temps t

P

S est le terme source .

• Les flux convectifs :

, , e e w w n n s s F u y F u y F v x F v x = ∆ = ∆ ⎫ ⎪ ⎬ ⎪ = ∆ _{= ∆ ⎭} (4.4.3)

• Les flux diffusifs :

( )

( )

( )

( )

, , e w e w e w s n n s n s y y D D x x x x D D y y δ δ δ δ Γ ∆ Γ ∆ ⎫ = = _⎪ ⎪⎪ ⎬ ⎪ Γ ∆ Γ ∆ _⎪ = = ⎪⎭ (4.4.4)

• Les nombres de Peclet :

⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎬ ⎫ = = = = s s s n n n w w w e e e D F P D F P D F P D F P , , (4.4.5)

4.5.2 Différentes schéma de discrétisation:

Les profils approximatifs décrivant la variation de φ entres les nœuds, sont exprimés par la fonction A P spécifique pour chaque schéma numérique. Patankar [35], a cité les cinq

( )

Le tableau ci-dessous donne les expressions de la fonction A( P) pour différents schémas

numériques.

Schéma _{Formule de la fonction} A_{( P)}

Différences centrées Upwind Hybrid Power Law Exponentiel 1-0.5P 1 Max [0, 1-0.5 P] Max [0, (1-0.1 P)5] P / [exp ( P)-1]

Table 4.1 : Fonction A( P) pour différents schémas numériques [35].

Dans notre étude on a considéré une discrétisation des équations différentielles en utilisant le schéma numérique hybride et une discrétisation temporelle implicite d'ordre un.

4.5.2.1 Discrétisation de l’équation de quantité de mouvement suivant x

L’intégration de l’équation de quantité de mouvement suivant x sur un volume de contrôle décalé vers la droite (voir Figure 4.3.a) donne l’équation algébrique :

_{( , )} n 1_{( , )} P A i j u + i j = A_E( , )i j un+1(i +1, )j +A_W ( , )i j un+1(i −1, )j +A_N( , )i j un+1( ,i j + 1) + _{( , )} n 1_{( , 1)} S A i j u + i j − +b( ji, ) (4.10) Avec : ( , ) ( ) max( ,0) ( , ) ( ) max( ,0) ( , ) ( ) max( ,0) ( , ) ( ) max( ,0) E e e e W w w w N n n n S s s s A i j D A P F A i j D A P F A i j D A P F A i j D A P F ⎫ = + − ⎪ = + _⎪ ⎬ = + − _⎪ ⎪ = + _⎭ (4.10.a) ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( 0 j i A j i A j i A j i A j i A j i AP = E + W + N + S + p (4.10.b) 0_{( , )} 1 ( ) ( ) p x i y j A i j t δ ε ∆ = ∆ (4.10.c)

• Discrétisation du terme source : 1 1 Pr ( , ) ( ) ( ) ( ) t t n e n e t t n e n n t s w s w t s w P

b i j dxdydt u dxdy u dxdydt

t x ε t Da

+∆ _∂ +∆

= − + −

∆

∫ ∫ ∫

∂ ∆

∫ ∫

∫ ∫ ∫

(4.10.d) Après l’intégration, le terme source devient :

( , ) Pr ( , ) [ ( , ) ( 1, )] ( ) ( ) ( ) n u i j b i j P i j P i j y j x i y j t Da δ ε ⎡ ⎤ = − + ∆ +_⎢ − _⎥ ∆ ∆ ⎣ ⎦ (4.10.e)

• Les termes convectifs :

2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 [ ( 1, ) ( , )] ( ) 2 1 1 1 [ ( 1, ) ( , )] ( ) 2 1 1 1 [ ( , ) ( 1, )] ( ) 2 1 1 1 [ ( , 1) ( 1, 1)] ( ) 2 e e w w n n e e s s e e F u y u i j u i j y j F u y u i j u i j y j F u x v i j v i j x i F u x v i j v i j x i ε ε ε ε δ δ ε ε δ δ ε ε ⎫ = ∆ = + + ∆ _⎪ ⎪ ⎪ = ∆ = − + ∆ ⎪⎪ ⎬ ⎪ = = + + ⎪ ⎪ ⎪ = = − + + − ⎪⎭ (4.10.f) • Termes diffusifs :

( )

(

)

( ) ( ) Pr, Pr ( 1) ( ) ( ) ( ) Pr, Pr 1 e w e e n s n s y j y j D D x i x i x i x i D D y j y j δ δ δ δ ∆ ∆ ⎫ = = _⎪ ∆ + ∆ _⎪ ⎬ ⎪ = = ⎪ − _⎭ (4.10.g)

4.5.2.2 Discrétisation de l’équation de quantité de mouvement suivant y

L’intégration de l’équation de quantité de mouvement suivant y sur un volume de contrôle décalé vers le haut (voir Figure 4.3.b) donne l’équation algébrique :

_{( , )} n 1_{( , )} P A i j v + i j = A_E( , )i j vn+1(i +1, )j +A_W ( , )i j vn+1(i −1, )j +A_N( , )i j vn+1( ,i j + 1) + _{( , )} n 1_{( , 1)} S A i j v + i j − +b( ji, ) (4.11) Avec :