Partie II Combinaisons de racines de l'unité à coecients aléatoires

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MPSI A - B Année 2019-2020. DS commun 2 le 5/06/20 7 juin 2020

Dans tout le problème,ndésigne un entier naturel non nul etξle complexeξ=e^2iπⁿ .

Partie I Calcul d'un déterminant circulant

Soienta0, ..., an−1∈CetP le polynôme :

P =

n−1

X

k=0

akX^k ∈C[X].

Cette partie a pour but de calculer le déterminant deC(a0, ..., a_n−1)déni par

C(a0, ..., an−1) =







a0 a1 a2 . . . an−1

an−1 a0 a1 an−2

an−2 an−1 a0 an−3

... ... ...

a₁ a₂ a₃ . . . a₀





 .

1. NotonsV = (ξ^{(j−1)(i−1)})_(i,j)∈

J1,nK

2 :

V =







1 1 1 . . . 1

1 ξ ξ² . . . ξⁿ⁻¹

1 ξ² ξ⁴ . . . ξ²⁽ⁿ⁻¹⁾

... ... ... ...

1 ξⁿ⁻¹ ξ²⁽ⁿ⁻¹⁾ . . . ξ^{(n−1)(n−1)}







a. Donner sans démonstration une expression dedet(V).

b. Soitz1,· · ·, zn des nombres complexes etQ= (X−z1)· · ·(X−zn). Montrer que

Y

(i,j)∈J1,nK2 i6=j

(zj−zi) = Y

i∈J1,nK

Q⁰(zi)

c. En factorisantXⁿ−1, montrer queQn−1

k=0ξ^k= (−1)ⁿ⁻¹. d. En déduire quedet(V) =εnⁿ² avecε∈ {1,−1, i,−i}.

e. Pour toutp∈J0, n−1K, notons :

ep= (1, ξ^p, ξ^2p, ..., ξ^(n−1)p)∈Cⁿ. Montrer que la famille(e₀, ..., e_n−1)est une base deCⁿ.

2. Pour toutp∈J0, n−1K, notonsEpla matrice colonne représentant le vecteurep dans la base canonique deCⁿ :

E_p=





 1 ξ^p ξ^2p

...

ξ^p(n−1)





 Montrer queC(a0, ..., a_n−1)Ep=P(ξ^p)Ep.

3. Montrer que la matriceC(a₀, ..., a_n−1)est semblable à une matrice diagonale que l'on explicitera.

4. Montrer que :

det(C(a₀, ..., a_n−1)) =

n−1

Y

p=0

P(ξ^p).

Partie II Combinaisons de racines de l'unité à coecients aléatoires

Soit (Ω,P) un espace probabilisé ni, soient X₁, ..., X_n des variables aléatoires dénies surΩet à valeurs dans{−1,1}, mutuellement indépendantes et telles que :

∀k∈J1, nK, P(Xk = 1) =P(Xk =−1) = 1 2. NotonsZ: Ω→Cla variable aléatoire dénie pour toutω∈Ωpar :

Z(ω) =

n

X

k=1

Xk(ω)e^2ikπⁿ .

Pour toutk∈N, on notera|Z|^k la variable aléatoire dénie pour tout ω∈Ωpar :

|Z|^k(ω) =|Z(ω)|^k.

II.1 Espérance et variance

1. a. Soient1≤k < l≤n. Donner la valeur deE(Xk)puis deE(XkXl). b. En déduire queE(|Z|²) =n.

2. a. Soienti, j, k, l∈J1, nKtels que i < j etk < l. Montrer queE(X_iX_jX_kX_l)6= 0si et seulement sii=ketj=l.

b. CalculerE(|Z|⁴)puisV(|Z|²).

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1 Rémy Nicolai Benoît SaleurS1910E

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Fig. 1: Valeurs deZ pourn= 11

II.2 Inégalités de concentration.

Dans toute cette partie,tdésigne un réel strictement positif.

1. Montrer que :

P(|Z|²≥t)≤ n t.

La suite de la partie II.2 est consacrée à la démonstration d'une meilleure majoration.

NotonsX et Y les variables aléatoires dénies pour toutω∈Ωpar :

X(ω) =

n

X

k=1

Xkcos 2kπ

n

, Y(ω) =

n

X

k=1

Xksin 2kπ

n

.

2. a. Montrer que pour toutx∈R,ch(x)≤e^x

2

2 . On pourra dériver deux fois la fonction f :x∈R7→e⁻^x²² ch(x).

b. Calculer la somme :

n−1

X

k=0

cos² 2kπ

n

.

c. Montrer que pour toutθ∈R:

E(e^θX)≤e^nθ

2 4 . 3. Montrer que pour toutθ∈R+ :

P(X ≥t)≤e^−θt+^nθ

2 4 .

4. En déduire que :

P(X ≥t)≤e⁻^t

2 n. 5. Montrer queX et −X ont même loi et en déduire que :

P(|X| ≥t)≤2e⁻^t

2 n. On admet que pour toutt∈R⁺ :

P(|Y| ≥t)≤2e⁻^t

2 n. 6. Comparer les événements{|Z|²≥t}et {|X| ≥q

t

2} ∪ {|Y| ≥q

t

2}. En déduire que : P(|Z|²≥t)≤4e⁻²ⁿ^t .

(3)

Partie III. Déterminant d'une matrice circulante aléatoire

Dans cette partie, l'entier nest supposé premier impair.

On rappelle queUⁿ désigne l'ensemble des racinesn-èmes de l'unité.

On munit l'ensembleP(Uⁿ)des parties deUⁿ de l'équiprobabilitéP.

Pour toutu∈Un, on note Xu: Ω→ {−1,1}la variable aléatoire dénie surΩpar :

∀J ∈Ω, Xu(J) =

( 1siu∈J

−1siu6∈J 1. a. Montrer que pour toutu∈Un :

P(Xu= 1) =P(Xu=−1) = 1 2.

b. Montrer que les variables aléatoires X_u (u ∈ Un) sont mutuellement indépen- dantes.

Pour tout k∈J0, n−1K, notonsZk : Ω→R+ la variable aléatoire dénie pour tout J ∈Ωpar :

Zk(J) =

n

X

u∈Un

Xu(J)u^k.

Ainsi, la variable aléatoireZ₁ a la même loi que la variable aléatoireZ dénie dans la partie II.

2. On rappelle quenest premier. Soit k∈J1, n−1K.

a. Montrer que l'applicationϕk :u∈Un 7→u^k ∈Un est une bijection.

On note ϕ_k : J ∈ Ω 7→ ϕ_k(J) ∈ Ω la bijection qui à toute partie J de P(Un) associe son image directe parϕ_k.

b. Montrer queZk=Z1◦ϕk.

c. En déduire queZ_k etZ₁ ont même loi.

On noteD: Ω→R+ la variable aléatoire dénie par :

∀J ∈Ω, D(J) =

det(C(Xξ⁰(J), Xξ¹..., X_ξⁿ⁻¹(J))) . 3. Montrer à l'aide de la partie I que pour toutJ ∈Ω:

D(J) =|Z0(J)|

n−1 2

Y

k=1

|Zk(J)|².

4. PosonsM : Ω→R+ la variable aléatoire dénie pour toutJ ∈Ωpar : M(J) = max

k∈J1,ⁿ⁻¹₂ K

|Zk(J)|².

Montrer à l'aide de la partie II que pour toutt∈R+ : P(M ≥t)≤2(n−1)e⁻²ⁿ^t . 5. Montrer que pour toutt∈R⁺ :

P(D≥ntⁿ⁻¹² )≤2(n−1)e⁻²ⁿ^t .

6. SoitW : Ω→R⁺ une variable aléatoire, soitp∈Ntel queW(Ω)⊂[0, p]. a. Montrer que :

E(W)≤

p

X

k=0

(k+ 1)(P(W ≥k)−P(W ≥k+ 1)).

b. Montrer que :

E(W)≤1 +

p

X

k=1

P(W ≥k).

7. a. Montrer queD(Ω)⊂[0, nⁿ]. b. Montrer que :

E(D)≤1 + 2(n−1)

nⁿ

X

k=1

exp



−

k n

_n−1² 2n



.

c. Montrer que pour toutk∈N: Z k/2

0

t^ke^−tdt≤k!.

d. Calculer l'intégrale :

Z nⁿ 0

exp



−

x n

_n−1² 2n



 dx.

e. En déduire que :

E(D)≤1 +n

n−1 2

!

(2n)ⁿ⁻¹² .