Lycée Benjamin Franklin PTSI−2014-2015
D. Blottière Mathématiques
Devoir surveillé n°3
Vendredi 5 décembre de 14h à 17h
Le barème prendra significativement en compte :
• la présentation ;
• la clarté des explications ;
• le soin porté à l’argumentation des réponses ;
• la justesse du vocabulaire et des symboles employés.
Question de cours
1. Énoncer la définition d’une application injective (3 formulations).
2. Énoncer la définition d’une application surjective (3 formulations).
3. Énoncer et démontrer les résultats du cours concernant la composée de deux applications bijectives.
4. SoientEetFdeux ensembles. Soitf:E→Fune application. Démontrer
∀(A,B)∈P(F)2, f−1(A∩B)=f−1(A)∩ f−1(B).
5. Énoncer la définition d’une rotation du plan.
6. Énoncer et démontrer l’expression d’une rotation du plan en termes de nombres complexes.
7. Énoncer les propriétés du cours concernant les homothéties du plan de centre un point fixé.
8. Énoncer la caractérisation formelle de la borne supérieure d’une partie deR.
Exercice 1 (Une inéquation trigonométrique) Résoudre l’inéquation
(I) : cos(x)−p
3sin(x)≤1 d’inconnuex∈]−π,π].
Exercice 2 (Étude de l’injectivité et de la surjectivité de deux applications) Étudier l’injectivité et la surjectivité des deux applications
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¯
¯
¯
f : R → R
x 7→ x4 et
¯
¯
¯
¯
g : C → C
z 7→ z4.
Exercice 3 (Application bijective deR2dansR2) Soit l’application
¯
¯
¯
¯
f : R2 → R2
(x1,x2) 7→ (x1−2x2,−3x1+4x2).
Démontrer quef est bijective, puis calculerf−1.
Exercice 4 (Application involutive)
SoitE un ensemble. Soit f:E→Eune application telle quef ◦f =i dE. Démontrer que f est bijective, puis calculerf−1.
Exercice 5 (Alignement de trois points du plan) Le planP est muni d’un repère orthonormé¡
O;−→u,→−v¢
. Déterminer l’ensemble des nombres complexesztels que les trois pointsA,B,Cd’affixes respectivesz,z2,z3soient alignés.
1
Exercice 6 (Similitude)
Le planP est muni d’un repère orthonormé orienté¡
O;→−u,−→v¢
. Soit l’application
¯
¯
¯
¯
f : C → C
z 7→ −2i z+1−i. 1. Donner une interprétation géométrique de l’applicationf. 2. Démontrer quef est bijective.
3. Calculerf−1(on pourra proposer deux méthodes), puis en donner une interprétation géométrique.
4. Donner une interprétation géométrique de l’ensemble
D:={z∈C:|z−1| ≤1}
puis le représenter dans le plan.
5. S’aider des questions 1 et 4 pour conjecturer l’image directe deDparf, i.e.f(D). On représentera l’en- semblef(D) conjecturé dans le plan.
6. Démontrer la conjecture énoncée en 5.
Exercice 7 (Image réciproque d’une partie du but d’une application) Soit l’application
¯
¯
¯
¯
f : R → R
x 7→ x2−4x+3 Calculer l’image réciproque de [0,3] parf, i.e.f−1([0,3]).
Exercice 8 (Borne supérieure et borne supérieure de l’ensemble des termes d’une suite) On considère
A:=
½n−1 n+2 :n∈N
¾ .
1. Démontrer queAadmet un minimum. Qu’en déduire quant à sa borne inférieure ? 2. Démontrer que la borne supérieure deAexiste.
3. Déterminer sup(A).
Exercice 9 (Continuité d’une fonction en un point) Soitf l’application définie par
¯
¯
¯
¯
¯
f : R → R
x 7→ x+3 x2+1. 1. Démontrer
∀x∈R, −2≤ x+1 x2+1≤2.
2. Soitε∈R>0. Démontrer
∃α∈R>0, ∀x∈R, |x−2| ≤α=⇒ ¯
¯f(x)−1¯
¯≤ε. 3. Interpréter graphiquement la propriété établie en 2.
Exercice 10 (Factorielle d’un entier)
Écrire une fonction Python nomméefactorielle
• qui prend pour argument un entiern;
• qui renvoie
¯
¯
¯
¯
0sinest strictement négatif ; la factorielle densinon.
Exercice 11 (Maximum d’une liste d’entiers positifs ou nuls) Écrire une fonction Python nomméemax_liste
• qui prend pour argument une listeLd’entiers ;
• qui renvoie
¯
¯
¯
¯
-1si la listeLest vide ou si la listeLcontient au moins un élément strictement négatif ; le plus grand élément de la listeLsinon.
2
