Estimation d’un rapport de cote en pr´esence d’information auxiliaire.

(1)

Estimation d’un rapport de cote en pr´ esence d’information auxiliaire.

Camelia Goga⁽¹⁾ et AnneRuiz-Gazen⁽²⁾

(1) IMB, Universit´e de Bourgogne-Dijon, [email protected] (2) TSE, Universit´e Toulouse 1 Capitole,

[email protected]

ENSAI, novembre 2012

(Goga & Ruiz-Gazen) Odds-ratio ENSAI, novembre 2012 1 / 35

(2)

Introduction : contexte

Estimation de param`etres pluscomplexesque des totauxou desmoyennes en population finie,

avec prise en compte d’information auxiliaire.

Goga et Ruiz-Gazen (2012) proposent une approche non paramétrique utilisant les B-splines pour l’estimation de paramètres complexes et l’estimation de la variance asymptotique de ces estimateurs (approche générale et exemples des quantiles et indice de Gini).

(3)

Introduction : contexte

(4)

Introduction : contexte

(5)

Introduction : contexte

Le rapport de cotes(odds-ratio) est un autre exemple de paramètre complexe (utilisé en épidémiologie) que l’on peut écrire comme une solution d’équation estimante.

On applique les r´esultats de Goga et Ruiz-Gazen (2012)`a cet exemple et on montre les limites de l’approche.

(6)

Introduction : contexte

Le rapport de cotes(odds-ratio) est un autre exemple de paramètre complexe (utilisé en épidémiologie) que l’on peut écrire comme une solution d’équation estimante.

On applique les r´esultats de Goga et Ruiz-Gazen (2012)`a cet exemple et on montre les limites de l’approche.

(7)

1 Rappels sur le rapport de cotes (odds-ratio)

2 Rappels sur l’estimation d’un total

Estimation d’un total assistée par modèle linéaire

Estimation d’un total assistée par un modèle non-paramétrique

3 Estimation de paramètres complexes avec information auxiliaire Cas général

Cas de l’estimation d’un rapport de cote

4 Mise en œuvre et exemples Mise en œuvre

Exemples

(8)

Rappels sur le rapport de cotes (odds-ratio)

Exemples

(9)

Rapport de cotes

Objectif : quantifier le lien d’association entre les niveaux d’une variable de r´eponse dichotomique Y et une variable de risqueX.

cotes : ratio de probabilit´es entre la proba de l’occurence d’un ´evenement et la proba de sa non-occurence.

rapport de cotes (OR) : ratio de cotes

X Y Cancer poumon pas cancer poumon

Fumeur 80 20

Non-fumeur 20 80

cote fumeur : 80/20 = 4 cote non-fumeur : 20/40 = 1/4 rapport de cotes : 4/(1/4)= 16

(10)

Rapport de cotes

Objectif : quantifier le lien d’association entre les niveaux d’une variable de r´eponse dichotomique Y et une variable de risqueX.

cotes : ratio de probabilit´es entre la proba de l’occurence d’un ´evenement et la proba de sa non-occurence.

rapport de cotes (OR) : ratio de cotes

X Y Cancer poumon pas cancer poumon

Fumeur 80 20

Non-fumeur 20 80

cote fumeur : 80/20 = 4 cote non-fumeur : 20/40 = 1/4 rapport de cotes : 4/(1/4)= 16

(11)

Rapport de cotes

- Dans le cas où la variable de risqueest elle-mêmedichotomique, l’OR a une forme simple que l’on peut déduire de la table de contingence :

OR = N₀₀N₁₁ N01N10

.

- Dans le cas général, on note y_k, resp. x_k,les valeurs de Y, resp. X, pour le kème individu de la population U ={1, . . . ,N} et

p_k =P(Y = 1|X =x_k) .

logit(p_k) = log p_k 1−pk

=β₀+β₁x_k p_k = exp(β0+β1x_k)(1 + exp(β0+β1x_k))⁻¹.

(12)

Rapport de cotes

- Dans le cas où la variable de risqueest elle-mêmedichotomique, l’OR a une forme simple que l’on peut déduire de la table de contingence :

OR = N₀₀N₁₁ N01N10

.

- Dans le cas général, on note y_k, resp. x_k,les valeurs de Y, resp. X, pour le kème individu de la population U ={1, . . . ,N} et

p_k =P(Y = 1|X =x_k) .

logit(pk) = log p_k 1−pk

=β0+β1xk

p = exp(β +β x )(1 + exp(β +β x ))⁻¹.

(13)

Rapport de cotes

P(Y = 0|X =x_k)

odds(Y = 1|X =x_k+ 1) = exp(β₀+β₁(x_k + 1)) odds(Y = 1|X =x_k) = exp(β₀+β₁x_k)

OR = odds(Y = 1|X =x_k + 1) odds(Y = 1|X =x_k)

= expβ1.

(14)

Rapport de cotes

P(Y = 0|X =x_k)

= expβ1.

(15)

Rapport de cotes

P(Y = 0|X =x_k)

= expβ1.

(16)

Rapport de cotes

OR = odds(Y = 1|X =x_k + 1) odds(Y = 1|X =xk)

= expβ₁. Dans la suite, on cherche `a estimerβ =

β0

β₁

On maximise la vraisemblance :

L(y1, . . . ,yN;β) = Π^N_k=1p_k^y^k(1−pk)^1−y^k,

X

U

xk(yk−µ(x_k⁰β)) = 0 avec µ(x_k⁰β) =p_k = exp(x_k⁰β)(1 + exp(x_k⁰β))⁻¹.

(17)

Rapport de cotes

OR = odds(Y = 1|X =x_k + 1) odds(Y = 1|X =xk)

= expβ₁. Dans la suite, on cherche `a estimerβ =

β0

β₁

On maximise la vraisemblance :

L(y1, . . . ,yN;β) = Π^N_k=1p_k^y^k(1−pk)^1−y^k,

X

U

x_k(y_k−µ(x_k⁰β)) = 0 avec µ(x_k⁰β) =pk = exp(x_k⁰β)(1 + exp(x_k⁰β))⁻¹.

(18)

Rappels sur l’estimation d’un total

Exemples

(19)

Population, ´ echantillon, estimateur d’un total

U ={1, . . . ,k, . . . ,N}population finie et s ⊂U ´echantillon ; Probabilit´es d’inclusion :π_k =Pr(k ∈s), π_kl =Pr(k,l ∈s);

y variable d’int´erˆet et total t_y =X

k∈U

y_k paramètre d’intérêt à estimer.

Estimateurs classiques (homog`enes) : ˆt_y_,w =X

k∈s

w_ky_k

Pour des enquêtes à plusieurs items (plusieurs variables d’intérêt), les poidsw_k ne dépendent pas dey.

(20)

Population, ´ echantillon, estimateur d’un total

U ={1, . . . ,k, . . . ,N}population finie et s ⊂U ´echantillon ; Probabilit´es d’inclusion :π_k =Pr(k ∈s), π_kl =Pr(k,l ∈s);

y variable d’int´erˆet et total t_y =X

k∈U

y_k paramètre d’intérêt à estimer.

Estimateurs classiques (homog`enes) : ˆt_y,w =X

k∈s

w_ky_k

Pour des enquêtes à plusieurs items (plusieurs variables d’intérêt), les poidsw_k ne dépendent pas de y.

(21)

Estimation par les valeurs dilat´ ees (HT) pour un total

ˆty,d =X

k∈s

dkyk avecdk = 1 π_k Variance : V(ˆty,d) =X

k∈U

X

l∈U

∆kl

yk

π_k yl

π_l, ∆kl =πkl −πkπl

Estimateur sans biais de la variance : Vˆ(ˆt_y,d) =X

k∈s

X

l∈s

∆_kl πkl

y_k πk

y_l πl

(22)

Rappels sur l’estimation d’un total Estimation d’un total assistée par modèle linéaire

Exemples

(23)

Approche assist´ ee par un mod` ele

On suppose que l’on dispose d’information auxiliaire not´eez. Mod`ele de super-population :

les y_k sont des r´ealisations de variables al´eatoires i.i.d. avec ξ : y_k =f(z_k) +ε_k, et V_ξ(ε_k) =v(z_k) , k ∈U

Remarque : dans le cas où ξ est un modèle linéaire, on obtient la classe d’estimateurs par régression généralisée (GREG).

(24)

Approche assist´ ee par un mod` ele

On suppose que l’on dispose d’information auxiliaire not´eez. Mod`ele de super-population :

les y_k sont des r´ealisations de variables al´eatoires i.i.d. avec

ξ : y_k =f(z_k) +ε_k, et V_ξ(ε_k) =v(z_k) , k ∈U

Remarque : dans le cas où ξ est un modèle linéaire, on obtient la classe d’estimateurs par régression généralisée (GREG).

(25)

La classe d’estimateurs GREG

On considère le modèle linéaire suivant (pourz_k⁰ = (z_1k, . . . ,z_pk)) ξ : y_k =z_k⁰β+ε_k et V_ξ(ε_k) =σ²_k.

L’estimateur GREG pour le total t_y est donn´e par ˆt_y,GREG =X

s

w_ky_k

avec siσ²_k =λ⁰z_k,

w_k = X

U

z_i⁰

! X

s

ziz_i⁰ π_i

!−1

z_k π_k

(26)

La classe d’estimateurs GREG

On considère le modèle linéaire suivant (pourz_k⁰ = (z_1k, . . . ,z_pk)) ξ : y_k =z_k⁰β+ε_k et V_ξ(ε_k) =σ²_k.

L’estimateur GREG pour le totalt_y est donn´e par ˆt_y,GREG =X

s

w_ky_k

avec siσ_k² =λ⁰z_k,

w_k = X z_i⁰

! X

s

ziz_i⁰ π_i

!−1

z_k π_k

(27)

Quelques remarques

Pour obtenir les poidsw_k,on estimeβ sous le mod`ele et sous le plan :

Bˆ = (P

Uzkz_k⁰/σ_k²)⁻¹P

Uzkyk/σ_k² Bˆd= (P

sdkzkz_k⁰/σ²_k)⁻¹P

sdkzkyk/σ_k²

Les poidswk ne d´ependent pas de y mais d´ependent dez.

AV(ˆt_y,GREG) =X

U

X

U

∆_klEk

π_k El

π_l avec E_k =y_k−z_k⁰B.ˆ Vb(ˆt_y,GREG) =X

s

X

s

∆_kl π_kl

Eˆ_k π_k

Eˆ_l

π_l avec Eˆ_k =y_k −z_k⁰Bˆ_d.

(28)

Quelques remarques

Pour obtenir les poidsw_k,on estimeβ sous le mod`ele et sous le plan :

Bˆ = (P

Uzkz_k⁰/σ_k²)⁻¹P

Uzkyk/σ_k² Bˆd= (P

sdkzkz_k⁰/σ²_k)⁻¹P

sdkzkyk/σ_k²

Les poidswk ne d´ependent pas de y mais d´ependent dez. AV(ˆt_y,GREG) =X

U

X

U

∆_klE_k π_k

E_l

π_l avec E_k =y_k−z_k⁰B.ˆ Vb(ˆt_y,GREG) =X

s

X

s

∆_kl π_kl

Eˆ_k π_k

Eˆ_l

π_l avec Eˆ_k =y_k −z_k⁰Bˆ_d.

(29)

Rappels sur l’estimation d’un total Estimation d’un total assistée par un modèle non-paramétrique

Exemples

(30)

Estimation d’un total assist´ e par un mod` ele non-param´ etrique (NP)

Pour une variable auxiliaire z,

ξ^np :yk =f(zk) +εk avec V(εk) =v(zk).

• Etape 1 - au niveau de la population: on estime f(z_k) par ˆf(z_k) à l’aide d’une méthode d’estimation non-paramétrique. Dans la suite, B-splines (Goga, 2005).

• Etape 2 - au niveau de l’´echantillon: on estime ˆf(zk) par ˜f(zk) en utilisant les poids de sondages 1/π_k.

(31)

Estimation d’un total par r´ egression B-splines (Goga, 2005)

ˆt_y,BS =X

s

w_ky_k

avec wk = 1 π_k

X

U

b⁰(zi)

! X

s

b(zi)b⁰(zi) π_i

!−1

b(zk) b⁰(z_k) = (B1(z_k), . . . ,Bq(z_k))

B1, . . . ,Bq, la base de fonctions B-splines.

Variance asymptotique :AV(ˆt_y,BS) =X

U

X

U

∆_klE_k π_k

E_l π_l avec E_k =y_k−fˆ(z_k) est le r´esidu dey_k sous le mod`ele ξ^np.

(32)

Estimation d’un total par r´ egression B-splines (Goga, 2005)

ˆt_y,BS =X

s

w_ky_k

avec wk = 1 π_k

X

U

b⁰(zi)

! X

s

b(zi)b⁰(zi) π_i

!−1

b(zk) b⁰(z_k) = (B1(z_k), . . . ,Bq(z_k))

B1, . . . ,Bq, la base de fonctions B-splines.

Variance asymptotique :AV(ˆt_y,BS) =X

U

X

U

∆_klE_k π_k

E_l π_l avec Ek =yk −fˆ(zk) est le r´esidu deyk sous le mod`ele ξ^np.

(33)

Quelques pr´ ecisions sur les fonctions B-splines

On choisitK nœuds intérieurs et mle degré des splines (pour contrôler la régularité de ˆf) ;

Les fonctions splines sont des polynˆomes de degr´em−1entre les nœuds ;

Le nombre de fonctions B-splines de la base est q =K +m.

Cas particuliers :

m= 2, fonctions continues et lin´eaires par morceaux.

m= 2 et K = 0, droites → estimateur GREG pour la r´egression simple.

(34)

Quelques pr´ ecisions sur les fonctions B-splines

On choisitK nœuds intérieurs et mle degré des splines (pour contrôler la régularité de ˆf) ;

Les fonctions splines sont des polynˆomes de degr´em−1entre les nœuds ;

Le nombre de fonctions B-splines de la base est q =K +m.

Cas particuliers :

m= 2, fonctions continues et lin´eaires par morceaux.

m= 2 etK = 0, droites → estimateur GREG pour la r´egression simple.

(35)

0.00.20.40.60.81.0

Function B1

x

B1

0 K1 K2 K3 1

0.00.20.40.60.81.0

Function B2

x

B2

0 K1 K2 K3 1

0.00.20.40.60.81.0

Function B3

x

B3

0 K1 K2 K3 1

0.00.20.40.60.81.0

Function B4

x

B4

0 K1 K2 K3 1

0.00.20.40.60.81.0

Function B5

x

B5

0 K1 K2 K3 1

0.00.20.40.60.81.0

Function B1

x

B1

0 K1 K2 K3 1

0.00.20.40.60.81.0

Function B2

x

B2

0 K1 K2 K3 1

0.00.20.40.60.81.0

Function B3

x

B3

0 K1 K2 K3 1

0.00.20.40.60.81.0

Function B4

x

B4

0 K1 K2 K3 1

0.00.20.40.60.81.0

Function B5

x

B5

0 K1 K2 K3 1

0.00.20.40.60.81.0

Function B6

x

B6

0 K1 K2 K3 1

Fig.:Les fonctions B-splines avec 3 nœuds intérieurs etm= 2 à gauche (m=3 à droite).

(36)

Estimateur B-splines versus GREG

Les poids de l’estimateur GREG si σ_k² =λ⁰zk : w_k = 1

πk

X

U

z_i⁰

! X

s

z_iz_i⁰ πi

!−1

z_k

Les poids de l’estimateur B-splines : wk = 1

πk

X

U

b⁰(zi)

! X

s

b(z_i)b⁰(z_i) πi

!−1

b(zk)

les poids NP n´ecessitent de connaˆıtre z_k pour toutk ∈U.

(37)

Estimateur B-splines versus GREG

πk

X

U

z_i⁰

! X

s

z_iz_i⁰ πi

!−1

z_k

π_k X

U

b⁰(zi)

! X

s

b(zi)b⁰(zi) πi

!−1

b(zk)

les poids NP n´ecessitent de connaˆıtre z_k pour toutk ∈U.

(38)

Estimateur B-splines versus GREG

πk

X

U

z_i⁰

! X

s

z_iz_i⁰ πi

!−1

z_k

π_k X

U

b⁰(zi)

! X

s

b(zi)b⁰(zi) πi

!−1

b(zk)

les poids NP n´ecessitent de connaˆıtre z_k pour tout k ∈U.

(39)

Remarques sur le lien entre estimateurs B-splines et le calage (Deville &

Sarndal, 1992) : X

s

w_kB_j(z_k) =X

U

B_j(z_k), j = 1, . . . ,q X

s

w_k =N;

(40)

Estimation de param`etres complexes avec information auxiliaire

Exemples

(41)

Estimation de paramètres complexes avec information auxiliaire Cas général

Estimation des param` etres complexes assist´ e par un mod` ele non-param´ etrique (Goga & Ruiz-Gazen, 2012)

• Poids HT remplacés par poids non-paramétriques obtenus précédemment.

• Théorie justifiée par l’approchefonctionnelle de Deville (1999). On associe à un estimateur d’un paramètre une fonctionnelleT qui est une fonction de la mesure M =PN

k=1δyk.

• En particulier, on montre que variance asymptotique basée sur résidus de la linéariséeu (de la fonctionnelle associée à l’estimateur) sur la variable auxiliaire z.

(42)

Estimation des param` etres complexes assist´ e par un mod` ele non-param´ etrique (Goga & Ruiz-Gazen, 2012)

• Th´eorie justifi´ee par l’approchefonctionnelle de Deville (1999).

On associe `a un estimateur d’un param`etre une fonctionnelleT qui est une fonction de la mesure M =PN

k=1δyk.

(43)

Estimation des param` etres complexes assist´ e par un mod` ele non-param´ etrique (Goga & Ruiz-Gazen, 2012)

• Th´eorie justifi´ee par l’approchefonctionnelle de Deville (1999).

On associe `a un estimateur d’un param`etre une fonctionnelleT qui est une fonction de la mesure M =PN

k=1δyk.

(44)

Estimation de param`etres complexes avec information auxiliaire Cas de l’estimation d’un rapport de cote

Exemples

(45)

Estimation d’un rapport de cote

On peut définir le paramètre β comme solution d’une équation estimante X

U

x_k(y_k−µ(x_k⁰β)) = 0 avec µ(x_k⁰β) = exp(x_k⁰β)(1 + exp(x_k⁰β))⁻¹.

On a aussi :

T(M;β) =X

U

xk(yk −µ(x_k⁰β)) avec β solution de l’´equation implicite

T(M;β) = 0

(46)

Estimation d’un rapport de cote

On peut définir le paramètre β comme solution d’une équation estimante X

U

x_k(y_k−µ(x_k⁰β)) = 0 avec µ(x_k⁰β) = exp(x_k⁰β)(1 + exp(x_k⁰β))⁻¹. On a aussi :

T(M;β) =X

U

xk(yk −µ(x_k⁰β)) avec β solution de l’´equation implicite

T(M;β) = 0

(47)

Estimation d’un rapport de cote

βbest la solution de l’´equation implicite : X

s

w_kx_k(y_k −µ(x⁰_kβ)) = 0

On calcule la linéarisée associée à l’estimateur : u_k = (u_i,0,u_i_,1) = (X

U

ν(x_k⁰β)x_kx_k⁰)⁻¹·x_k(y_k −µ(x_k⁰β)) avec

ν(x_k⁰β) =µ(x_k⁰β)(1−µ(x_k⁰β))

(48)

Estimation d’un rapport de cote

On en d´eduit :

βˆ−β 'X

s

w_ku_k−X

U

u_k

βˆ−β'X

s

u_k −θb⁰_ub(z_k)

π_k −X

U

u_k avec θb_u = (P

Ud_kb(z_k)b⁰(z_k))⁻¹(P

Ud_kb(z_k)u⁰_k).

On en déduit la variance asymtpotique de l’estimateur B-splines. Dans le cas particulier où la variable X est dichotomique on a une expression simple pour la linéarisée de β1 :

u_k_,1 = 1{x_k=0,yk=0}

N00

+1{x_k=1,yk=1}

N11

−1{x_k=1,yk=0}

N10

−1{x_k=0,yk=1}

N01

.

(49)

Estimation d’un rapport de cote

On en d´eduit :

βˆ−β 'X

s

w_ku_k−X

U

u_k

βˆ−β'X

s

u_k −θb⁰_ub(z_k)

π_k −X

U

u_k avec θb_u = (P

Ud_kb(z_k)b⁰(z_k))⁻¹(P

Ud_kb(z_k)u⁰_k).

On en d´eduit la variance asymtpotique de l’estimateur B-splines.

Dans le cas particulier où la variable X est dichotomique on a une expression simple pour la linéarisée de β₁ :

u_k,1 = 1{x_k=0,yk=0}

N00

+1{x_k=1,yk=1}

N11

−1{x_k=1,yk=0}

N10

−1{x_k=0,yk=1}

N01

.

(50)

Mise en œuvre et exemples

Exemples

(51)

Mise en œuvre et exemples Mise en œuvre

Exemples

(52)

Mise en œuvre et exemples Mise en œuvre

Mise en œuvre

Mise en œuvre :

1 Calcul des fonctions de la base B-splines avec SAS ou R en sp´ecifiant le degr´e et le nombre de nœuds.

2 Utiliser les poids de sondage d_k = 1/π_k et les fonctions de la base B-splines dans une procédure de calage pour calculer les poids wk et en déduire le paramètre estimé.

3 Calculer la variable linéariséeu_k et l’estimer par û_k.

4 Calculer θb

bu = X

s

d_kb(z_k)b^T(z_k)

!−1

X

s

d_kb(z_k)bu^T_k

!

et les résidus associés û_k −θb^T_ub(z_k).

(53)

Mise en œuvre et exemples Exemples

Exemples

(54)

Enquˆ ete Emploi

Population de N = 14621 salariés de moins de 50 ans enquêtés en 1999 et en 2000.

Variable de réponse y= 1 si salaire en 2000supérieur à 1500 euros et 0 sinon,

Variable de risquex=1 si salaire en1999 sup´erieur `a 1500 euros et 0 sinon,

Variableauxiliaire z= 1 si l’individu a un diplˆome universitaire et 0 sinon.

Gain en terme de variance asymptotique pour le GREG comparé au HT : 20% et 33% pour l’estimateur B-splines (ordre de 1 à 5 et nbre de nœuds de 5 à 50).

(55)

Enquˆ ete Emploi

Population de N = 14621 salariés de moins de 50 ans enquêtés en 1999 et en 2000.

Variable de réponse y= 1 si salaire en 2000supérieur à 1500 euros et 0 sinon,

Variable de risquex=1 si salaire en1999 sup´erieur `a 1500 euros et 0 sinon,

Variableauxiliaire z= 1 si l’individu a un diplˆome universitaire et 0 sinon.

Gain en terme de variance asymptotique pour le GREG comparé au HT : 20% et 33% pour l’estimateur B-splines (ordre de 1 à 5 et nbre de nœuds de 5 à 50).

(56)

Enquˆ ete CHIS (California Health Interview Survey)

Données extraites de 2009 par Center for Health Policy Research à l’université de Californie.

N = 11074 adultes de moins de 60 ans.

Variable de r´eponse y= 1 si personne assur´ee et 0 sinon Variable de risquex= 1 si personne fumeuse et 0 sinon Variableauxiliaire z= age

Gain en terme de variance asymptotique pour le GREG ou l’estimateur B-splines comparé au HT : moins de 2%. Variable auxiliaire n’explique pas la linéarisée qui est une variable à 4 valeurs (selon les valeurs dex ety).