D 1956
Une promenade nagelienne
Les deux côtés d’un triangle acutangle ABC ont pour longueur l’un 11 et l’autre 10. Le point de concours des trois céviennes qui aboutissent aux points de contact des côtés du triangle avec les cercles exinscrits est sur le cercle inscrit. Calculer la longueur du troisième côté.
Fixons AB = c =11, AC = b= 10, on cherche BC = a. Demi périmètre p = (21 + a )/2 Le rayon du cercle inscrit est r tel que r² = (p – a ) (p – b ) (p – c )/p
Dans le repère (A, vecteur AB, vecteur AC ) , Les coordonnées du centre I du cercle inscrit, du point de Nagel N, et du vecteur IN sont :
I : [b/(2p),c/(2p)]
N : [(p – b)/p, (p – c)/p]
IN : [(2p – 3b)/2p, (2p – 3c )/2p] = [(a – 9)/(a +21) , (a – 12)/(a +21)].
On va écrire que IN² = r² . Sachant que AB² = 121 , AC² = 100, on calcule aussi le produit scalaire AB.AC qui vaut : b.c. cos  = b.c. [(b²+c² – a²)/(2.b.c)] = (100+121 – a²)/2 = (221 – a²)/2.
IN² = [(a-9)².121 + (a-12)².100 + (a-9)(a-12)(221-a²)] / (a+21)² IN² = –( a3 – 42a² + 548a – 2289)/ (a+21)
r² = (p – a ) (p – b ) (p – c )/p = (21 – a )(a² – 1 )/[4.(a+21)]
a3 – 42a² + 548a – 2289 + (21 – a )(a² – 1 )/4 = 0 a3 – 49a² + 731a – 3059 = 0
Les trois racines de cette équation sont 7, 19, et 23, mais 23 est à rejeter car il faut a<b+c, donc a<21 .
Les figures obtenues avec a=7 ou a=19 montrent un point N sur le cercle inscrit.
Mais avec a = 19 le triangle est obtusangle et ce cas est rejeté par l'énoncé.
La seule réponse valable pour la longueur du troisième côté est donc a = 7.
