Chauddevant Comprendreetformaliserun´enonc´e Majorer,minorer,encadrer,arrondir

L1 Analyse Exos3 : 22/02/2011

Majorer, minorer, encadrer, arrondir

1. Interro

a) Donnez les intervalles de stricte monotonie maximaux et les bornes (sup´erieure et inf´erieure) de la

fonction f au vu de son TV :

x −∞ −7 −3 0 +∞

4 6

f(x) % & % &

2 0 −∞

b) Donnez un exemple de fonction strictement croissante dont la d´eriv´ee n’est pas strictement posi- tive.

c) Encadrer x²+ 100 sinxpour x∈[−3π, π].

2.

Arrondir dans le bon sens

a) Pour x∈[e, π], montrez que ^2x+cos_3x−sin^x_x est major´e par ^2π+1_3e−1. Utilisez votre calculatrice pour arrondir cette majoration dans le bon sens.

b) Pour x ∈ [−2π,−π], montrez que ^2x+sin_3x+sin^x_x est minor´e par ^2π−1_6π+1. Utilisez votre calculatrice pour arrondir cette minoration dans le bon sens.

c) Pour x∈[−π, π], majorer _3x^2x2²+cos^+sinxx₄ par un entier.

d) Pour x∈[−e, −1[, encadrer _πx^ex22^{+2 sin}+3 cos^xx par deux nombres positifs `a deux chiffres.

3.

Comprendre et formaliser un ´ enonc´ e

a) On donne un intervalle I deR et une fonction f d´efinie sur I. Formaliser les ´enonc´esE et F : (E) : sur I, f est major´ee ;

(F) : sur I,f atteint son minimum.

b) Ici on prend f := x 7→ x². Donner quatre valeurs de I donnant `a (E, F) les quatree valeurs possibles.

c) Ici, on prendI := [0, 3[. Donner quatre valeurs def donnant `a (E, F) les quatre valeurs possibles.

d) Calculer la n´egation de E etF. 4.

Chaud devant

a) Calculer les bornes de la fonction g d´efinie par g(x) =e^x+ cosx.

b) Soit f et g deux fonctions d´efinies sur tout Ret minor´ees.

Quel rapport peut-on ´etablir entre inff + infg et inf(f +g) ?

c) Prouver que la somme de deux fonctions (d´efinies sur toutRet) major´ees est aussi major´ee. Quid de la diff´erence, du produit ?