,24^234-24

Leçon 2 : Multiplication et division des expressions rationnelles

Activités

Calculer les expressions suivarrtes.

,24^234-24

l. -x-. 3 ,5 z. -x-x-. 3 4 5 J. -+-. 3

⁵

Le

cours

1. Multiplication

des expressions rationnelles

'

Pour

multiplier

deux expressions rationnelles, on

rnultiplie

les numérateurs enhe eux et les dénominateurs entre eux puis on

simplifie

(si possible).

Eta ntdonnédeuxexpressions rationnelles 4 _{BD "t} { ^{uur. B*0, D+0,}

AC AC

^C

ona: _x_:_.

BD

^BD

Exemples :

Donner la forme produit factorisé des expressions rationnelles,

puis simplifier s'il ^y

^{a lieu en} précisant les valeurs interdites.

-s^2xl0y,

¹

1.

^6x2

x-!

_^

. L.

-x ^-- . ^3.' -j="

^20x2.

3x' y 8x'

5x'

, 27x3 4v - 6r+18 x .

^x2

-x-12 ^x'

T. ---;-^ J. ---;- ^ --;-. v.

l2v' 15x' x' T'-9 x x-4

n ^t'2+3t-4 t2-5t+4 o y'-3y+2..y'-6y+5

t . -:--^ --;-. u. :-^ ---:--

t2_.)t_4"Ê+5t+4' u

yz_4y+4^ y2 t-.r'

Solution:

i -, 5'2.3x2 5 2 5 l0

l. ^OX- X--;:-X----:-:-X-:-, I+L)

3x' | 3x'.x I x

^x

2. ^2xrl0y2 =?r*5y'2r=-2r== !=. _{x*0 et v*0} 5y 8x' 5y 2x.4x' 4x' ^2x''

174.5x27428

3. -j=t20x2 =---:-X-:-Xl= --. _x+0 5x' 5x'-x I x I

^x

^

²⁷

x3 4v 3.3.3.x3 4y 3 I

³

4. ?,-j==- l2y'l5x' 3.4y.y 3.5.x' y 5 -"-: .--v:=-

^5y'

. x*0 et )'+0.

- 6x+18 x 6(.r-3) x 6 | 6 .^

5. "-

^,=-"

y =-

^{_ -u-- -,}

y _{=_y} _

X

*0 _et

X

+!3 x' x'-9 x-x (x-3)(x+3) x x+3

^x(x+3).

6.

xx-4xx-411

2. Expressiùs rationnelles : multiplication-division _{| 5}

7

^t2

^+3t-4 rtz ^-5t+4 _(t+4)(t-l)x(t-lxt-4) - ^{(r-1): .} t*_t et t*t4

t'

_-3t

-4'.

^{t2 +5t}

+4 ^{(r-4Xt+l) (t+lXr+4)}

^(t

^+l)''

R

^y2

^{-3y+2,y2 -6y+5} _(y-l)(v-2)r(y-lXv-5) _{=v-5 .}

_v

_{*r.v +2} y'-4y+4' y'-2y+r (y-2)(y-2) (y-r)(y-l) ^y-2'

2.

Division

des expressions

rationnelles

Étant donné

deux expressions

rationnelles i

Àf

", I

^{avec B}

^*0,

^C

^{*0, D+0,} A C AD

^AD

ona:-:-:-x-=-. B D BC

^BC

Exemples ^:

Donner

la

forme quotient factorisé ^des expressions rationnelles, puis

simplifier s'il y

a lieu en précisant les valeurs interdites.

. ^(t+4\2 t'-16 - r-x x'-l +' 4t - l6t' '

" ,' -* ^{y' -2y} n'

Solution ^:

1. 4*t:4"!=+, _x-x-lx- ^x+o

^1283.4x'31i

2. ;-7=fr".-ru=;,;=#,

^x

^+o

7 (v-l)',v'-l-(v-lXv-l), 5'3v =y-1, 5 -5(v-l).

I "' '3y l1y 3v (v-lXY+l) | Y+l Y+l

, (v-l)' ^. y'-l

- -.

3y ^l5y

2. f*pr"rrions rationnefltes : multiplication-division _| 6

, ^35.,

r' --;= t'

x-

., .12 .8

/-.

^-- _Â

_=-T.

x'

x-

Exercices

l.

Donner la forme

produit

factorisé des expressions rationnelles, puis

simplifier s'il y

a lieu en précisant les valeurs interdiûes.

1. ^{15; y "} _5xa' J-,- _z. lrgy'

_3y ^.

-2-

^ ^x5v2.

3. llxr 3.

4.

t2lx lÙy'

'l

5. !r!. _6. I" 9.

ba cb

3x 5vt ^ 4x

^6v2

l.

---.-X---:.

4oy' 6xr' ^8' #" ^,7

^3x28x

y. -x-x-. ^10. :=x - x--X-.

x43y'sy'y"

ll. 2x!3r--x "3.. ^12.3Y-5* lt )c" 2x+3 x y

3y

-5

a-, ^8x-12 x+l 1, ^L2x+15

^3x+3

tJ. f-T. Â-.

r+1 2x-3 .r+l

^4x+5

15.

^x2

+3x+2 _16.

^yz

+3y-4'*

²

x+2

^x"

+4x+3 y+4 ,y-l

t-) J -v

^wt

17. '-=t ,

J' 2-t - w v-w

19. Y

^xY

^-3, . 20. a

^{,bY -2bx .}

3x-y x 2cx-cy

^ab

^r

^t2

^-3t+2

^t2

+5t+6 ^ô

^s2

^+3s-10

^st

^-2s-8

LL. ---;-^--.Ï-. L-. --=-^---;-.

t'+t-2 t'+t-6 , J'-3s-10 ^.r'+2s-8

2. Donner la forme ^quotient factorisé des expressions rationnelles,

puis simplifier s'il y

a lieu ^en précisant les valeurs interdites.

, 459 t. --t+-.

x-x -bb

a

-:-

xx'

< .r+y.x--y-

'r)

J. î--.

nn .t 20.5

l.

-î-.

nn 3x

^4x

9. -+-. 4v

^3v

r1 @-3)'.x'-9 î-, x2x

,

ô

^(r

+5)2 tz -25

LJ. î-.

f< 2-y y'-4

I

J'

7 *2t= *\ , -2'

12.1

?' )'

x'

^x-

xx-

)

_: 79 -.

3x+3y _î- . ^x+y n+m

^n+m

nn

5'10' )

4.

6.

8.

17.

19.

21.

a+b

^az +2ab +bz

-: c-d' c'-d'

x2

+4x+3

^{xz +5x+6}

x' -4x+3'

^x2

-5x+6 y'

^+5y

,2y'+l3y+15 3y'-y'

3yt

-y'

to. q _*6'

6y

^5x .

1.

^5(x

-

^lS2

î-

. ^x2

-l x

^5x2

1^ ^{(s+3)2 .} s'-9

rT. î

--.

55s

3-v v'-9

lv.----:---;-.

x' +3x x' +x-6 rô d-c ^c'-2cd+d'

lu. - --=-

d+c'

^c2

+Zcd+d''

^^

^x2

^+2x+15

^x2

^+2x-15

Lv. -_-;--

x2

+8x+15 '

x' _-4x-15

n. ^y' -2y _:-.

^.

^{y' -4y+4} 6y'+3y

^3y

24. ab-ac

*b4--t!

^.

ab

+bc ' _a'

^1

^3x

-3a

^cx

-

^qa

-c''

aJ. î-

cy+bc

dy

-bd

3.

4.

5.

Le

rapport entre

I'aire

du

iarré

de côté s et

I'aire

du cercle

inscrit

^{à ce carré}

est

s2 + x(s l2)' . Simplifier ^ce rapport.

Le rapport entre le volume du cube d'arête

s

et le volume du sphère inscrit

à ce cube est s3

+$13)n(s l2)3.

Simplif,rer ce rapport.

1.

Voici

la

simplification d'une

^fraction

d'un

élève :

16 1

^.,

-*=;

^car

^il

^{enlève 6 au} numérateur et ^au dénclminateur.

pouvez-vous trouver les autres iiactions simplifrées ^{de même} manière ^?

2. ! ₌₁

"u,

on simplifie le numérateur et le dénominateur

par a.

4a4

Est-ce sera possible si a

=0?

^{Pourquoi ?}

2. n*prrrrions rationnelles ^: lnultiplication-division _{| 8}

':: ^_

,.

^{I I + 4} = 11

"*

^{on enlève 4 au} numérateur et au dénominateur.

l+4

^I

Est-c'est

vrai

ou faux ? Pourquoi ?

6.

^{Archimède est né vers} 287 avant JC à Syracuse,

écrivain

grec très postérieur au scientifique.

Il

excelle en géométrie, où

il

calcule le volume et

I'aire

totale d'un

cylindre

et d'une sphère.

Il fit

graver

l'égalité

les rapports entre les volumes et entre les aires d'une sphère et son

cylindre

circonscrit.

A l'aide

des formules ci-dessous,

vérifier

cette égalité.

Indication

:

ealculer ft

en fonction

de r.

7.

^Calculer

i

_,

, 123 99 . r23

⁹⁹⁹

l. L.

234 100 234

⁰⁰⁰

t

' n | 2 3 ggg

_af, 3.

234

¹⁰⁰⁰

Volume

^de la

sphère

V,

=!rr'.

J

Volume

du

cylindre

^Vc =n12h.

Aire

de Ia

sphère

As ₌ 4nr2.

Aire

du

cylindre

^Ac

=2rrh+2n12.

't

2. Expressions rationnèlles : multiplication-division _| 9

\,

\,

- -- -'<--- - - - :.'- - - -