Journal de Mathématiques, Mathématiques & Applications Fondamentales et Informatique JMMAFI 2016, vol.3, p 1-24 THEOREME DE LA LIMITE CENTRALE ET PRINCIPE DE DEVIATIONS MODEREES POUR LES EQUATIONS D’EVOLUTIONS ALEATOIRES

Fondamentales et Informatique JMMAFI 2016, vol.3 , p 1-24

THEOREME DE LA LIMITE CENTRALE ET PRINCIPE DE DEVIATIONS MODEREES POUR LES EQUATIONS

D’EVOLUTIONS ALEATOIRES

R.B. RAKOTOARISOA¹; J.H. ANDRIATAHINA² et T.J. RABEHERIMANANA³ Domaine des Sciences & Technologie

Mention Mathématiques et Informatiques, B.P. 906, Ankatso 101, Antananarivo, Madagascar

Résumé :

On considère la famille des processus stochastiques X^ε = {X^ε(t), 0 ≤ t ≤ 1}, ε > 0 où X^ε est la solution de l’équation différentielle d’Itô

dX^ε(t) =√

εσ(X^ε(t), Z(t))dW_t+b(X^ε(t), Y(t))dt (E)

où les coefficients dépendent des processus Z ={Z(t), t∈[0; 1]} etY ={Y(t), t ∈[0; 1]}.

Dans cet article, on se propose de démontrer un théorème de la limite centrale et un principe de déviations modérées pourX^ε, solution de(E)considérée comme une variable aléatoire à valeur dans C^α,0([0; 1];R^d). A cette fin, nous utilisons plusieurs résultats tels que l’équivalence exponentielle,le principe de contraction, l’inégalité de Transport de Ta- lagrand et l’ inégalité exponentielle.

Mots Clés : Théorème de la limite centrale, Principe de déviations modérées, Prin- cipe de grandes déviations, Equations d’évolutions aléatoires, Equivalence exponentielle, Inégalité de transport de Talagrand et la norme höldérienne.

Abstract :

We consider a familly stochastics process X^ε ={X^ε(t), 0≤ t ≤ 1}, ε >0 when X^ε is a solution of Itô differntiel equation.

dX^ε(t) =√

εσ(X^ε(t), Z(t))dWt+b(X^ε(t), Y(t))dt (E)

when the coefficients depend to processes Z ={Z(t), t∈[0; 1]} etY ={Y(t), t∈[0; 1]}.

In this paper, we purpose to show a central limit theorem and a moderate deviations principle for X^ε, solution of (E) considered as which a random-variable to value in C^α,0([0; 1];R^d). In this aim, we use lots of results such as exponential equivalence, contrac- tion principle, Talagrand transportation inequality and exponential inequality.

Keys words : Central limit theorem, Moderate deviations principle, Large deviations principle, Exponential equivalence, Random evolution equation, Talagrand transporta- tion inequality and the Hölder norm.

1. [email protected] 2. [email protected]

3. [email protected]

Introduction et notations.

Le principe de grandes déviations a été étudié par beaucoup d’auteurs tels qu’ Anzen- cott [1], Freidlin-Wentzell [9] ; Schilder [21], Dembo et Zeitouni [6]. Cependant, d’autres auteurs ont trouvé des résultats des grandes déviations sur les équations d’évolutions aléatoires voir [3], [11], [15], [16], [18] et [19]. Mais dans cet article, nous nous proposons d’étudier le théorème de la limite centrale(TLC) et le principe de déviations modérées (PDM) dansC^α,0([0; 1];R^d) pour la famille des lois de l’équation des évolutions aléatoires perturbées







dX^ε(t) = √

εσ(X^ε(t), Z(t))dW_t+b(X^ε(t), Y(t))dt X^ε(0) =x

(0.1) où x ∈ R^d, W est un mouvement brownien standard sur l’espace (Ω,F,P), Y est un processus aléatoire progressivement mesurable qui satisfait une certaine condition d’inté- grabilité,Zest un processus aléatoire tel que son support topologique est un sous-ensemble compact de C^α,0([0; 1];R^d). En outre, W est indépendant de (Y, Z) et σ et b satisfont : (H₀) :σ :R^d×R^l−→R^d⊗R^k etb :R^d⊗R^m −→R^d

(H₁) : la fonctionb(x, y) est mesurable en (x, y) et il existe une constante Cb >0 tel que

|b(x, y)| ≤K ∀(x, y)∈R^d×R^m

|b(x, y)−b(x⁰, y⁰)| ≤C_b(|x−x⁰|+|y−y⁰|)∀ x, x⁰ ∈R^d; y, y⁰ ∈R^m.

(H₂) : La fonctionσ(x, z) est mesurable en (x, z) et il existe une constanteCσ >0 tel que

|σ(x, z| ≤K ∀ (x, z)∈R^d×R^l

|σ(x, z)−σ(x⁰, z⁰)| ≤C_σ(|x−x⁰|+|z−z⁰|) ∀x, x⁰ ∈R^d; z, z⁰ ∈R^l. Soit

V^ε(t) = 1

√εh(ε)(X^ε(t)−X⁰(t)), t∈[0,1]

tel que

h(ε)−→ ∞ et √

εh(ε)−→0, quand ε−→0, t∈[0,1].

Le but dans cet article est d’étudier la convergence de V^ε(t) = R^ε(t)

h(ε) pour h(ε) −→ ∞ avec

R^ε(t) = 1

√ε(X^ε(t)−X⁰(t)), t∈[0,1]

et X⁰(t) est la solution de l’équation différentielle ordinaire aléatoire :







dX⁰(t) = b(X⁰(t), Y(t))dt X⁰(0) =x

(0.2)

et d’établir le principe de grandes déviations dans C^α,0([0; 1];R^d) de V^ε(t) = R^ε(t) h(ε). Signalons le fait que, Mellouk[15], S.H Randriamanirisoa et T.J Rabeherimanana[19]

et Bezuidenhout[3] étudient le principe de grandes déviations pour des différentes équa- tions d’évolution aléatoires. En outre, pour σ et b ne dépendant que du processus X^ε, le PDM est étudié par Y. Ma, R. Wang et L. Wu[14]. Le PDM pour les équations de

réaction-diffusion stochastique est établi par R. wang et T. Zhang[24].

La section 1 est consacrée à quelques définitions et résultats généraux. Dans la section 2, nous annonçons le résultat principal de cet article concernant le PGD du processus V^ε(t). Dans la section 3, nous démontrons le PGD du processusR⁰(t) qui est la limite de R^ε(t) quand ε → 0. Dans la dernière section, nous prouvons que R^ε(t) converge vers un processus de Gauss R⁰(t) qui est le TLC et que le processus V^ε(t) satisfait un PGD avec une certaine fonctionnelle d’action , ceci nous amène à prouver l’équivalence exponentielle des processus V^ε(t) et R⁰(t)

h(ε) .

Maintenant, nous allons introduire quelque notations et conventions que nous allons utiliser dans cet article.

On note pour 0< α < 1 2 ,

|f|∞ = sup{|f(t)|; t∈[0; 1]}

||f||_α = sup

{0≤|t−s|≤1}

|f(t)−f(s)|

|t−s|^α . Définissons le module de continuité Hölderienne de f par

ωα(f;δ) = sup

0≤|t−s|≤δ

|f(t)−f(s)|

|t−s|^α .

Soit C^α([0; 1];R^d) l’espace des fonctions f α−Hölderiennes continues de [0; 1] dansR^d tel que||f||_α <∞etC([0; 1],R^d) l’espace des fonctions continues à valeur dansR^dinduit par la topologie usuelle de convergence uniforme etW un mouvement brownien standard sur Ω. SoitC^α,0([0; 1];R^d), le sous-ensemble séparable deC^α([0; 1];R^d) constitué des fonctions F tel que lim

|t−s|→0

|F(t)−F(s)|

|t−s|^α = 0.

Pour une variable aléatoire Y ; on note suppY le support de la distribution de Y.

1 Définitions et résultats généraux

Définition 1.1. Une fonctionI :E −→[0; +∞]est dite une fonctionnelle d’action si elle est semi-continue inférieurement (s.c.i). Si pour chaque a <∞, Γ_a ={x∈E, I(x)≤a}

est compact, alors I est une bonne fonctionnelle d’action.

Pour chaque sous-ensemble A de E et chaque fonctionnelle d’action I, on note I(A) =

x∈Ainf I(x).

Définition 1.2. Pour une fonction I , la famille de probabilité {P^ε}_ε>0 satisfait un PGD si on a :

(i) I est une bonne fonctionnelle d’action.

(ii) Pour tout ouvert O de E,

lim inf

ε−→0 εlogP_ε(O)≥ −I(O).

(iii)Pour tout fermé F de E,

lim sup

ε−→0

εlogP_ε(F)≤ −I(F).

Soit ({W(t);t > 0},(Ω;F,F_t, P) un mouvement brownien standard d− dimension- nel et soit Ω = C([0; 1],R^d) l’ensemble des fonctions continues de [0; 1] dans R^d équipé avec la topologie usuelle de la convergence uniforme définie par la norme |f|∞ et soit H([0; 1],R^d) l’espace de Cameron-Martin constitué des fonctions absolument continues avec une dérivée de carrée intégrable. C’est un espace d’Hilbert muni du produit scalaire hf, gi_H =

Z t 0

f˙_sg˙_sds.

Le PGD suivant provient de Baldi et al [2] (1992), qui est une extension du théorème de Schilder(voir Schilder[21] ; Deushell et Stroock[7]).

Théorème 1.3. : La mesure de probabilité induite par √

εW sur C^α,0([0; 1],R^d équipé avec la norme ||.||α satisfait un PGD avec la bonne fonctionnelle d’action λ(.)définie par











1 2

Z 1 0

|h(s)|˙ ²ds, si h∈ H([0; 1],R^d)

+∞ sinon.

(1.1)

Nous rappelons la version de l’inégalité exponentielle classique pour l’intégrale stochas- tiques, qui est cruciale dans la preuve de l’équivalence exponentielle ( voir par exemple ; Stroock[22] (1981) ).

Lemme 1.4. Soient f : [0; 1]×Ω −→ R^l ⊗R^d et g : [0; 1]×Ω −→ R^l des fonctions bornées F_t−progressivement mesurables et soit

U(t) =

Z t 0

f(s)dW_s+

Z t 0

g(s)ds, 0≤t≤1 et B = sup

t,ω

|g(t, ω)|. Définissons A= sup

t,ω

f(t, ω)f^T(t, ω) alors pour chaque s > 0, T >0, 0< α < 1

2 et r > lBT^1−α,

P sup

{s≤t≤s+T}

|f(t)−f(s)|

|t−s|^α ≥r

!

≤2lexp −(r−lBT^1−α)² 2Al²T^1−2α

!

. (1.2)

Théorème 1.5 ([6]). Si la famille des mesures de probabilité{µ_ε} vérifie un PGD avec la fonctionnelle d’action I et exponentiellement équivalente à la famille{˜µ_ε}; alors le même PGD est vérifié par {µ˜_ε}.

Soit Ω = C([0,1];R^k) l’espace de trajectoire du mouvement brownien à valeurs dans R^k et (Wt,0 ≤ t ≤ 1). Soit P la mesure de Wiener et F une filtration dans Ω. Soit Y = {Y(t),0 ≤ t ≤ 1} un processus à valeurs dans R^m qui est {F_t}−progressivement mesurable, on suppose queY est une variable aléatoire à valeurs dansL^1/(1−α)([0; 1];R^m).

soit Z ={Z(t),0≤t≤1}un processus{Ft}−mesurable prenant ses valeurs dansR^l. On suppose que suppZ est un sous- ensemble compact de C^α,0([0,1];R^l) et (Y, Z) et W sont indépendants.

Pourε >0, soit

X^ε(t) = x+√ ε

Z t 0

σ(X^ε(s), Z(t))dW_s+

Z t 0

b(X^ε(s), Y(s))ds.

L’existence et l’unicité de la solution de cette équation sont assurées par (H₀) -(H₂) Pourh∈ H([0; 1];R^d), r ∈ L^1:(1−α)([0; 1];R^m) ;u∈suppZ. Soitφ(h, r, u) l’unique solution de l’EDO

g(t) = x+

Z _t

0

σ(g(s), u(s)) ˙h(s)ds+

Z _t

0

b(g(s), r(s))ds x∈R^d.

L’existence et l’unicité de cette EDO sont des conséquences des continuités lipschitziennes de b et σ et sont standard.

Soit ˜λ :C^α,0([0; 1];R^d)−→[0;∞] par

λ(˜˜ h) = inf{λ(h);h∈ H,∃(r, u)∈suppY ×suppZ tel que φ(h, r, u)≡˜h}. (1.3) Puisque ˜λn’est pas nécessairement semi-continue inférieurement(s.c.i) voir Bezuidenhout[3], on introduit la régularisation s.c.i ˜λ^∗ définie par

λ˜^∗(˜h) = lim

a−→0 inf

ρ∈Bα(˜h,a)

λ(ρ)˜

où B_α(˜h, a) est la boule de centre ˜h et de rayon a suivant la norme ||.||_α, l’existence de la limite de la partie droite de cette équation est assurée par le fait que inf

ρ∈Bα(˜h,a)

λ(ρ) est une fonction décroissante en a.

2 Résultat principal

Dans cette section, on établit le théorème principal concernant le théorème de la limite centrale (TLC) et le principe de déviations modérées (PDM).

Soit Db_X = ∂

∂x_jbⁱ

!

la matrice jacobienne de b par rapport à la première variable uni- formément continue vérifie :

(H₃) : ∀ x₁, x₂ ∈R^d, ∃ C_Db >0 tel que |Db_X(x₁, y)−Db_X(x₂, y)| ≤C_Db|x₁−x₂| Théorème 2.1. (i)(TLC) R^ε converge vers un processus gaussien R⁰ définie par







dR⁰(t) =Db_X(X⁰(t), Y(t))R⁰(t)dt+σ(X⁰(t), Z(t))dW_t R⁰(0) = 0

(2.1) où Db_X est la matrice jacobienne de b par rapport à la première variable.

(ii)(PDM) V^ε(t) = X^ε(t)−X⁰(t) h(ε)√

ε

!

t∈[0;1]

satisfait un PGD sur l’espace C^α,0([0; 1],R^d) avec la vitesse h²(ε) et la fonctionnelle d’action

λ^∗(˜h) = lim

a−→0 inf

ρ∈B_α(˜h,a)

λ(ρ)˜ (2.2)

où ˜λ est définie précédemment par (1.3). Plus précisément, pour tout sous-ensemble boré- lien A de C^α,0[0; 1];R^d

−inf

γ∈A˙

λ˜^∗(γ) ≤lim inf

ε−→0 h⁻²(ε) logP(V^ε ∈A)

≤lim sup

ε−→0

h⁻²(ε) logP(V^ε ∈A)≤ −inf

γ∈A¯

λ˜^∗(γ)

où A˙ désigne l’intérieur et A¯ l’adhérence de A.

3 Grandes déviations du processus de Gauss

3.1 Extension du principe de contraction.

D’après le théorème (2.1) de Mellouk[15], le processus R⁰

h(ε) satisfait un PGD avec la bonne fonction de taux ˜λ^∗(˜h).

Théorème 3.1. La famille P^ε =P ◦ R⁰ h(ε)

!

, loi de R⁰ h(ε)

!

définie dans (2.1) satisfait un PGD avec la bonne fonctionnelle d’action λ˜^∗.

Preuve (voir Mellouk[15])

Le principe de contraction est une base de la théorie de grandes déviations (voir Deutchel et Stroock [7] 1989). SoitP_εune famille de mesure de probabilité sur l’espaceEsatisfaisant un PGD avec la bonne fonctionnelle d’action Iet soit F : E −→ E⁰ continue . Soit Q_ε =P_ε◦F⁻¹ une famille de mesure image, alors on a :

Théorème 3.2 (Dembo et Zeitouni[6]). Q_ε obéit un PGD avec la bonne fonctionnelle d’action J, définie par

J(y) = inf

{x:F(x)=y}I(x) (3.1)

avec la convention usuelle inf∅=∞

Soit (E_X, d_X), (E_Y, d_Y), (E_Z, d_Z) et (E⁰, d⁰) des espaces Polonais et (Ω,F, P) un espace de probabilité. Supposons que {X^ε, ε >0} est une famille de variable aléatoire à valeurs dans E_X, Y est une variable aléatoire dans E_Y et Z une variable aléatoire prenant ses valeurs dans E_Z, on donne une fonction de taux I surE_X et a > 0, soit Γ_a ={x∈E_X : I(x)≤a} et Γ∞ =^[

a

Γ_a.

Théorème 3.3. SoitI une fonctionnelle d’action surE_X; F_N;F : Γ∞×E_Y ×E_Z −→E⁰ R_N

h(ε), R

h(ε) : Ω−→E⁰, des applications qui vérifient les conditions suivantes : (a) (i) pour tout a >0 et N ≥1, F_{N|Γa×suppY×suppZ} est continue.

(ii) FN|Γ_a×suppY×suppZ converge vers F|Γ_a×suppY×suppZ uniformément quand N −→ ∞. (b)Pour chaque a >0et N ≥1, F_N({I ≤a} ×suppY ×suppZ)etF({I ≤a} ×suppY × suppZ) sont relativement compacts dans (E⁰, d⁰).

(c)Pour tout N ≥1,

(R⁰_N h(ε)

)

ε>0

satisfait un PGD (quand ε−→0)sur E⁰ avec une bonne fonctionnelle d’action

I_N^∗(ζ) = lim

ρ→0 inf

ξ∈B⁰(ζ,ρ)I_N(ξ), (3.2)

où B⁰(ζ, ρ) est la boule centrée en ζ et de rayon ρ dans (E⁰, d⁰) et

I_N(ζ) = inf{I(x),∃(y, z)∈suppY ×suppZ tel que F_N(x, y, z) =ξ}.

(d)

(R⁰_N h(ε)

)

est une bonne approximation de

( R⁰ h(ε)

)

,qui vérifie pour tout δ >0

limN lim sup

ε−→0

h⁻²(ε) logP{

R⁰_N

h(ε) − R⁰ h(ε)

> δ}=−∞ (3.3)

alors,

( R⁰ h(ε)

)

satisfait un PGD avec la bonne fonction du taux I˜^∗(ζ) = lim

ρ−→0 inf

ξ∈B⁰(ζ,ρ)

I(ξ)˜ où I(ξ) = inf˜ {I(x),∃(y, z)∈suppY ×suppZ tel que F(x, y, z) = ξ}.

Preuve (Voir Mellouk [15]).

Pour la preuve du PGD deR⁰(t)/h(ε), il faut démontrer que R_N⁰

h(ε) est une bonne approxi- mation exponentielle de R⁰

h(ε).

3.2 Approximation exponentielle

On a

dR⁰(t) = Dbx(X⁰(t), Y(t))R⁰(t)dt+σ(X⁰(t), Z(t))dWt

et soit tN = [tN]/N où [x] désigne la partie entière de x, R⁰_N = {R⁰_N(t); 0 ≤ t ≤ 1} la solution de l’EDS suivant

dR⁰_N(t) =Db_x(X_N⁰(t), Y(t))R⁰_N(t)dt+σ(X_N⁰(t_N), Z(t_N))dW_t (3.4) On montre que {R⁰_N(t)} est une bonne approximation exponentielle de {R⁰(t)}. En pre- mier, nous allons établir l’approximation suivante

Lemme 3.4. : Pour tout δ >0 lim sup

ε−→0

h⁻²(ε) logP sup

t∈[0;1]

|R⁰_N(t)−R⁰(t)|> δ N^α

!

=−∞ (3.5)

Démonstration. : le coefficient de dérive n’est pas nécessairement borné. Pour prouver l’égalité 3.5 ; on introduit quelques résultats auxiliaires. Soit 0 < α < β < 1

2 et 0 < γ <

β−α alors par le théorème 1.4 de Mellouk (2000), lim sup

ε−→0

h⁻²(ε) log P sup

k∈[1;N]

1 h(ε)|Wk

N −W^k−1

N | ≥N^γ−β

!

≤lim sup

ε−→0

h⁻²(ε) logP || 1

h(ε)W||_β ≥N^γ

!

≤ −inf{1

2||h||²_H;||h||_β ≥N^γ}

≤ −1 2N^2γ.

(3.6)

En fait, si h ∈ H([0; 1];R^d) satisfait à ||h||_β ≥ N^γ, l’inégalité de Cauchy-Schwartz im- plique ||h||_H≥N^γ.

Définissons l’ensemble B_β,γ,ε =

(

sup

k∈[1;N]

h⁻¹(ε)|W_k/N−Wk−1/N| ≤N^γ−β

)

∩ⁿ||h⁻¹(ε)W||_β ≤N^γo (3.7) par 3.6, on a

N−→+∞lim lim sup

ε−→0

h⁻²(ε) logP B_β,γ,ε^C =−∞. (3.8) De plus, l’ensembleB_β,γ,ε, par le lemme de Gronwall et les propositions sur les coefficients DbX etσ, pour t∈[0; 1], on déduit l’existence d’une constante C > 0 telle que

|R⁰_N(t)| ≤c

( _N X

k=1

h⁻¹(ε)|Wk/N∧t−Wk−1/N∧t|+

Z 1 0

(1 +|R⁰_N(s)|)ds

)

≤C

N^γ+1−β+

Z t 0

|R⁰_N(s)|ds

≤CN^γ+1−β.

(3.9)

Pour prouver 3.5, soit Ψ^ε_N(.) = R⁰_N(.)−R⁰(.)

h(ε) , alors pour t ∈[0; 1], Ψ^ε_N(t) satisfait Ψ^ε_N(t) =

Z t 0

{Db_x(X_N⁰(s), Y(s))−Db_x(X⁰(s), Y(s))}R⁰(s) h(ε) ds +h⁻¹(ε)

Z t 0

{σ(X_N⁰(s_N), Z(s_N))−σ(X⁰(s), Z(s))}dW_s.

(3.10)

Pour ρ >0, on définit

τ_N,ε^ρ (ω) = inf

t >0;|R_N⁰ (t, ω)−R⁰_N(t_N, ω)| ≥ ρ N^α

∧1 θ^ρ,δ_N,ε(ω) = inf

(

t >0;|Ψ^ε_N(t, ω)|> δ N^α

)

∧τ_N,ε^ρ (ω) et

ν_N,ε^ρ (t) =

Z

Ω

ρ²

N^2α +|Ψ^ε_Nt∧θ_N,ε^ρ,δ(ω), ω|²

!¹

2

dP.

Alors, on a

P sup

t∈[0;1]

R⁰_N(t)−R⁰(t)> δ N^α

!

≤P(τ_N,ε^ρ <1) +P(θ_N,ε^ρ,δ <1). (3.11) Plus précisément, nous appliquons l’inégalité de Stroock et l’expression 3.8 avec les hy- pothèses H₀−H₂ pour obtenir l’existence d’une constante C > 0 telle que,

P(τ_N,ε^ρ <1) ≤P(τ_N,ε^ρ <1, B_β,γ,ε) +P(τ_N,ε^ρ <1, B_β,γ,ε)

≤

N

X

k=1

P



 sup

k−1 N ≤t≤^k

N

R_N⁰ (t)−R⁰_N(k−1 N

≥ ρ

N^α, Bβ,γ,ε



+PB_β,γ,ε^C

≤CdNexp















−

ρ−CdN^γ+1−β

1 N

1−α!2

Cεd²

1 N

1−2α















+P B_β,γ,ε^C

≤CdNexp{−CN^1−2α/ε}+P B_β,γ,ε^C .

Comme N^γ+α−β −→0 quand N −→ ∞(γ > β−α). Ainsi, par (3.8), on en déduit limN lim sup

ε

h⁻²(ε) logP τ_N,ε^ρ <1=−∞. (3.12) Comme suppZ est un sous ensemble compact de C^α,0([0; 1];R^l),pour chaque ρ > 0, il existe N₀ ≥1 tel que, pour N ≥N₀

sup

0≤t≤1

|Z(t)−Z(t_N)| ≤ρN^−α (3.13)

pour 0 ≤ α ≤ 1

2, soit ρ_N =ρ/N^α et f_ε,ρ(y) = (ρ²_N +|y|²)^1ε. Alors, une application de la formule d’Itô à f_ε,ρ(Ψ^ε_N(t)) établit que

f_ε,ρ(Ψ^ε_N(t∧θ_N,ε^ρ,δ))−

Z t∧θ^ρ,δ_N,ε 0

Z_ε,N^ρ (s)ds−ρ^2/ε_N est une martingale où si < ., . >est le produit scalaire dans R^d

g_ε,N^ρ (t) = 2h²(ε)



ρ²_N +|Ψ^ε_N(t)|²





1 h−2(ε)−1

hΨ^ε_N(t), Db_x(X_N⁰(t), Y(t))−Db_x(X⁰(t), Y(t))

!

i

+2(h²(ε)−1)||



σ(X_N⁰(t_N), Y(t_N))−σ(X⁰(t), Y(t))





∗

Ψ^ε_N(t)||²(ρ²_N +|Ψ^ε_N(t)|²)

1 h−2(ε)−1

+||σ(X_N⁰(t_N), Y(t_N))−σ(X⁰(t), Y(t))||²





ρ²_N +|Ψ^ε_N(t)

2



1 h−2(ε)−1

.

Pour 0 ≤t ≤τ_N,ε^ρ , par (3.13), on a pour N > N₀ et 0< ε < 1

2 que il existe C >0 tel que

|g^ρ_ε,N(t)| ≤C2h²(ε)ρ²_N +|Ψ^ε_N(t)|^2h

2(ε) Ψ^ε_N(t)

ρ²_N +|Ψ^ε_N(t)|²|R⁰_N(t)−R⁰(t)|

+C|h²(ε)−1|{ρ²_N +|Z(t_N)−Z(t)|²} |Ψ^ε_N(t)|²

ρ²_N +|Ψ^ε_N(t)|²(ρ²_N +|Ψ^ε_N(t)|²)^{1/h−2(ε)−1} +C{ρ²_N +|Z(t_N)−Z(t)|²}(ρ²_N +|Ψ^ε_N(t)|²)^{1/h−2(ε)−1}

≤Ch²(ε)f_ε,ρ(Ψ^ε_N(t)) Ψ^ε_N(t)ρ_N ρ²_N +C|Ψ^ε_N(t)|² +|h²(ε)−1| ρ²_N

ρ²_N +|Ψ^ε_N(t)|²

|Ψ^ε_N(t)|²

ρ²_N +|Ψ^ε_N(t)|²f_ε,ρ(Ψ^ε_N(t))

+C|h²(ε)−1||Z(t_N)−Z(t)|²

ρ²_N +|Ψ^ε_N(t)|² . |Ψ^ε_N(t)|²

ρ²_N +|Ψ^ε_N(t)|²f_ε,ρ(Ψ^ε_N(t)) +Cρ²_N +|Z(t_N)−Z(t)|²

ρ²_N +|Ψ^ε_N(t)|² f_ε,ρ(Ψ^ε_N(t))

≤C

(

(h²(ε) + 1) + 1 + ρ²_N +|Z(t_N)−Z(t)|²

|Ψ^ε_N(t)|²

!)

f_ε,ρ(Ψ^ε_N(t))

≤Ch²(ε)f_ε,ρ(Ψ^ε_N(t))

ceci joint au théorème d’arrêt de Doob, montre qu’il existe une constante ˜C > 0 indépen- dant de N, ε, ρ etN₀ tels que, pour N ≥N₀

ν_N,ε^ρ (t)≤ρ^2h_N^2(ε+Ch²(ε)

Z t 0

ν_N,ε^ρ (s)ds.

En outre, pour N ≥N₀

ν_N,ε^ρ (1)≤exp{h²(ε)(h²(ε)( ˜C+ 2 logρ−2αlogN)}

puis, pour tout N ≥1

P(θ_N,ε^ρ,δ <1)≤ ρ²+δ² N^2α

!−h²(ε)

ν_N,ε^ρ (1) on conclut que

ρ−→0lim sup

N

lim sup

ε−→0

h²(ε)lnPθ_N,ε^ρ,δ <1=−∞

ceci avec (3.11) et (3.12) impliquent (3.5).

Lemme 3.5. Pour tout δ >0 lim sup

N−→∞

lim sup

ε−→0

h⁻²(ε) logP||R⁰_N(t)−R⁰(t)||_α > δ=−∞. (3.14) Démonstration. On applique le 4.5 de Mellouk à Ψ^ε_N(.) = R_N⁰ (.)−R⁰(.)

h(ε) et lemme 3.4, on voit qu’il suffit de prouver

lim sup

N−→∞

lim sup

ε−→0

h⁻²(ε) logP



 max

1≤k≤N







sup

k−1

N ≤s≤t≤^k

N

|Ψ_N(t)−Ψ_N(s)|

|t−s|^α







> δ



=−∞.

Donc, par le lemme 1.5 de Mellouk et comme dans la preuve du lemme précédent, on voit que pour 0< α < β < 1

2 et 0 < γ < β−α lim sup

N−→∞

lim sup

ε−→0

h⁻²(ε) logP



max

1≤k≤N







sup

k−1

N ≤s≤t≤^k

N

|Ψ_N(t)−Ψ_N(s)|

|t−s|^α







> δ, B_β,γ,α



=−∞

où B_β,γ,ε est définie par (3.7), d’où (3.8) achève la preuve.

Ainsi par le théorème 1.5, pour le PDM du théorème principal, il suffit de démontrer que V^ε =R^ε/h(ε) est h⁻²(ε)−exponentiellement équivalente à R⁰/h(ε) ; c’est à dire :

lim sup

ε−→0

h⁻²(ε) logP

V^ε− R⁰ h(ε)

_α

> δ

!

=−∞; ∀δ >0. (3.15) Nous le montrerons sous la condition lipschitzienne globale, au moyen de la T₂−inégalité de Talagrand sur l’espace de chemin établi par Djellout-Guillin-Wu[8] et l’inégalité de concentration correspondante(critère de Bobkov-Gotze [4]), dans la section suivante.

Avant d’entrer à la section suivante, on peut supposer l’hypothèse suivante qu’on utilisera dans la preuve du théorème principal.

(H) b est de classe C¹ etDb_X uniformément continue et bornée sur R^d et 1

2(|(σ(x₁;z)−σ(x₂;z))(σ(x₁;z)−σ(x₂;z))^∗|+hx₁−x₂, b(x₁, y)−b(x₂, y)i)≤L|x₁−x₂|.

(3.16)

4 Preuve du théorème principal

4.1 Une L

estimation du processus R

Proposition 4.1. betσsatisfont les conditionsH₀ etH₂,il existe une constanteC(p, K, C_b) qui dépend de p, K, C_b, tel que

E(|X^ε−X⁰|∞)^p ≤ε^p2C(p, K, C_b)→0 ε→0 (4.1) Démonstration.

X^ε(t)−X⁰(t) =

Z t 0

[b(X^ε(s), Y(s))−b(X⁰(s), Y(s))]ds+√ ε

Z t 0

σ(X^ε(s), Z(s))dW_s

|X^ε−X⁰|∞

p

≤2^p−1 sup

t∈[0,T]

|

Z t 0

[b(X^ε(s), Y(s))−b(X⁰(s), Y(s))]ds|

!p

+ε^p2 sup

t∈[0,T]

|

Z t 0

σ(X^ε(s), Z(s))dW_s|

!p

. (4.2)

Soit I₁^ε(t) =

Z t 0

[b(X^ε(s), Y(s))−b(X⁰(s), Y(s))]ds et I₂^ε(t) =

Z t 0

σ(X^ε(s), Z(s))dW_s.

Par l’hypothèse H₁ et l’inégalité de Hölder ; E(|I₁^ε|∞)^p ≤C_b^p

Z _t

0

1ds

p q

E

Z

0

|X^ε−X⁰|^t_∞^pdt (4.3) où 1

p + 1 q = 1

E(|I₂^ε|∞)^p ≤ ε^p2E|

Z t 0

σ(X^ε(s), Z(s))|^pdW_s

≤ ε^p2E

Z t 0

σ²(X^ε(s), Z(s))ds

p 2

≤ ε^p2E

Z T 0

K_σ²ds

!^p₂

≤ ε^p2C(K, p). (4.4)

D’après (4.2)et(4.3),(4.4) il existe une constanteC(p, K, Cb) telle que E

|X^ε−X⁰|∞

p

≤C(p, K, C_b)

E

Z 1 0

|X^ε−X⁰|∞

p

dt+ε^p2

. Par le lemme de Gronwall, on a :

E

|X^ε−X⁰|_∞^p ≤ε^p2C(p, K, C_b)e^C(p,K,Cb).

4.2 Preuve du TLC du théorème principal

Comme V^ε(t) = X^ε(t)−X⁰(t) h(ε)√

ε et pour h(ε) = 1, on montre que V_ε(t) = R^ε(t) = X^ε(t)−X⁰(t)

√ε →R⁰(t) quand ε→0 c-à-d lim

ε→0E(||R^ε−R⁰||) = 0.

R^ε(t) = X^ε(t)−X⁰(t)

√ε = 1

√ε

Z t 0

[b(X^ε(s), Y(s))−b(X⁰(s), Y(s))]ds+

Z t 0

σ(X^ε(s), Z(s))dW_s et

R⁰(t) =

Z t 0

Db_X(X⁰(s), Y(s))R⁰(s)ds+

Z t 0

σ(X⁰(s), Z(s))dW_s.

R^ε(t)−R⁰(t) =

Z t 0

hσ(X^ε(s), Z(s))−σ(X⁰(s), Z(s))ⁱdWs

+

Z t 0

"

b(X^ε(s), Y(s))−b(X⁰(s), Y(s)

√ε −DbX(X⁰(s), Y(s))R⁰(s)

#

ds

= J₁^ε(t) +J₂^ε(t) +J₃^ε(t) (4.5)

où

J₁^ε(t) =

Z t 0

hσ(X^ε(s), Z(s))−σ(X⁰(s), Z(s))ⁱdW_s

J₂^ε(t) =

Z t 0

"

b(X^ε(s), Y(s))−b(X⁰(s), Y(s)

√ε −Db_X(X⁰(s), Y(s))R^ε(s)

#

ds

J₃^ε(t) =

Z t 0

Db_X(X⁰(s), Y(s))^hR^ε(s)−R⁰(s)ⁱds.

Etape 1: Estimations de J₁^ε(t), J₂^ε(t), etJ₃^ε(t) J₁^ε(t) =

Z t 0

hσ(X^ε(s), Z(s))−σ(X⁰(s), Z(s))ⁱdW_s

E|J₁^ε(t)|^p ≤

Z t 0

C_σE(|X^ε(t)−X⁰(t)|^p) d’après (H₂).

Par la proposition 4.1, pour p >2, on a E(|X^ε(t)−X⁰(t)|^p)≤ε^p2c(p, K, C_b, C_σ)

E|J₁^ε(t)|^p ≤ε^p2c(p, K, C_b, C_σ). (4.6) Par la formule de Taylor, il existe un champ aléatoire θ^ε(t) qui prend ses valeurs dans (0,1).

b(X^ε(t), Y(s))−b(X⁰(t), Y(t)

√ε

=Db_X(X⁰(t) +θ^ε(t)(X^ε(t)−X⁰(t)), Y(t))





X^ε(t)−X⁰(t)

√ε





=Db_X(X⁰(t) +θ^ε(t)(X^ε(t)−X⁰(t)), Y(t))R^ε(t).

CommeDb_X est uniformément continue, alors

Db_X(X⁰(t) +θ^ε(t)(X^ε(t)−X⁰(t)), Y(t))−Db_X(X⁰(t), Y(t))

≤C_bX⁰(t) +θ^ε(t)(X^ε(t)−X⁰(t))−X⁰(t)

≤Cb|θ^ε(t)(X^ε(t)−X⁰(t))|

≤C_b|X^ε(t)−X⁰(t)|.

On a,

|J₂^ε(t)| ≤

Z t 0

|(X^ε(s)−X⁰(s))R^ε(s)|ds≤√ εC

Z t 0

|R^ε(s)|²ds.

Pour p >2,

E(|J₂^ε(t)|)^p ≤ε^p2

Z t

0 E(|R^ε(s)|²)ds≤ε^p2C. (4.7) J₃^ε(t) =

Z t 0

Db_X(X⁰(s), Y(s))^hR^ε(s)−R⁰(s)ⁱds

|J₃^ε(t)| ≤C_Db

Z t 0

|R^ε(s)−R⁰(s)|ds. (4.8)

Par l’inégalité de Gronwall appliquée à |R^ε−R⁰|,on a

E|R^ε(t)−R⁰(t)|^p ≤ε^p2c(p, K, C_b). (4.9) Etape 2 : Pour p > 2 et pour t ∈ [0;T] et par l’inégalité de Burkholder-Gandy-Devis (voir Revuz-Yor cf[20] ) ; on a

E|J₁^ε(t)−J₁^ε(s)|^p ≤ C_pE

Z _t

s

σ(X^ε(s), Z(s))−σ(X⁰(s), Z(s))²du

^p₂