MÉTHODES COMBINATOIRES, PROBLÈMES DE DÉNOMBREMENT.

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�� MÉTHODES COMBINATOIRES, PROBLÈMES DE DÉNOMBREMENT.

I. Notion de dénombrement et de combinatoire

[Tau��, ChII, p�]

I. A. Bijections entre cardinaux

Ensemble fini, exemples, cardinal,card(F) Æ card(E)siF µE, deux ensembles de même cardinal sont en bijection

Union d’ensembles disjoints finis, ensemble privé d’une partie.

Exemple : pourn œ N^ú, on appelle dérangement denune permutation deJ1, nKsans point fixe. On notednle nombre de dérangements den. On an! =qn

k=0!n k

"

dk

Cardinal deAﬁBdans le cas général, deA◊B, lemme des bergers Cardinal de l’ensemble des fonctions (injectives, surjectives) deEdansF Parties deE

I. B. Coe�icients binomiaux et combinatoire

Définition, formules classiques (somme des coe�icients binomiaux, formule deP��, deV��-

��)

II. Dénombrement en algèbre

II. A. Dénombrement sur un corps fini

[Rom��, §��.�–�, p��–��] [Per��, §III.�/IV.�, p��/��]

SoitpœPetq=pⁿoùnœN^ú. On noteF^qle corps àqéléments.

Cardinaux deGLⁿ(Fq),SLⁿ(Fq),PGLⁿ(Fq),PSLⁿ(Fq) On noteF²q =)

x²|xœFq*etF^úq2=F²q ﬂF^úq.

P��. Sip= 2, alorsF²q =Fq. Sinon, on a--F²q

--= ^q+1₂ .

A��. Poura, bœF^úpetcœF^p,ax²+by²=cadmet des solutions dansF²p. On aimerait savoir rapidement si un entieradonné est un carré modulop, donc savoir six²©a modpadmet ou non une solution entière.

D��. [�� L��]

SoitaœZ, on appelle symbole deL��(deamodulop) l’entier : 3a

p 4=

Y] [

1 six²©a modpest résoluble etp-a 0 sip|a

≠1 sinon On suppose dans la suitepimpair.

P��. On a1

a p

2©a^p^≠1² modppour toutaœZ.

E��. ≠1est un carré moduloqsi et seulement siq|1 mod 4.

T��. [�� ]

Soientp”=qdes nombres premiers impairs. Alors1_p

q

2 1_q

p

2= (≠1)^p^≠1² ^q^≠1² .

P��. Pourppremier impair, on a1

2 p

2= (≠1)^p²⁸^≠1. Ainsi2est un carré modulo psi et seulement sip©±1 mod 8.

E��. !₂₆

307"₌! ₂

307" !₁₃

307"₌_≠(≠1)^13≠1

2 307≠1 2 !₃₀₇

13"₌

≠!₈

13"₌

≠!₂

13" !₄

13"₌_≠1 Ainsi26n’est pas un carré modulo307.

II. B. Actions de groupes

[Rom��, §�.�–��/�.�, p��/��]

Soit(G, .)un groupe etXun ensemble.

D��. [�� ’�� ]

On dit queGopère à gauche surXsi on a une applicationG◊X ≠æ X,(g, x) ‘≠æg.x telle que’g, hœG,’xœX, g.(h.x) = (gh).xet’xœX,1.x=x.

On considère.une action deGsurX.

E��.

• Gopère sur lui-même par translation à gauche (g.h=gh), par conjugaison (g.h=ghg^≠1),

• S(X)opère naturellement surX:‡.x=‡(x).

D��. [��,��,��]

• PourxœX, on appelle orbite dexet on noteO(x)l’ensembleG.x={g.x|xœX}. On noteOl’ensemble des orbites deX. C’est une partition deX.

• On dit que l’action est transitive s’il n’y a qu’une seule orbite pour l’action deGsurX, c’est-à-dire si’xœX, O(x) =X.

D��. [��,�� ]

On appelle stabilisateur dexœXle groupeStab(x) ={gœG|g.x=x}.

On dit queGopère librement surXsiStab(x) ={e}pour toutxœX.

ÉNS Paris-Saclay –��/�� AntoineB��–https://perso.ens-lyon.fr/antoine.barrier/fr/ Page��sur��

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Agrégation – Leçons ��– Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.

P��. SoitxœX. L’applicationgœG‘≠æg.xœO(x)a pour noyauStab(x).

L’application quotient est alors une bijection deG/Stab(x)dansO(x).

En particulier, si|G|<+Œ, on a’xœX,|O(x)|= [G: Stab(x)] = _|Stab(x)|^|^G^| . A��. [�� Sn]

Deux permutations deSnsont conjuguées si et seulement si elles ont même type.

Le nombre de classes de conjugaison est le nombre de partitions den.

Calcul du cardinal de la classe de conjugaison associée au type(¸1, . . . ,¸m). Deux calculs pro- posés, où l’on notepk = card({i|¸i=k}):

A_m Ÿ

i=1

3n≠q

j<i¸j

¸i

4(¸i≠1)!

B

◊ A _n

Ÿ

k=1

1 pk!

B

= n!

rn

k=1k^p^kpk!

Dans la suite de cette partie on supposeGetXfinis.

C��. [�� ]

Si|G|<+Œ, choisissons pour chaque orbiteOun représentantxO. Alors on a :

|X|= ÿ

OœO

|O|= ÿ

OœO

|G|

|Stab(xO)|

A��. [�� Dⁿ(F^q)]

SoitnœN,q=p^roùppremier,r”= 0. SoitDⁿ(F^q)l’ensemble des matrices diagonalisables deFq. Alors en posant|GL⁰(Fq)|= 1, on a :

|Dⁿ(F^q)|= ÿ

n1+···+nq=n

|GLⁿ(Fq)| rq

i=1|GLⁿi(F^q)|

C��. [�� B��]

|O|= 1

|G| ÿ

gœG

|Fix(g)|

A��. On peut colorier les6faces (toutes identiques) d’un cube avec3couleurs de 57manières di�érentes.

III. Dénombrement en analyse

III. A. Utilisation des probabilités

[Ouv��]

Lien entre probabilité uniforme sur un ensemble fini et cardinal d’une partie

Application à la probabilité de retour en0au bout de2npas de la marche aléatoire simpleæ application à la récurrence/transience

Formule du crible, nombre de dérangements A��. On adn =n!qn

k=0(≠1)^k k! .

III. B. Séries génératrices

[FGN��, §I.�–�, p�] [Rom��, Ch�, p��–��/��]

Série génératrice ordinaire, exponentielle Équivalent du nombre de solutionsSndeq

–ini=n [Gou��, §�.�, p��]

Idée : relation de récurrence lors d’un dénombrementæintroduction de la série génératrice ordinaire ou exponentielle pour obtenir une équation fonctionnelle, di�érentielle, et détermi- ner la fonction associée. On vérifie que le rayon de convergence est positif, puis on identifie les coe�icients

C��. Le nombre de permutations deSn ayant exactementrpoints fixes est

!r n

"

d_n≠r= ^n!_r! qn≠r k=0 (≠1)^k

k! .

A��. En utilisant un déterminant circulant, on montre qu’il y a plus (resp. moins) de dérangements impairs que de dérangements pairs dansSnlorsquenest pair (respn > 1 impair).

Nombres deC��, nombres deB��

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Agrégation – Leçons ��– Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.

��

Il faut aller piocher dans plusieurs références pour cette leçon. Voir aussi [FGN��,BMP��].

��

Q Questions autour de la loi de réciprocité quadratique : où intervient l’hypothèsepetqim- pairs? Caractérisation des carrés, à la fin comment passer de l’inégalité modulopà celle dansZ, réduction des formes quadratiques en caractéristique di�érente de2. Que se passe- t-il sip = 2? À quoi sert la loi de réciprocité quadratique? À quoi ça sert de savoir si un élément est un carré dansFq?

Q Quelle est la probabilité que deux entiers soient premiers entre eux?

R 6/ﬁ².

Q SoitH^d,nl’ensemble des polynômes homogènes de degrédànvariables. Quelle est sa dimension?

R Une base deH^d,nest(Xi₁. . . Xid)i1,...,idœJ1,nK, ou encore(X₁^–¹. . . X_n^–ⁿ)q

i–i=d. On cherche donc le nombre de(–i)itels queq

i–i=d.

Prenonsdpoints alignés, que l’on veut séparer ennmorceaux. Pour cela on rajouten≠1 points à ces points aux endroits de séparation. Finalement la dimension est :

3d+n≠1 n≠1

4

Q Montrer queÏ(n) =q

d|n µ(d)

d . Ou plutôt montrer que sig(n) =q

d|nf(d)alorsf(n) = q

d|ng(d)µ(n/d).

Q Dénombrer les polynômes de degré3à3variables.

Q Dénombrer les permutations deSnsans point fixe (voir aussi la formule deP��dans le [Rom��]).

Q SurSn, on dit qu’une permutation‡est un zig-zag si pouri œ J1, n≠1K,‡(i) œ/ J‡(i≠ 1),‡(i+ 1)K. Montrer qu’il y a autant de zig-zag descendants qu’ascendants (faire une ré- flexion ...). Donner une relation de récurrence sur le cardinal des zig-zags (on regarde les ascendants ... ).

Q Interpréter de manière combinatoire la formule du triangle deP��.

Q Dénombrer le nombre de mots bien parenthèsés de longueur2n?

R On trouve les nombres de C��. On peut par exemple utiliser les chemins sous- diagonaux pour trouver la relation de récurrencec_n+1=qn

d=0cdcn≠d. Q Combien y a-t-il de droites / de plans dansFⁿq?

��

[BMP��] V.B��, J.M��et G.P��:Objectif Agrégation. H&K,�^èmeédition,��.

[FGN��] S.F��, H.G��et S.N��:Oraux X-ENS - Algèbre�. Cassini,��.

[Gou��] X.G��:Les maths en tête - Analyse. Ellipses,�^èmeédition,��.

[Ouv��] J.-Y.O��:Probabilités : Tome�. Cassini,�^èmeédition,��.

[Per��] D.P��:Cours d’algèbre. Ellipses,��.

[Rom��] J.-E.R��: Mathématiques pour l’agrégation : Algèbre et géométrie. De Boeck,

��.

[Tau��] P.T��:Mathématiques générales pour l’agrégation. Masson,��.

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