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èreL Chapitre 3 Exemples de problèmes de dénombrement
I. Exemple d’utilisation d’un diagramme d’ensembles 1°) Données
Au cours d’un trimestre, un club de sport propose deux activités : - athlétisme ;
- basket.
40 adhérents au total font de l’athlétisme ; 28 adhérents au total font du basket ; 10 adhérents au total font les 2 à la fois.
Chaque adhérent fait au moins l’une des deux activités.
: Les 10 qui font les deux à la fois sont inclus dans les 40 qui font de l’athlétisme et les 28 qui font du basket.
2°) Question
Calculer le nombre d’adhérents du club (chaque adhérent fait au moins l’une des deux activités).
3°) Résolution
diagramme de Venn
Il s’agit d’un diagramme mathématique que l’on peut faire sur une copie (inutile de faire les cercles au compas !).
Club
30 18 10
Athlétisme (40) Basket (28) Nombre total d’adhérents = 30 +10 +18 =58
Attention à bien regarder comment on représente les « bulles » ; on ne rajoute pas une « bulle » au « milieu » pour l’intersection.
2 On se gardera de faire des figures du type ci-dessous qui ne correspondent à rien.
diagramme de Caroll
Par rapport au diagramme précédent, on remplace les « ronds » par des « carrés ».
Ce type de diagramme porte le nom de Lewis Carroll, auteur d’Alice au pays des merveilles, qui a beaucoup travaillé sur les mathématiques, dans le domaine de la logique en particulier.
10 18 Basket (28)
30
Athlétisme (40)
Club
II. Exemple d’utilisation d’un tableau
1°) Données
Lors d’un sondage, deux questions ont été posées à 100 personnes.
- 60 personnes au total ont répondu « oui » à la première question ; - 50 personnes au total ont répondu « oui » à la deuxième question ; - 40 personnes au total ont répondu « oui » aux deux questions.
Il y a quatre types de réponses possibles : (oui ; oui) - (oui ; non) - (non ; oui) - (non ; non)
2°) Question
Faire un tableau d’effectifs donnant la répartition des réponses.
3°) Résolution
On fait un « tableau croisé » ou un « tableau à double entrée ».
3 1ère question
2e question
Oui Non Total
Oui 40 50 – 40
= 10 50
Non 60 – 40
= 20
40 – 10
= 30
100 – 50
= 50
Total 60 40 100
III. Exemple d’utilisation d’un « arbre de possibilités » ou « arbre de choix » 1°) Données
Une urne contient : - une boule rouge - une boule bleue - une boule jaune - une boule verte
On tire successivement sans remise deux boules dans l’urne (quand on a tiré la première, on ne la remet pas dans l’urne).
On tient compte de l’ordre.
2°) Question
Calculer le nombre total de résultats possibles.
3°) Résolution
1er tirage 2e tirage Résultats Bleue (R-B)
Rouge Jaune (R-J)
Vert (R-V)
Rouge (B-R)
Bleue Jaune (B-J)
Vert (B-V)
Rouge (J-R)
Jaune Bleue (J-B)
Vert (J-V)
Rouge (V-R)
Vert Bleue (V-B)
Jaune (V-J) Il y a 12 résultats possibles.
4 Attention, comme il y a un ordre le tirage (R-B) n’est pas le même que le tirage (B-R).
IV. Exemple d’utilisation d’un arbre de pourcentages 1°) Données
Un groupe scolaire de 700 élèves comprend : - 60 % de collégiens ;
- 40 % de lycéens.
Parmi les collégiens, il y a 30 % de garçons.
Parmi les lycéens, il y a 25 % de garçons.
2°) Question
Calculer le nombre total de garçons.
Calculer le nombre total de filles.
3°) Résolution
30 %
Garçons 126 Collégiens
420 60 %
70 % Filles
294 Groupe scolaire
(700)
40 %
25 %
Garçons 70 Lycéens
280
75 % Filles 210 Il y a 196 garçons et 504 filles.