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RUDIMENTS DE MÉCANIQUE QUANTIQUE - exercices
A. EXERCICES DE BASE
I. Incertitudes de Heisenberg et diffraction
• Lorsqu'on fait arriver un faisceau lumineux perpendiculairement à une fente de faible largeur a, on observe de l'autre côté de la fente une diffraction de la lumière. La répartition de l'intensité lumineuse est telle qu'on peut admettre que la quasi-totalité de la lumière est diffractée dans un “dièdre” (“angle” entre deux plans dans l'espace) de demi-angle au sommet θ = !
a.
• Montrer que ce phénomène est en accord avec l'inégalité de Heisenberg.
II. Incertitudes de Heisenberg et mécanique classique
• Un projectile de masse 10 g est animé d'une vitesse v = 25 ± 1 m.s-1. Quelle est la limite de préci- sion avec laquelle on peut connaître sa position (à un instant donné) ? Conclure.
III. Niveaux d'énergie dans un “puits de potentiel infini”
• Un électron est piégé dans un “puits de potentiel infini” de largeur L = 100 pm (l'ordre de grandeur de la taille d'un atome).
1.
• L'électron étant initialement au niveau “fondamental” (de plus basse énergie), calculer sa quantité de mouvement, puis sa vitesse ; l'électron est-il non relativiste ?2.
a) Calculer la longueur d'onde des photons qu'il faudrait envoyer sur le système pour faire passer l'électron au niveau 4 ; commenter.b) L'électron “redescend” au niveau fondamental en passant par chacun des niveaux intermédiaires ; calculer les longueurs d'ondes des photons émis lors du processus ; commenter.
c) Est-il possible d'éjecter l'électron du puits de potentiel à l'aide de photons appropriés ?
2
B. EXERCICES D'APPROFONDISSEMENT IV. Largeur des raies spectrales
1.
• On ne peut pas prévoir l'instant de l'émission d'un photon par un atome excité, mais uniquement la probabilité d'émission en fonction du temps. Ceci correspond à attribuer à l'état excité une “durée de vie”moyenne Δt. Montrer que cela impose que l'énergie du photon émis ne peut être prévue qu'avec une incerti- tude ΔE.
• Sachant que Δt ≈ 10-8 s, donner un ordre de grandeur de la “largeur” des raies spectrales émises par un atome d'hydrogène.
2.
• Bien que la description des atomes par la mécanique quantique soit différente de la mécanique newtonienne, on montre que les énergies dépendent du mouvement (faible) du noyau dans le même rapportµ
m qu'en mécanique newtonienne, où m est la masse de l'électron et µ = mM
m+M la “masse réduite” du système noyau-électron. En déduire le déplacement des raies spectrales du “deutérium” 21H (isotope “lourd”
de l'hydrogène) par rapport à l'hydrogène 11H.
• Le déplacement des raies du deutérium est-il mesurable compte tenu de la largeur des raies calcu- lées à la question (1) ?
V. Quantification du moment cinétique
1.
• L'étude de l'atome montre que le moment cinétique des électrons est quantifié. Pour en étudier les propriétés, on considère d'abord les aspects géométriques en mécanique “classique” (non quantique).a) On considère une sphère de centre O et de rayon R. Montrer que l'aire d'une bande sphérique pour θ ∈ [θ1 ; θ2] et ϕ ∈ [0 ; 2π] est égale a l'aire de la bande déduite par projection sur le cylindre de rayon R et d'axe (Oz).
b) On considère un moment cinétique
!
J de norme donnée, dont l'orientation est supposée avoir une probabilité de répartition isotrope (c'est-à-dire uniforme par rapport aux angles θ et ϕ). Montrer que cela correspond aussi à une répartition uniforme de la projection algébrique Jz sur l'axe (Oz).
2.
• On raisonne en mécanique “classique” (non quantique).a) Calculer la moyenne
!
Jz2 pour un moment cinétique
!
J de norme donnée, avec une répartition statistique isotrope.
b) En déduire
!
J2 =
!
Jx2 +
!
Jy2 +
!
Jz2 .
3.
• On raisonne en mécanique quantique, pour un moment cinétique!
J de norme donnée, avec une répartition statistique isotrope. La projection quantifiée prend dans ce cas des valeurs équiprobables k
!
! avec k entier relatif entre -j et j.
◊ remarque : ceci peut se généraliser aux valeurs “demi-entières”.
a) Justifier que la moyenne peut dans ce cas s'écrire
!
Jz2 =
!
!2
!
k2
"j
#
j2j+1 . b) Montrer que cette moyenne est :
!
Jz2 =
!
j. j
(
+1)
3
!
!2.
☞
indication : on peut calculer!
k2
1
"
j en considérant une “pyramide”de cubes de côté unité, empilés par tranches correspondant aux carrés.
c) En déduire la quantification de
!
J2 =
!
Jx2 +
!
Jy2 +
!
Jz2 .
3
VI. Signification de l'onde de De Broglie
1.
a) Exprimer la relation entre E et p en mécanique newtonienne.b) Exprimer la relation entre E et ω, puis entre p et k ; en déduire la vitesse v =
!
d"
dk d'une particule représentée par un “paquet d'ondes” de De Broglie (superposition de plusieurs ondes de fréquences diffé- rentes dont l'interférence donne un maximum de probabilité de présence censé représenter la position de la particule).
2.
a) L'énergie potentielle Ep est définie une constante arbitraire près : cela ne change rien aux forces dérivant de cette énergie potentielle. Quelle conséquence cela a-t-il sur la fonction d'onde ?b) Quelle conséquence cela a-t-il sur la vitesse de la particule ? Commenter.
