M . H . - H . B a r n e s a observé d e m ê m e q u e le balance- m e n t est s u p p r i m é lorsque, les alternateurs étant excités par a c c u m u l a t e u r s , o n charge leurs excitatrices sur des résis- tances. C'est encore u n e a u g m e n t a t i o n d e l'amortissement, puisque d a n s ce cas le couple résistant des excitatrices est proportionnel à la vitesse. E t q u ' o n n e soit p a s surpris qu'une si petite cause ait u n pareil effet, car le couple per- turbateur d û à l'hystérésis est petit, puisqu'il contient rt e;
il est d e l'ordre d e g r a n d e u r d e l'amortissement q u a n d celui-ci est très faible : le «; cumulative surging » n e se pro- duit pas q u a n d l'amortissement est u n p e u fort.
O n peut très bien c o m p r e n d r e p h y s i q u e m e n t cette influence d e l'hystérésis ;
L o r s q u e d e u x alternateurs couplés o n t u n décalage, sans osciller, si les forces électromotrices sont égales, le courant d e circulation est w a t t é ; s'ils oscillent, la différence pério- dique d e leurs forces électromotrices d o n n e lieu à u n petit courant d e circulation supplémentaire q u i est déwatté, périodique, m a x i m u m a u milieu d e l'oscillation, et nul a u x extrémités. S a n s hystérésis ce courant déwatté n'a a u c u n effet. A v e c l'hystérésis il se trouve retardé légèrement et devient d o n c partiellement w a t t é ( n é g a t i v e m e n t ) ; cette c o m p o s a n t e wattée est motrice et c o m m e elle est m a x i m a au milieu d e l'oscillation, c'est-à-dire q u a n d la vitesse p é - riodique est m a x i m a elle produit u n a m o r t i s s e m e n t négatif.
L e retard d e s forces électromotrices s u r les vitesses q u a n d il y a des excitatrices produit le m ê m e résultat.
D è s lors o n peut prévoir q u e toute cause d e retard d u petit courant d é w a t t é d û a u x oscillations des forces électro- motrices produira le m ê m e effet.
P a r contre, toute c a u s e d'avance s'opposera à la p r o d u c - tion d u p h é n o m è n e . E t d a n s ce cas se trouve la résistance intérieure d e s alternateurs qui, c o m m e toute résistance, a pour effet d e p r o v o q u e r u n e a v a n c e d u courant q u a n d elle est introduite d a n s u n circuit réactif.
Si T o n r e c o m m e n c e e n effet les calculs précédents e n n e négligeant plus p d e v a n t w X , m a i s e n négligeant encore f devant o>2 A2 p o u r simplifier, o n trouve p o u r le couple per- turbateur :
L e couple perturbateur d û à l'hystérésis seule peut deve- nir nul, voir m ê m e amortisseur, e n a u g m e n t a n t la résis- tance intérieure p.
Il serait intéressant d e vérifier la chose expérimentale- m e n t .
P . BOUCHFROT.
•
FL*EXI0|4S D E S PAROIS
dans les tuyaux de conduite de grand diamètre
— (SUITE) —
R E P R É S E N T A T I O N G R A P H I Q U E
D a n s la f o r m u l e g é n é r a l e M = (p R3j Z , le pre- mierfacteurest u n coefficient constant, qui se calcule i m m é - diatement dès q u e l'on connaît le r a y o n , le poids des parois et la densité d u liquide c o n t e n u (3 = 1000 p o u r l'eau).
O n obtient les m o m e n t s , p a r unité d e l o n g u e u r d e s parois, e n multipliant par ce coefficient le t e r m e Z qui n e contient plus q u e d e s fonctions trigonométriques d e la variable a et d e la constante définissant la position d e s appuis o u la largeur d e la z o n e a p p u y é e .
P o u r u n m o d e d'appui déterminé et u n e valeur définie d e l'angle y, n o u s p o u r r o n s étudier les variations d u t e r m e Z e n fonction d e a, e n traçant la c o u r b e représenta- tive des valeurs successives d e Z , rapportée à d e u x axes d e c o o r d o n n é e s rectangulaires.
N o u s porterons e n abscisses les valeurs d e a, m e s u r é e s en longueurs d'arc, Taxe des X représentant la circonférence développée d'une section d e conduite. E n o r d o n n é e s n o u s porterons les valeurs d e Z .
N o u s o b t e n o n s ainsi des courbes q u e l'on peut tracer u n e fois p o u r toutes, à u n e échelle c o m m o d e , et q u e l'on peut ensuite utiliser d a n s toutes les études d e canalisations,quels q u e soient leur diamètre et le poids des parois.
E n c o m p a r a n t entre elles les courbes c o r r e s p o n d a n t à u n e m ê m e disposition d'appuis, p o u r diverses valeurs d e y, o n p o u r r a se rendre c o m p t e d e l'influence des variations d e l'angle y (variations d e l'espacement transversal des appuis isolés, o u d e la l o n g u e u r d'une z o n e a p p u y é e ) . C e s c o m p a - raisons se feront très s i m p l e m e n t e n superposant les cour- bes, et T o n e n déduira la meilleure valeur d e y à adopter, suivant les conditions à remplir.
E n superposant a u contraire des courbes correspondant à d e s dispositions d'appuis différentes, p o u r u n e m ê m e valeur d e GP, o n aura l'influence propre d u m o d e d'appui sur la répartition des flexions d a n s les parois.
T U Y A U REPOSANT SUR DEUX APPUI?.
C o n s i d é r o n s par e x e m p l e les quatre courbes c o r r e s p o n - dant à l'angle y = 3o°, d a n s le cas d'un t u y a u reposant sur d e u x appuis symétriques :
C o u r b e n° i. A p p u i s simples fixes.
C o u r b e n° 2. A p p u i s simples m o b i l e s horizontalement.
C o u r b e n ° 3. A p p u i s simples à réaction radiale.
C o u r b e n° 4. E n c a s t r e m e n t sur les appuis.
N o u s a v o n s inscrit sur ces c o u r b e s les valeurs des o r d o n - nées Z p o u r des valeurs d e a variant d e i 5 ° e n i5°. L'ori- gine des c o o r d o n n é e s est le point inférieur A d e la section d u t u y a u .
E n t r e les appuis P P la c o u r b e n° 4 se confond sensible- m e n t avec l'axe des abscisses, les o r d o n n é e s des m o m e n t s d a n s cette région étant e x t r ê m e m e n t faibles à l'échelle d u dessin.
N o u s v o y o n s q u e ces c o u r b e s présentent des points a n g u - leux sur les appuis, qui sont les régions d e s plus grands m o m e n t s , p o u r cette valeur d e <p.
A v e c les conventions d e signes adoptées p o u r les m o m e n t s , les valeurs négatives d e Z sont celles qui corres- p o n d e n t a u x flexions tendant à aplatir le t u y a u . Elles ont été portées au-dessus d e l'axe des X O n voit p a r l'aspect des courbes q u e les régions d u tuyau qui seront aplaties sont celles des appuis et d u s o m m e t d e la circonférence e n B . L e s autres parties sont a u contraire renflées.
L e s c o u r b e s indiquent la position des m a x i m a et m i n i -
Article published by SHF and available athttp://www.shf-lhb.orgorhttp://dx.doi.org/10.1051/lhb/1905004
L A H O U I L L E B L A N C H E
m a , qui ont lieu en A , en B , et en un point intermédiaire, dans le voisinage de go°.
P o u r les quatre types d'appuis considérés, la forme des courbes est très différente dans la région comprise entre les appuis, ce qui s'explique, cette région P A P étant peu étendue et soumise à l'influence des liaisons des appuis qui en sont très voisins.
D a n s la région supérieure P B P , qui est très étendue, les courbes affectent au contraire une allure semblable.
E n comparant les valeurs des m o m e n t s pour les quatre courbes, on voit que la disposition des appuis mobiles,
JJ°P.
IMS
ligne enveloppe des plus grands m o m e n t s , en valeur abso- lue, est représentée par le contour a b c d e f g.
C'est cette ligne enveloppe que l'on pourra utiliser dans la pratique, par- mesure de sécurité, toutes les fois qu'il n'apparaîtra pas que l'on puisse ranger nettement daas telle ou telje catégorie le système d'appui étudié.
Cela se présentera fréquemment. E n effet, la fixité abso-
}m des appuis peut être difficile à réaliser, lorsque lesdéplacements horizontaux correspondant au type théori- que des appuis mobiles, sont d'une amplitude extrêmement faible, de quelques dixièmes de millimètre par exemple.
1,150.
0,641
0.6«
courbe n° 2, est celle qui fatigue le m o i n s les parois, dans le voisinage des appuis. Cela se conçoit, car la mobilité des appuis annule les poussées, tandis que dans les trois autres cas les parois demeurent soumises à l'action de ces forces, sur les appuis.
P a r contre les fatigues sont plus grandes, en dehors de cette zone peu étendue, lorsque les appuis sont mobiles, et dans toute la région supérieure P B P , au-dessus des appuis, c'est la courbe n° 4 (encastrements) qui correspond aux plus petits m o m e n t s .
C e s résultats apparaissent avec plus de netteté lorsque l'on superpose les quatre courbes, et nous voyons que la
Fig. 1 . — E p u r e des m o m e n t s de flexion dans u n tuyau reposant sur u n e fondation plane.
L'encastrement absolu, qu'il semble facile d'obtenir par des assemblages rigides du tuyau sur ses supports, pourra se trouver réalisé imparfaitement, si ces supports sont u n peu hauts et ne sont pas encastrés à leur pied dans le massif des ion- dations d'une manière suffisante pour empêcher de très petites oscillations sous l'action des poussées s'exerçant à leur partie supérieure.
D a n s toutes ces circonstances, il suffira d'employer la courbe enveloppe des plus grands m o m e n t s pour être assuré de ne pas dépasser la limite de travail que l'on s'est imposée, pour la matière composant les parois.
O n peut également utiliser cette courbe à la manière d'une courbe de m o m e n t s de flexion dans des travées droites continues, pour renforcer les parois dans les régions des plus grandes fatigues, soit par des augmenta- tions d'épaisseur, soit par des dispositions appropriées dans les armatures.
Enfin, si l'épaisseur des parois est constante, ou si les armatures ont un profil constant pour toute la circonfé- rence, il suffira de retenir de ces courbes l'indication du m o m e n t le plus grand en valeur absolue.
C e m a x i m u m a lieu ici sur les appuis, pour la courbe•
и
superposées. Encastrement sur les appuis.
Appuis simples à réactions radiales.
Appuis simples mobiles horizontalement.
Appuis simples fixes.
r
>•
o
a
1—4
r r
m
03 r i>. z o
1 6 L A H O U I L L E B L A N C H E
no i, qui n o u s d o n n e Z = 0,681, et la valeur absolue d u plus g r a n d m o m e n t sera :
M — 0,681 (pR* + ~ 0 R*J ( m a x i m u m négatif)
par m è t r e courant d e conduite.
T U Y A U REPOSANT SUR UNE FONDATION PLANE.
L a c o u r b e Z correspondante a été tracée à la m ê m e échelle q u e les précédentes. O n voit d e suite qu'elle correspond à d e s m o m e n t s fléchissants b e a u c o u p plus g r a n d s C'est a u point d'appui inférieur A q u e les valeurs d e Z sont les plus g r a n d e s .
C'est e n effet e n ce point q u e sont v e n u e s se superposer les réactions d e s a p p u i s d o n t les fatigues locales étaient réparties p r é c é d e m m e n t en d e u x points des parois.
L e s m a x i m a négatifs d e la fonction Z ont lieu : E n A , o ù T o n a Z = 1,5o (aplatissement).
E n B , — Z — o,5o —
O n a u n m a x i m u n positif p o u r a = 74046' : E n M , o ù l'on a Z = 0,641 (renflement).
E t les m o m e n t s fléchissants sont nuls :
E n N (a = 33» 41') et e n P (a = 1290 23').
C04t
Fig. 3. — Canalisations disposées d a n s u n b u r e a u m a ç o n n é . N o u s a v o n s tracé u n e é p u r e d e s m o m e n t s d e flexion sur la circonférence e l l e - m ê m e , e n portant d e s longueurs proportionnelles a u x m o m e n t s , suivant les r a y o n s , à l'intérieur d u cercle p o u r les m o m e n t s négatifs, à l'exté- rieur p o u r les m o m e n t s positifs. (Voir fig. 1)
L e s épaisseurs d e s surfaces o m b r é e s indiquent ainsi les variations des m o m e n t s , les régions d e t u y a u aplaties sont celles qui c o r r e s p o n d e n t a u x surfaces situées à l'intérieur d e la circonférence, les régions renflées correspondent a u x surfaces extérieures.
N o u s a v o n s é g a l e m e n t indiqué, p o u r m é m o i r e , les cour- b e s d e s valeurs d e Z p e n d a n t le remplissage. Elles ont déjà fait l'objet d'une étude particulière d a n s cette R e v u e (1).
(i) V o i r La Houille Blanche^ igo3, p a g e 238.
T U Y A U REPOSANT SUR UNE FONDATION CIRCULAIRE.
a) Appui suivant une \one inférieure de contact. — N o u s a v o n s tracé la c o u r b e Z c o r r e s p o n d a n t e , p o u r y = 3oo (courbe n ° 6).
O n a encore u n m o m e n t m a x i m u m a u milieu d e la région a p p u y é e , a u point A . M a i s ce m a x i m u m est bien plus faible q u e lorsque l'appui se fait suivant la génératrice d u point A , il est environ moitié m o i n d r e , car Z — 0,84 au lieu d e i ,5o et la c o u r b e d e s Z présente u n e partie arrondie d a n s le voisinage d u point A , a u lieu d e la pointe aiguë d u cas précédent.
E n s u p e r p o s a n t les c o u r b e s no» 5 et 6, n o u s v o y o n s que ces d e u x c o u r b e s d e m e u r e n t partout très voisines, sauf a u p r è s d u point A .
L ' a p p u i , suivant u n e z o n e inférieure d e contact totale de 6o° entre le t u y a u et sa fondation, est d o n c très efficace pour d i m i n u e r les fatigues a u point inférieur A , m a i s il est sans g r a n d e influence sur les flexions d e s parois, e n d e h o r s d e la région a p p u y é e . L e s o r d o n n é e s Z sont s e u l e m e n t u n peu plus faibles p o u r la c o u r b e 6 q u e p o u r la c o u r b e 5.
b ) Canalisation disposée dans un berceau maçonné. — N o u s a v o n s tracé les trois c o u r b e s Z c o r r e s p o n d a n t à des berceaux m a ç o n n é s e m b r a s s a n t toute la demi-circonfé- rence inférieure d e la conduite, et d o n t les niveaux supé- rieurs seraient e n S4, S2, S3, ces trois points étant caracté- risés par les valeurs 9 = go°, io5°, 120°.
L a plus g r a n d e valeur absolue des m o m e n t s d e flexion a lieu e n ces endroits. O n a :
Z — 0,10g e n Sd Z ~ o,o53 e n S2 Z = 0,021 en S3 Ainsi lorsque l'angle 00 passe d e 9 00 à io5° les m o m e n t s d e flexion sont d i m i n u é s d e moitié a u point S . Ils sont éga- l e m e n t réduits d e moitié e n B , à la partie supérieure du t u y a u , et d a n s la région intermédiaire d u m a x i m u m positif D e m ê m e e n passant d e io5° à 1200, les fatigues sont réduites d e plus d e moitié.
C e s résultats sont intéressants à observer, car ils m o n - trent c o m b i e n l'efficacité d'un berceau m a ç o n n é se trouve a u g m e n t é e , dès q u e l'on d é p a s s e q u e l q u e p e u le niveau du plan diamétral horizontal p o u r s o n a r a s e m e n t supérieur.
C'est u n e disposition s e m b l a b l e d e b e r c e a u m a ç o n n é qui a été adoptée p o u r la conduite d e C h a m p , d o n t n o u s don- n o n s u n e c o u p e transversale p o u r la partie e n tôles.
L ' a r a s e m e n t supérieur d u b e r c e a u a été fait à o ^ S o au- dessus d u plan diamétral horizontal, ce q u i correspond à u n angle 9 légèrement supérieur à io5°.
M M . B o u c h a y e r et Viallet, constructeurs à Grenoble, n o u s ont c o m m u n i q u é les plans d e détails d ' u n e conduite projetée, d e 3m4 5 d e diamètre intérieur, e n tôles rivées très m i n c e s , les épaisseurs variant d e 6 à 8m/m s e u l e m e n t .
N o u s a v o n s représenté u n e c o u p e transversale d e cette conduite, et l'on y voit les dispositions adoptées p o u r com- battre les d é f o r m a t i o n s d e parois aussi é m i n e m m e n t flexibles.
S u r c h a q u e tronçon d e 10 m è t r e s d e l o n g u e u r , o n a dis- p o s é trois a r m a t u r e s , e n cornières, e m b r a s s a n t toute h circonférence, ces a r m a t u r e s étant renforcées à la partie inférieure p a r u n cadre e n cornières. L ' e s p a c e m e n t des a r m a t u r e s est ainsi d e 3m3 o environ. Elles o n t été établies
Courbe n° 5. Courbe n° G. Courbes n
os 5 et 6 superposées.
Fig. 4
T U Y A U R E P O S A N T S U R U N E F O N D A T I O N P L A N E
T U Y A U R E P O S A N T S U R U N E
F O N D A T I O N C I R C U L A I R E
18 L A H O U I L L E B L A N C H E
p o u r s'opposer a u x déformations des tronçons à vide, c'est- à-dire p e n d a n t leur transport et mise^en place. L e s défor- m a t i o n s d u e s a u poids d e i ' e a u , lorsque la conduite est e n service, sont c o m b a t t u e s c o m m e p r é c é d e m m e n t p a r u n berceau m a ç o n n é e m b r a s s a n t toute la région inférieure d e la canalisation, jusqu'à om5 o a u dessus d u plan horizontal diamétral.
A P P L I C A T I O N S N U M É R I Q U E S ,
N o u s d o n n e r o n s ci-après, à titre d'indication, q u e l q u e s applications n u m é r i q u e s d e s f o r m u l e s q u i précèdent, e n étudiant tout d'abord le cas d'une canalisation a p p u y é e sur u n e fondation continue, avec parois e n tôles, sans a r m a t u r e s . ,
N o u s verrons ensuite c o m m e n t les formules d e flexions p e u v e n t être utilisées p o u r les calculs d e s a r m a t u r e s , et d a n s le cas des appuis discontinus.
Fig. 5. — T u y a u d e la c o n d u i t e d e C h a m p
FONDATIONS CONTINUES, PAROIS SANS ARMATURES.
Soit u n e conduite d e i m è t r e d e diamètre, avec u n e pres- sion d'eau d e 5o m è t r e s .
d) S u p p o s o n s q u e cette conduite repose sur u n sol résis- tant o u u n e fondation plane, et suivant sa génération infé- rieure s e u l e m e n t , et a d m e t t o n s u n e épaisseur d e parois
d e yni/m.
P o u r simplifier les calculs, n o u s n e tiendrons p a s c o m p t e des trous d e rivets à déduire, et d e s renforcements q u e l'on pourrait c o m p t e r d'autre part, p a r les cercles d e recouvre- m e n t des viroles successives.
Efforts normaux. — S o u s l'action d e la pression d*eau d e 5o m è t r e s , la tension constante, d a n s les parois, est d e 5o o o o X i tOo c .
.— = 2b o o ok par m è t r e courant.
2
Section d e la paroi, e n millimètres carrés, par m è t r e c o u - rant, 7 0 0 0 n >m 2.
Travail d e tension constant d a n s l'épaisseur des parois, s o u s l'action d e la pression intérieure :
20 OOO .7 o o o
3k6 par millimètre carré.
Flexions dues aux forces déformatrices.
f o r m u l e
M = (pR*+ ~ oR^)Z
D a n s
o n a ; p = G ok (poids des parois a u m è t r e carré), R = o,5o
§ = i o o o , d'où :
j _ BA )3 ) = 6 oXo , 5 » + I x . o o o X o , 5 « 2 J
( = i5-f 62,5^= 77,5
L a valeur m a x i m u m d e Z (courbe d u type n ° 5) se pro- duit suivant la génératrice inférieure d e contact et est égale à i,5o.
M o m e n t d e flexion p a r m è t r e courant d e conduite : M = 77,5 X i , 5 o = i iGMjms 3.
M o d u l e d e résistance — X 0,007* = 0,0000082.
Travail m a x i m u m d u m é t a l par suite d e s flexions : 116,3
~ 8 ^ T i<4k2 p a r millimètre carré.
F i g . 6 . — P r o j e t B o u c h a y e r et Viallet. C o n d u i t e d e 3"»45 d e diamètre.
L e travail m a x i m u m total sera d o n c inférieur à :
R = r{-\-r% = 3k6 + 14,2 = 17k8 p a r millimètre carre.
C e coefficient est élevé, m a i s serait admissible, car il est inférieur à la limite d'élasticité p o u r d e s aciers d o u x ordi*
naires, et n o u s verrons plus loin qu'il est p e r m i s d a n s ces calculs d e s'en r a p p r o c h e r n o t a b l e m e n t .
b) S u p p o s o n s m a i n t e n a n t q u e cette m ê m e conduite repose sur u n e fondation circulaire» continue, suivant une z o n e d e 3o° à droite et à g a u c h e d e la verticale, soit 6o°en tout.
L a valeur m a x i m u m d e la fonction Z a toujours lieu au m ê m e point, suivant la génératrice inférieure, m a i s elle n'est plus q u e 0,84 a u lieu d e 1,5o(voir étude d e la c o u r b e p o u r y = 3o°).
Si n o u s c o n s e r v o n s p o u r cette conduite la m ê m e épais- seur d e 7 m m s q u e p r é c é d e m m e n t , o n a u r a p o u f te flexions :
M = 77,5 X 0 , 8 4 = 65Mjms t 65,i
et r 0 =
8,2 7k9
a u lieu d e i 4k2 q u e l'on trouvait p r é c é d e m m e n t ; travail total inférieur à :
R = ri + r\ ^ 3 k 6 + 7 , 9 = n k5 p a r millimètre carré.
O n voit q u e ce s y s t è m e d'appui permettrait d e réduire à
6 m m s l'épaisseur des tôles, et m ê m e u n p e u m o i n s , si T o n conservait le m ê m e coefficient d e travail q u e d a n s le cas précédent.
FONDATIONS DISCONTINUES, PAROIS AVEC ARMATURES.
D è s q u e les flexions o n t u n e certaine i m p o r t a n c e , il est préférable d ' a u g m e n t e r la rigidité d e s parois a u m o y e n d'armatures rationnelles, plutôt q u e d'en m a j o r e r les épais- seurs. N o u s a v o n s v u qu'il vaut m i e u x adopter des a r m a - tures transversales rapprochées, d a n s le cas des très g r a n d s diamètres.
Soit d o n c u n e conduite d e 3 m è t r e s d e d i a m è t r e , sup- portant u n e pression d'eau d e 3o mètres.
Les parois p o u r r o n t être e n tôles d'acier d o u x , d e 7 m m s d'épaisseur, renforcées tous les m è t r e s courants p a r d e s armatures en cornières.
N o u s a d m e t t o n s q u e ces a r m a t u r e s reposent s u r u n e fondation plane, q u i p o u r r a être discontinue, la conduite n'étant a p p u y é e qu'au droit des a r m a t u r e s s e u l e m e n t .
C e s armatures o n t été indiquées sur la c o u p e transver- sale d e la conduite. Elles sont f o r m é e s d e d e u x cornières de 100 X 100 X 12, renforcées p a r u n cadre rigide en tôles et cornières, à leur partie inférieure, et elles prennent appui sur le massif d e fondation suivant u n e z o n e de* 3o°
de part et d'autre d e l'axe vertical d e la conduite.
Efforts normaux. — L a pression d e 3o m è t r e s d'eau correspond à u n e tension d a n s les parois d e :
3o 000 X 3,oo c
'— = 40 0 0 0k par m è t r e c o u r a n t . Section d'un m è t r e courant d e paroi (tôles et d e u x cor- nières d'armature) : 11 512 millimètres carrés.
Travail m a x i m u m d u m é t a l à la tension ;
r. z= 46 000 = 3 ^91 par millimètre carré.
Flexions dues aux forces déjvr-matrices. — D a n s la for- m u l e générale :
M=(pR* + — oR*)Z 2
nous aurons :
p = (jo k (poids d e s parois a u m è t r e carré) a = 1 o o oK
ce qui d o n n e :
pR* + T3 *3 = 202,5 + 1 68?'5 = 1 89 0
Les armatures étant disposées tous les m è t r e s courants, ce m o m e n t c o r r e s p o n d a u x flexions q u e doit c o m b a t t r e chaque armature.
P o u r simplifier les calculs, et p a r m e s u r e d e sécurité, nous négligerons Faction d e s tôles des parois, et n o u s n e compterons, c o m m e m o m e n t d'inertie d e s parois, q u e celui des cornières d e l'armature s e u l e m e n t . '
^ D a n s sa partie renforcée p a r le cadre rigide inférieur, e n tôles et cornières, le m o m e n t d'inertie d e l'armature est b e a u c o u p plus g r a n d q u e d a n s la région n e c o m p r e n a n t que deux cornières. A u s s i p e u t - o n considérer les d é f o r m a - tions d e l'armature, d a n s la z o n e d u cadre inférieur, c o m m e négligeables devant celles d e la partie courante, ce q u i revient à calculer cette z o n e supérieure c o m m e u n e pièce encastrée à ses attaches s u r le c a d r e , soit à 3o° d e la verticale.
L a fonction Z q u e l'on peut admettre ici c o m m e c o n v e - nant le m i e u x a u x dispositions pratiques adoptées sera d o n c représentée par la b r a n c h e d e c o u r b e n*> 4 c o m p r i s e d e 3o°
à 180%
L e s plus g r a n d e s valeurs d e Z ont d o n c lieu : à 3o°, o ù l'on a : Z — 0,670 à g o ° , — Z = 0,329 à 1800, — Z — 0,273
D a n s la section à 3o°, les d e u x cornières 100 X 100 X 12 sont rivées sur la tôle d e 7 m m s d u cadre, à laquelle elles sont fixées sur u n e l o n g u e u r assez g r a n d e , depuis l'origine de l'attache, p o u r q u e cette tôle puisse être c o m p t é e d a n s la section. S a l o n g u e u r suivant le r a y o n est d e 5oo m m s environ.
D a n s ces conditions, T o n a :
M o m e n t d'inertie : / = 0,000170 ( 1 tôle 5oo X 7, 2 cornières 100 X 100 X 12).
Distance d e T a x e neutre a u x fibres les plus éloignées : v = 0,3742.
/
M o d u l e d e résistance : — io° = 4 6 2 . v
M o m e n t d e flexion : M = 0,670 X 1 890 == 1 266 FCIM«\
Travail m a x i m u m d u métal, par millimètre carré : M 1266
JO° ' v
462 2^74 ( c o m p r e s s i o n ) D a n s la section à go°y l'armature c o m p r e n d d e u x cor- nières s e u l e m e n t .
O n a : / = 0,0000042 v = 0,0706 1 o( ) — = 60
tco*tcfo*iz
2.C 100 >%?
M o m e n t d e flexion : M — 0,329 X * 890 = 622 Mjms.
Travail m a x i m u m d u métal, tension par millimètre carré :
622 . ,2
D a n s la section à i$o°, la valeur d e Z étant plus faible q u e la précédente et la section d'armature la m ê m e , o n aurait p o u r r2 u n coefficient m o i n s élevé.
L a plus g r a n d e valeur d e r% Fig. 7. a d o n c lieu à 900, o ù l'on a : T u y a u d e 3 m s d e d i a m è t r e , r2 — IO k 3o
par millimètre carré.
L e travail m a x i m u m total d u métal des parois, la c o n - duite étant en charge, se produit d o n c d a n s la section à 9 00 et sa valeur est inférieure à :
R = r{ + r% — 3,91 + 10,3o
T e n s i o n par millimètre carré : *== 14,21 , coefficient ad- missible, car il reste u n e m a r g e suffisante a u - d e s s o u s d u coefficient d'élasticité d u métal.
C O N C L U S I O N S
N o u s r e m a r q u o n s tout d'abord q u e les formules q u e n o u s a v o n s établies correspondent à des hypothèses théo- riques précises et bien définies. Aussi n e pourront-elles
2 0 L A H O U I L L E B L A N C H E
n o u s fournir q u e d e s résultats a p p r o c h é s , d a n s les applica- tions, car les conditions d e la pratique sont trop c o m p l e x e s p o u r p o u v o i r être traduites p a r d e s f o r m u l e s simples q u i tiennent c o m p t e à la fois d e tous les é l é m e n t s d u p r o b r è m e . 11 e n est g é n é r a l e m e n t ainsi, d a n s toutes les questions d e résistance d e s matériaux, et n o u s n o u s s o m m e s b o r n é s à rechercher u n e m é t h o d e d e calcul q u i p e r m e t t e d'évaluer p a r excès les plus grandes fatigues moléculaires d u e s a u x forces déformatrices d o n t n o u s a v o n s étudié les effets.
N o u s a v o n s v u qu'il reste u n e certaine part réservée à l'appréciation, d a n s le choix d e s f o r m u l e s à e m p l o y e r p o u r u n e application pratique d é t e r m i n é e . N o u s a v o n s d o n c cherché à obtenir u n e précision suffisante p o u r les besoins ordinaires d e la pratique en établissant les f o r m u l e s corres- p o n d a n t à d e s cas théoriques assez n o m b r e u x , entre les- quels p o u r r o n t se classer sans trop d'écart les dispositions pratiques étudiées, d e m a n i è r e à obtenir d e s limites p a r excès, p o u r le travail des parois.
C'est é g a l e m e n t des coefficients p a r excès q u e l'on obtient p o u r le travail total s o u s l'action d e s forces déformatrices et d e s tensions d u e s à la pression intérieure, lorsque T o n ajoute a l g é b r i q u e m e n t les effets d e s d e u x forces, consi- dérées isolément. Ainsi q u e n o u s l'avons r e m a r q u é , a u d é b u t d e cette étude, les pressions intérieures d a n s u n e conduite e n charge tendent à d i m i n u e r les ovalisations et à réduire le travail d û a u x flexions.
P o u r ces différentes raisons, n o u s e s t i m o n s q u e l'on p e u t adopter d e s coefficients d e travail élevés, et m ê m e voisins d e la limite d'élasticité, d a n s tous ces calculs.
D e s résultats plus précis pourraient sans doute être o b t e n u s p a r u n e étude plus conlplète d e la question. M a i s les formules auxquelles o n arrive sont alors b e a u c o u p plus c o m p l i q u é e s .
P o u r traiter le p r o b l è m e d a n s toute sa généralité, il serait en effet nécessaire d e considérer le cas d'une conduite posée sur d e s a p p u i s discontinus, espacés à d e s distances quel- c o n q u e s les u n s d e s autres, les formules tenant c o m p t e d e la solidarité d e s d é f o r m a t i o n s longitudinales et transver- sales d e la conduite, s o u s l'action d e toutes les forces qui la sollicitent.
O n pourrait alors e n toute certitude établir d e grosses canalisations sur d e s appuis espacés, e n a r m a n t a u besoin les parois d'une façon rationnelle.
E n l'absence d e f o r m u l e s d e ce g e n r e , n o u s n e p o u v o n s q u e n o u s b o r n e r à conseiller, p o u r les grands diamètres, d e s a p p u i s continus o u s u f f i s a m m e n t rapprochés p o u r q u e les flexions longitudinales soient négligeables, et q u e T o n n'ait plus à tenir c o m p t e q u e des eflets d e la pression et des fatigues d u e s a u x déformations transversales.
C e s dispositions sont d'ailleurs adoptées g é n é r a l e m e n t d a n s la pratique, p o u r les grosses conduites. Si des condi- tions locales imposaient d e s appuis espacés, o n aurait recours à u n d o u b l e s y s t è m e d'armatures transversales entretoisées p a r d e s a r m a t u r e s longitudinales disposées suivant les génératrices, et qu'il serait aisé d e calculer e n négligeant p a r e x e m p l e la résistance d e la paroi, d a n s le calcul d e s a r m a t u r e s longitudinales, et e n calculant les a r m a t u r e s transversales d'après les forces déformatrices c o r r e s p o n d a n t à leurs e s p a c e m e n t s .
N o u s n e c r o y o n s p a s qu'il y aurait u n très g r a n d intérêt à rechercher d e s f o r m u l e s plus précises p o u r u n calcul de ce genre, cette disposition s e m b l a n t devoir être fort excep- tionnelle d a n s la pratique.
C a r lorsque l'on a d e s portées assez g r a n d e s à franchir avec d e grosses conduites, il paraît rationnel d e les soutenir e n ces endroits par d e s poutres métalliques o u des ouvrages m a ç o n n é s , spécialement étudiés à cet effet.
Q u a n t a u x conduites d e faible diamètre, posées le plus o r d i n a i r e m e n t sur a p p u i s espacés, n o u s e s t i m o n s suffisant d e les calculer c o m m e o n le fait g é n é r a l e m e n t , e n négli- geant les déformations transversales d e s sections et ne tenant c o m p t e q u e des effets d e la pression.
L e s fatigues d u e s a u x d é f o r m a t i o n s longitudinales entre a p p u i s se calculent alors p a r les f o r m u l e s ordinaires des poutres droites continues.
O n p o u r r a , p a r précaution, renforcer les sections an droit des a p p u i s p a r des armatures-transversales robustes, qui résistent avec efficacité a u x réactions locales produites en ces endroits p a r la charge des travées contiguës.
P o u r les conduites e n tôles rivées, l'étude d e s flexions d a n s les parois d o n n e r a d'utiles indications, p o u r les dispo- sitions à adopter d a n s la rivure longitudinale d e s viroles successives.
Ainsi q u e n o u s l'avons observé, d a n s notre article sur les flexions p e n d a n t le remplissage, il n'est p a s indifférent de disposer les files d e rivets suivant des -génératrices quel- c o n q u e s , c o m m e o n le fait g é n é r a l e m e n t .
L e s rivures longitudinales doivent être disposées suivant;
les génératrices p o u r lesquelles les m o m e n t s d e flexion d m a u x forces déformatrices sont nuls, o u d u m o i n s d a n s k voisinage d e ces génératrices, et u n calcul s o m m a i r e dam c h a q u e cas d o n n e r a p i d e m e n t d e s indications suffisantes à ce sujet. P o u r les canalisations reposant sur u n e fondation plane, n o u s a v o n s v u q u e ces génératrices sont à 33° 41* et à 1290 23' d e la génératrice inférieure d e contact. Les rivures longitudinales devront d o n c être d a n s ce cas à envi- r o n 3o° et Î3O° d e la génératrice inférieure. Il n'en résulte a u c u n e sujétion nouvelle d e construction et les avantages e n sont manifestes, l'étanchéité d e la rivure est plus facile \ obtenir, et d'autre part les régions affaiblies p a r les trous d e rivets n e travaillant p a s s o u s l'action d e s forces déforma- trices, la résistance d e s parois s'en trouve a u g m e n t é e .
N o u s t e r m i n e r o n s e n r e m a r q u a n t q u ' i n d é p e n d a m m e n t des applications a u x conduites forcées, les formules qui précèdent sont susceptibles d e d o n n e r d a n s certaines cir- constances d e s résultats intéressants, n o t a m m e n t p o u r te calculs d e s parois d a n s les souterrains tubulaires e n ter- rains aquifères. N o u s citerons é g a l e m e n t le cas d e s chafc dières à vapeur cylindriques. S u i v a n t leur m o d e d'appui o u d e suspension d a n s les massifs m a ç o n n é s qui les entourent, les tôles p e u v e n t être s o u m i s e s à d e s efforts se- condaires importants, q u i pourraient n e p a s ressortir av^
évidence d u simple e x a m e n d e s plans d e détails d e s appa- reils. E t l'on pourrait ainsi trouver par le calcul l'explication, d e p h é n o m è n e s d o n t les causes p r e m i è r e s n'apparaissent p a s toujours n e t t e m e n t .
C . BIRÀULT,
Ingénieur dus Arts et Manufactures,
