H143 – Liaisons aériennes [**** à la main]
Problème proposé par Bernard Vignes
Deux compagnies aériennes sont consultées pour assurer la desserte de plusieurs métropoles régionales.
Le cahier des charges fixe l'objectif de créer le plus grand nombre possible de liaisons qui respectent les trois conditions suivantes :
- entre deux métropoles il y a au maximum une liaison qui est assurée par une seule compagnie, - une même compagnie ne peut pas réaliser un circuit passant par trois métropoles tel que m₁ ==> m₂
==> m₃ ==> m₁,
- tout circuit de longueur l > 3 à bord d’un avion de la même compagnie est autorisé.
Il leur est demandé de proposer différentes variantes selon que le nombre de métropoles desservies est égal à 6, 7 , 8 ou 9.
Pour chacune de ces quatre valeurs, déterminer le nombre de liaisons proposées par les deux compagnies et donner une représentation graphique de ces liaisons.
Solution
Pour n= 6, il y a nécessairement un triangle monochromatique dans le graphe complet des 15 liaisons.
Soient A,B,C,D,E,F les six sommets (i.e. les 6 métropoles). De l'un d'eux, A par exemple, partent 5 arêtes (i.e. les liaisons) parmi lesquelles trois au moins, selon le principe des tiroirs, sont de la même couleur. Soient AB,AC et AD trois de ces arêtes, par exemple de couleur rouge. Les arêtes BC,CD et DB sont de couleur bleue,sinon l'un des triangles ABC,ACD,ADB serait monochromatique mais alors BCD est monochromatique. Contradiction.
Il y a donc au maximum 14 liaisons qui respectent le cahier des charges. Le graphe ci-contre montre que la configuration de 14 liaisons existe bien (l'arête AE a été supprimée).
Soit n le nombre de métropoles desservies par les deux compagnies. Le nombre maximum de liaisons est égal à C(n,2) = n(n ‒ 1)/2
Pour n = 5, on sait trouver 10 liaisons qui respectent les conditions du cahier des charges comme le montre le graphe ci-contre dans lequel les liaisons sont représentées par des segments bleus et rouges qui
différencient les deux compagnies.
Pour n > 6, on va décrire un mode de construction d'une
configuration Cn+1 à n + 1 métropoles à partir d'une configuration Cn à n métropoles.
Soient X un sommet de Cn qui est relié à tous les autres sommets et Y le (n + 1)-ième sommet ajouté à Cn. On trace les arêtes qui relient Y à tous les sommets de Cn à l'exception de X. Soit Z l'un quelconque de ces n ‒ 1 sommets. On donne à YZ la couleur de XZ. Quel que soit Z, aucun triangle monochromatique ne peut apparaître. Par exemple si W est un sommet de Cn distinct de X et de Z, YZW ne peut pas être monochromatique car YZ et YW ont respectivement même couleur que XZ et XW et par hypothèse XZW n'est pas monochromatique.
Pour obtenir la configuration C₇ à 7 métropoles, on peut donc ajouter 6 ‒ 1 = 5 liaisons, ce qui donne une configuration à 14 + 5 = 19 liaisons qui est représentée ci-contre avec les sommets A,B,C,D,E,F et G.
Pour n = 8 et n = 9, ce mode de construction donne respectivement pour C₈ : 19 + (7 ‒ 1) = 19 + 6 = 25 liaisons et pour C₉ : 25 + (8 ‒ 1) = 25 + 7 = 32 liaisons qui sont représentées ci-après:
C₈ C₉
