On trace quatre points A,B,C et D sur la circonférence d’un cercle de rayon unité et de centre O qui déterminent trois angles AOB = 153°, AOC = 343° et AOD = 76°.
A la règle et au compas (avec si possible le minimum de traits) : Q₁ – Partager l’angle AOB en trois angles de 51° chacun, Q₂ – Partager l’angle AOC en sept angles de 49° chacun,
Q₃ – Partager l’angle AOD en trois angles qui sont respectivement de 1°, 25° et 50°.
Pour les plus courageux :
Un cercle de rayon unité et de centre O est tracé.
Q₄ – Dénombrer les angles de k (entier) degrés, compris entre 1° et 360° bornes incluses, qui peuvent être partagés à la règle et au compas en trois angles égaux exprimés également en nombre entier de degrés.
Q₅ – Dénombrer les angles de k (entier) degrés, compris entre 1° et 360° bornes incluses, qui peuvent être partagés à la règle et au compas en k angles égaux de 1° chacun.
A la règle et au compas, on sait obtenir la moitié d’un angle : la donnée d’un cercle et de son centre permet, en reportant le rayon, de tracer un hexagone régulier, puis en traçant les médiatrices des cotés, un dodécagone et un icosikaitétragone réguliers, qui déterminent des arcs de 30 et 15°, et tous leurs multiples.
15k-9k=6k : 9k-6k=3k : l’extrémité de tout arc dont la mesure en degré est divisible par 9, soit 9k, détermine un arc de 6k avec l’extrémité de l’arc 15k, qu’il suffit de reporter pour obtenir 3k, soit la trisection de l’arc initial : on peut diviser en trois angles égaux tout angle dont la mesure en degré est divisible par 9. Réciproquement, la mesure de l’arc à diviser étant multiple de 3, ainsi que les arcs multiples de 15°, on ne peut obtenir par somme, différence ou division par 2, que des arcs dont la mesure est un multiple de 3 : la mesure de l’arc initial est donc divisible par 9. Il y a 40 angles (9°, 18°, ...) pouvant être partagés en trois angles mesurés en nombre entiers de degrés entre 1 et 360°. (Q4) Parmi eux, AOB=153°, divisible en trois angles de 51°.(Q1)
De même, 15k-7k=8k, qu’il suffit de diviser trois fois par deux pour obtenir k, le septième de l’arc initial. Parmi eux, AOC=343°, divisible en 7 angles de 49°. (Q2) Enfin, pour tout angle dont la mesure est divisible par 3 ou 5, on ne pourra obtenir par somme, différence et division par 2 que des angles multiples de 3 et 5 : entre 1 et 360, il y a 120 multiples de 3, 72 multiples de 5, 24 multiples de 15, donc 192
nombres non multiples de 3 et de 5, qui peuvent être divisés en angles de 1°. (Q5) Parmi eux, 76° (une fois obtenu un angle de 1°, on le reporte 25 puis 50 fois). (Q3)
