E322 – La devinette du problème impossible [***** à la main]
Ce problème proposé en 1998 par Evan Whitney est une variante originale des problèmes E304, E306, E320 et E321. Diophante choisit deux nombres supérieurs strictement à 1. Il donne la somme à Sébastien et le produit P à Pierre. Chacun d’eux est informé de la nature (somme ou produit) du nombre communiqué à l’autre.
On a le dialogue suivant : X : Je ne sais pas répondre.
Y : Je savais que tu ne pouvais pas répondre.
X : Je savais que tu allais me faire ce commentaire.
Y : Notre conversation peut s’éterniser X : C’est bien mon avis
Y : Ah ! maintenant je connais ta somme.
X : Et moi je connais ton produit.
Deux questions : Qui sont X et Y ?
Quels sont les deux nombres choisis par Diophante ?
Source : Evan Whitney dans « The impossible problem de Torsten Sillke – décembre 1997 » Solution
1) Commençons par retenir X = Sébastien et Y=Pierre et examinons pas à pas les couples d’entiers possibles (S,P) en fonction des déclarations de Sébastien et de Pierre.
Sébastien : Je ne sais pas répondre
Sébastien n’a ni 4 ni 5. Sinon, il pourrait annoncer les couples (S,P) = (4,4) et (5,6) correspondant aux couples de nombres (2,2) et (2,3). Toutes les autres valeurs de S>5 le laissent dans l’incertitude.
Pierre : Je savais que tu ne pouvais pas répondre.
Cela signifie que Pierre n’ayant ni 4 ni 6 comme produit, peut affirmer que Sébastien n’a ni 4 ni 5 comme somme. Par ailleurs par sa déclaration Pierre avoue également qu’il ne sait pas répondre. Il est dans l’incertitude car son produit n’est ni un nombre premier ni le produit de deux nombres premiers ni le cube de nombres premiers. La liste des décompositions possibles de P est très importante mais la liste des premières valeurs possibles suffira pour résoudre le problème . Pour chacune des valeurs possibles de P, sont indiquées les valeurs possibles de S qui sont toujours en nombre supérieur ou égal à 2.Il est facile de vérifier que pour les valeurs de P >40, il y a systématiquement au moins 2 valeurs possibles de S.
La table inverse où les valeurs possibles de P sont énumérées en fonction de celles de S est la suivante :
Sébastien : Je savais que tu allais me faire ce commentaire.
Par cette remarque Sébastien confirme qu’il savait que Pierre n’avait ni 4 ni 6 (ce qui n’a rien de bien nouveau) et par ailleurs il signale qu’il ne possède pas la valeur 7 car s’il détenait cette valeur, il pourrait donner immédiatement le produit 12 de Pierre.
La première ligne du tableau précédent disparaît et l’on a le tableau suivant :
Pierre : Notre conversation peut s’éterniser.
Si Pierre ne peut pas répondre, il ne détient pas la valeur 12 pour laquelle il n’y a plus désormais qu’une seule valeur possible de S=8. Il en résulte que la première ligne du tableau précédent ne contient plus que le produit P=16 obtenu avec le couple (4,4).
P Valeurs possibles de S e t des couples (a,b)
12 8 (2,6) 7 (3,4)
16 10 (2,8) 8 (4,4)
18 11 (2,9) 9 (3,6)
20 12 (2,10) 9 (4,5)
24 14 (2,12) 11 (3,8) 10 (4,6)
28 16 (2,14) 11 (4,7)
30 17 (2,15) 13 (3,10) 11 (5,6)
32 18 (2,16) 12 (4,8)
36 20 (2,18) 15 (3,12) 13 (4,9) 12 (6,6)
40 22 (2,20) 14 (4,10) 13 (5,8)
S Valeurs possibles de P e t des couples (a,b)
7 12 (3,4)
8 12 (2,6) 16 (4,4)
9 18 (3,6) 20 (4,5)
10 16 (2,8) 24 (4,6)
11 18 (2,9) 24 (3,8) 28 (4,7) 30 (5,6)
12 18 (3,6) 32 (4,8) 36 (6,6)
13 30 (3,10) 36 (4,9) 40 (5,8) 42 (6,7)
14 24 (2,12) 40 (4,10) 45 (5,9) 48 (6,8)
S Valeurs possibles de P e t des couples (a,b)
8 12 (2,6) 16 (4,4)
9 18 (3,6) 20 (4,5)
10 16 (2,8) 24 (4,6)
11 18 (2,9) 24 (3,8) 28 (4,7) 30 (5,6)
12 18 (3,6) 32 (4,8) 36 (6,6)
13 30 (3,10) 36 (4,9) 40 (5,8) 42 (6,7)
14 24 (2,12) 40 (4,10) 45 (5,9) 48 (6,8)
Sébastien : C’est bien mon avis.
Si Sébastien ne sait toujours pas répondre, il n’a pas la valeur 8 pour laquelle il n’y a plus désormais qu’une seule valeur de P = 16. Il en résulte que la deuxième ligne du tableau disparaît à son tour.
Il reste le tableau suivant :
Pierre : Ah ! Maintenant je connais les deux nombres.
Pierre sait répondre car il détient la produit 16 qui est unique dans le tableau ci-dessus. Il a donc trouvé la valeur de S = 10 et les deux nombres a=2 et b=8
Sébastien :Et moi de même.
Sébastien qui a dans sa tête le même tableau que Pierre tire évidemment les mêmes
conclusions que lui. La possibilité pour Pierre de répondre implique qu’avec sa somme égale à 10, Sébastien n’a plus à hésiter entre 16 et 24 et il retient 16.
Conclusion : les deux nombres choisis par Diophante sont 2 et 8 de somme 10 et de produit 16.
2) Retenons maintenant X = Pierre et Y = Sébastien
Les deux premières déclarations de Pierre et de Sébastien sont identiques à celles qui ont été faites dans le problème E306 intitulé « Le grand classique des problèmes impossibles » mais il y a divergence dès la troisième déclaration.
Reprenons la liste des valeurs possibles de P et de S établie à l’issue de chacune des deux déclarations :
Pierre : Je ne sais pas répondre.
- Si Pierre ne peut pas répondre, c’est que le produit P que lui a donné Diophante n’est ni un nombre premier, ni le carré ou le cube d’un nombre premier, ni le produit de deux nombres premiers. Les valeurs possibles de P sont donc :12, 16, 18, 20, 24, 28, 30, 32, 36, 40, 42, 45, 48, 50, 52, 54, 56, 60, ..
Sébastien : Je savais que tu ne pouvais pas répondre.
S Valeurs possibles de P e t des couples (a,b)
9 18 (3,6) 20 (4,5)
10 16 (2,8) 24 (4,6)
11 18 (2,9) 24 (3,8) 28 (4,7) 30 (5,6)
12 18 (3,6) 32 (4,8) 36 (6,6)
13 30 (3,10) 36 (4,9) 40 (5,8) 42 (6,7)
14 24 (2,12) 40 (4,10) 45 (5,9) 48 (6,8)
S Valeurs possibles de P e t des couples (a,b)
8 16 (4,4)
9 18 (3,6) 20 (4,5)
10 16 (2,8) 24 (4,6)
11 18 (2,9) 24 (3,8) 28 (4,7) 30 (5,6)
12 18 (3,6) 32 (4,8) 36 (6,6)
13 30 (3,10) 36 (4,9) 40 (5,8) 42 (6,7)
14 24 (2,12) 40 (4,10) 45 (5,9) 48 (6,8)
Quand Sébastien affirme qu’il savait que Pierre ne pouvait pas répondre, c’est que la somme S donnée par Diophante à Sébastien n’est pas la somme de deux nombres premiers. Il en résulte que S est un nombre impair car selon la conjecture de Goldbach il est bien connu que tout nombre pair peut s’exprimer sous la forme d’une somme de deux nombres premiers.
Les sommes possibles pour Sébastien sont donc ramenées à la liste: 11, 17, 23, 27, 29, 35, 37, 41, 45, 47,51…dont le tableau ci-après donne les valeurs correspondantes de P pour S variant entre 11 et 37.
Nota : deux ou plusieurs cases coloriées de la même couleur ont le même produit.
Pierre : Je savais que tu allais me faire ce commentaire.
Par cette déclaration Pierre confirme simplement que son produit figure dans le tableau ci- dessus. Par ailleurs, comme il ne donne pas la somme S de Sébastien, on peut en déduire qu’il ne détient pas les produits 18,24,28,50,52,etc…qui apparaissent une fois et une seule dans le tableau et qui lui auraient permis d’annoncer la somme S.
On est donc ramené à la configuration suivante :
Sébastien : Notre conversation peut s’éterniser
Sébastien n’a donc pas la somme 11 à laquelle correspond un seul produit 30.
D’où le nouveau tableau :
Pierre :C’est bien mon avis
S Valeurs possibles de P
11 18 24 28 30
17 30 42 52 60 66 70 72
23 42 60 76 90 102 112 120 126 130 132
27 50 72 92 110 126 140 152 162 170 176 180 182 29 54 78 100 120 138 154 168 180 190 198 204 208 210
35 66 96 124 150 174 196 216 234 250 264 276 286 294 300 304 306 37 70 102 132 160 186 210 232 252 270 286 300 312 322 330 336 340 342
S Valeurs possibles de P
11 30
17 30 42 60 66 70 72
23 42 60 90 102 120 126 132
27 72 110 126 162 180 29 78 120 168 180 210
35 66 150 196 264 286 300 306
37 70 102 132 210 270 286 300 312 322 330 342
S Valeurs possibles de P
17 30 42 60 66 70 72
23 42 60 90 102 120 126 132
27 72 110 126 162 180 29 78 120 168 180 210
35 66 150 196 264 286 300 306
37 70 102 132 210 270 286 300 312 322 330 342
Pierre est dans une impasse. Tous les produits qu’il peut détenir peuvent être associés à au moins deux sommes. Il lui est impossible d’éliminer des solutions possibles et dans ces conditions les deux autres déclarations de Sébastien et de Pierre qui affirment avoir trouvé la réponse sont impossibles.
Conclusion : X ne peut être que Sébastien et Y Pierre.
