Choleski et déterminantion explicite de la matrice (Sibony page I 16-17

Choleski et déterminantion explicite de la matrice (Sibony page I 16-17

Pierre Lissy April 30, 2010

On considère une matrice SDPA, et on veut l'écrire sous la formeL^tL. Démontrons le résultat par récurrence surn. Pourn= 1il n'y a rien a démontrer . Supposons le résultat vrai pour toute matrice de taille inférieure ou égale àn−1et SDP. On écrit alorsApar blos sous la forme

B ^tv

v a

. On sait que la matriceB reste symétrique dénie positive (c'est la matrice de la restriction à un hyperplan d'une forme quadratique def pos, cela reste def pos). On lui applique donc l'hypothèse de récurrence et on l'écrit sous la formeL^0tL⁰. CherconsLsous la formeL=

L⁰ 0

t< b

. Calculons L^tL, cela vautL=

L⁰L^0t Lw (Lw)^t< w^tw+b²

. Pour avoir^tLL=A, il faut donc et il sut d'avoir Lw=v et w^tw+b² =a, autrement dit w=L⁻¹v et b² =a−L⁻¹v(L⁻¹v)^t. Pour choisir b >0 qui vérie cela, il est susant de montrer quea−L⁻¹v(L⁻¹v)^t>0. Posonsx=

b⁻¹v

−1

. Alors commexest non nul et queAest dénie positive on a (Ax, x)>0, ie(

B ^tv

v a

b⁻¹v, b⁻¹v)>0, ce qui donne exactementa−L⁻¹v(L⁻¹v)^t>0. On remarque de plus que l'on obtient du coup par récurrence que les coecients diagonaux deLsont strictement positifs.

Pour résoudre un systèmeAx=b avecA déf positive, on se ramène à résoudre deux systèmes ce coup-ci triangulaires (donc facilement inversibles), à savoir ^tLx = y et Ly = b. On aimerait donc pouvoir calculer explicitementL. Expliquons comment procéder. On a pour touti, j, aij = Pj

k=1likljk, avecj6i(on déduit les autres par symétrie). Notamment, on a nécessairementa11 = l11² et ai1 =li1l11. Remarquon déjà que l'on sait que tous les coecients diagonaux de A sont strictement positifs (ce sont les(Aεi, εi)). Ainsi, on al11 =√

a11, et li1 =a11/√

a11. Montrons alors que l'on peut par récurrence construireL par colonnes. Supposons construites les colonnes 1,2,. . . k-1. Chercons à construire la colonnek. d'abord on aakk=Pk

j=1l²_kj=l²_kk+Pk−1 j=1lkj, on en déduit l_kk =q

a_kk−Pk−1

j=1l_kj. Enn, on a a_ik =Pk

j=1l_ijl_kj =l_ikl_kk+Pk−1

j=1l_ijl_kj, et donc l_ik = (a_ik−Pk−1

j=1l_ijl_kj)/(l_kk)pour peu que le l_kk choisi précedemment soit non nul, mais c'est forcément le cas puisqu'on a entre guillements pas le choix et qu'on sait que la matriceLexiste et est inversibles (donc a ses coecients diagonaux non nuls, et même sons trictemetn positifs cc'est démontré avant)

Finalement, la méthode de Cholevski est intéressante car on sait très facilement la programmer grâce aux calculs précédents. De plus, elle est d'ordre le même que Gauss (en fait, elle nécessite moins d'opérations, seulement(m³+ 6m²−7m)/2alors que Gauss en nécessitem(m²−1)/3, mais le gain n'est pas énorme)

References

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