COMMANDE VECTORIELLE DE MACHINE ASYNCHRONE EN ENVIRONNEMENT TEMPS RÉEL M

CONSERVATOIRE NATIONAL DES ARTS ET MÉTIERS CENTRE RÉGIONAL ASSOCIÉ DE GRENOBLE (C.U.E.F.A.)

________________________

MÉMOIRE

présenté en vue d'obtenir

le DIPLÔME D'INGÉNIEUR C.N.A.M.

en

AUTOMATISME INDUSTRIEL

Gabriel BUCHE

__________________________

COMMANDE VECTORIELLE DE MACHINE ASYNCHRONE EN ENVIRONNEMENT TEMPS RÉEL M

/S

___________________________

Soutenu le 7 mars 2001

JURY : Président : M. J.-L. THOMAS Membres : M. E. CHAMBEROD

M. B. DESCOTES-GENON

M. L. DUGARD

M. D. LUBINEAU

M. M. NOUGARET

M. D. REY

Remerciements

Ce mémoire a été préparé au sein du Laboratoire d'Automatique de Grenoble, sous la direction de M. Luc DUGARD, Directeur du L.A.G. et M. Denis LUBINEAU, professeur agrégé à l'I.U.T. Génie Electrique et Informatique Industrielle de Grenoble..

Je tiens à leur témoigner ma reconnaissance pour leurs conseils et leur disponibilité sans faille.

Mes remerciements vont également à M. Jean-Michel DION, ancien Directeur du L.A.G, qui, à l'origine, m'a proposé une étude sur la machine asynchrone.

Je tiens à remercier particulièrement :

Monsieur Jean-Luc THOMAS, Professeur au Conservatoire National des Arts et Métiers, qui me fait l'honneur de présider ce jury.

Monsieur Marcel NOUGARET, Responsable de la section Automatisme industriel au C.U.E.F.A. de Grenoble, pour ses conseils et ses nombreux encouragements.

L'ensemble des enseignants du C.U.E.F.A.

Je ne peux oublier M. Jean BARNIER et M. Thierry BLANC pour le suivi technique de la plate- forme, ainsi que M. Daniel REY, responsable de l'équipe technique.

Je remercie également M. Ricardo ALVAREZ-SALAS pour son aide précieuse lors des nombreux essais.

Je réitère mes plus vifs remerciements à MM. DUGARD, NOUGARET et LUBINEAU pour la relecture de ce rapport.

A Isabelle A Samuel, Caroline, Solène

Table des matières

Notations 8

Introduction 11

Chapitre 1 Modélisation du moteur asynchrone triphasé 13

1.1 Description du moteur asynchrone à cage ...13

1.2 Avantages du moteur asynchrone ...14

1.3 Problèmes posés par le moteur asynchrone ...14

1.4 Hypothèses simplificatrices ...14

1.5 Principe du contrôle vectoriel à flux orienté...15

1.6 Notion de vecteur tournant ...16

1.7 Transformation de Clarke ...16

1.8 Transformation de Park ...18

1.9 Modèle du moteur asynchrone...19

1.9.1 Équations de base...19

1.9.2 Modèle exprimé dans le repère (α,β) lié au stator...19

1.9.3 Modèle exprimé dans le repère (d,q) lié au champ tournant...22

1.10 Expressions du couple électromagnétique instantané ...24

Chapitre 2 Commande vectorielle à flux rotorique orienté 25

2.1 Expression générale de la commande...25

2.2 Découplage entrée-sortie ...26

2.2.1 Découplage par retour d'état ...26

2.2.2 Découplage par compensation ...30

2.2.3 Problèmes posés par le découplage ...31

2.3 Commande vectorielle à flux orienté...32

2.3.1 Schéma de principe...32

2.3.2 Calcul de Φr...32

2.3.3 Calcul de ωs et θs...33

2.3.4 Schéma complet de la commande vectorielle directe à flux rotorique orienté ...33

2.3.5 Calcul des régulateurs...35

2.3.5.1 Régulateur de flux...35

2.3.5.2 Régulateur de couple ...36

2.3.5.3 Régulateur de vitesse ...37

2.3.5.4 Application numérique ...39

Chapitre 3 Plate-forme expérimentale 41

3.1 Structure électromécanique...42

3.1.1 Description...42

3.1.2 Principaux paramètres...42

3.2 Commande de la machine asynchrone ...43

3.2.1 L'onduleur de puissance JIS 35 (Jeumont-Schneider)...43

3.2.2 Pilotage de l'onduleur par la carte Alcatel PWM...44

3.2.2.1 Modulation de largeur d'impulsion...44

3.2.2.2 Génération de référence...44

3.2.2.3 Gestion des impulsions...45

3.2.2.4 Problèmes liés à la modulation de largeur d'impulsion ...47

3.2.2.5 Adaptation de la carte Alcatel ...49

3.3 Environnement de mesures...50

3.3.1 Instrumentation du banc ...50

3.3.2 Capteurs ...51

3.3.2.1 Capteur de flux et de couple électromagnétique ...51

3.3.2.2 Capteur de vitesse...52

3.4 Evaluation des retards...52

3.4.1 Retards dus à l'onduleur et au temps de calcul ...52

3.4.2 Retards dus aux filtrage des mesures...53

3.5 Environnement dSPACE...54

Chapitre 4 Simulation de la commande vectorielle 57

4.1 Présentation de l'environnement MATLAB/SIMULINK™...57

4.2 Modélisation sous MATLAB/SIMULINK...57

4.2.1 Introduction aux S-Functions...57

4.2.2 Fonctionnement d'une S-Function...59

4.2.3 Modèle du moteur asynchrone ...60

4.3 Structure des principaux blocs de simulation ...61

4.3.1 Bloc régulateurs et découplages ...61

4.3.2 Blocs transformations (d,q)→(α,β) et (α,β)→(d,q)...63

4.3.3 Bloc calcul ωs, θs...65

4.3.4 Génération des consignes ...66

4.3.5 Visualisation des courbes de réponse ...66

4.4 Résultats de simulation...67

4.4.1 Aspects pratiques...67

4.4.2 Définition des profils de régulation et poursuite ...68

4.4.3 Résultats en régulation de vitesse...69

4.4.4 Résultats en poursuite...70

Chapitre 5 Mise en œuvre sur le banc 73

5.1 Environnement MATLAB/SIMULINK/dSPACE™ ...73

5.1.1 Présentation des interfaces dSPACE...73

5.1.2 Utilisation du module Real Time Interface (RTI) ...73

5.1.3 Module de contrôle COCKPIT...76

5.1.4 Module d'affichage TRACE...78

5.2.1 Intégrateurs ...79

5.2.2 Limitation des consignes de commande ...79

5.2.3 Estimation du couple électromagnétique...80

5.2.4 Ajustement des compensations...80

5.2.4.1 Compensation de fem. ...80

5.2.4.2 Compensation de déphasage...80

5.2.5 Interfaces dSPACE...80

5.2.5.1 Commande de la machine asynchrone...80

5.2.5.2 Commande de la charge (machine à courant continu)...81

5.2.5.3 Mesures...82

5.2.5.4 Transformation (a,b,c)→(α,β) ...82

5.3 Résultats expérimentaux ...83

5.3.1 Aspects pratiques ...83

5.3.1.1 Compilation et chargement...83

5.3.1.2 Mise en route du banc...84

5.3.2 Résultats en régulation de vitesse ...85

5.3.3 Résultats en poursuite ...86

Conclusion 89

Annexe A Variateurs de vitesse et contrôleurs 91

A.1 Variateur machine asynchrone : l'onduleur de puissance JIS 35 ...91

A.1.1 Schéma fonctionnel...91

A.1.2 Liste des sous-ensembles technologiques...92

A.1.3 Fonctionnement...93

A.1.4 Régulation interne (U/f)...94

A.1.5 Protection et séquences ...94

A.2 Variateur machine à courant continu : le Jistor triphasé VM011 ...95

A.2.1 Raccordement de puissance ...95

A.2.2 Liste des sous-ensembles technologiques...95

A.3 Contrôle de l'inducteur de la machine à courant continu : le Babytrex SMO...96

Annexe B Environnement de mesures 97

B.1 Interface d'isolement puissance/système de contrôle-commande ...97

B.2 Mesure des courants et des tensions...98

B.3 Mesure de vitesse et de position...99

B.3 Mesure du couple mécanique (capteur Staiger Mohilo) ...99

B.4 Mesure du couple électromagnétique...100

Annexe C Adaptation carte Alcatel ALCT01 103

Annexe D Fichiers C et MATLAB 105

D.1 Modèle C du moteur asynchrone "moteur.c"...105

D.2 Définition des paramètres moteur "Majn.m" et "Datafocn.m" ...108

D.3 Calcul des régulateurs "Calcregn.m" ...109

Annexe E Schémas de simulation et d'implantation temps réel 111

E.1 Schéma de simulation ...111

E.2 Schéma d'implantation temps réel...112

E.3..Génération des consignes...113

E.4 Interface COCKPIT...114

Notations

Indices

r Grandeur rotor ou de repère rotor (R) s Grandeur stator ou de repère stator (S)

Opérateur de Laplace t Repère tournant (d,q) ≡ (T) α Axe α du repère stator (S) ≡ (α,β) β Axe β du repère stator (S) ≡ (α,β) d Axe d du repère tournant (T) ≡ (d,q) q Axe q du repère tournant (T) ≡ (d,q)

n Grandeur nominale

Principales grandeurs

[Xy(z)] Vecteur X, y∈

{

}

{

}

[ ]



 



=

β α

x

X_(s) x

[ ]



 



=

q d

t x

X₍₎ x

) (z

Xy Nombre complexe associé au vecteur [Xy(z)]

xˆ Estimation de x

& xo

x,

dt x d

xref consigne x

vsd tension statorique instantanée dans l'axe d vsq tension statorique instantanée dans l'axe q isd courant statorique instantané dans l'axe d isq courant statorique instantané dans l'axe q vsα tension statorique instantanée dans l'axe α v_sβ tension statorique instantanée dans l'axe β

θ position du rotor

θs angle électrique entre l'axe d du référentiel tournant (T) et le référentiel fixe (S) lié au stator, _{s s}

sω

= θ 1

ωs pulsation statorique Ω vitesse de rotation mécanique Γe couple électromagnétique

Γr couple résistant Te, Tech période d'échantillonnage

Principaux paramètres moteur asynchrone

Rs résistance statorique

Rr résistance rotorique Ls inductance cyclique statorique

Lr inductance cyclique rotorique Lm inductance magnétisante p nombre de paires de pôles

Tr constante de temps rotorique

J moment d'inertie ramené sur l'axe moteur f coefficient de frottement visqueux

Introduction

La machine asynchrone, de par sa simplicité de conception et d'entretien, a la faveur des industriels depuis son invention par Nikola Tesla à la fin du siècle dernier, quand il découvrit les champs magnétiques tournants engendrés par un système de courants polyphasés.

Cette simplicité s'accompagne toutefois d'une grande complexité physique, liée aux interactions électromagnétiques entre le stator et le rotor.

D'autre part, à la différence du moteur à courant continu où il suffit de faire varier la tension d'alimentation de l'induit pour faire varier la vitesse, le moteur asynchrone nécessite l'utilisation de courants alternatifs de fréquence variable. L'un des principaux blocages était constitué par l'onduleur devant fonctionner en commutation forcée.

La machine asynchrone a donc longtemps été utilisée essentiellement à vitesse constante, faute de pouvoir maîtriser convenablement la dynamique de l'ensemble moteur-charge.

L'apparition des thyristors GTO (GateTurn Off) et, par la suite, des transistors IGBT (Insulated Gate Bipolar Transistor) a permis le développement d'onduleurs à modulation d'impulsion performants, fiables et proposés à un coût non prohibitif. Le problème de l'alimentation étant pratiquement réglé, les commandes vectorielles à flux orienté et de contrôle direct de couple ont pu être implantées dans des conditions satisfaisantes.

Toutefois, la commande de la machine asynchrone reste complexe par les développements théoriques mis en œuvre et la difficulté à identifier certains paramètres en temps réel (observateurs en boucle fermée).

Le Laboratoire d'Automatique de Grenoble a été amené, avec l'aide de la fédération ELESA, groupement de recherche pluridisciplinaire établi à Grenoble et des organismes de tutelle, à développer un banc d'essai dédié exclusivement à l'étude de la chaîne de commande du moteur asynchrone. Cette machine présente en effet un grand intérêt pour l'automaticien et l'électrotechnicien : c'est un procédé non-linéaire, multivariable, fortement couplé, avec des caractéristiques dynamiques variables, des saturations possibles sur les entrées, les états, les sorties. Chercheurs et étudiants peuvent tester et valider leurs algorithmes sur une plate-forme entièrement instrumentée.

L'objet de ce travail est d'illustrer le développement complet d'une commande vectorielle à flux rotorique orienté dans un environnement MATLAB/ SIMULINK/dSPACE, de la modélisation à l'implantation temps réel. Nous présentons, à chaque étape, hypothèses de travail et adaptations nécessaires liées aux caractéristiques du banc.

L'objectif est de permettre une adaptation rapide des intervenants aux fonctionnalités offertes par la plate-forme et de servir de point de départ à une étude personnelle.

Le mémoire est structuré de la manière suivante :

• Dans le chapitre 1, nous proposons une modélisation classique de la machine asynchrone en utilisant les transformations de Clarke et de Park. Le choix de la représentation complexe permet une simplification de l'écriture.

• Dans le chapitre 2, nous abordons l'étude d'une commande à flux rotorique orienté. Une technique de découplage est proposée. Nous évoquons ses limitations, liées à celles de l'estimateur de flux utilisé, ainsi qu'une technique permettant d'éviter une éventuelle divergence du système due à l'évolution des paramètres du modèle en cours de fonctionnement. Un calcul pratique des différents régulateurs (flux, couple, vitesse) est présenté en fin de chapitre.

• Le chapitre 3 est consacré à la description de la plate-forme expérimentale. Les principales adaptations matérielles et logicielles sont décrites de manière détaillée. Une modification de la carte de pilotage MLI (Modulation de largeur d'impulsion) permettant un fonctionnement à fréquence réduite (500 Hz) a été réalisée par l'auteur.

L'évaluation des retards, et notamment ceux liés au filtrage des mesures, a nécessité une identification précise du comportement, dans la bande de fréquence de travail, du filtre utilisé.

Une compensation de déphasage a pu ainsi être intégrée dans les schémas de simulation et d'implantation temps réel.

• Dans le chapitre 4, nous implantons la commande proposée au chapitre 2 dans un schéma de simulation SIMULINK. Nous avons utilisé, pour décrire le modèle du moteur, une fonction système (S-function) écrite en langage C. Les résultats obtenus en poursuite et en régulation valident dans un premier temps la commande.

• Le chapitre 5 est consacré à la mise en œuvre sur le banc dans l'environnement MATLAB/SIMULINK/dSPACE et aux essais expérimentaux. L'adaptation du schéma de simulation est présentée de manière détaillée, notamment au niveau de l'utilisation des intégrateurs, de l'ajout de gains de compensation de fem (découplage) et de déphasage dus aux filtres, et de l'appel aux interfaces système dDPACE.

Chapitre 1

Modélisation du moteur asynchrone triphasé

1.1 Description du moteur asynchrone à cage

Un moteur asynchrone à cage se présente (Figure 1.1) sous la forme d'un carter (2) entourant le circuit magnétique, ferromagnétique, statorique qui accueille dans des encoches l'enroulement statorique polyphasé (généralement triphasé) bobiné en fil de cuivre isolé (1). A l'intérieur de ce circuit magnétique, qui se présente comme un cylindre creux, séparé par un entrefer, tourne le circuit magnétique rotorique (3) qui accueille dans ses encoches les barreaux de la cage rotorique, en aluminium coulé ou en cuivre, court-circuités à chaque extrémité par des anneaux réalisés dans le même matériau. Le circuit magnétique rotorique est traversé par l'arbre qui repose sur des paliers montés dans les flasques (5), (6) fixées au carter.

Figure 1.1 Moteur asynchrone à cage Leroy-Somer

Le moteur asynchrone utilisé est donc caractérisé :

• par la présence d'un seul bobinage polyphasé alimenté par une source extérieure au stator,

• par la présence d'un "bobinage" massif en court-circuit au rotor.

1.2 Avantages du moteur asynchrone

Le machine asynchrone à cage est le moteur le plus répandu dans l'industrie : il est robuste, fiable, économique. Il est également apprécié pour sa très bonne standardisation.

1.3 Problèmes posés par le moteur asynchrone

Dans le moteur asynchrone, le courant statorique sert à la fois à générer le flux et le couple.

Le découplage naturel de la machine à courant continu n'existe plus.

D'autre part, on ne peut connaître les variables internes du rotor à cage (Ir par exemple) qu'à travers le stator. L'inaccessibilité du rotor nous amènera à modifier l'équation vectorielle rotorique pour exprimer les grandeurs rotoriques à travers leurs actions sur le stator.

La simplicité structurelle cache donc une grande complexité fonctionnelle due aux caractéristiques qui viennent d'être évoquées mais également aux non-linéarités, à la difficulté d'identification et aux variations des paramètres (Rr en particulier, jusqu'à 50%).

1.4 Hypothèses simplificatrices

La modélisation s'appuie sur un certain nombre d'hypothèses :

• parfaite symétrie,

• assimilation de la cage à un bobinage en court-circuit de même nombre de phases que le bobinage statorique (c'est à dire 3),

• répartition sinusoïdale, le long de l'entrefer, des champs magnétiques de chaque bobinage,

• absence de saturation dans le circuit magnétique.

θ

ROTOR (R)

STATOR (S)

(C) (A)

(c) (b)

(a)

(B)

Figure 1.2 Machine asynchrone modélisée - Définition des repères stator et rotor

1.5 Principe du contrôle vectoriel à flux orienté

L'objectif de ce type de contrôle est d'aboutir à un modèle simple de la machine asynchrone qui rende compte de la commande séparée de la grandeur Flux Φ et de la grandeur Courant I, générateur de couple.

Il s'agira donc de retrouver la quadrature entre I et Φ, naturellement découplés pour une machine à courant continu (courant d'excitation – producteur de flux -, et courant d'induit – producteur de couple -).

La difficulté va résider justement dans le fait que, pour une machine à induction, il est difficile de distinguer le courant producteur de couple du courant producteur de flux, fortement couplés.

La méthode du flux orienté consiste à choisir un système d'axes (d,q), repère tournant biphasé orienté sur Φr (flux rotorique) ou Φs (flux statorique) et un type de commande qui permettent de découpler le couple et le flux.

Nous nous intéressons à la commande à flux rotorique orienté.

Le système d'axes (d,q) est élaboré à partir des transformations de Clarke et de Park.

1.6 Notion de vecteur tournant

Au stator comme au rotor, les courants triphasés parcourant des enroulements triphasés créent des champs magnétiques pulsatoires dont les superpositions génèrent des champs magnétiques tournants.

Figure 1.3 Principe de création d'un vecteur champ tournant

Compte tenu des relations entre les différentes grandeurs, il est possible d'étendre la notion de vecteur tournant à tout ensemble de grandeurs triphasées : [Is], [Φs], [Vs], [Φr],…

1.7 Transformation de Clarke

L'idée de Clarke repose sur le fait qu'un champ tournant créé par un système triphasé peut l'être aussi par un système biphasé de deux bobines à π/2 équivalent, à condition que le champ ou les forces magnétomotrices et la puissance instantanée soient conservés.

Ainsi, aux trois grandeurs triphasées xa, xb, xc, on associe le vecteur [X(s)] dans le référentiel (S) d'axes (α,β) fixe lié au stator (Figure 1.4).

β b

KTxb

KTxa

KTxc

0

XH(s)

a α

c

Figure 1.4 Représentation du vecteur champ tournant

Le vecteur [X(s)] a pour expression :

[ ]





























−

−

= −



 



=

β α

c b a T

s

x x x x K

X x

2 3 2

0 3

2 1 2 1 1

)

( (1.1)

où ^T 3

= 2

K pour une représentation conservant la puissance.

Le nombre complexe associé aux composantes de ce vecteur s'écrit :







 + +

= ^{23π 43π}

) (

j c j b a

s KT x x e xe

X

Pour obtenir une matrice de passage carrée et donc inversible, on ajoute une composante x0

fictive :

[ ]





































−

−

−

=

















= _β

α

c b a s

x x x x

x x X

2 1 2 1 2

1 2

3 2

0 3

2 1 2 1 1

3 2

0 ) (

Dans beaucoup de cas, le système de grandeurs triphasées est tel que la somme instantanée des grandeurs est nulle, ce qui permet d'annuler la composante homopolaire d'indice 0.

Les relations inverses sont définies par :















=

=

=

− π

− π

] . 3 [

2

] . 3 [

2

] 3 [

2

3 4 ) (

3 2 ) (

) (

j s T

c

j s T

b

s T

a

e X K Réel x

e X K Réel x

X K Réel x

(1.2)

1.8 Transformation de Park

La transformation de Park permet d'exprimer le vecteur [X(s)] dans un référentiel tournant (T) d'axes (d,q) lié aux champs tournants :

[ ]



 

 θ 

−

=



 



=

β α

x P x

x

X x _s

q d

t₎ ( )

(

avec _, matrice de rotation d'angle -θ



 





θ θ

−

θ

= θ θ

−

s s

s s

P s

cos sin

sin ) cos

( s (Figure 1.5).

Le nombre complexe associé au vecteur [X(t)] s'écrit :

) ( )

( j s

t e X

X = ^{− θs}

β

θs

d (T)

q

α, (a) (S) 0

Figure 1.5 Position du système d'axes (d,q)

1.9 Modèle du moteur asynchrone

Le choix d'un modèle de représentation, qu'il soit formel ou issu d'une identification se fait toujours en fonction du type de commande à réaliser.

La machine est alimentée en tension : les composantes du vecteur de commande de l'équation d'état seront donc des tensions.

Les différentes grandeurs seront, dans un premier temps, exprimées dans leurs repères respectifs. Un premier changement de variable permettra d'exprimer le flux Φr(r) dans le repère (α,β) fixe par rapport au stator.

1.9.1 Équations de base

Les différents vecteurs sont, dans un premier temps, exprimés dans leurs repères biphasés respectifs :

[ ] [ ] [ ]

dt I d

R

V = + Φ

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ]

( )

[ ]

[ ] [ ]

(

) [ ]

où P(±pθ) est la matrice de rotation d'angle ±pθ qui permet le passage du repère (R) au repère (S) et θ la position du rotor, p le nombre de paires de pôles. L'angle pθ est l'angle électrique du rotor (R) par rapport au stator (S).

L'utilisation de la représentation complexe permet de simplifier l'écriture : d dt

I R

Vss s s s ^s(^s) )

) (

( = + Φ (1.3)

d dt I

R

Vr r r rr ^r(^r) )

( )

( = + Φ (1.4)

) ( )

( )

( jp rr

s m s s s

s =L I +L e ^θI

Φ (1.5)

) ( )

( )

( jp ss

r m r r r

r =L I +L e^{− θ}I

Φ (1.6)

1.9.2 Modèle exprimé dans le repère (

,

) lié au stator

[

]

)

( 1

s jp s r m

r r r

r L e I

I = L Φ − ^{− θ}

D'où, après dérivation,



 



Φ − + θ

= ( ) ^{− θ} ( ) ^{− θ} _{( )} )

( 1

s s jp s m

jp s r m

r r r

r L e I L jp e I

I^o L ^{o o o} (1.7)

Les équations (1.3) et (1.5) donnent :

) ( )

( ) ( )

( )

( jp rr s s s ss

r m jp r s m

sIs jL p e I L e I V R I

L ^o + θ^{o θ} + ^{θ o} = −

Remplaçons I^or(r) par l'expression (1.7) :

) ( )

) ( ) (

( )

( )

( )

( s s ss s ss

jp s m

jp s r m

jp r r r m jp r s m

s s e L e I jL p e I V R I

L I L e p L j I

L = −



 



Φ − + θ

+ θ

+ ^{o θ θ o − θ o o − θ}

o (1.8)

Nous avons Vr(r) =0(rotor en court-circuit), soit d'après (1.4),

r r r r

r R

I ( ) ^{( )}

Φo

−

= En remplaçant Ir(r)dans l'expression (1.6),

[

]

)

( jp s s

m r r r r r

r L e I

L

R _{− θ}

− Φ

−

=

Φ^o (1.9)

Nous avons alors, en remplaçant Ir(r)et r(r)

Φo par leurs expressions respectives dans (1.8) :

 =



 



 − ( )

2 s s r

s m I

L

L L ^o

) (

) ( 2

) (

s s

s s s r

jp m m jp r m r

m r r

r jp r r m r

m r r

V

I R L p

j L e

L L e

L R

p j L L R

L e L R

p j L L R

+













− θ

 −













 θ−

+

 Φ













 θ−

−

θ

− θ θ

o o o

Après simplifications,

 =



 



 − ^{2 s(s)}

r

s m I

L

L L ^o

) (

) 2 (

2

) 2 (

s s

s s s r r m

r jp r r r

m r

V

I R L R

L

L e j p L L R

+



 



 +

−

 Φ













 − θ ^θ

o

Posons

r s

m

L L

L² 1−

=

σ appelé coefficient de dispersion.

Nous obtenons alors :

s s s s

s s

r r m s r jp r r

r s r s m

s L

I V L

L R L R e

L jp R L L I L

+ σ σ

+

−

 Φ



 



 − θ

=σ ^{θ 2 ( ) ( )}

2

) ( )

( o o

Posons

s r m

L L

L

= σ

k et

s r r m s

L L R L R

σ +

=

γ ²

2

.

Nous avons également Ω=θ^o , vitesse mécanique et

r r r

R

= L

T constante de temps rotorique.

Nous pouvons alors écrire :

) ( )

( )

( )

( 1 1

s s s r

jp r r s

s s

s V

e L jp T

k I

I  Φ +σ



 



− Ω+ +

γ

−

= ^θ

o

(1.10) Soit le changement de repère :

) ( )

( jp r r

s

r =e Φ

Φ ^θ

qui définit le flux rotorique dans le repère (α,β) fixe par rapport au stator.

Dérivons cette équation :

) ( )

( )

( jp r r

r jp r s

r jp^oe e ^o

o = θ Φ + Φ

Φ ^{θ θ}

En remplaçant r(r)

Φo par l'expression (1.9), nous obtenons :

) ( )

( )

( )

( jp r r

r s r s r r r m

jp r s

r e

L I R L L R e

jpθ Φ + − Φ

=

Φ^{o o θ θ}

Soit, après regroupement,

) ( )

( )

( 1

s r r

s s r s m

r jp

I T T

L Φ

 



 − Ω

−

=

Φ^o (1.11)

Nous obtenons finalement le système d'équations suivant :











Φ



 



 − Ω

−

= Φ

+σ

Φ



 



− Ω+ +

γ

−

=

) ( )

( )

(

) ( )

( )

( )

(

1

1 1

s r r

s s r s m r

s s s s r r s

s s

s

T jp T I

L

L V jp T

k I I

o o

(1.12)

Nous avons :

β α+

= _{s s}

s

s i ji

I ( )

et Φr(s) =Φ_rα+ jΦ_rβ

Nous pouvons alors écrire :



















Φ

− ΩΦ +

= Φ

ΩΦ

− Φ

−

= Φ

+σ Φ

+ ΩΦ

− γ

−

=

+σ ΩΦ + Φ + γ

−

=

β α

β β

β α

α α

β β

α β β

α β

α α α

r r r s

r r m

r r

r s

r r m

s s r

r r s s

s s r r

r s s

p T T i

L

T p T i

L

L v T

kp k i i

L v T kp

i k i

1 1

1 1

o o o o

(1.13)

1.9.3 Modèle exprimé dans le repère (d,q) lié au champ tournant

Soient :

) ( )

( j r s

t

r =e ^sΦ

Φ ^−θ (1.14)

) ( )

( j s s

t

s e V

V = ^−θs

) ( )

( j s s

t

s e I

I = ^{− θs} Dérivons cette dernière équation :

) ( )

( )

( j s s

s s j s t

s e I j e I

I^o = ^{−θs o} − θ^{o −θs}

En remplaçant I^os(s)par son expression dans le système d'équations (1.12), nous obtenons :

) ( )

( )

( )

( )

( 1 1

s j s s s j s s s j r r

s j s t

s e V j e I

e L T jp

k I e

I ^{− θs −θs −θs} − θ ^−θs

+σ

 Φ



 



 − Ω

+ γ

−

= ^o

o

Nous pouvons alors écrire :

) ( )

( )

( )

( 1 1

t s s t r r

t s s t

s V

jp L k T

I j

I Φ +σ



 



 − Ω

 +



 



γ+ θ

−

= ^o

o

De même, dérivons l'équation (1.14) :

) ( )

( )

( j r s

s s j r t

r =e ^s Φ − jθ e ^sΦ

Φ^{o −θ o o −θ} En remplaçant r(s)

Φo par l'expression (1.11), nous obtenons :

) ( )

( )

( 1

t s r r

t s r t m

r jp j

I T T

L Φ

 



 − Ω+ θ

−

=

Φ^{o o}

Nous obtenons finalement le système d'équations suivant :











Φ



 



 − Ω+ θ

−

= Φ

+σ

Φ



 



 − Ω

 +



 



γ+ θ

−

=

) ( )

( )

(

) ( )

( )

( )

(

1

1 1

t r s r

t s r t m r

t s s t r r

t s s t

s

j T jp

T I L

L V T jp

k I j I

o o o o

(1.15)

Il est possible de vérifier que siθ_s =0, nous retrouvons le repère (α,β).

Nous avons :

sq t sd

s i ji

I ( ) = +

et Φr⁽t⁾ =Φ_rd + jΦ_rq

Si nous faisons l'hypothèse que la dynamique de la vitesse est lente (Ω ) devant celle des courants et des flux, nous pouvons alors écrire l'équation d'état linéaire suivante :

≈0

o

BU AX X^o = + avec :

( )



























− Ω

− ω

−

Ω

− ω

− Ω

− γ

− ω

−

Ω ω

γ

−

=

r s

r m

s r

r m

r s

r s

p T T

L

T p T

L

T k k

p

k T p

k

A 0 1

0 1

,

























σ σ

=

0 0

0 0 0 1 1 0

s s

L L

B (1.16)

et , U





















Φ

= Φ

rq rd sq sd

i i

X 



 



=

sq sd

v v

1.10 Expressions du couple électromagnétique instantané

Une expression du couple électromagnétique exprimé à partir des différentes grandeurs exprimées dans le repère (α,β) peut être donnée par :

(

)

=

Γ _{r s r s}

r

e m i i

L

pL (1.17)

Dans le repère (d,q), l'expression devient :

(

)

r

e m i i

L

pL Φ −Φ

= Γ

Si nous choisissons le référentiel tournant (T) tel que soit calé sur l'axe (d), nous avons Φ et Φ . Par la suite, nous utiliserons la notation suivante :

) (t

Φr

=0

rq r₍t₎ =Φrd

rd

r =Φ

Φ Le couple électromagnétique est alors égal à :

sq r r

e m i

L pL Φ

=

Γ (1.18)

L'équation mécanique du moteur s'écrit :

r

dt e

J dΩ=Γ −Γ

où Γr représente le couple résistant, incluant frottements et couple de charge.

Chapitre 2

Commande vectorielle à flux rotorique orienté

2.1 Expression générale de la commande

La commande vectorielle à flux rotorique orienté que nous mettons en œuvre est basée sur une orientation du repère tournant (T) d'axes (d,q) tels que l'axe d soit confondu avec la direction de Φr.

Le flux Φr étant orienté sur l'axe d, l'équation d'état (1.16) nous permet d'exprimer vsd et vsq ,

Φr et ωs avec Φ_rq ≡0 et Φ^{o rq} ≡0 :



















+ Φ Ω

= ω

= Φ + Φ

ΩΦ

 +



 



 +

+ σ ω + σ

=

Φ

− σ ω

 −



 



 +

+ σ

=

r sq r s m

sd m r r

r

r r

m sq r m r s sq s sq s

s sq

r r r m sq s s sd r m r sd s

s sd

i T p L

i L T

L p i L L R L R i L i

L v

L R i L L L i

R L R i L v

o o o

2 2

2

2 2

2

(2.1)

Ces expressions peuvent être exploitées telles quelles pour réaliser la commande vectorielle à flux orienté des machines asynchrones alimentées en tension mais vsd et vsq influent à la fois sur isd et isq donc sur le flux et le couple (Figure 2.1). Il est donc nécessaire de réaliser un découplage [2].

isd

isq

vsd→ isd

vsd→ isq

vsq→ isd

vsq→ isq

isd→ flux

isq→ couple f

f

f f

f

f couplages

vsd flux

vsq couple

Figure 2.1 Description des couplages

2.2 Découplage entrée-sortie

L'objectif est, dans la mesure du possible, de limiter l'effet d'une entrée à une seule sortie.

Nous pourrons alors modéliser le processus sous la forme d'un ensemble de systèmes monovariables évoluant en parallèle. Les commandes sont alors non interactives.

Différentes techniques existent : découplage utilisant un régulateur [5], découplage par retour d'état, découplage par compensation. Nous présentons ces deux derniers types de découplage.

2.2.1 Découplage par retour d'état

Principe [3], [5]

Soit le modèle :

BU AX

X^o = + (2.2)

CX

Y = (2.3)

où , les matrices B et C sont de rang maximum et la sortie Y est commandable, ce qui s'exprime par la relation :

m m

n Y U

X∈ℜ , ∈ℜ , ∈ℜ

m B CA CAB CB

rang[ , ,..., ⁿ⁻¹ ]= (2.4)

L'objectif est de déterminer un retour d'état :

, LW KX

U = +

W désignant le nouveau vecteur d'entrée (Figure 2.2), qui découple le système de façon à ce que la sortie Yi ne dépende que de l'entrée Wi.

Xo

K A B C

W L Uref U X Y

processus

Figure 2.2 Principe du découplage par retour d'état

L'équation du système corrigé s'écrit :

(

) (

X^o = + +

)

1

0

=CX et la matrice de transfert entre l'entrée W et la sortie Y :

avec Y

[ ]

(

)

C

T = −( + ) ⁻¹ =T(s).W

Il faut déterminer K et L telles que cette matrice de transfert soit diagonale. La résolution de ce problème n'est pas simple.

Résolution

Notons Ci la i-ème ligne de la matrice C. La commandabilité de la sortie scalaire yi s'exprime sous la forme :

] ,...,

,

[CB CAB CA ⁻¹B =

rang _{i i i} ⁿ

La sortie Y du système étant commandable, il en est de même de yi, c'est à dire que si la condition (2.4) est vérifiée, alors, pour tout i dans {1,…,m}, il existe nécessairement un

tel que :

{

}

∈ n

d_i

, ,

,

0 ∀α∈ α< =

≠ N d C A^αB B

A

C_i ^di _{i i}

Par dérivations successives des relations (2.2) et (2.3), nous obtenons pour la i-ème sortie :