DS2 : Optique géométrique — corrigé

TSI1 – Physique-chimie DS2 : Optique géométrique — corrigé – 06/10/2018

DS2 : Optique géométrique — corrigé

Exercice 1: Un prisme

1. • sin(i) =nsin(r), dans l’approximation des petits angles :i=nr

• sin(i⁰) =nsin(r⁰), dans l’approximation des petits angles :i⁰=nr⁰ 2. r+r⁰=A

3. Le rayon incident subit une première déviation d’angle(i−r)puis une seconde d’angle(i⁰−r⁰), donc la déviation totale est :D= (i−r) + (i⁰−r⁰).

4. En combinant les résultats obtenus aux 3 premières questions, on obtient :D= (n−1)A.

Exercice 2: Deux prismes accolés

A

D B

C I₁

I2

I3

45°

45°

45°

r α β

i n

N

1. EnI₁on a :Nsin(45°) =nsin(r), soitN

√2

2 =nsin(r).

EnI3on ansin(β) = sin(i)

2. On ar+α= ^π₂ etα+β+^3π₄ =πsoitα+β= ^π₄.

3. On est à la limite de la réflexion totale enI2 lorsquensin(α) = 1soitncos(r) = 1doncr = arccos ¹_n

. On a donc N

√2

2 =nsin arccos _n¹ On obtient alorsN²= 2(n²−1).

4. Pour que la réflexion soit totale enI2il faut que l’angle d’incidence soit plus grand que l’angle d’incidence limite, donc le rayon doit être moins dévié enI1et donc on doit avoirN < N0. (Sur le schéma, on an < N)

5. Sii= 0alorsβ= 0etα= ^π₄ et doncr= ^π₄ = 45°. Ce qui signifie que le rayon n’est pas dévié enI1. Pour cela on doit avoirn=N.

Exercice 3: Fibre optiqe à saut d’indice

Une fibre optique à saut d’indice est composée d’un cœur d’indicen1 entouré d’une gaine d’indicen2. On considère un rayon qui entre dans le cœur de la fibre avec un angle d’incidenceθ.

n1

n2

n2

θ

r₁ r₂

1. Pour qu’il puisse y avoir réflexion totale à l’interface, il faut quen₁> n₂

2. Un rayon qui subit une réflexion totale arrive de l’autre côté avec le même angle d’incidence et subit donc à son tour une réflexion totale.

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3. L’angle d’incidencer2pour que le rayon subisse une réflexion totale estr2 = arcsin(n2/n1). Or on ar1 =π/2−r2

donc

sin(θ_m) =n₁sin(r₁) =n₁sin(π/2−r₂) =n₁cos(r₂) sin(θ_m) =n₁cos

arcsin

n₂ n1

.

Donc

θ_m= arcsin

n₁cos

arcsin n2

n₁

= arcsin



n₁ s

1− n2

n₁ ²





= arcsin q

n²₁−n²₂

. A.N. :θm= 39°

4. Les rayons inclinés par rapport à l’axe de la fibre parcourent un chemin plus long que ceux qui sont parallèles à l’axe. À la sortie de la fibre, le rayons inclinés arrivent en dernier.

5. Les signaux parallèles à l’axe optique parcourent une distanced1 = L, ceux qui sont inclinés parcourent une distance d₂=L/cos(r₁). Le tempsτqui les sépare à l’arrivée estτ = d2−d1

c = L

c(1/cos(r₁)−1)doncτ = L

c(n₁/n₂−1).

Cela influence le débit maximum des données car si on envoie deux impulsions séparées de moins deτdans la fibre elles se superposeront à sa sortie rendant le signal inutilisable.

6. Plus la fibre est longue, moins le débit de données pourra être important.

Exercice 4: L’appareil photo numériqe

1. L’objectif de l’appareil forme l’image de l’objet photographié sur le capteur de l’appareil dont chacun des pixels enregistre la couleur et l’intensité de la lumière qu’il reçoit.

O A

B

A⁰

B⁰ F⁰

F

L C

d

2. L’image d’un objet situé à l’infini se trouve dans le plan focal image de la lentille. Il faut donc placer le capteur enF⁰à une distanced= 55 mmde l’objectif.

3. On aOA=−1,20 metd=OA⁰grâce à la formule de conjugaison on trouved= 57,6 mm

4. Pour faire la mise au point de l’appareil photo il faut faire varier la distance entre l’objectif et le capteur.

5. Dans ces conditions, on aOA=−100 met la formule de conjugaison donneOA⁰= 55,03 mm'55 mm =f⁰(comme la distance à l’objet est grande, son image se trouve dans le plan focal image de l’objectif). Le théorème de Thalès donne

A⁰B⁰

AB =OA⁰

OA doncA⁰B⁰=AB f⁰

OA. D’où finalementA⁰B⁰=−2,75 cm. La taille algébrique de l’objet est négative car l’image est inversée sur le capteur.

6. En utilisant la même méthode dans l’autre sens, on trouve que l’objet a une hauteur maximale de43,6 m.

7. Le diaphragme ne fait que limiter la quantité de lumière qui entre dans l’appareil photo, lorsqu’on le ferme, l’image est plus sombre et lorsqu’on l’ouvre elle est plus lumineuse.

8. Pour que l’image enregistrée par le capteur reste nette, il faut que la dimension de la tache soit inférieure à celle d’un pixel.

A

A⁰ O

L

F F⁰

C

Diaphragme Tache

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9. Appelonsδla taille de la tache lumineuse sur l’écran etDle diamètre d’ouverture du diaphragme. Le théorème de Thalès donne directement :

δ

D = A⁰₀F⁰

A⁰₀O = 1− f⁰ A⁰₀O

(A⁰₀est l’image du pointA0par l’objectif). En utilisant la formule de conjugaison, on trouve finalement δ D = f⁰

A0O soit A₀O= Df⁰

δ .

— PourD= 20 mmon trouveA₀O= 110 m

— PourD= 5 mmon trouveA₀O= 27,5 m

10. Plus le diaphragme est fermé plus la profondeur de champ est importante. On voit très clairement sur la figure que lorsque le diaphragme est fermé, la dimension de la tache sur l’écran est réduite.

11. Le diaphragme est le plus ouvert pour la photo en haut à gauche (faible profondeur de champ) puis il est de plus en plus fermé jusqu’à la photo en bas à droite (grande profondeur de champ).

Exercice 5: Le téléobjectif 1.

2. Schéma :

L1 L2

B∞

F₂⁰ F₁ A_∞

e

A1

F₁⁰

B1

B₂ F₂ A₂ Capteur

α

3. Sur la figure, on voit directement queA1B1=f₁⁰tan(α).

4. En utilisant la formule de conjugaison on trouve 1 O2A2

− 1 O2A1

=−1 f2

(1)

En multipliant tout parO2A1On obtient O2A1

O2A2

= 1− O2A1

f2

= 1− f₁⁰ −e f2

. Or le théorème de Thalès nous donne A₂B₂

A1B1

=O₂A₂ O2A1

et donc finalement :

A2B2=f2f₁⁰tan(α) f₂−f₁⁰+e Pourα= 3×10⁻⁴radon trouveA₂B₂= 36µm

5. Pour qu’une lentille convergente simple donne une taille d’image identique il faudrait que f⁰tan(α) = 36µm soit f⁰= 12 cmla distancedentre la lentille et le capteur seraitd=f⁰= 12 cm

6. Le montage de type téléobjectif permet donc d’avoir un plus faible encombrement car dans le cas du téléobjectif, la distancedn’est que de10 cm

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