Universit´e Paris Diderot Fonctions analytiques
Licence de Math´ematiques Ann´ee 2011-12
L. Merel
EXAMEN du 25 juin 2012 Dur´ee : 3 h
L’usage des calculatrices, t´el´ephones et de tout document est interdit.
1. Donner le rayon de convergence de la s´erie enti`ereP∞
n=0in2zn. 2. La fonctionz7→ |z|+zest-elle holomorphe sur C?
3. Soitf une fonction enti`ere telle que la fonctionz7→ef(z)est born´ee surC. Montrer quef est constante.
4. Soitf une fonction enti`ere telle que|f(z)| ≤e−n (nentier>0 etzun nombre complexe tel que|z|=n).
Montrer quef est constante.
5. Existe-t-il une fonction enti`ere qui s’annule exactement en{e−n/n∈Z, n >0} ?
6. Consid´erons la fonction d’une variable complexe f : z7→ 3z+22z+3. Montrer que f est m´eromorphe surC.
Montrer que|f(z)|= 1 lorsque|z|= 1. En d´eduire que|f(z)|<1 lorsque|z|<1.
7. Soientz1, z2,...,zn des nombres complexes distincts. Montrer qu’il existe une fonction enti`ere dont les pˆoles sont tous simples et sont pr´ecis´ement z1, z2,...,zn. Deux telles fonctions ayant les mˆemes r´esidus en chacun des pointsz1,z2,...,zn sont-elles n´ecessairement ´egales ?
8. SoitRun nombre r´eel >0. Consid´erons l’int´egrale Z
C(0,R)
1
2z2−5z+ 2dz.
Pour quelles valeurs deR est-elle d´efinie ? La calculer en fonction deR.
9. Quels sont les pˆoles et les r´esidus de la fonctionz7→ z4+z12+1 ? Calculer l’int´egrale
Z +∞
−∞
1
z4+z2+ 1dz.
10. Quel est l’indice du lacetccompos´e des cheminst7→e2iπt,t7→1 +t,t7→2e−2iπt,t7→2−tpar rapport au point 0 ? (Faire un dessin.) CalculerR
c(esin(z2)ez+z
3
/z)dz.
