CONDUCTEURS EN

1

CHAPITRE 4

SYSTEMES DE

CONDUCTEURS EN EQUILIBRE

OBJECTIFS:

→ Etablir les propriétés électrostatiques des conducteurs:

champ, potentiel, énergie.

→ Etudier les propriétés d'un système de 2 conducteurs en influence.

→ Appliquer ces résultats aux condensateurs: propriétés, capacité, forces sur les armatures.

2

➔Un conducteur est un matériau qui contient des charges mobiles. Ces charges se mettent en mouvement dès qu'elles sont dans un champ électrostatique.

I- CONDUCTEUR EN EQUILIBRE ELECTROSTATIQUE

1- Définitions

 exemples: ▪ métal: →porteurs de charge = e⁻ libres

▪ gaz ionisé: →porteurs de charge = ions

▪ électrolytes: →porteurs de charge = ions

➔Un conducteur est en équilibre lorsque les charges libres qu'il contient sont toutes au repos.

 charge libre: barycentre d'un ensemble de porteurs de charge.

3

2- Propriétés d'un conducteur en équilibre

➔Le champ électrostatique est nul à l'intérieur de tout conducteur en équilibre:

F = 0  E = 0

→ charges libres au repos 

➔Le potentiel est constant à l'intérieur et sur la surface d'un conducteur en équilibre.

V Cte

E = 0  = à l'intérie ru

→

par continuité, V = C^te à la surface

 la surface d'un conducteur en équilibre est une équipotentielle.

 les lignes de champ sont normales à la surface pour un conducteur chargé

4

➔Si le conducteur en équilibre est chargé, cette charge ne peut être que surfacique.

0

div E    0 car E = 0

 =

→ =

➔Cas d'un conducteur creux chargé:

+ +

+ +

+ +

+ + +

+ + + + +

+ + +

E = 0 V = Cte

E = 0  V = C partoutte

→la surface intérieure est une équipotentielle

E = 0 V = C^te

→il ne peut pas y avoir de charges sur la surface intérieure de la cavité

➔Applications:

 charge d'un conducteur, initialement neutre, par contact.

 cage de Faraday.

5

3- Champ au voisinage d'un conducteur a- Théorème de Coulomb

+ + + +

+ + + + E

E = 0 E = 0

➔Le champ électrostatique présente M une discontinuité à la traversée de la surface d'un conducteur en équilibre.

E S S E dS E tube E

0

E dS _   S

 =  =  +  +  =



• M infiniment voisin de la surface du conducteur.

• n normale à la surface en M.

0

E =  n

d'où  champ au voisinage d'un

conducteur en équilibre

• S surface fermée =  + tube + S

n



S

6

V = C^te b- "Pouvoir des pointes"

→ Sphère de rayon R au potentiel V: ^0V

R

 = 

→ Sphère S' de rayon R': ' ^0V R '

 = 

S'

0V

"

R "

 = 

→ Sphère S" de rayon R":

S"

' E' E

R ' R "   "  "

➔A la surface d'un conducteur en équilibre au potentiel V, le champ électrostatique sera très intense au voisinage d'une pointe.

 ionisation de l'air  décharge (paratonnerre, avion,…)

 Au voisinage de la surface, ^{= }

₀ E

E

E

 impossiblité de conserver la charge pour un conducteur chargé muni de pointes.

7

c- Pression électrostatique

→ E (M)₁ champ créé par dS

→ E (M)₂ champ créé par le reste de la surface

2 1

0 0 0

E E E n n

2 2

    

= − =   −   =  

➔Par définition, est la pression électrostatique

2

0

p dF

dS 2

= = 



 dF toujours dirigée suivant n

 l'élément de surface dS va subir une force:

2 2

0

dF dq E dS n

2

=  =   



dF Au voisinage de la surface:

0

E(M)  n

= 

dS

 n M

1 2

E (M) E (M)

= +

Si  très grand, les charges quittent le conducteur

 émission par effet de champ

8

4- Capacité d'un conducteur en équilibre

Sa charge totale est:

Q =



 

 =  =

=  Q = ^te V C

V '(M) k V(M Q'

V' )

Q' k Q

Q C

V =

On pose: capacité d'un conducteur isolé en équilibre

 C toujours >0

 Unité: Farad (coulomb.volt⁻¹)

 Exemple: C_terre = 4₀R = 710 F

En un point M d'un conducteur en équilibre, de surface S et de densité , le potentiel s'écrit:

0 S

1 ds

V(M) 4 r

=  





+ +

+ +

+ ++ +

+ + + +

+ + +

M r dS

9

5- Energie d'un système de conducteurs chargés en équilibre

 La distribution est surfacique et V constante sur la surface.

→ Cas d'un seul conducteur:

=





e S S

1 1 1

E V ds V ds Q V

2 2 2

 

= = ² = ²

e

1C V 2

E Q V 1 2

Q 2 1

C

→ Cas d'un système de n conducteurs:

Conducteur A_i: charge Q_i et potentiel V_i  _e 1 _{i i} E (i) Q V

= 2 Pour n conducteurs A₁, A₂, …, A_i, …, A_n:

e i i

E 1 Q V

= 2



10

II- INFLUENCE ELECTROSTATIQUE

1- Expérience fondamentale. Définition de l'influence

→ conducteur A isolé, neutre, en équilibre.

→ conducteur B isolé, chargé, en équilibre.

A

+ +

+

+ + + + + +

+ B +

+ +

+ +

+

–– – – –

– EB

→ déplacement des charges libres de A sous l'influence de E_B EA

→ à l'équilibre, E_A = −E_B

conducteur influençant conducteur influençé

➔La répartition des charges superficielles du conducteur A est modifiée  A a été influencé par le champ de B

11

2- Etats possibles d’un conducteur a- Conducteur isolé

+ +

+

+ + + + + +

+ V_B B A

→ Initialement, A est neutre et isolé  Q_A = V_A = _A = 0 +

+ +

+ + +

–– – – –

– V'_A

→ Après influence par B chargé, V'_A  0 alors que Q'_A = 0

➔Pour un conducteur isolé, l'influence conserve la charge totale mais modifie la répartition des charges sur la surface et donc son potentiel.

→ à charge constante,  et V peuvent varier.

12

b- Conducteur à potentiel constant

+ +

+

+ + + + + +

+ B A

V = C^te

–– – – –

– +

+ + +

→ Les charges  de A "s'écoulent" vers la terre.

➔L'influence modifie la charge totale d'un conducteur maintenu à un potentiel constant.

→ à potentiel constant,  et Q peuvent varier.

13

+ + +

+ + +

A B

– –

– ––

–

3- Théorème des éléments correspondants

 

 =  +  +  =  −

 =  =



0

E dS 0 dq dq

➔Théorème: Les charges de deux éléments correspondants sont égales et opposées.

→ Th. de Gauss appliqué à la surface fermée [ _A + _B + tube ] :

B

A

→ dS_A et dS_B sont des éléments correspondants.

dS_A dS_B

tube de champ

14

 A isolé et initialement neutre: Q_ext = − Q_int = + Q_B A

4- Influence totale

→ Il y a influence totale lorsque le conducteur A (influencé) entoure complètement le conducteur B (influençant).

→ Face extérieure de A: différents cas:

 A relié au sol: V_A = 0  Q_ext = 0

 A isolé et initialement chargé +Q₀: Q_ext = Q₀ + Q_B B

+ + +

+ +

+ + + +

+Q_B –

→ Th. des éléments correspondants 

−Q_B sur la surface intérieure de A

– –

––

– −Q_B

–

– – –

– ––

15

5- Ecrans électriques

a- Conducteur creux maintenu à potentiel constant

 B chargé

 S_int invariante V reste constant

➔C joue le rôle d'un écran électrique (blindage) (en pratique, V = 0, le blindage est "à la masse")

B

S_ext

S_int C

A V =

C^te

 A chargé Q_A , Q_B = 0

+

++ ++++ +++ ++

 S_int charge −Q_A

S_ext invariante −Q_A

16

b- Conducteur creux isolé (Q_C = C^te)

 C n'est pas un écran

 B chargé , Q_A = 0

 pas d'influence sur S_int et A (conducteur creux)

 C est un écran électrique pour l'intérieur du conducteur (cage de Faraday)

➔ Pour réaliser un écran électrique parfait il suffit de maintenir à potentiel constant un conducteur creux.

S_ext

S_int C

B A

 A chargé Q_A , Q_B = 0

++

+ + + + ++ + +

 S_ext : charge +Q_A

+Q_A

−Q_A

17

III- ETATS D'EQUILIBRE D'UN SYSTEME DE CONDUCTEURS: étude théorique.

2- Unicité de l'état d'équilibre

→ Conducteur isolé : pour un conducteur isolé dans le vide, l'état d'équilibre est défini de façon unique si l'on connaît son potentiel V₀ :

▪ V(M) est défini de façon unique.

▪ la densité de charge  est définie en tout point de la surface du conducteur.

▪ E(M) est défini de façon unique.

1- Etat d'équilibre d'un système

Un état d'équilibre d'un système de conducteurs est défini par la connaissance du potentiel ou/et de la charge de

chaque conducteur.

18

3- Principe de superposition des états d'équilibre

Soit un système de conducteurs et 2 états d'équilibre:

→ Etat 1:  = _1i et V = V_1i sur le conducteur i

→ Etat 2:  = _2i et V = V_2i sur le conducteur i

➔Le principe de superposition des états d'équilibre affirme que l'état défini par :

 = _1i + _2i et V = V_1i + V_2i sur le conducteur i est aussi un état d'équilibre.

→ Système de n conducteurs isolés et chargés : la connaissance des potentiels V₁, V₂, …, V_n définit de manière unique le potentiel V(M) en tout point de l'espace.

▪ Q₁, Q₂, …,Q_n sont définies de façon unique.

▪ ₁, ₂, …,_n sont définies.

19

3- Capacités et coefficients d'influence d'un système de conducteurs

Soit un système de 2 conducteurs en équilibre:

Q₁

V₁ A₁

Q₂ V₂

A₂  superposition de 2 états d'équilibre:

Q₁₁

V₁ > 0 A₁ + +

+

+ +

+ + +

+ Q₂₁

V₂ = 0 A₂ –––– Etat 1

Q₁₂

V₁ = 0 A₁

– –

––

Q₂₂ A₂ + +

+

V+₂ > 0+ +

+ +

Etat 2

1 11 12

2 21

11 1 12 2

21

22 1 22 2

Q Q Q C V C V

C V C

Q Q Q V

= + = +

= = +

 +

Donc: 

20

➔Définitions

▪ C₁₁ = capacité du conducteur A₁ en présence de A₂.

▪ C₂₂ = capacité du conducteur A₂ en présence de A₁.

▪ C₁₂ = coefficient d'influence de A₂ sur A₁.

▪ C₂₁ = coefficient d'influence de A₁ sur A₂.

▪ Q₁₁ = C₁₁V₁ = charge propre du conducteur A₁.

▪ Q₁₂ = C₁₂V₂ = charge qui apparaît sur A₁ influencé par A₂

 Q₁₂ de signe opposé à V₂

 C₁₂ et C₂₁ sont toujours < 0

21

4- Généralisation

Pour un système de n conducteurs en influence, on a:

1 11 1 12 2 1n n

2 21 1 22 2 2n n

n n1 1 n2 2 nn n

Q C V C V ... C V Q C V C V ... C V

Q C V C V ... C V

= + + +

 = + + +



 = + + +



→ l'indice i correspond au conducteur influencé, et l'indice j au conducteur influençant.

➔Les charges sont des fonctions linéaires et homogènes des potentiels.

c'est à dire:

n

i ij j

j 1

Q C V

=

=



ii

C C 0 C 0

= 



 

22

IV- CONDENSATEURS

1- Définitions

➔Un condensateur est un ensemble de 2 conducteurs en influence totale.

Q₂ Q₁

A₁ A₂

→ A₁ = armature interne de charge Q₁

➔Q₁ = Q est la charge du condensateur

➔Relations générales:

1 11 1 12 2

2 21 1 22 2

Q C V C V Q C V C V

= +

 = +



→ A₂ = armature externe de charge

2 1 2ext

Q = −Q + Q

23

→ On peut réaliser un état d'équilibre où on a: ¹

2

V 0 V 0

 

 =



1 11 1

2 21 1

Q C V

Q C V

=

  =



d'où C₁₁ = −C₂₁ = −C₁₂ = C Capacité du condensateur

➔La charge d'un condensateur est proportionnelle à la différence de potentiel qui existe entre ses armatures.

➔La capacité C dépend de la géométrie (forme) des armatures.

➔ Schéma d'un condensateur:

V₂ V₁

A B

 Q = C(V₁ − V )₂

= +

1 11 1 12 2

Q C V C V

or Q₁ = −Q₂ (Q_2ext = 0 car V₂ = 0)

24

2- Calcul de capacités a- Méthode générale

 → Calcul de E entre les armatures (Th. de Gauss).

 → Calcul de la circulation de E entre les armatures.

2

1

A

1 2 A

V − V =



Q =



 → Calcul de C.

1 2

C Q

V V

= −

25

b- Condensateur plan

→ Densités de charges uniformes: + sur A₁ et − sur A₂.

→ Armatures A₁ et A₂ : plans de surface S séparés d'une distance e (S >> e) et portés aux potentiels V₁ et V₂.

+

−

+ + + + + +

− − − − −

− −

+ V₁

V₂

A₁ A₂

 e

 ²

1

A

1 2 A

0

V − V = E dl =  =E e  e



 Q S ⁰S

C e

= 

=   

E E

 





= 

₀

E n _n

E1

=  



1

0

E n

2

E2

=  



2

0

E n

2

26

c- Condensateur sphérique

→ Armature A₂: sphère de rayon R₂.

A₂

1 2 r 0

Q

E 1 u

4 r

= 

 Circulation de E entre A₁ et A₂:

2 2

1 1

A R

1

1 2 2

A R

0

Q dr

E dr V V

4 r

 = − =





 ¹ ₀ ^{1 2}

1 2 2 1

Q R R

C 4

V V R R

 

= − =   − 



  surface de Gauss de rayon r  _E

→ Armature A₁: sphère de rayon R₁.

A₁ Q₁

27

3- Propriétés des condensateurs a- Accumulation d'électricité

Un condensateur est un "réservoir" d'électricité.

→ Conducteur A₁ sphérique isolé au potentiel V: Q = 4₀RV

→ Si on entoure A₁ par un autre conducteur sphérique de rayon R+e (avec R>>e) au potentiel 0, Q devient:

2 0

Q ' 4 R V

=  e  Q' R

Q = e 1

➔Pour une ddp donnée, on peut placer une charge beaucoup plus grande sur un condensateur que sur un conducteur isolé.

➔Un condensateur sera caractérisé par:

→ sa capacité.

→ la ddp (V₁−V₂) maximum qu'il peut supporter.

28

b- Groupement de condensateurs

➔On groupe le condensateurs pour obtenir un condensateur équivalent:

→ capacité plus grande (groupement parallèle).

→ ddp plus grande (groupement série).

 Groupement parallèle

V₂ V₁

A B

C₁ C₂ C₃

Q₁ Q₂ Q₃

→ armatures internes: potentiel V₁.

→ armatures externes: potentiel V₂.

➔Pour n condensateurs groupés en parallèle, le condensateur équivalent a une capacité:

n i 1

C =



→ charge du groupement:

( )( ) ( )

1 2 3 1 2 3 1 2 1 2

Q Q Q C C C V V

Q = + + = + + − = C V − V

29

 Groupement série

V₂ V₁

A C₁ C₂ C₃ B

+Q₁ +Q₁

+Q₁ −Q₁ −Q₁ −Q₁

V"

V'

→ l'armature interne d'un condensateur est reliée à l'armature externe du suivant, etc.….

→ tous les condensateurs portent la même charge Q₁.

1 V2 (V1 V ') (V ' V ") ( "V V )2

V − = − + − + −

d'où ₁

1 2

1

1 2

3

1 1 1

Q Q

C V C

V C

C

 

+ + =

 

− = 



➔Pour n condensateurs groupés en série, le condensateur équivalent a une capacité:

=



1

1 1

C C

30

4- Condensateur avec diélectrique

→ On place un isolant solide (mica, papier paraffiné, verre,….) ou liquide (huile minérale) ou de l'air entre les armatures.

➔La capacité du condensateur est multipliée par un facteur _r.

r 0

C =  C

➔ _r est la permittivité de l'isolant.

▪ air sec: _r = 1,00058  1 (vide)

▪ mica: _r  8

▪ verres: _r  4 à 7

▪ paraffine: _r  2,1

➔ Potentiel disruptif: si la ddp entre les armatures devient trop grande, le diélectrique devient conducteur et une étincelle se produit entre les armatures: le condensateur

"claque".

31

5- Energie d'un condensateur

→ Condensateur = système de 2 conducteurs en influence.

e 1 1 2 2

1 1

E Q V Q V

2 2

 = +

→ En général, on a Q₂ = − Q₁

2 2

e

1 1 1 Q

E QV CV

2 2 2 C

= = =



avec Q = Q₁ et V = V₁ − V₂

➔Localisation de l'énergie électrostatique:

−E_e = W(forces électrostatiques)  F_élec  0  E  0

→ l'énergie électrostatique est localisée (ou stockée) dans les régions où le champ n'est pas nul.

32

➔Dans un condensateur, l'énergie est localisée entre les armatures.

→ Exemple: condensateur plan

0

1

2 2

e 0

2

C S

e

V V V E e

1 1

E CV E

2 2

 = 



 = = 

 



− = =

v

avec v = S.e = volume du condensateur où est localisée E_e.

➔Densité d'énergie électrostatique d'un condensateur:

e 2

0

dE 1 d = 2 E

v

→ Plus généralement, on définit la densité d'énergie électrostatique par:

33

➔Forces agissant sur les armatures d'un condensateur:

→ A l'aide de la pression électrostatique:

−Q +Q

0 e

x F

0S

C e

=  ⁰S

Q V

e

=  

Q

 = S

2

0

F S n

2

= 

 (attractive)

d'où

2 0 2

2

0

S Q

F V

2e 2 S

=  =



→ A l'aide de la variation d'énergie à charge constante:

Déplacement dx de l'armature  dW_op = − F dx Système isolé donc dW_op = dE_e

alors:

te

e

Q C

F dE

dx ₌

 

= −  

34

→ A l'aide de la variation d'énergie à potentiel constant:

• Au cours du déplacement, la charge Q varie donc la source fournit une énergie dW_s = VdQ

• la variation d'énergie électrostatique est alors:

e op s

dE = dW + dW = − F dx + V dQ

or, pour un condensateur:

te

e

V C

1 1

dE d QV V dQ

2 ₌ 2

 

=   = 

 

d'où 1 _e

F dx V dQ dE

 = 2  = et

te

e

V C

F dE

dx ₌

 

=  