∑∑∑∑ Propriétés des conducteurs en équilibre

Chapitre IV

Propriétés des conducteurs en équilibre

I- Introduction

Jusqu’à présent, nous nous sommes intéressés uniquement aux charges électriques et à leurs effets. Que se passe-t-il pour un corps conducteur dans lequel les charges sont libres de se déplacer?

Prenons une baguette en plastique et frottons-la. On sait qu’elle devient électrisée parce qu’elle devient alors capable d’attirer de petits bouts de papier. Si on la met en contact avec une autre baguette, alors cette deuxième devient également électrisée, c’est à dire atteint un certain degré d’électrisation. Au moment du contact des deux baguettes, des charges électriques passent de l’une à l’autre, modifiant ainsi le nombre de charges contenues dans chacune des baguettes, jusqu’à ce qu’un équilibre soit atteint.

Comment définir un tel équilibre ?

II. II - Définition et propriétés d’un conducteur en équilibre 3- Définitions

• Un conducteur est un matériau possédant un grand nombre de charges libres pouvant se déplacer sous l'effet d'un champ même très faible.

• Un conducteur est en équilibre électrostatique lorsqu’il n’est pas le siège d’un mouvement d’ensemble de charges libres bien que celles-ci puissent être en mouvement désordonné sous l’effet de l’agitation thermique.

4- Propriétés électrostatiques d’un conducteur en équilibre a- Champ à l’intérieur d’ conducteur en équilibre

A l’intérieur d’un conducteur en équilibre électrostatique, le champ électrique est nul en tout point.

En effet, à l’intérieur du conducteur aucune force n’agit sur l’ensemble des charges. Le système dans ce cas est au repos, _i

i

F ^{r r r r} = = = = ∑ ∑ ∑ ∑ F ^{r r r r} = = = = 0 ^{r r r r} et puisque F r r r r ==== qE r r r r

on a donc: E 0 r r r r ==== r r r r

.

b- Potentiel d’un conducteur en équilibre électrostatique

Le potentiel est partout le même. En effet, en tenant compte de la relation existant entre le champ et le potentiel : E r r r r = − = − = − = − gradV uuuur uuuur uuuur uuuur

et E 0 r r r r ==== r r r r

à l’intérieur du

conducteur, on a alors le même potentiel V = cste en tout point du conducteur (en volume et en surface).

Autrement dit, le conducteur est un volume équipotentiel et sa surface est une surface équipotentielle.

c – Charge d’un conducteur en équilibre

En tout point intérieur au conducteur en équilibre, la densité de charge ρ est nulle.

En vertu de la forme locale du théorème de Gauss on a:

0

divE(M) = = = = ρρρρ (M) = = = = 0 εεεε r

r r r

, puisque le champ E(M)

r r r r

est nul partout. Cela signifie que la densité volumique de charge ρρρρ(Μ) (Μ) (Μ) (Μ) est nulle et donc, à l’équilibre, aucune charge ne peut se trouver dans le volume occupé par le conducteur. Si le conducteur est chargé, alors toutes les charges se trouvent nécessairement localisées à la surface du conducteur. Ces charges seront caractérisées par une densité de charge surfacique σ σ σ σ....

Les propriétés d’un conducteur en équilibre se résument donc comme suit :

• Le champ à l’intérieur du conducteur est nul

• Le potentiel est constant sur l'ensemble du conducteur

• La densité volumique à l’intérieur du conducteur est nulle

• Si le conducteur est chargé alors les charges électriques sont localisées en surface.

3 - Champ électrique au voisinage d’un conducteur en équilibre : Théorème de Coulomb :

En un point M infiniment voisin de la surface S d’un conducteur, le champ électrostatique E(M)

r r r r

est normal à S (S est une surface équipotentielle et les lignes de champ sont perpendiculaires à cette surface). Le champ E(M)

r r r r

est dirigé vers l’extérieur si la densité surfacique σ est positive et dirigé vers l’intérieur si σ est négative.

M dS

S L

S int

S

dS _ext + + + +

+ +

+ + + +

+ + +

+

+ +

+ + + + +

+ +

+ σ σ σ σ>0 >0 >0 >0

E r r r r int ==== 0 r r r r

V

Cst 0

== =

=

ρ =

ρ =

ρ =

ρ =

Considérons une surface élémentaire dS de la surface S et une surface dS ^ext parallèle à dS et contenant le point M infiniment proche de la surface S. On peut ensuite construire une surface fermée Σ Σ en y adjoignant une surface rentrant à Σ Σ l’intérieur du conducteur S int ainsi qu’une surface latérale S ^L . En appliquant le théorème de Gauss sur cette surface fermée, on obtient :

où S _M est la surface dessinée par le tube de flux passant par S _ext , donc S _ext = S _M (on peut choisir ces surfaces aussi petites que l’on veut). Il en résulte que :

o

E σ σ σ σ n

==== εεεε r r r r r r r r

Enoncé du théorème de Coulomb :

Le champ électrostatique crée au voisinage immédiat d’un conducteur en équilibre électrostatique est normal à la surface du conducteur et a un module égal au quotient de la densité surfacique σ σ σ de charges sur le conducteur par εεεε σ 0 :

o

E ==== σ σ σ σ n εεεε r r

r r r r r r

, où n r r r r

est un vecteur unitaire normal au conducteur et dirigé vers l’extérieur.

III - Propriétés d’un conducteur creux : 1 - Définition

Un conducteur est dit creux, s’il présente une cavité. Une cavité est une région vide, complètement à l’intérieur du conducteur.

2 - Propriétés des conducteurs creux

On suppose que la cavité vide du conducteur ne contient pas de charge.

a) - A l’intérieur du conducteur creux le champ électrique est nul et le potentiel est constant.

Dans la cavité vide du conducteur, le champ est nul et le potentiel est constant.

Ce potentiel est le même que celui du conducteur, d’après la continuité du potentiel.

conducteur creux

Cavité

En effet, la paroi de la cavité constitue une surface équipotentielle fermée. Si le potentiel n’est pas constant dans tout la cavité, il y’aura un point (ou région) où il est extremum. Supposons qu’il s’agit d’un maximum, tout autour le potentiel décroît, les lignes de champ partent de ce point. Si on entoure ce point d’une surface de Gauss fermée, le flux sortant est certainement positif, ce qui implique la présence à l'intérieur de cette surface d'une charge positive. Dans le cas d'un minimum de potentiel, un raisonnement analogue mènerait à la présence de charge négative. Dans les deux cas la cavité ne serait pas vide, ce qui est en contradiction avec l’hypothèse de la cavité vide. Le potentiel est bien constant partout à l’intérieur du conducteur qu’il soit plein ou creux.

Et puisque: E r r r r = − = − = − = − gradV uuuur uuuur uuuur uuuur

alors E 0 r r r r ==== r r r r

, le champ est aussi nul dans la cavité.

Remarque: Par le même raisonnement, on montre que la présence d'une ou plusieurs petites ouvertures dans la paroi d'un conducteur creux en équilibre ne modifie pas sa propriété fondamentale: E 0 r r r r ==== r r r r

à l'intérieur.

b- Si le conducteur creux est chargé, la charge est répartie sur sa surface externe :

En effet le champ E r r r

r étant nul dans la cavité et dans le conducteur, le flux Φ Φ Φ de Φ E

r r r r

à travers une surface fermée Σ Σ Σ (voir figure), dont une partie se trouve dans la cavité Σ et l’autre partie dans le conducteur, est nul.

On suppose que σ σ σ σ 1 est la densité surfacique de charge de la surface interne S _i du conducteur creux. D’après le théorème de Gauss,

o

= ΣΣ Σ Σ 0

Φ σ =

Φ σ Φ σ = =

Φ σ =

εεεε , d’où σ σ σ σ 1 = 0. Donc la surface interne S i du conducteur creux ne porte pas de charges. Par conséquent, si le conducteur est chargé sa charge est répartie sur sa surface externe S _ext .

IV -Pression électrostatique : a - Etude qualitative :

Les charges disposées sur un conducteur chargé se répartissent sur la surface : étant du

même signe, ces charges se repoussent mutuellement et on peut s’attendre à ce qu’elles subissent une force mutuelle qui tente à faire sortir les charges vers l’extérieur, donc à

S ext

Conducteur Cavité

Σ Σ Σ Σ

S _i

augmenter le volume du conducteur. On dit donc que le conducteur est sous une pression électrostatique dirigée vers l’extérieur.

b – Etude quantitative :

Considérons un conducteur en équilibre électrostatique, chaque élément de surface dS porte une charge élémentaire dq = σ dS et subit l’action d’une force :

d F r r r

r = dq E

r r r r , E

r r r

r étant le champ crée par le reste de la surface du conducteur chargé autre que dS. Or le champ totale E

r r r

r au voisinage de dS est la superposition du champ E

r r r r

crée par l’élément dS et le champ E

r r r r

crée par le reste de la surface du conducteur.

-Calcul de E

r r r r :

Au voisinage de ds, ds est vu comme un plan infini et par la suite 1

o

E n

2 σ σ σ

==== σ εεεε r r r

r r r r r

(champ crée par un plan infini chargé uniformément en surface avec une densité σ (σ σ σ σ peut être négative ou positive)

n r r r r

étant le vecteur unitaire perpendiculaire à la surface du conducteur et orienté vers l’extérieur.

-Calcul de E

r r r r :

1 2

E r r r r = = = = E r r r r + + + + E r r r r

et

o

E σ σ σ σ n

==== εεεε r r

r r r r r r (champ au voisinage du conducteur : théorème de Coulomb) .

D’après la relation du champ total on a

2

o o

n n E

2

σ σ

σ σ

σ σ

σ σ

= +

= = + +

= +

ε ε

ε ε ε ε

ε ε

r r r

r r r

r r

r r

r r

d’où : ²

o

E n

2 σ σ σ σ

==== εεεε r r r

r r r r r

La force électrostatique dF subie donc par la charge σ σ σ σdS de la part de l’ensemble des autres charges du conducteur vaut :

2 2

o o

dF .dS.E .dS. dS

2 2

σ σ

σ σ

σ σ

σ σ

= σ = σ =

= σ = σ = σ = σ = =

= σ = σ =

ε ε

ε ε

ε ε

ε ε

Quelque soit le signe de σ σ σ, la force est normale et toujours dirigée vers σ

l’extérieur du conducteur. Cette propriété est caractéristique d’une pression, force par

unité de surface. Ainsi, la pression électrostatique subie en tout point d’un conducteur vaut :

P dF

==== dS soit

2

o

P 2

σ σ σ

==== σ εεεε ou, expression équivalente : 1 _o ²

P E

= ε 2

= ε = ε

= ε où E est le champ total au voisinage du conducteur.

Remarque :

• Cette pression est en général trop faible pour arracher les charges de la surface du conducteur. Mais elle peut déformer ou déplacer celui-ci, les charges communiquant au solide la force électrostatique qu’elles subissent.

• En général σ σ σ n’est pas toujours constante, ce qui donne donc une pression σ électrostatique P qui n’est pas uniforme.

5- Propriétés des pointes métalliques : Pouvoir des pointes :

On montre qu’à proximité d’une pointe, le champ électrostatique est toujours très intense. En vertu du théorème de Coulomb, cela signifie que la densité surfacique de charges au voisinage d’une pointe est très élevée.

Soient deux sphères S 1 et S 2 de rayons R 1 et R 2 (R 1 > R 2 ) et portent respectivement les densités de charges σ σ σ σ 1 et σ σ σ σ 2222 , sont reliées par un fil conducteur dont on négligera la charge qu’il peut porter (voir figure).

Les charges sont suffisamment éloignées pour que les distributions des charges des deux sphères restent uniformes. On peut donc considérer que chaque sphère est isolée mais qu’elle partage le même potentiel V. Cela implique alors :

S ₁ S ₂

1 2 2 1

o 2 2 o

1 1

2 2 2 2 o 1

2 1 1 o

S 2

2 S o

1 1 o

2 1

R R

R R

R R 4 4

1 R

R 4 4

1

R dS 4

1 R

dS 4

V 1 V V

2 1

σ ====

σ σ σ σ σ σ σ

⇔ ⇔ ⇔

⇔

εεεε σ σ σ

==== σ εεεε σ σ σ

⇔ σ

⇔ ⇔

⇔

ππππ σ σ σ σ πε πε πε

==== πε ππππ σ σ σ σ πε πε πε

⇔ πε

⇔ ⇔

⇔

σ σ σ σ πε πε πε

==== πε σ

σ σ σ πε πε πε

⇔ πε

⇔

⇔

⇔

====

==== ∫∫∫∫∫∫∫∫ ∫∫∫∫∫∫∫∫

En tenant compte du théorème de Coulomb, on a

1 2

o 2 o 1

2 1

R R E

E ====

εεεε σ σ σ σ εεεε σ σ σ σ

==== soit

1 2 2 1

R R E E ====

Puisque R 2 < R 1 , on aura donc un champ au voisinage de la petite sphère, de rayon R ₂ , qui est plus intense que celui au voisinage de la grande sphère de rayon R ₁ . Il en résulte que le champ est plus intense dans les régions de forte courbure (faible rayon). C’est ce qu’on appelle pouvoir des pointes. On a aussi, d’après les relations précédentes σ σ σ σ 2 > σ σ σ σ 1 , ce qui montre que la concentration des charges, dans les régions de forte courbure, est élevée.

Le pouvoir des pointes est à l’origine des explications concernant l’utilisation des paratonnerres pour se prévenir de la foudre et les expériences des « cheveux qui se dressent ».

L’expérience suivante met en évidence le phénomène du pouvoir des pointes :

Au voisinage d'une pointe portée à haute tension, l'ionisation des molécules de gaz provoque un

"courant d'air" capable de faire vaciller la flamme d’une bougie (vent électrique).

V – Equilibre électrostatique d’un système de conducteurs 1 - Position du problème :

Soit un ensemble de conducteurs occupants des positions fixes. Chaque conducteur est mis à un potentiel et porte une certaine charge. On suppose qu'il n’y a pas de charges à l’extérieur des conducteurs.

On cherche à évaluer :

- Le champ à l'extérieur des conducteurs - La densité de charge sur chaque conducteur

2 – Solution théorique du problème :

III. Le problème sera résolu si on détermine la fonction potentiel V(x,y,z) en tout point de l’espace. De point de vue mathématique, la fonction V(x,y,z) doit obéir à l'équation de Laplace : ∆ V = 0 et à deux conditions aux limites (nul à l’infini et constant sur chaque conducteur). Cette équation admet une solution unique (théorème de l’unicité).

IV. Connaissant le potentiel V, nous pouvons en déduire le champ électrostatique E

r r r r

en utilisant la relation: E r r r r = − = − = − = − gradV uuuur uuuur uuuur uuuur

. Et le théorème de Coulomb (

o

E σ σ σ σ n

==== εεεε r r r r r r r r

) permet de déduire la densité de charge sur chaque conducteur, et par une intégrale de surface, on remonte à la charge de chacun des conducteurs.

Remarque : L’état d’un conducteur en équilibre, seul dans l’espace, est donc déterminé par la donnée de sa charge Q ou son potentiel V.

3 – Théorème de superposition des états d’équilibre :

Soit un état d’équilibre d’un conducteur, caractérisé par sa densité surfacique σ σ σ σ (la connaissance de σ σ détermine complètement son état d’équilibre) ou σ σ par sa charge Q et son potentiel V.

Soit maintenant un autre état d’équilibre du même conducteur défini par une densité

surfacique σ σ σ σ'. Le conducteur porte alors une charge Q’ et a un potentiel V’. Du fait de la

linéarité de Q et V avec σ σ, toute combinaison linéaire de σ σ σ σ σ σ et σ σ σ σ’ est encore un état d’équilibre :

Q" Q Q '

" '

V " V V '

= α + β

= α + β = α + β

= α + β σ = ασ + βσ ⇔ 

σ = ασ + βσ ⇔ σ = ασ + βσ ⇔

σ = ασ + βσ ⇔   = α + β = α + β = α + β = α + β α α α α et ββββ sont des constantes arbitraires.

Théorème : Toute superposition d’états d’un conducteur ou d’un ensemble de

conducteurs en équilibre est également un état d’équilibre.

VI– Capacité d’un conducteur isolé :

Soit un conducteur à l’équilibre électrostatique, isolé dans l’espace, chargé avec une distribution surfacique σ et porté au potentiel V. En un point M du conducteur V qui s’écrit :

Le point P étant un point quelconque de sa surface. Par ailleurs, la charge électrique totale portée par ce conducteur s’écrit :

Si on multiplie la densité surfacique par un coefficient constant α α α α, on obtient une nouvelle charge totale Q’= α α αQ et un nouveau potentiel V’= α α α αV. On a ainsi un nouvel α état d’équilibre électrostatique, parfaitement défini. On voit donc que, quoi qu’on fasse, tout état d’équilibre d’un conducteur isolé (caractérisé par Q et V) est tel que le rapport Q/V reste constant (cela résulte de la linéarité de Q et V en fonction de σ).

Définition :

La capacité électrostatique d’un conducteur isolé à l’équilibre, est définie par : C Q

==== V

où Q est la charge électrique totale du conducteur porté au potentiel V.

La capacité C s’exprime en Farad (symbole F).

Remarques :

- La capacité C d’un conducteur est une grandeur toujours positive. Elle ne dépend que des caractéristiques géométriques et du matériau constituant le conducteur.

- Les unités couramment utilisées en électrocinétique sont les sous multiples du Farad : le micro Farad (1µF = 10 ^-6 F), nano Farad (1nF = 10 ^-9 F) ou pico Farad (1pF

= 10 ^-12 F) car le Farad est une valeur énorme de la capacité.

Exemple :

La capacité d’une sphère de rayon R, chargée avec une densité surfacique σ.

( ) ( )

o surface o surface

surface o

o

1 P dS 1 dS

V V O

4 OP 4 R

dS

4 R

C Q 4 R

V

σ σ

σ σ

σ σ

σ σ

= = =

= = =

= = =

= = =

πε πε

πε πε

πε πε

πε πε

σ σ σ σ

==== πε πε πε πε

= = πε

= = πε

= = πε

= = πε

∫∫ ∫∫

∫∫ ∫∫

∫∫ ∫∫

∫∫ ∫∫

∫∫∫∫∫∫∫∫

La capacité de la terre est:

-9

6 -6

C = 4 10 64 10 = 700 10 F = 700 F

π 36 µ

π µ

π µ

π µ

ππππ .

VII -Phénomène d’influence :

Lorsqu'un conducteur est placé dans un champ électrique, la répartition de charge à sa surface change. On dit alors que le conducteur est influencé par la source du champ.

1 – Influence partielle :

a – Définition :

Il y’a influence partielle entre deux conducteurs, si le conducteur influencé n’entoure pas les charges influençantes. Autrement dit, deux conducteurs sont en influence partielle lorsque les lignes de champ issues d’un conducteur n’arrivent pas toutes sur l’autre.

b - Cas où le conducteur influencé est isolé (charge constante) :

Considérons un corps conducteur A initialement neutre et seul dans l’espace (Q = 0, E

r r r r

= 0 et V = 0). Approchons du conducteur A un autre conducteur B chargé (par exemple positivement). Les charges de B créent au niveau du conducteur A isolé un champ électrique E _ex

r r r r

que nous appelons champ influençant. Sous l’action de E _ex r r r r

, les charges mobiles du conducteur isolé vont se déplacer de telle façon que les charges négatives seront attirées vers la face en regard avec le conducteur B laissant de l’autre côté des charges positives.

σ σ σ σ

P R

O

Une situation d’équilibre électrostatique interviendra finalement quand les charges superficielles de A se répartiront de façon à créer un champ E _int

r r r r

à l’intérieur du conducteur A tel que E + E = 0 _{ex int}

r r r r

r r

r r

r r

r r

. Alors les charges du conducteur isolé ne seront soumises à aucune force résultante et l’on aura bien un équilibre électrostatique.

c – Cas où le conducteur influencé est relié au sol : Si pendant qu’on approche le

conducteur chargé B du conducteur isolé A, on met ce dernier en contact avec le sol, les charges positives seront annulées par les électrons provenant du sol (c’est comme si les charges positives s’écoulaient dans le sol).

Alors le conducteur influencé ne porte plus que des charges négatives, qui resteront lorsqu’on l’isole de nouveau. On dit qu’il a été chargé par influence.

Lorsque deux conducteurs chargés sont en présence ensemble, ils sont en influence l’un par rapport à l’autre (à cause des champs qu’ils créent dans leurs voisinages) on dit qu’ils sont influencés mutuellement.

d – Influence d’un conducteur creux mis au sol :

On considère un conducteur creux A, initialement mis au sol (V A = 0). Si on lui approche un conducteur B, chargé positivement

-

+ + + + + + +

+ + + + + - +

+ + - - -

- - -

-

ex - E

r r r r

Conducteur B Conducteur A

Ligne neutre σ

σ σ σ L =0

sol -

- - -

- - -

- -

Conducteur A + +

+ + + + +

Conducteur B

sol -

- -

- -

- -

- -

S ext

S _i + +

+ + + + + B

A

par exemple, on remarque que le champ électrique à l’intérieur et dans la cavité est nul et que la surface intérieure ne porte aucune charge. Il en résulte donc que l’intérieur du conducteur creux est protégé des actions extérieures : c'est l'effet d’écran.

De ces résultats on peut conclure qu’une cavité électriquement neutre (pas de charge) est un espace protégé par l’enveloppe conductrice puisque quelque soit le champ électrique extérieur, le champ dans la cavité est nul. Autrement dit, le conducteur creux en équilibre agit comme un écran électrostatique, il protège l’intérieur des champs extérieurs et il peut aussi protéger l’extérieur des champs intérieurs si la cavité contient des charges.

Application : "cage de Faraday"

La personne située à l'intérieur d'une cage métallique ne ressentira pas les effets de la décharge, même si le potentiel atteint est très important.

Cage de Faraday

2 – Théorème des éléments correspondants :

Considérons deux

conducteurs C 1 et C 2 s’influençant mutuellement et soit un tube de champ partant du conducteur C 1 au conducteur C 2 . Il délimite un élément de surface dS 1

sur le premier conducteur et dS 2 sur le deuxième (voir figure).

Appliquons le théorème de Gauss à la surface fermée définie par le tube de

champ de surface latérale Σ Σ Σ Σ L et les surfaces Σ Σ Σ Σ 1 , Σ Σ Σ Σ 2 s’appuyant respectivement sur dS ₁ et dS ₂ et plongeant à l’intérieur des deux conducteurs.

Le flux à travers cette surface fermée est nul, puisque le champ E r r r r

est tangent au tube de champ et le champ à l’intérieur des deux surfaces Σ 1 et Σ Σ Σ Σ 2 est nul (propriété d’un conducteur en équilibre) :

C 1 C ₂

Σ Σ Σ Σ L +

+ dS ₁

dS 2

E r r

r r _- ^-

-

- -

- +

+ + + +

V 1 >0

V 2 <0 Σ

Σ Σ

Σ 1111 Σ Σ Σ Σ 2222

Décharge

1 2 L

int 1 2

o o o

EdS EdS EdS EdS 0

q q q

Σ Σ Σ Σ

Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ

Σ Σ Σ Σ

Φ = = + + =

Φ = = + + =

Φ = = + + =

Φ = = + + =

= = +

= = = = + +

= = +

ε ε ε

ε ε ε

ε ε ε

ε ε ε

∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫

∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫

∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫

∫∫ ^{r r r r uur uur uur uur} ∫∫ ^{r r r r uur uur uur uur} ∫∫ ^{r r r r uur uur uur uur} ∫∫ ^{r r r r uur uur uur uur}



 



on a donc q ₁ = - q ₂

où q 1 est la charge totale contenue sur la surface dS 1 et q 2 la charge contenue sur la surface correspondante dS 2 .

Théorème :

Les charges électriques portées par deux éléments correspondants sont égales et de signe contraire.

3 - influence totale :

Deux conducteurs sont en influence totale si l’influencé entour l’influençant c'est-à-dire que l’influencé est un conducteur creux. Dans ce type d’influence, toutes les lignes de champ issues d’un conducteur arrivent complètement sur l’autre conducteur.

a) Répartition des charges sur les conducteurs : α α α α) Cas où A est initialement neutre :

Considérons deux conducteur A et B, A est creux et initialement neutre (Q A = 0) et B est chargé, porte la charge Q B et placé dans la cavité de A.

On a influence totale, il apparaît sur la surface intérieure du conducteur A une charge Q ^int _A égale et de signe contraire à la charge

Q B , c'est-à-dire Q ^int _A = − = − = − = − Q _B et sur la surface extérieure du conducteur A il y a la charge extérieure Q ^ext _A . Comme le conducteur A est isolé et initialement neutre Q A = 0

= Q ^int _A + Q ^ext _A d’où Q ^ext _A = − = − = − = − Q ^int _A = = = = Q _B

b) Cas où le conducteur A est relié au sol : Le conducteur B porte la charge Q B et le conducteur A porte les charges Q ^int _A et Q ^ext _A .

Puisque on a influence totale (théorème des éléments correspondant) on a Q ^int _A = − = − = − = − Q _B et puisque le conducteur A est relié au sol Q ^ext _A ==== 0 . Dans ce cas le champ électrique à l’extérieur est nul car d’après le théorème de Gauss le flux total à travers une surface fermée passant par le point où on veut calculer le champ est nul :

int

B A B B

o o

Q Q Q ( Q )

+ + − 0

+ + + − + −

+ + −

Φ = = =

Φ = = =

Φ = = =

Φ = = =

ε ε

ε ε ε ε

ε ε .

Q B

A

B Q B

−−−−

Q B

B

A

B Q B

−−−−

Q B

B

Dans le conducteur A le champ est nul alors que dans la cavité le champ est différent de zéro. On dit dans ce cas que l’extérieur est protégé des action de l’intérieur est inversement.

VIII – Capacités et coefficients d’influence.

Considérons un système de n conducteurs en équilibre électrostatique A ₁ , A ₂ ,

….A _n placés dans le vide. Ces conducteurs portent respectivement les charges Q ₁ , Q ₂ , Q ₃ ….Q _n et sont aux potentiels V ₁ , V ₂ , V ₃ ,….V _n .

On montre que d’après le principe de superposition et la linéarité des équations électrostatiques on a les relations suivantes :

Q 1 = C 11 V 1 + C 12 V 2 + …………+C 1n V n

Q ₂ = C ₂₁ V ₁ + C ₂₂ V ₂ +…….….. + C _2n V _n . . . . . . . . . . . . Q ₃ = C _n1 V ₁ + C _n2 V ₂ +………….+ C _nn V _n

Les coefficients C ij ne dépendent que de la forme et de la position des conducteurs.

C ii est la capacité du conducteur A i en présence des autres conducteurs. Ce coefficient de capacité représente la charge du conducteur A i porté à un potentiel unité alors que tous les autres sont à un potentiel nul. Il ne faut pas le confondre avec la capacité propre C ⁱ d’un conducteur isolé, seul dans l’espace.

C ij est le coefficient d'influence du conducteur A j sur le conducteur A i en présence des autres conducteurs. Il mesure la charge du conducteur A i lorsque le conducteur A j est porté à un potentiel unité et que tous les autres sont à un potentiel nul. L’unité de ce coefficient est le farad (F).

D’une façon générale, on a les propriétés suivantes :

• Les Cii sont toujours positifs.

• Les Cij sont toujours négatifs et Cij = Cji (matrice symétrique).

• _ii ⁿ _ji

j 1

C C

= ==

=

≥ − ≥ −

≥ − ≥ − ∑ ∑ ∑ ∑ , l’égalité n’est possible que dans le cas d’une influence totale.

Si on éloigne le conducteur A i des autres, les coefficients C ij tendent tous vers

zéro sauf C ii qui tend vers la capacité propre du conducteur A i .

Remarque: l'équilibre électrostatique des n conducteurs, peut aussi se décrire par la relation matricielle:

Les termes diagonaux sont les coefficients de capacité et les termes non diagonaux sont les coefficients d'influence .

1 – Cas de deux conducteurs : condensateur : a – Définition :

On appelle condensateur tout système de deux conducteurs en influence électrostatique. Il y a deux sortes de condensateurs :

- à armatures rapprochées - à influence totale

Armatures rapprochées à influence totale Remarque :

En général, les deux armatures sont séparées par un matériau isolant (un diélectrique), ce qui a pour effet d’accroître la capacité du condensateur. Dans ce qui suit on suppose que cet isolant est le vide. Les expressions que nous allons obtenir restent valable pour toutes autre condensateur à diélectrique quelconque en remplaçant la permittivité du vide εεεε

par celle du matériau considéré εεεε .

b -Capacité d’un condensateur .

Soient donc deux conducteurs (A 1 ) et (A 2 ) portant les charges totales Q 1

et Q 2 et ayant les potentiels V 1 et V 2 . D’après le paragraphe précédent, on a :

1 11 1 12 2

2 21 1 22 2

Q C V C V

Q C V C V

= +

= +

= +

= +

= +

= = + +

= +

Les coefficients Cij étant indépendant des valeurs de Q et de V, il suffit pour les trouver, de considérer des cas particuliers simples (formellement on a ici 2 équations à 4 inconnues).

Par exemple dans le cas d’un condensateur à influence totale, c'est-à-dire pour un condensateur pour lequel on a :

Q ₂ = Q ^int ₂ + Q ^ext ₂ = Q ^int ₂ −−−− Q ₁

Si on relie (A 2 ) à la masse (V 2 = 0, Q ^ext ₂ = 0 car on néglige toute influence extérieure), alors on obtient :

Q 1 = - Q 2 et C 11 = - C 12

La première relation n’est vraie que si (A 2 ) est relié au sol, mais la seconde est générale, par ailleurs on sait que: C 12 = C 21 (on peut aussi le retrouver en reliant les deux conducteurs par un fil conducteur (V 1 = V 2 ) et choisir Q 1 = 0). Par convention, la capacité C du condensateur, sa charge Q et sa tension V ₁ - V ₂ entre les armatures sont alors définies de la façon suivante :

C = C 11 , U = V 1 - V 2 et Q = Q 1

Ce qui fourni la relation des condensateurs : Q = C U

c -Exemple de calcul de capacité de quelques condensateurs électriques : α α

α α -Condensateur cylindrique :

Considérons un condensateur dans les armatures sont deux cylindres coaxiaux, très longs, de rayons R ₁ et R ₂ ( rayon interne et rayon externe ) très petits devant leur longueur l.

Si on applique une différence de potentielle positive (V ₁ -V ₂ ) entre les deux armatures

( V ₁ étant le potentiel de l’armature interne et V ₂ le potentiel de l’armature externe).

L’armature portée au potentiel supérieur V ₁ se charge

positivement ave une charge Q repartie sur sa surface, et la surface interne de

l’armature externe se charge négativement avec une charge –Q.

Pour déterminer la capacité du condensateur, il faut exprimer la différence de potentiel (V 1 -V 2 ), en fonction de la charge Q. La capacité sera donc déterminée par le

rapport :

1 2

C Q

V V

==== −−−− ^.

Or la différence de potentiel

1 1

1 2

2 2

V − − − − V = = = = ∫ ∫ ∫ ∫ dV = − = − = − = − ∫ ∫ ∫ ∫ Edr ^où E est le champ électrique dans l’espace entre les deux armatures.

Le champ E se calcule par application du théorème de Gauss en choisissant comme surface de Gauss Σ Σ Σ Σ , une surface cylindrique d’axe Z’Z, de rayon r et de hauteur h.

En effet, d’après la symétrie de la distribution des charges, les lignes de champs (loin des bords) sont radiales, donc le champ est parallèle au vecteur normal à la surface latérale S L de ce cylindre et orthogonal aux vecteurs normaux des surfaces de bases S b1 et S b2 .

Le flux du champ à travers la surface Σ Σ Σ Σ est :

L

S E.dS= E.S = 2 rhE L

Φ = π

Φ = Φ = π π

Φ =     ∫∫∫∫∫∫∫∫ π D’autre part, la charge Q _int située à l’intérieur de Σ Σ Σ Σ est : Q _int = 2 π hR ₁ σ = 2 π hR ₁

1

Q 2 lR ππππ ⁼

Q h

l Alors : V ₁ – V ₂ =

2

1

R

o R

Q dr

2 l π ε π ε π ε π ε ∫∫∫∫ r

V 1 – V 2 =

o

Q 2 l π ε π ε π ε π ε ^ln

2 1

R

R d’où C = ^o

2 1

2 l ln R

R π ε π ε π ε π ε

α α α

α -Condensateur sphérique :

Soit un condensateur constitué de deux armatures sphériques de même centre O, de rayons respectifs R1 et R2, (R2 > R1), séparées par un vide. Par le théorème de Gauss, le champ électrostatique en un point M situé à un rayon r entre les deux armatures vaut:

2 r o

r u 4

E v Q r πε πε πε

==== πε , ce qui donne une tension:





 



 −−−−

πε πε πε

==== πε

====

−−−−

==== ∫∫∫∫

2 1 o R

2 R

1 R

1 R

1 4

dr Q . E V

V

U

1

r

et fournit donc une capacité totale:

1 2

2 1

o R R

R 4 R

U C Q

πε −−−−

πε πε πε

====

====

d – Groupement des condensateurs α

α α

α – groupement parallèle

Soient n

condensateurs de capacités C _i mis en parallèle avec la même tension U = V1 - V2. La charge électrique de chacun d’entre eux est donnée par Q _i = C _i U. La charge totale est simplement

U C Q

Q

n

1 i

i n

1 i

i 



 



==== 

==== ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑

== =

=

= ==

=

ce qui correspond à une capacité équivalente ∑ ∑ ∑ ∑

= ==

=

==== ⁿ

1 i

C i

C qui

est la somme des capacités individuelles.

ββββ – groupement série

Soient n condensateurs de capacités C i mis en série les uns derrière les autres. On porte aux potentiels V o et V n les deux extrémités de la chaîne et on apporte la charge

Q sur le premier condensateur. En supposant que tous les condensateurs sont initialement neutres, il s’établit la charge ±Q (par influence) sur les armatures des condensateurs adjacents. La tension totale aux bornes de la chaîne de condensateurs s’écrit alors simplement

U = V _o – V _n = (V _o – V ₁ ) + (V ₁ – V ₂ ) +….+ (V _n-1 – V _n ) = C Q

1 C

.... Q C Q C

Q ⁿ

1

i i

1 1 1

1 1

1 



 



==== 

++++

++++

++++ ∑ ∑ ∑ ∑

=

==

=

et correspond à celle d’une capacité unique C de

capacité équivalente ∑ ∑ ∑ ∑

=

==

=

==== ⁿ

1 i C i

1 C

1

V ₁

V 2

+Q ₁ -Q ₁

+Q ₂ -Q ₂

+Q ₃ -Q ₃

+Q _n -Q _n

+Q -Q +Q -Q +Q -Q

V o V 1 V _n