Mécanique des Structures &

Mécanique des Structures &

Approximations Numériques

Septembre 2021

Sylvain Drapier, Prof.

Département Mécanique et Procédés d’Elaboration directe

Centre Science des Matériaux et des Structures & LGF UMR CNRS 5307 École Nationale Supérieure des Mines de Saint-Étienne

158, cours Fauriel ; CS 62362 42023 Saint-Étienne Cedex 2

bureau J3-15, tél : 00-79

2

Introduction générale

La mécanique des milieux continus, ou MMC, est la base de la résolution de pro- blèmes en mécanique des solides et mécanique des fluides. Si la MMC permet de traiter tout type de problème, la résolution analytique simultanée des 3 équations d’équilibre en tout point du domaine considéré, devient vite insurmontable pour être utilisée directement dans le di- mensionnement des produits industriels courants. Dans le cas de la mécanique des solides, les ingénieurs ont isolé des cas particuliers de la MMC, oùviacertaines hypothèses sur les géomé- tries et le chargement, la résolution peut se faire plus aisément. Ce domaine de la mécanique des solides se nomme lamécanique des structures et se définit, par opposition à la MMC, comme la mécanique des solides de dimensions finies où une des dimensions au moins est très faible devant les autres.

Les théories cinématiques qui sous-tendent la mécanique des structures ont été mises au point dans les 2 derniers siècles pour le dimensionnement des structures. Dans le même temps larésistance des matériaux, ou RdM, était mise en place comme un cadre particulier de la mécanique où des hypothèses supplémentaires simplifient encore les problèmes à traiter.

Dans ce cours, la théorie des poutres sera plus particulièrement développée (Figure 1) et ensuite étendue à la théorie des plaques, ceci principalement dans le cadre de la RdM.

On verra, à travers cette introduction à la mécanique des structures, que bien avant que les résolution numériques ne soient disponibles, le dimensionnement des structures à l’aide de ces approches répondait, au moins en première approximation, à la plupart des cas de la vie courante. On peut toutefois noter que pour les cas complexes, les calculs s’alourdissent considérablement, et le bon sens de l’ingénieur doit primer dans le choix des hypothèses à poser pour mener à bien ces résolutions, que ce soit de façon analytique ou bien numérique.

L’introduction de la théorie des poutres en RdM peut être envisagée principalement de 2 façons différentes. Une première approche consiste à partir des considérations particulières pour des grandes familles d’exemples. Une telle approche nécessite une bonne connaissance et une bonne maîtrise de la modélisation des problèmes physiques à résoudre. Une approche plus systématique, choisie ici, permet de poser la formulation rigoureuse de la théorie des poutres à partir de considérations purement mécaniques. Cette théorie tout à fait générale sera ensuite appliquée aux cas plus simples permettant d’isoler les comportements linéaires en traction, flexion simple, et en torsion. Les comportements non-linéaires seront ensuite abordés, et la mécanique des plaques sera décrite à partir d’une cinématique proche de celle des poutres. Au fur et à mesure des exemples traités, le lien entre les problèmes physiques et leur formulation devra apparaître de plus en plus naturellement.

iii

iv

Enfin, même si les solutions proposées dans le cas des structures simples restent d’un grand intérêt, il apparaîtra rapidement, dans le cas des plaques notamment, que la résolution analytique est de portée limitée. On comprend alors que la conception de systèmes avancés, de plus en plus complexes et multi-physiques (aéroélasticité/structure, thermo-mécanique, bio- mécanique,. . .) ne pourra se faire à l’aide de solutions simplifiées seulement. Au contraire,la conception et le dimensionnement de structures doit s’appuyer de façon systématique sur les 2 types d’approches, analytique pour accéder rapidement à des ordres de grandeur, puis nu- mérique pour prendre en compte plus finement des comportements extrêmes et/ou locaux. En effet, l’avancée conjointe des connaissances dans le domaine du comportement des matériaux et de la puissance de calcul des ordinateurs fait que le recours aux simulations numériques, et souvent au calcul intensif (massivement parallèle), est dorénavant systématique et pointue.

Il faut toutefois noter que l’utilisation de ces simulations ne peut se faire sans connaissance avancée en mécanique, et notamment en mécanique des structures qui reste la base dans la formulation des éléments finis structuraux largement répandus en conception. Seule une bonne connaissance de ces éléments, et donc des hypothèses qui ont amené à leur formulation, ainsi que des méthodes de résolution numériques correspondantes, permet de mener à bien, de façon optimale et sûre, des calculs de dimensionnement des structures. Uneextension à la résolution numérique des problèmes de mécanique est donc proposée en fin de ce cours, avec un accent particulier mis sur la mécanique numérique des structures.

Quelques ouvrages de référence

— Cours de Mécanique des Milieux Continus de 1^ère année de l’École Nationale Su- périeure des Mines de Saint-Étienne, S. Drapier, G. Kermouche & N. Moulin, 2021. http://www.emse.fr/~drapier/index_fichiers/CoursPDF/MMC/MMC_

Drapier-Kermouche-Moulin_2021.pdf

— Introduction à la mécanique des milieux continus, P.Germain et P.Muller, Éd. Mas- son 1995, collection Enseignement de la physique,

— Mécanique des Structures, Tome 2 Poutres, S.Laroze et J.-J. Barrau, Éd. Masson 1991,

— Theories of elastic plates, V.Panc, Éd. Noordhoff International Publishing 1975, collection Mechanics of Structures.

— Finite element simulations of heat transfers, J.-M. Bergheau et R. Fortunier, ISTE - J. Wiley, ISBN 9781848210530, 2008.

v

(a)

(b)

(c)

(d)

Figure 1: Exemples de structure : (a) poutre ventrale en composite carbone/époxyde d’un Airbus A340 : 16 mètres de long pour 1600 kg, (b) un exemple de pale d’éolienne (LM61.5 par LMGlasfiber) : 61,5 m de long pour 17,7 tonnes en composite verre / époxyde - la plus longue actuellement fait 88,4m (Adwen et LM Wind Power). (c) exemple de tablier de pont soumis à des charges de roulement et une poussée aérodynamique, et (d) caisson central de voilure A380 - concept et réalisation

Table des matières

1 Théorie des poutres 1

1.1 Rappels de MMC. . . 2

1.2 Mécanique des structures et RdM . . . 3

1.2.1 Définition des structures . . . 3

1.2.2 Résistance des Matériaux . . . 4

1.2.3 Hypothèses des poutres . . . 5

1.3 Cinématique . . . 8

1.3.1 Cinématique associée à l’hypothèse de Navier. . . 8

1.3.2 Déplacement en tout point de la poutre. . . 9

1.3.3 Torseur des déformations . . . 14

1.3.4 Bilan de la cinématique de poutres . . . 15

1.4 Contraintes et déformations . . . 16

1.4.1 Torseur des efforts . . . 16

1.4.2 Énergie de déformation . . . 18

1.5 Élasticité . . . 19

1.5.1 Loi de comportement . . . 20

1.5.2 Conditions aux limites - 1^ère approche . . . 21

1.6 Méthode de résolution . . . 22

1.6.1 Équations d’équilibre intérieur d’un tronçon de poutre en 2D . . . 23

1.6.2 Équations d’équilibre intérieur par le Principe des Puissances Virtuelles 25 1.6.3 Équilibre au bord - 2^nde approche des conditions aux ’limites’ . . . 30

1.6.4 Identification des efforts internes par transport des efforts extérieurs . 33 1.6.5 Calcul des déplacements et des rotations . . . 34

1.6.6 Calcul des états de contraintes . . . 35

1.7 Bilan de la théorie des poutres . . . 40 vii

viii

2 Théorie des poutres droites 43

2.1 Poutre droite à plan moyen chargée dans ce plan . . . 44

2.1.1 Simplifications dans le cas des poutres à plan moyen chargées dans ce plan . . . 45

2.1.2 Interprétation des grandeurs cinématiques et statiques . . . 45

2.1.3 Prise en compte du cisaillement transverse . . . 46

2.1.4 Formulation des problèmes de flexion-tension . . . 47

2.2 Applications . . . 49

2.2.1 Tension. . . 49

2.2.2 Flexion simple . . . 51

2.2.3 Flexion déviée . . . 60

2.2.4 Sollicitation composée . . . 70

2.2.5 Torsion . . . 70

2.3 Bilan . . . 74

3 Théorèmes énergétiques - Hyperstatisme 75 3.1 Rappels - calcul du travail . . . 76

3.1.1 Simplifications dans le cadre de la RdM . . . 76

3.1.2 Travail dans le cas des poutres . . . 77

3.2 Théorèmes énergétiques . . . 79

3.2.1 Théorème de réciprocité ou de Maxwell-Betti . . . 80

3.2.2 Théorème de Castigliano. . . 83

3.3 Hyperstatisme . . . 84

3.4 Résolution des systèmes hyperstatiques . . . 86

3.4.1 Principe de superposition . . . 87

3.4.2 Théorème de Ménabréa . . . 87

4 Extension aux problèmes non-linéaires et dynamiques 91 4.1 Flambage des poutres droites . . . 92

4.1.1 Équations non-linéaires de la statique des poutres droites . . . 93

4.1.2 Application à une poutre droite . . . 98

4.1.3 Extension aux calculs numériques . . . 102

4.2 Modes et fréquences propres de vibration en flexion dans les poutres droites . 103 4.2.1 Introduction . . . 103

ix

4.2.2 Équations de la dynamique des poutres droites à plan moyen. . . 103

4.2.3 Vibrations libres - application à la flexion simple . . . 104

4.2.4 Vibrations libres - calculs numériques . . . 108

4.3 Extension : réponse post-bifurquée d’une poutre . . . 109

4.3.1 Poutre homogène . . . 110

4.3.2 Poutre sur fondation élastique à deux paramètres . . . 115

5 Plaques 123 5.1 Plaques et coques - généralités . . . 124

5.1.1 Définition d’une plaque . . . 125

5.1.2 Cas des coques. . . 125

5.2 Plaques planes de Love-Kirchhoff . . . 126

5.2.1 Cinématique en flexion . . . 127

5.2.2 Champ de déplacement complet . . . 129

5.2.3 Déformations et contraintes généralisées . . . 130

5.2.4 Équations d’équilibre . . . 136

5.2.5 Introduction des efforts tranchants . . . 139

5.2.6 Exemples de plaque de Love-Kirchhoff en flexion . . . 145

5.3 Plaques de Hencky-Mindlin . . . 148

5.3.1 Cinématique et déformations . . . 148

5.3.2 Équations d’équilibre . . . 149

5.3.3 Lois de comportement . . . 151

6 Approximations numériques 155 6.1 Notions de base sur les approximations numériques en mécanique . . . 156

6.2 Approximations numériques les plus courantes en élasto-statique . . . 157

6.2.1 Résidus pondérés. . . 159

6.2.2 Formulation intégrale faible . . . 160

6.2.3 Galerkin . . . 163

6.3 Applications à la mécanique des structures : Barre soumise à son poids propre 164 6.3.1 Solution analytique. . . 166

6.3.2 Résolution par différences finies . . . 166

6.3.3 Méthodes de collocation . . . 168

6.3.4 Méthode de Galerkin. . . 172

x

6.3.5 De la méthode de Galerkin aux éléments finis . . . 177

6.3.6 Les éléments finis en mécanique des structures . . . 182

6.4 Élément fini de poutre de type Hermitte . . . 189

6.4.1 Approximation par éléments finis de type Hermitte . . . 190

6.4.2 Formulation de l’élément fini d’Hermitte en statique linéaire . . . 194

6.4.3 Vibrations libres en flexion . . . 197

6.4.4 Détermination des charges et modes de flambage . . . 204

6.5 Conclusions sur les approches numériques en mécanique des structures . . . . 207

7 Rappels - Éléments et Principes de la mécanique 209 7.1 Rappel sur les torseurs . . . 210

7.1.1 Définition d’un torseur . . . 210

7.1.2 Produit scalaire de deux torseurs . . . 211

7.1.3 Dérivation d’un torseur dans un repère mobile . . . 211

7.2 Calcul variationnel . . . 212

7.2.1 Extremum d’une intégrale . . . 213

7.2.2 Condition d’Euler-Lagrange . . . 214

7.2.3 Cas où la dérivée seconde intervient . . . 215

7.2.4 Importance des conditions aux limites . . . 215

7.2.5 Cas d’une fonctionnelle faisant intervenir des dérivées en temps et en espace . . . 216

7.2.6 Remarque : Indépendance des formes de y dans la fonctionnelle I . . . 217

7.3 Cinétique - Dynamique - Énergétique . . . 218

7.3.1 Moments et autres caractéristiques du mouvement des corps . . . 218

7.3.2 Théorème de Huygens-Koënigs . . . 220

7.3.3 Tenseurs d’inertie pour des géométries courantes . . . 220

7.3.4 Cinétique . . . 221

7.3.5 Dynamique . . . 224

7.3.6 Principe Fondamental de la Dynamique . . . 225

7.3.7 Théorème de l’énergie cinétique . . . 226

7.4 Principe des puissances virtuelles - P P V - et lien avec les autres principes de la mécanique . . . 226

7.4.1 Principe des Travaux Virtuels et Principe de Hamilton pour les systèmes discrets . . . 227

xi

7.4.2 Forme proposée par Lagrange pour les systèmes discrets . . . 230

7.4.3 Généralisation aux systèmes discrets non-conservatifs . . . 231

7.4.4 Principe de Hamilton pour les systèmes continus . . . 234

7.4.5 Liens avec le PPV/PTV, et le Principe de Hamilton dans les milieux continus . . . 238

7.5 Concepts de stabilité des équilibres . . . 241

7.5.1 Stabilité des équilibre . . . 241

7.5.2 Définition d’un équilibre . . . 242

7.5.3 Petites oscillations autour d’une configuration d’équilibre . . . 242

7.5.4 Stabilité d’un équilibre paramétrique . . . 243

7.5.5 Linéarisation des énergies . . . 245

8 Corrections des exercices et compléments des Chapitres 2, 4 et 5 247 8.1 Corrections des exercices du Chapitre 2 . . . 248

8.1.1 Tension 1 : exemple de base, page 49 . . . 249

8.1.2 Tension 2 : utilisation des continuités et discontinuités - § 2.2.1 page 50252 8.1.3 Flexion 1 : Flexion simple d’une poutre console , page 51 . . . 255

8.1.4 Flexion 2 : Flexion trois points, page 57 . . . 267

8.1.5 Flexion 3 : Flexion quatre points - Bernoulli, page 58. . . 277

8.1.6 Flexion 4 : Poutre d’égale résistance, page 59 . . . 283

8.1.7 Sollicitation composée, § 2.2.4 page 70 . . . 288

8.1.8 Torsion, § 2.2.5 page 70 . . . 295

8.2 Calculs complémentaires et corrections des exercices du Chapitre 4 . . . 299

8.2.1 Calcul du terme non-linéaire (rotations modérées) à partir des gradients de déplacement - équations 4.2 . . . 299

8.2.2 Exercices §4.1.2 page 98 : flambage d’une poutre droite . . . 300

8.2.3 Exercice §4.2.3 page 104 : vibrations libres d’une poutre droite en flexion simple . . . 305

8.3 Chapitre 5 : Plaque de Love-Kirchhoff en flexion - §5.2.6 page 145 . . . 308

8.3.1 Plaque circulaire sous chargement réparti . . . 308

8.3.2 Plaque carrée sous chargement réparti - approximation de Galerkin §5.2.6 page 146 . . . 311

1.

Théorie des poutres

Sommaire

1.1 Rappels de MMC . . . 2

1.2 Mécanique des structures et RdM . . . 3

1.2.1 Définition des structures . . . 3

1.2.2 Résistance des Matériaux . . . 4

1.2.3 Hypothèses des poutres . . . 5

1.3 Cinématique . . . 8

1.3.1 Cinématique associée à l’hypothèse de Navier . . . 8

1.3.2 Déplacement en tout point de la poutre . . . 9

1.3.3 Torseur des déformations . . . 14

1.3.4 Bilan de la cinématique de poutres . . . 15

1.4 Contraintes et déformations . . . 16

1.4.1 Torseur des efforts . . . 16

1.4.2 Énergie de déformation . . . 18

1.5 Élasticité. . . 19

1.5.1 Loi de comportement. . . 20

1.5.2 Conditions aux limites - 1^ère approche . . . 21

1.6 Méthode de résolution . . . 22

1.6.1 Équations d’équilibre intérieur d’un tronçon de poutre en 2D . 23 1.6.2 Équations d’équilibre intérieur par le Principe des Puissances Virtuelles . . . 25

1.6.3 Équilibre au bord - 2^nde approche des conditions aux ’limites’ . 30 1.6.4 Identification des efforts internes par transport des efforts exté- rieurs . . . 33

1.6.5 Calcul des déplacements et des rotations . . . 34

1.6.6 Calcul des états de contraintes . . . 35

1.7 Bilan de la théorie des poutres . . . 40

1

2 Chapitre 1. Théorie des poutres Dans ce chapitre, la théorie des poutres est présentée d’un point de vue général. Une grande partie des développements, notamment concernant la définition des grandeurs cinéma- tiques et statiques en 3D, est tirée du documentMécanique des milieux continus présenté en première année du cycle ICM de l’ÉNSM.SE par le professeur H.Klöcker (centre SMS).

1.1 Rappels de MMC

La mécanique des milieux continus permet de caractériser le comportement physique de milieux continus, solides ou fluides (schématisé Figure1.1), soumis à des sollicitations ex- térieures (forces de volume −→

f ou ponctuelles −→

F^d (ou forces surfaciques), ou déplacements

−

→u^d). Dans la résolution d’un problème, des équations d’équilibre définissent l’équilibre de tout élément de matière occupant un domaine Ω (Eq. 1.2). Sur ses frontières (∂Ω) le milieu est en contact avec l’extérieur. Dans le cas des solides (Figure1.1), ces contacts peuvent cor- respondre à desefforts imposés(sur∂Ω_F Eq.1.3) ou desdéplacements imposés(sur∂Ω_u Eq.1.1). Finalement, la loi de comportement (Eq. 1.4) permet de relier les 2 grandeurs duales que sont les contraintes, notées ici σ(−→x), et les déplacements dont dérivent les déformations, notées ici ε(−→x). Le problème est alors complètement posé (fermé) et peut être résolu, en utilisant les équations rappelées ci-dessous dans le cadre de la dynamique des milieux continus (Eqs 1.1 à 1.4).

Figure 1.1:Représentation générale d’un solide occupant un domaineΩ, de frontière∂Ωsoumis à des sollicitations extérieures.

On rappelle qu’un champ de déplacement vérifiant les conditions aux limites cinéma- tiques est ditcinématiquement admissible ou C.A.. Un champ de contraintes vérifiant les équations d’équilibre au bord ou conditions aux limites statiques et les équations d’équilibre intérieur est ditstatiquement admissible ouS.A.. On comprend bien alors que la résolution

1.2. Mécanique des structures et RdM 3 d’un problème posé en déplacements est plus simple car la famille de champs de déplacements C.A., à laquelle appartient la solution, est simple à poser. Par contre, résoudre un problème posé en contraintes est plus complexe puisque la famille des champs S.A, à laquelle le champ de contraintes solution appartient, doit vérifier à la fois les conditions aux limites statiques et les équations d’équilibre intérieur. Il est donc peu aisé de posera priorides familles de champs de contraintes solution.

1. Conditions aux limites cinématiques - champ C.A.

−

→u(−→x , t) =−→u^d(−→x , t) ,∀ −→x ∈∂Ωu (1.1) 2. Équilibre intérieur

∂σ_ij(−→x , t)

∂x_j +f_i^v(−→x , t) =ρ¨u_i(−→x , t) ,∀ −→x ∈Ω (1.2) 3. Équilibre au bord

σ_ij(−→x , t)n_j(−→x) =F_i^d(−→x , t) ,∀ −→x ∈∂Ω_F (1.3) 4. Loi de comportement

σ_ij =C_ijklε_kl (1.4)

1.2 Mécanique des structures et RdM

1.2.1 Définition des structures

La mécanique des structures se définit comme la mécanique des solides de dimensions finies où une des dimensions au moins est faible devant les autres. La mécanique des structures couvre donc un grand nombre de géométries dont les plus courantes sont les poutres (1D), les plaques et coques (2D), et les solides axisymétriques (2D) (Figure1.2). En observant la géométrie des structures étudiées, des hypothèses peuvent être faites quant à la cinématique qui prévaut dans ces solides. Toute la difficulté de ce type d’approche réside dans le choix judicieux de cette cinématique qui doit être suffisamment riche pour observer tous les phénomènes rencontrés durant l’utilisation des structures considérées, mais assez simple pour permettre des résolutions analytiques. Ce point sera vu en détail dans ce cours.

On peut remarquer que ces structures sont également utilisées dans les simulations numériques, telles que les simulations par éléments finis par exemple. Dans ce cas, comme lors de la résolution analytique d’ailleurs, les temps de calcul nécessaires à la résolution d’un problème sont amplement plus faibles que si le même problème était traité avec une approche de type MMC (3D dans un calcul par éléments finis).

4 Chapitre 1. Théorie des poutres

Figure 1.2: Type de structures

1.2.2 Résistance des Matériaux

La résistance des matériaux est un cadre restreint, mais utilisable pour la plupart des applications courantes, pour traiter des problèmes de mécanique des structures. Principa- lement, les hypothèses simplificatrices de la RdM portent sur des conditions de réversibilité et de linéarité. Les études en RdM sont conduites sous les hypothèses suivantes :

— cadre de l’HPP : petites déformations, petits déplacements (pas de flambage ou de striction par exemple),

— les matériaux constitutifs sont élastiques linéaires isotropes,

— les problèmes appartiennent au domaine de la statique, ou sont supposés quasi- statiques,

— principe de Saint-Venant : loin de son point d’application, une sollicitation ex- térieure peut être remplacée par son torseur équivalent,

— principe de superposition: quelque soit l’ordre d’application des efforts extérieurs sur un solide, l’état final est invariant.

Sous ces hypothèses, la RdM permet de traiter des problèmes de poutres, plaques, coques, ... Il faut maintenant introduire la notion de modélisation géométrique des solides. Ceci fait l’objet du paragraphe suivant qui traite plus particulièrement de la théorie des poutres.

1.2. Mécanique des structures et RdM 5

1.2.3 Hypothèses des poutres

Les hypothèses sur la géométrie des poutres permettent de représenter un solide 3D élancé par saligne moyenne. Ceci s’applique également aux plaques et coques où cette fois- ci l’épaisseur étant faible devant les autres dimensions le solide est remplacé par le feuillet moyencorrespondant.

Définition d’un poutre

Une poutre est un solide engendré par une aire planeS qui est déplacée dans l’espace, de sorte que durant son mouvement le centre de gravitéG de la section S parcourt une ligne donnée L, et que l’aire se maintienne constamment normale à cette surface (Figure 1.3). De plus, la section peut varier au cours de ce parcours, mais de façon continue, i.e. le profil ne doit pas présenter de discontinuités. La ligneL est appeléefibre moyenne de la poutre. Une poutre est dite :

— gauche si la ligne Lsuit une courbe gauche,

— plane si la ligneL suit une courbe plane,

— droite si la ligne L suit une droite.

Figure 1.3: Définition géométrique d’une poutre

Une poutre à plan moyen est une poutre dont la section S possède (au moins)un plan de symétrie. Cette hypothèse est finalement peu restrictive et permet de traiter de trés nombreux cas (Figure 1 page v) ; nous le verrons dans le Chapitre suivant. Enfin, si la fibre moyenne est une courbe fermée, on parlera d’anneau (les sections droites initiale et finale sont confondues).

Finalement, les hypothèses permettant de classifier un solide comme étant une poutre sont les suivantes :

6 Chapitre 1. Théorie des poutres

— un élancement de la poutre suffisant : L

sup{L2, L3} > 5 et L₂ L3

≤ 10 (L₂ et L₃ étant les dimensions caractéristiques respectivement selon les directions −→x₂ et −→x₃),

— un rayon de courbure de Lgrand devant les dimensions transversales,

— un profil sans discontinuité.

Remarque : des problèmes complexes associant un grand nombre de poutres ont été large- ment utilisés au cours des 2 derniers siècles. Ces structures sont dites structures réticulées outreillis, illustrées sur la Figure 1.4. Les cas les plus typiques sont par exemple la Tour Eif- fel, constituée de treillis à plusieurs échelles, imbriqués pour former des structures de plus en plus imposantes, et finalement constituant la Tour elle-même. De nombreux autres exemples d’application existent pour ces approches où des méthodes de calcul propres ont été dévelop- pées spécifiquement (méthode graphique de Crémona par exemple). Dans le cadre de cette introduction à la RdM, seules les poutres seront étudiées, offrant suffisamment d’exemples d’application pour donner une vision rapide mais détaillée de la RdM.

Figure 1.4: Exemples de structures réticulées.

Grandeurs physiques

La théorie élastique des poutres est basée sur celle des milieux curvilignes. Une position sur la poutre sera caractérisée uniquement par l’abscisse curvilignel d’un point sur la fibre moyenneL. Le reste de la géométrie, c’est-à-dire la sectionS, sera caractérisé en chaque pointG(x1) de la fibre moyenne, pour un matériau constitutif homogène, par :

— la section S de la poutre obtenue sous la forme : S(x₁) =

Z

S(x1)

ds= Z

S(x1)

dx₂dx₃

— des moments d’ordre1nuls puisque le point Gde la fibre moyenne est le centre de gravité de la section S :

Z

S(x1)

x₂ds = Z

S(x1)

x₃ds= 0

— des moments d’ordre 2, ou moments quadratiques (plans) : I₂(x₁) =

Z

S(x1)

x²₃ds et I₃ = Z

S(x1)

x²₂ds

1.2. Mécanique des structures et RdM 7

— un moment produit, différent de 0 pour les sections non-symétriques ou dont les axes de symétrie (−→x₂ ,−→x₃ ) ne sont pas confondus avec le repère global :

I₂₃(x₁) = Z

S(x1)

x₂x₃ds

— un moment de giration ou moment quadratique polaire : I₀(x₁) =

Z

S(x1)

(x²₂+x²₃)ds=I₂(x₁) +I₃(x₁)

Par exemple, pour une sectionS circulaire, de rayon R, on a I₂ =I₃ = ^πR₄⁴ etI₂₃ = 0, tandis que pour une section rectangulaire, de hauteur L₂ et largeur et L₃, on a I₂ = ^L2₁₂^L33, I₃ = ^L₁₂^32L3 et I₂₃= 0.

Repère de Frenet

Dans le cas général d’une poutre paramétrée par son abscisse curviligne s, on peut définir pour des raisons de commodité un trièdre direct, le repère de Frenet(−→τ ,−→n ,→−

b)(Table 1.1). Les grandeurs locales peuvent être exprimées dans ce repère, et les dérivations locales suivent les règles indiquées ci-après, avec les rayons de courbures R₁ et R₂ définis dans les plans (M,−→τ ,−→n) et (M,−→τ ,−→

b ) respectivement.

d−→τ ds =−→

τ⁰ =

−

→n R₁ d−→n

ds =−→ n⁰ =−

−

→τ R₁ −

−

→b R₂ d−→

b ds =−→

b⁰ =

−

→n R₂

n M b

t

Repère de Frenet.

Table 1.1: Définition du repère de Frenet pour une abscisse courantes.

Avertissement : Dans la première partie de ce cours, nous établirons les équations dans le cas plus particulier despoutres où les courbures restent faibles. L’extension, aux poutres quelconques, de la théorie développée ici passe par le prise en compte des courbures dans la dérivation des grandeurs cinématiques et statiques par rapport à l’abscisse curvilignes, selon les règles rappelées ci-dessous (Eq. 1.5). Ceci ne modifie pas fondamentalement les résultats présentés dans cette première partie, mais introduit une complexité qui n’est pas nécessaire pour poser les bases des théories de poutre ; cette complexité apparaît dans les couplages des comportements, tels que le couplage traction-flexion par exemple dans les poutres courbes. Il en est de même pour les coques vis-à-vis des plaques.

8 Chapitre 1. Théorie des poutres

d ds







−

→τ

−

→n

−

→b





=















0 1

R₁(s) 0

− 1

R₁(s) 0 − 1 R₂(s)

0 1

R₂(s) 0















·







−

→τ

−

→n

−

→b





 (1.5)

1.3 Cinématique

Dans ce document, nous nous limiterons à la cinématique des déplacements issue de l’hypothèse de Navier (C. Navier, 1785-1836). D’autres cinématiques existent, elles sont dites ’enrichies’ et répondent à une besoin de précision accrue dans la prise en compte du cisaillement notamment. Certaines de ces théories sont présentées dans le cas spécifique des matériaux composites, au Chapitre 5 du support de cours ’Mécanique des Composites Hautes Performances’ disponible à l’adresse https://www.emse.fr/~drapier/index_fichiers/

CoursPDF/Composites/Composites-SDrapier-2021.pdf.

1.3.1 Cinématique associée à l’hypothèse de Navier

Selon l’hypothèse de Navier,au cours de la déformation de la poutre, la section droite S reste droite, i.e. elle ne subit aucun gauchissement. Une telle déformation des sections correspondrait à les faire travailler dans leur plan (G,−→x₂,−→x₃) normale à la direction −→x₁ - cf Figure1.5. Les poutres étant des structures élancées, ce type de déformation est exclu des théories de poutres et correspondrait à la déformation d’un solide au sens classique.

(a) (b)

Figure 1.5: Hypothèse cinématique de Navier : (a) mise en situation, et (b) gauchissement d’une section en torsion et comportement sous l’hypothèse de Navier.

Cette section S(x₁) qui se comporte comme un corps rigide subit donc :

1.3. Cinématique 9 selon −→x₁ selon −→x₂ ou−→x₃

tension - u₁(x₁) déflexion(s) - u_2,3(x₁)

Membrane

torsion - r₁(x₁) flexion(s) - r_2,3(x₁)

Courbure

Table 1.2: Synthèse des cinématiques vues par les sections de poutres dans l’hypothèse de Navier

— un mouvement de corps rigide,

— une déformation dans son plan.

1.3.2 Déplacement en tout point de la poutre

Partant de cette hypothèse, il est facile d’envisager les mouvements relatifs de sections voisines, comme on travaille en MMC sur les déplacements différentiels entre particules voi- sines. Les sections de poutre peuvent donc se déplacer entre elles, mais également tourner, ce que ne peuvent faire des particules dans un cadre cinématique standard. La Table1.2synthétise ces mouvements relatifs mesurés aux centres de gravité des sections selon les axes du repère local (G,−→x1,−→x2,−→x3) et indique sous quelles sollicitations ces mouvements vont se produire - cf Figure1.2-a. On distingue alors 2 types de mouvements et sollicitations : les déplacements relatifs qui vont induire des cinématiques dites de membrane, n’impliquant que des mouve- ments de coprs rigide des sections, et des rotations relatives qui induisent des cinématiques ditesde courbureouflexionoù les pointsM des sections vont s’éloigner proportionnellement à cette rotation. Ceci est décrit en détails ci-dessous.

10 Chapitre 1. Théorie des poutres Finalement, les mouvements de corps rigide des sections se traduisent par un vecteur déplacements −→u(−→x) et un vecteur rotations −→r(−→x) mesurés au centre de gravité de toute sectionS(x1), comme illustré sur la Figure 1.6-b. Le déplacement d’un point M de la section S (−−→

GM = x2−→x2 +x3−→x3) va donc être composé d’un déplacement −→u(−→x), comme tous les autres points de cette même section, mais aussi d’un déplacement complémentaire induit par la rotation −→r (−→x) de la section, proportionel à la distance de M par rapport au centre de rotationG :

−−−−−→

u(M, x₁) =−→u_M(x₁) = −−→

u(G)(x₁) +−−→

M G∧−−→

r(G)(x₁)

= −→u(x1) +−−→

M G∧ −→r(x1)

(a) (b)

Figure 1.6:Déplacement relatifs des sections : (a) mise en situation, et (b) quantités cinéma- tiques mesurées au centre de gravité et en tout point de la sectionS(x₁)

Torseur de déplacement

Cette cinématique peut encore se mettre sous la forme dutorseur des déplacements exprimé au pointG. Un rappel sur les torseurs est proposé en Annexe (page210). En quelques mots, un torseur est un être mathématique typique d’une théorie de structure, où la géométrie intervient dans la définition des quantités propres au problème (quantités cinématiques ici). La manipulation de ces quantités se fait plus aisément sous la forme d’un torseur qui se définit par ses éléments de réduction, une grandeur vectorielle appelée résultante et le vecteur momentcorrespondant. Un torseur{τP}_(P,R) se définit donc en un pointP et dans un repère (R) par ses éléments de réduction,−→

R_P et −→

M_P ; on l’écrit : {τ_P}_(P,R)=

(−→ R_P

−→ M_P

)

(P,R)

(1.6)

La propriété essentielle d’un torseur est que son expression dépend du point où il est considéré.

Notamment, son moment s’exprime, en un pointApar exemple, comme la somme du moment

1.3. Cinématique 11 au point d’origine (−→

MP ici) et de la contribution de la résultante au point d’origine (−→ RP ici) transportée en ce point :

−→ M_A(^−→_R

P)=−→

M_P +−→

AP ∧−→

R_P (1.7)

Dans le cas de la cinématique des poutres, le torseur cinématique aura comme éléments de réduction au centre de gravitéGles vecteurs−→u et−→r représentant respectivement le déplacement et la rotation de la section S mesuré en ce point :

{U_M(x₁)}=

(−→r(x₁)

−→u_M(x₁) = −→u(x₁) +−−→

M G∧ −→r(x₁) )

(M)

(1.8) On voit ici l’intérêt de la théorie des poutres, où le déplacement d’un pointM = (x₁, x₂, x₃) quelconque de la poutre s’exprime complètement à partir des déplacements et rotations du centre de gravitéG= (x1,0,0)de la sectionS contenant ce point. Les déplacements de tous les points de ce solide 3D sont donc représentés par les déplacements et les rotations des centres de gravité, ramenant leproblème tridimensionnelà unemodélisation unidimensionnelle.

Dans l’hypothèse des petites perturbations le vecteur−−→

GM (position d’un point courant par rapport au centre de gravité de la section) est contenu, avant et après déformation, dans le plan formé par les vecteurs−→x₂ et−→x₃ portés par la sectionS (Figure 1.6-b). Les composantes du vecteur−→u_M s’écrivent donc dans le repère local de la section S :

−

→u_M =

u1

u2

u₃ +

r2x3 −r3x2

−r1x3

r₁x₂

Cette cinématique est illustrée dans un cas plan dans la Figure 1.7-a page 12.

Tenseur des déformations dans une poutre droite

Dans l’hypothèse des petites perturbations, on calcule le tenseur des déformations au point M, ε

M(x1), comme la partie symétrique du tenseur gradient des déplacements en ce point,d

M(x₁)(Eq.1.9). Comme les vecteurs−→u et−→r s’appliquent au pointGde la sectionS, et donc sur la ligne L, ils ne dépendent que de l’abscisse curvilignel sur cette ligne. Les seuls gradients non nuls pour ces vecteurs sont donc ceux mettant en jeu la première coordonnée x₁, tandis que la dépendance enx₂ et x₃ est donnée explicitement par l’équation précédente.

Dans la suite, nous noterons ⁰ la dérivée de toute quantité par rapport à la première coordonnée. Ceci permet d’écrire :

dM(x₁) =







u⁰₁+r⁰₂x₃−r⁰₃x₂ −r₃ r₂ u⁰₂−r₁⁰x₃ 0 −r₁ u⁰₃+r⁰₁x₂ r₁ 0





 (1.9)

On peut remarquer dans cette équation que les dérivée mises en jeu sont des dérivées totales, résultant de la formulation unidimensionnelle de la cinématique de poutre. Mais dans

12 Chapitre 1. Théorie des poutres le cas d’une poutre courbe par exemple, ces dérivées devront prendre en compte le fait que le repère (−→x₁,−→x₂,−→x₃) "tourne" lorsque l’on parcourt la fibre moyenne L. La cinématique est générale, mais la formulation par élément de longueur de la poutre nécessitede prendre en compte les courbures, tel que dans le repère deFrénet.

À partir du tenseur gradient des déplacements d

M(x₁), on peut maintenant obtenir le tenseur des déformations ε

M(x₁) par sa partie symétrique. On constate que ce tenseur ne possède que trois termes non nuls qui sont une déformation normale (ε₁₁) et 2 glissements qui sont le double des cisaillements entre deux sections voisines (2ε₁₂,2ε₁₃ - Figure 1.7) : À partir du tenseur gradient des déplacements ci-dessus (Eq. 1.9), on peut maintenant obtenir le tenseur des déformationsε

M(x₁)par sa partie symétrique. On constate que le tenseur ainsi formé ne possède que trois termes non nuls (prédominants en tous cas ; nous allons montrer que ce sont les seuls non-négligeables). Ce sont une déformation normale (ε11) et 2 glissements qui sont le double des cisaillements entre deux sections voisines (2ε₁₂,2ε₁₃ - Figure1.7; aussi appelés cisaillement au sens de l’ingénieur) :

εM =







ε₁₁=u⁰₁+r⁰₂x₃−r⁰₃x₂ ε₁₂ ε₁₃ ε₁₂= ¹₂(u⁰₂−r₁⁰x₃−r₃) ε₂₂ =−_2(λ+µ)^λ ε₁₁ ε₂₃= 0 ε₃₁= ¹₂(u⁰₃+r₁⁰x₂+r₂) ε₂₃ = 0 ε₃₃=−_2(λ+µ)^λ ε₁₁





 (1.10)

Le mouvement de corps rigide de la section S ne produit donc pas directement de déformations dans le plan de cette section : comme nous l’avons vu (Figure1.5-b), la section ne peut "s’écraser" ni se cisailler dans son plan. Les seules déformations existantes correspondent au déplacement relatif des sections d’abscisses curvilignes consécutives (Figure 1.7-b).

(a) (b)

Figure 1.7:Déplacements (a) et déformations (b) dans les sections pour le plan (G,−→x₁−→x₂).

Déformation dans le plan de S

Le plan de la sectionS contient les vecteurs −→x₂ et −→x₃. Il s’ensuit qu’une déformation dans son plan (une déformation plane) ne produira que des déformations ε₂₂, ε₂₃ et ε₃₃. Ces

1.3. Cinématique 13 déformations doivent permettre de satisfaire les conditions aux limites au bord de la section. En effet, sur ces bords libres de contraintes extérieures, on doit vérifier que le vecteur contrainte relatif à la normale sortante à la section soit nul. Dans le cas d’une section prismatique, les vecteurs contraintes par rapport aux normales −→x2 et −→x3 sont bien nuls (σ · −→n(−→x) = −→

0) (Figure 1.8). Cette condition conduit à σ₂₂=σ₂₃=σ₃₃= 0 en x₂ =±^L₂² ∩x₃ =±^L₂³. On a égalementσ₁₂= 0 sur la face de normale−→x₂ etσ₁₃= 0 sur la face de normale−→x₃. Toutefois ces dernières conditions sont difficilement vérifiables avec les théories classiques des poutres, mais sont acceptables dans les cas les plus courants comme nous le verrons sur un exemple en TD dans le chapitre 2.

Figure 1.8: Illustration des contraintes normales nulles sur les faces d’une poutre à section prismatique.

Dans le cas de poutres homogènes, on fait souvent l’hypothèse que les contraintesσ₂₂, σ₃₃ et σ₂₃ sont nulles dans toute la section S. Pour cette composante du cisaillement, cette condition est bien vérifiée pour un matériau isotrope (σ₂₃ ⇔ ε₂₃ = 0). Pour les contraintes normales, ceci peut se justifier compte-tenu de l’épaisseur et de la largeur de la section qui sont des dimensions faibles. Les contraintes étant nulles sur les bords, elles ne peuvent se développer sur des dimensions aussi faibles, et sont donc également nulles à l’intérieur de la section. En considérant un matériau à comportement élastique isotrope, cette hypothèse nous donne les valeurs suivantes pour les déformations dans la section S (λ et µ (ou G) sont les coefficients de Lamé du matériau¹) :







2µε22+λ(ε11+ε22+ε33) = 0 2µε₂₃= 0

2µε₃₃+λ(ε₁₁+ε₂₂+ε₃₃) = 0

⇒

(ε₂₃ = 0

ε₂₂ =ε₃₃=−_2(λ+µ)^λ ε₁₁

On constate que, dans ce cas, les déformations normalesε₂₂etε₃₃ de la sectionS dans son plan sont complètement déterminées à partir de la composante ε₁₁ calculée à partir de son mouvement de corps rigide. Ces déformations résultent uniquement de l’effet de Poisson

1. σij = 2µεij+λεppδij etεij = ^1+ν_E σij−_E^νσppδij avecE le module d’Young etG(ouµ) le module de cisaillement du matériau isotrope

14 Chapitre 1. Théorie des poutres induit par des déformations normalesε₁₁, et sont donc faibles puisque la plus grande dimension de la section doit être au plus de ₁₀¹ de la longueur de la poutre, soit pour un matériau courant (ε22, ε33) ' ^{ν sup(L}_L^2,L3) < ₁₀₀³ . Ces déformations sont donc bien négligeables devant les déformations engendrées par le déplacement relatif des sections (ε11,ε12,ε13). C’est là tout l’intérêt de la théorie des poutres qui permet de simplifier considérablement les problèmes à résoudre, les ramenant du 3D au 1D.







ε₁₁ =u⁰₁ +r₂⁰x₃−r₃⁰x₂ 2ε₁₂ =u⁰₂−r₁⁰x₃−r₃ 2ε₁₃ =u⁰₃+r⁰₁x₂+r₂

Degrés de liberté

Les résultats précédents nous montrent que le mouvement du solide peut être com- plètement déterminé à partir des vecteurs −→u et −→r de la Figure 1.6. La cinématique des déplacements ainsi mise en place permet de concentrer les inconnues du problème sur la fibre moyenne L de la poutre. Le solide tridimensionnel est remplacé par la ligne L. Chaque point de la ligne dispose de six degrés de libertés au lieu de trois (les déplacements dans les trois directions). Ces six degrés de liberté sont :

— les déplacements dans les trois directions du pointG de la ligne L, représentés par le vecteur −→u, de composantes u₁,u₂ et u₃,

— la rotation de la section S, représentée par le vecteur rotation−→r, de composantes r₁, r₂ et r₃, appliqué au point G.

1.3.3 Torseur des déformations

Les hypothèses faites sur la cinématique des déplacements dans la poutre nous conduisent au tenseur symétrique suivant des déformations en un point M quelconque d’une sectionS :

εM =









cccε₁₁=u⁰₁+r₂⁰x₃−r₃⁰x₂ ε₁₂ ε₁₃ ε₁₂= ¹₂(u⁰₂−r⁰₁x₃−r₃) ε₂₂=

−_2(λ+µ)^λ ε₁₁:^'0 ε₂₃ = 0 ε₃₁ = ¹₂(u⁰₃+r⁰₁x₂+r₂) ε₂₃= 0 ε₃₃ =

−_2(λ+µ)^λ ε₁₁:^'0









Ce tenseur des déformations ne comporte que trois termes indépendants :ε₁₁, ε₁₂ et ε₁₃. En RdM, ces termes sont associés sous la forme d’un vecteur−e→_M, appelévecteur déformation:

−→ e_M(x₁) =







ε₁₁(M, x₁) 2ε12(M, x1) 2ε13(M, x1)







1.3. Cinématique 15 Le vecteur −e→_M contient une dilatation dans la direction de la fibre moyenne comme premier terme, puis des glissements (doubles des cisaillements entre deux sections voisines).

Il représente la déformation du milieu curviligne au point M. Cette déformation peut à son tour être exprimée en fonction d’une déformation −→e dite de membrane et d’un gradient de rotation appelé courbure −→κ au point Gsous la forme :

−→

e_M(x₁) =−→e(x₁) +−−→

M G∧ −→κ(x₁)

où−→e et−→κ, éléments de réduction de la déformation au point GdeS, constituent letorseur des déformationsdéfini par :

−

→e(x₁) =−→u⁰(x₁) +−→x₁∧ −→r(x₁) =





 u⁰₁ u⁰₂−r₃ u⁰₃+r₂





 et −→κ(x₁) =−→r⁰(x₁) =





 lr₁⁰

r₂⁰ r₃⁰





 (1.11)

ce qui peut encore s’écrire de façon similaire au déplacement en un pointM de la section (Eq.

1.8) :

{ε_M(x₁)}=

(−→κ(x₁)

−→

eM(x1) =−→e(x1) +−−→

M G∧ −→κ(x1) )

(M)

1.3.4 Bilan de la cinématique de poutres

— déplacements :

{U_M(x₁)}=

(−→r(x₁)

−→u_M(x₁) =−→u(x₁) +−−→

M G∧ −→r(x₁) )

(M)

— déformations :

{ε_M(x₁)}=



















−

→κ(x₁)

−→

e_M(x₁) = −→e(x₁) +−−→

M G∧ −→κ(x₁)

=





 u⁰₁ u⁰₂−r₃ u⁰₃+r₂





+





 0

−x₂

−x₃

∧ r⁰₁ r⁰₂ r⁰₃

























(M)

On peut remarquer que l’écriture avec des torseurs permet également d’écrire directement les déformations par dérivation du torseur cinématique{ε_M}= d

dx1

{U_M}, voir Eq. 7.2 ’Rappel sur les torseurs’ page210.

16 Chapitre 1. Théorie des poutres

1.4 Contraintes et déformations

1.4.1 Torseur des efforts

L’hypothèse deSaint-Venant, présentée précédemment, consiste à supposer que loin de leur point d’application les efforts agissant sur S peuvent être schématisés par le torseur des efforts équivalent {τ(x1)}, dont les éléments de réduction sont une force −→

R(x1) et un moment −→

M(x1), appliqués au centre de gravité G de S (Figure 1.9). Dans le cas d’efforts extérieurs appliqués à la poutre, à l’abscisse x_i, le torseur des actions extérieur peut par exemple (Figure1.9) être :

{F(x_i)}= (−→

R(x_i)

−→ M(x_i)

)

(Gi)

(1.12)

Figure 1.9: Illustration du principe de Saint-Venant : (a) chargement sur la poutre, et (b) torseur équivalent sur la ligne moyenne.

Pour les efforts intérieurs, les éléments de réduction se déduisent naturellement de l’intégration des contraintes induites par les sections voisines sur la sectionSconsidérée (Figure 1.10). D’après les hypothèses faites sur les contraintes dans le plan d’une section S, les seules contraintes non nulles dans le solide sontσ₁₁,σ₁₂etσ₁₃. En RdM, ces contraintes sont associées dans un vecteur −→

t_M, appelé vecteur contrainte, qui représente les efforts de cohésion ou efforts intérieurs. Par convention, on définit ces efforts internes entre 2 sections voisines, comme les efforts exercés par une section de gauche (S−) sur une section de droite (S+) (Figure 1.10) en comptant les abscisses curvilignes croissantes selon −→x₁ :

−→ t_M(x₁) =







σ11(M, x1) σ₁₂(M, x₁) σ₁₃(M, x₁)







Comme la normale à S est le vecteur −→x₁ (dans le cadre des petites perturbations la configuration finale est confondue avec la configuration initiale), on peut remarquer que

1.4. Contraintes et déformations 17 le vecteur contrainte −→

t_M(x₁) coïncide avec celui défini en mécanique des milieux continus, agissant sur un élément de surface contenu dansS.

Figure 1.10: Définition des efforts intérieurs, torseur des efforts intérieurs.

Dans le cas des efforts intérieurs à la poutre, les efforts agissant sur S résultent de l’intégration du vecteur contrainte sur la section, et sont appelées contraintes généralisées.

On distingue les contraintes généralisées de membrane et de flexion résultant respectivement de l’intégration des contraintes sur la section et de l’intégration des contraintes prenant en compte l’éloignement du point considéré par rapport au centre de gravité de la section. Les efforts de membrane sont définis ci-dessous par les relations1.13 et sont illustrés sur la Figure 1.11 :

−

→R(x₁) = Z

S(x1)

−→ t_M(x₁)ds

=



















effort NORMAL : N(x₁) = Z

S(x1)

σ₁₁(M, x₁)ds effort TRANCHANT / −→x₂ : T₂(x₁) =

Z

S(x1)

σ₁₂(M, x₁)ds effort TRANCHANT / −→x₃ : T₃(x₁) =

Z

S(x1)

σ₁₃(M, x₁)ds

(1.13)

Figure 1.11: Contraintes généralisées de membrane.

18 Chapitre 1. Théorie des poutres Les moments sont définis par les relations 1.14 et illustrés sur la Figure 1.12 :

−→

M(x₁) = Z

S(x1)

−−→GM∧−→ t_M(x₁)ds

=



















moment de TORSION : M_t(x₁) = Z

S(x1)

(x₂σ₁₃(M, x₁)−x₃σ₁₂(M, x₁))ds moment de FLEXION / −→x₂ : M_f2(x₁) =

Z

S(x1)

x₃σ₁₁(M, x₁)ds moment de FLEXION / −→x₃ : M_f3(x₁) =

Z

S(x1)

−x₂σ₁₁(M, x₁)ds

(1.14)

Figure 1.12: Contraintes généralisées de flexion.

Finalement, le torseur des efforts intérieurs s’écrit en fonction de l’abscisse du point considéré le long de la ligne moyenne G(x₁):

{τ(x₁)}_(G) =























−

→R(x1) =







N(x₁) T₂(x₁) T₃(x₁)







−→ M(x₁) =







M_t(x₁) M_f2(x₁) M_f3(x₁)





























(G)

1.4.2 Énergie de déformation

En élasticité, l’énergie de déformation du solide de volume V peut s’écrire W =

1 2

R

V σ(−→x) :ε(−→x)dv. En RdM, puisque les hypothèses portant sur la géométrie et la ciné- matique ont conduit à formuler un problème purement unidimensionnel, cette énergie peut être écrite simplement à l’aide des composantes des torseurs des efforts et des déformations.

En effet, en utilisant la définition des vecteurs déformation −e→_M(x₁) et contrainte −→

t_M(x₁), on obtient :

1.5. Élasticité 19

W(−→u(−→x)) = ¹₂ Z

V

σ(−→x) :ε(−→x)dV = 1 2

Z

L

Z

S

σ(−→x) :ε(−→x)dsdl

= ¹₂ Z

L

Z

S

−→

t_M(x₁).−e→_M(x₁)dsdl

= ¹₂ Z

L

Z

S

−→

t_M(x₁).(−→e(x₁) +−→κ(x₁)∧−−→

GM)dsdl

= 1 2

Z

L

−→e(x₁).

Z

S

−→

t_M(x₁)ds+−→κ(x₁).

Z

S

−−→GM ∧−→ t_M(x₁)ds

dl

↓ (par définition des éléments de réduction)

= 1 2

Z

L

(−→

R(x1).−→e(x1) +−→

M(x1).−→κ(x1))dl

(1.15)

Ceci montre que les forces −→

R(x₁) agissant sur la fibre moyenne L sont associées à la déformation−→e(x₁)de membrane, tandis que les moments−→

M(x₁)sont associés à sa courbure

−

→κ(x₁)(gradient de la rotation). Cette dualité résulte de l’intégration des grandeurs physiques sur la section S(x₁) de la poutre, et reste également valable dans les structures de type plaques et coques. On trouvera dans certaines approches de la mécanique des structures, ces grandeurs appelées contraintes généralisées pour le torseur des efforts et déformations généralisées pour le torseur des déformations. L’énergie de déformation de la poutre (Eq.

1.16) peut s’écrire en utilisant le produit scalaire de torseurs définit par la somme des produits croisés des éléments de réduction des torseurs considérés, dépendant seulement de la position x₁ (voir Eq.7.1 dans ’Rappel sur les torseurs’ page210) :

W(−→u(x₁)) = 1 2

Z

L

{τ(x₁)} · {ε(x₁)}dl

= 1 2

Z

L

(N u⁰₁+T₂(u⁰₂−r₃) +T₃(u⁰₃+r₂) +M_tr⁰₁+M_f2r₂⁰ +M_f3r₃⁰)dl (1.16)

1.5 Élasticité

La RdM peut s’appliquer à beaucoup de matériaux constitutifs différents. Généralement, en première approximation les matériaux sont supposés homogènes élastiques linéaires isotropes (HELI). Laloi de comportementpermet de relier les contraintes aux déformations, dernier élément nécessaire à la résolution de tout problème en mécanique. Le cadre de la statique sera adopté ici (^∂σij_∂x^{(−→x ,t)}

j +fi(−→x , t) = 0).