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Partie : Un cas particulier

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Texte intégral

(1)

TD

24/2/2015

Dans tout le problème,Ndésigne un entier naturel xé supérieur ou égal à2, etpun réel xé de l'intervalle]0,1[. on poseq= 1−p. Soitnun entier naturel quelconque.

Dans une population de N individus, on s'intéresse à la propagation d'un certain virus. Chaque jour, on distingue dans cette population trois catégories d'individus : en premier lieu, les individus sains, c'est-à-dire ceux qui ne sont pas porteurs du virus, ensuite les individus qui viennent d'être contaminés et qui sont inoensifs pour les autres, et enn, les individus contaminés par le virus et qui sont contagieux.

Ces trois catégories évoluent jour après jour selon le modèle suivant :

â Chaque journ, chaque individu sain peut-être contaminé par n'importe lequel des individus contagieux ce jour avec la même probabilitép, ces contaminations éventuelles étant indépendantes les unes des autres.

â un individu contaminé le journdevient contagieux le journ+ 1 â Chaque individu contagieux le journredevient sain le journ+ 1. On noteXnle nombre aléatoire d'individus contagieux le journ.

On remarquera que si, pour un certain entier natureli, on aXi= 0, alors on a aussiXi+1= 0

Les variablesX0, X1, . . . , Xn, . . . sont supposés dénies sur un même espace probabilisé(Ω,A, P)etE(Xn)désigne, pour toutn deN, l'espérance deXn.

1

re

Partie : Un cas particulier

Dans cette partie uniquement, on suppose que l'on aN= 3etp= 1/3. On considère les matricesSetRsuivantes :

S=

9 4 4 9 0 4 5 0 0 1 0 0 0 0 0 0

, R=

0 1 −6 1

1 0 5 0

−1 0 1 0

0 −1 0 0

L'ensemble des matricesM4,1(R)des matrices colonnes à quatre lignes est confondu avec l'espace vectorielR4. 1) Montrer que la matriceRest inversible et calculer son inverseR−1.

Notons B0 = (u1, u2, u3, u4) les vecteurs représentés par les colonnes de R dans la base canoniqueB= (e1, e2, e3, e4).

La matrice R est inversible si et seulement si (u1, u2, u3, u4) est une base et dans ce cas, R−1 = P ass(B0,B). Nous allons donc chercher à exprimer les vecteurs de B en fonctions des vecteurs de B0.





u1 = e2−e3

u2 = e1−e4

u3 = −6e1+ 5e2+e3 u4 = e1

⇐⇒





e1 = u4

e4 = −u2+u4 u3 +u1+ 6u4 = 6e2 u3 −5u1+ 6u4 = 6e3

⇐⇒













e1 = u4 e2 = 1

6(u3 +u1+ 6u4) e3 = 1

6(u3 −5u1+ 6u4) e4 = −u2+u4

(2)

AinsiR est inversible et R−1 = 1 6

0 1 −5 0 0 0 0 −6 0 1 1 0 6 6 6 6

2) a. Déterminer les valeurs propres deS.

Soit λ ∈R. λ est valeur propre deS si et seulement si S−λI4 est non inversible. On s'intéresse donc au rang deS−λI4.

9−λ 4 4 9

0 4−λ 5 0

0 1 −λ 0

0 0 0 −λ

9−λ 4 4 9

0 1 −λ 0

0 4−λ 5 0

0 0 0 −λ

L2 ←→L3

9−λ 4 4 9

0 1 −λ 0

0 0 5 + 4λ−λ2 0

0 0 0 −λ

L3−(4−λ)L2 →L3

Cette dernière matrice est triangulaire. Elle est non inversible si et seulement si l'un de ses coecients diagonaux est nul, c'est-à-dire pour les valeurs λ = 0 ou λ = 9 ou λ=−1ou λ= 5.

Ainsi, les valeurs propres de S sont 0,9,−1,5.

b. DiagonaliserS

Pour chacune des valeurs propres de S, on va rechercher Ker(S−λI4) en utilisant le système issu de la manipulation précédente.

(3)

â λ= 0. Soit X =

 x y z t

∈R2.

X ∈Ker(S) ⇐⇒

9x+ 4y+ 4z+ 9t = 0

y = 0

5z = 0

⇐⇒

x+t = 0

y = 0

z = 0

⇐⇒ X =

 x 0 0

−x

Ainsi, Ker(S) = Vect

 1 0 0

−1

= Vect(u2)

â λ=−1. Soit X =

 x y z t

∈R2.

X ∈Ker(S+I4) ⇐⇒

10x+ 4y+ 4z+ 9t = 0

y+z = 0

t = 0

⇐⇒

t = 0 y = −z x = 0

⇐⇒ X =

 0 y

−y 0

Ainsi, Ker(S+I4) = Vect

 0 1

−1 0

= Vect(u1)

(4)

â λ= 5. Soit X =

 x y z t

∈R2.

X ∈Ker(S−5I4) ⇐⇒

4x+ 4y+ 4z+ 9t = 0

y−5z = 0

−5t = 0

⇐⇒

t = 0 y = 5z x = −6z

⇐⇒ X =

−6z 5z

z 0

Ainsi, Ker(S−5I4) = Vect

−6 5 1 0

= Vect(u3)

â λ= 9. Soit X =

 x y z t

∈R2.

X ∈Ker(S−5I4) ⇐⇒





4y+ 4z+ 9t = 0 y−9z = 0

−50z = 0

−9t = 0

⇐⇒ y=z =t = 0

⇐⇒ X =

 x 0 0 0

Ainsi, Ker(S−9I4) = Vect

 1 0 0 0

= Vect(u4)

Comme S admet quatre valeurs propres distictes, elle est diagonalisable. On note B0 la base de vecteurs propres obtenues dans la quetion précédente, et on remarque alors

(5)

que la matriceR donnée est la matrice de passage de B à B. Ainsi

D=

−1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 9

=R−1SR

c. En déduire, pour toutndeN, l'expression deSnen fonction den. (on poseS0=I4)

Soit n≥1. On a :

Sn= (RDR−1).(RDR−1). . . .(RDR−1)

| {z }

n fois

=RDnR−1

=

0 1 −6 1

1 0 5 0

−1 0 1 0 0 −1 0 0

(−1)n 0 0 0

0 0 0 0

0 0 5n 0 0 0 0 9n

 1 6

0 1 −5 0 0 0 0 −6

0 1 1 0

6 6 6 6

= 1 6

0 0 −6.5n 9n (−1)n 0 5n+1 0

−(−1)n 0 5n 0

0 0 0 0

0 1 −5 0 0 0 0 −6 0 1 1 0 6 6 6 6

= 1 6

6.9n −6.5n+ 6.9n −6.5n+ 6.9n 6.9n 0 (−1)n+ 5n+1 5.(−1)n+1+ 5n+1 0 0 (−1)n+1+ 5n 5.(−1)n+ 5n 0

0 0 0 0

3) Soitnun entier xé deN.

a. Déterminer la loi de probabilité deXn+1sachant l'évènement[Xn= 0].

Lorsqu'il y a aucun indinvidu contagieux à l'instantnalors le virus ne se transmet plus et on aXn+1 = 0.

Ainsi Sachant [Xn= 3], Xn+1 suit une loi certaine égale à0.

b. Déterminer la loi de probabilité deXn+1sachant l'évènement[Xn= 3].

Lorsque tous les individus sont contagieux à l'instantn alors personne n'est à nouveau contaminé à l'instant n+ 1 et tous les malades sont guéris à l'instant n+ 1 et on a Xn+1 = 0.

Ainsi Sachant [Xn= 3], Xn+1 suit une loi certaine égale à0.

c. Vérier que la loi de probabilité deXn+1sachant l'évènement[Xn= 1](resp.[Xn= 2]) est la loi binomiale de paramètre (2,13)(resp.(1,59)).

â Sachant Xn = 1, l'individu contagieux sera guéri à l'instant n + 1 et les deux autres ont pu être contaminés à l'instant n (et être à leur tour contagieux à l'instant n+ 1). Chacun a pu être contaminé par l'individu contagieux avec une

(6)

probabilitép= 1/3.

Ainsi, Sachant[Xn= 1],Xn+1 ,→ B(2,13)

â Sachant Xn = 2, les deux individus contagieux seront guéris à l'instant n + 1 et le dernier a pu être contaminé à l'instant n (et être à son tour contagieux à l'instant n + 1). La probabilité de ne pas avoir été contaminé par un individu est 2/3, comme les contaminations sont indépendantes, le fait de ne pas l'avoir été par les deux contagieux est 4/9. Cet individu a dont été contaminé avec la probabilité5/9.

Ainsi, Sachant[Xn= 2],Xn+1 ,→ B(1,59)

4) Pour tout entier natureln, on considère le vecteurUndeR4déni par :

Un=

un

vn

wn

tn

=

P([Xn= 0]) P([Xn= 1]) P([Xn= 2]) P([Xn= 3])

a. Déterminer une relation entreun, vn, wnettn.

Comme les évènements ([Xn = i])0≤i≤3 forment un sytème complet d'évènements, on a :

un+vn+wn+tn= 1

b. A l'aide de la formule des probabilités totales, déterminer une matrice M de M4(R) indépendante de n, telle que Un+1=M Un

Soit i ∈ J0,3K. Comme les évènements ([Xn = i])0≤i≤3 forment un sytème complet d'évènements, on a :

P([Xn+1=i) =

3

X

j=0

P([Xn+1 =i|[Xn =j])P(Xn =j)

=P([Xn+1 =i|[Xn = 0])un+P([Xn+1 =i|[Xn= 1])vn+P([Xn+1 =i|[Xn= 2])wn

+P([Xn+1 =i|[Xn= 3])tn

En tenant compte des probabilités conditionnelles calculées à la question précédente, on obtient :

Un+1 =

1 49 49 1 0 49 59 0 0 19 0 0 0 0 0 0

Un= 1 9SUn

c. ExprimerMen fonction deS. En déduire les valeurs propres deM.

Comme, M = 1

9S, les valeurs propres de M sont : 1,0,−1 9,5

9

d. Donner l'expression des réelsunetvnen fonction den,v0 etw0.

(7)

CommeUn+1 =M Un, il est immédiat par récurrence queUn=MnU0 = 1 9nSnU0. On en déduit pourn ≥1 :









un =u0+ − 59n

+ 1

v0+ − 59n

+ 1

w0+t0 vn =(−1)n+5n+1

6.9n

v0+5.(−1)n+1+5n+1 6.9n

w0 wn =(−1)n+1

+5n 6.9n

v0+(5.(−1)n

+5n) 6.9n

w0 tn = 0

Par ailleurs, on au0+v0+w0+t0 = 1 donc :









un =− 59n

v059n

w0+ 1 vn =(−1)n+5n+1

6.9n

v0+5.(−1)n+1+5n+1 6.9n

w0 wn =(−1)n+1

+5n 6.9n

v0+(5.(−1)n

+5n) 6.9n

w0 tn = 0

5) On pose pourn1,Yn= [Xn= 0][Xn−16= 0]etY0= [X0= 0]. a. Que signie l'évènementYn? Et l'évènement [

0≤k≤n

Yk?

Yn est l'évènement où pour la première fois, il n'y a plus d'individus contagieux.

De plus, [

0≤k≤n

Yk = [Xn = 0], c'est l'évènement où le virus a disparu avant l'instant n.

b. Montrer que le virus ni par disparaitre presque sûrement, quelle que soit la loi de variable aléatoire initialeX0.

Par ailleurs, notons F l'évènement [le virus disparait]. On a :

P(F) =

+∞

X

k=0

P(Yk)

n

X

k=0

P(Yk)

≥P(Xn= 0)

Ainsi, P(Xn = 0) ≤ P(F) ≤ 1, par passage à la limite puisque P([Xn = 0]), −→

n→+∞1, on a : P(F) = 1.

2

e

Partie : Le cas général

Cette partie est plus théorique ... Avis aux amateurs !

On suppose que pour tout entier naturelnet pour tout entierjdeJ0, NK, on aP([Xn=j])>0.

On suppose également que pour tout couple(i, j)deJ0, NK

2, le réelqi,jdéni par

qi,j=P([Xn+1=j]|[Xn=i]) est indépendant den.

SoitQ= (qi,j)0≤i,j≤N∈ MN+1(R).

1) Déterminer, pour toutjJ0, NK, les probabilitésq0,j, etqN,j.

De même, déterminer les probabilités pour toutjde 0, N la probabilitéqi,N.

(8)

2) Justier que si l'on ai+j > Nalorsqi,j= 0 3) Montrer pour toutiJ0, NK,

N

X

j=0

qi,j= 1

â On a :q0,j =P([Xn+1 =j]|[Xn = 0]). Or, sachant qu'à l'instantn, il a aucun individu contagieux, le virus s'éteint, personne n'est contaminé et à l'instant n+ 1,Xn+1 suit une loi certain égale à 0.

Ainsi q0,j =

1 si j = 0 0 sinon

â On a :qN,j =P([Xn+1 =j]|[Xn =N]). Or, sachant qu'à l'instantn, tous les individus sont contagieux, personne n'est à nouveau contaminé et tous les individus sont guéris à l'instant n+ 1, Xn+1 suit une loi certain égale à0.

Ainsi qN,j =

1 si j = 0 0 sinon

4) De même, déterminer les probabilités pour toutideJ0, NKla probabilitéqi,N.

On a : qi,N = P([Xn+1 = N]|[Xn = i]). Si tous les individus sont contagieux à l'instant n+ 1, alors ils ont tous été contaminés à l'instantn, ce qui est impossible car dans ce cas, personne n'était contagieux.

Ainsi qi,N = 0

5) Justier que si l'on ai+j > Nalorsqi,j= 0.

On a :qi,j =P([Xn+1 =j]|[Xn =i]). Sachant qu'à l'instantn, il y a iindividus contagieux qui seront guéris à l'instantn+ 1, on a l'instant n au plusN −iindividus contaminables.

Ainsij ≤N −i.

Donc Si j > N−i, on a qi,j = 0.

6) Montrer pour toutiJ0, NK,

N

X

j=0

qi,j= 1.

On a :

N

X

j=0

qi,j =

N

X

j=0

P([Xn+1 =j]|[Xn=i])

=P([Xn+1 ∈J0, NK]|[Xn=i])

= 1

7) Montrer que pour toutideJ1, N1K, la loi de probabilité conditionnelle deXn+1sachant[Xn=i]est une loi binomiale dont on déterminera les paramètres.

Soit i ∈ J1, N −1K. Sachant qu'à l'instant i, on a i individus contagieux, on a N −i individus qui peuvent être contaminés au plus. Ainsi, à l'instantn+ 1, on aura entre 0 et N−i individus contagieux.

(9)

Par ailleurs, à l'instant n, chacun des N −i peut être contaminés avec une probabilité p par l'un des iindividus contagieux et ce de façon indépendante. Ainsi, la probablité de ne pas être contaminé par un individu contagieux est q = 1−p et la probabilité de ne pas être du tout contaminé est qi.

Ainsi Sachant[Xn=i],Xn+1 ,→ B(N −i,1−qi)

8) a. Montrer que1est valeur propre deQ

Considérons la matriceQ−λIN+1 : la première ligne est (1−λ,0, . . . ,0).

Ainsi pour λ = 1, cette ligne est nulle et la matrice Q −IN+1 n'est pas inversible.

1est valeur propre de Q.

b. Soitλune valeur propre deQetV =

V(0) V(1) ... V(N)

un vecteur propre associé àλ.

On pose|V(i)|= max

0≤j≤N|V(j)|

Justier que la composanteV(i)n'est pas nulle, puis en examinant la ligneidu systèmeQV =λV, montrer que l'on a

|λ| ≤1.

CommeV est un vecteur propre deQalorsV 6= 0ainsi max

0≤j≤N |V(j)|>0doncV(i)6= 0. Par ailleurs, la ligne idu système QV =λV donne :

N

X

k=0

qi,jV(j) = λV(i). On en déduit :

|λ|.|V(i)|=

N

X

j=0

qi,jV(j)

N

X

j=0

qi,j|V(j)| car qi,j ≥0

≤(

N

X

j=0

qi,j)|V(i)| car |V(j)| ≤ |V(i)|

≤ |V(i)| car

N

X

j=0

qi,j = 1

Comme|V(i)|>0, on en déduit |λ| ≤1.

9) On pose pour tout entier natureln:

Un=

P([Xn= 0]) P([Xn= 1])

... P([Xn=N])

À l'aide de la formule des probabilités totales, montrer queUn+1=tQUn

Soit i∈J0, NK. Comme ([Xn=k])0≤i≤N est un sytème complet d'évènements, on a P([Xn+1 =i]) = X

P([Xn+1=i]|[Xn =k]).P(Xn=k) =

N

Xqk,iP(Xn=k)

(10)

Ainsi Un+1 =t QUn

On suppose jusqu'à la n du problème que la matrice M =t Qest diagonalisable, et queB = (V0, . . . , VN)est une base de vecteurs propres deM telle que, pour toutkdeJ0, NK, le vecteurVk est associé à la valeur propreλk.

De plus, on suppose que :λ0= 1etV0=

1 0 ... 0

, et que pour toutkdeJ1, NK, on ak|<1.

10) On décompose alors le vecteurU0sur la baseB:U0=

N

X

k=0

αkVk

a. Déterminer, pour toutndeN, la décomposition du vecteurUnsur la baseB.

Comme pour tout entier n, on a Un+1 = M Un, on a par récurrence élémentaire : Un=MnU0.

Par ailleurs, on a posé :U0 =PN

k=0αkVk etM VkkVk, on en déduit : Un =

N

X

k=0

αkλnkVk

b. On note, pour tout couple(k, i)deJ0, NK

2,Vk(i)la(i+ 1)-ième composante deVk.

Exprimer, pour toutndeNet pour toutideJ0, NK, la probabilité de l'évènement[Xn=i]en fonction des réelsαk, λk

etVk(i).

La relation précédent donne : P([Xn=i]) =

N

X

k=0

αkλnkVk(i)

c. Montrer que pour toutideJ1, NK, on a :P([Xn=i]) −→

n→+∞0

Pour1≤k ≤N, on a :|λk|<1doncλnk −→

n→+∞0. On en déduit :P([Xn=i]) −→

n→+∞V0(i) = 0.

d. En déduire que le virus nit par disparaitre presque sûrement, quelque soit la loi de la variable aléatoire initialeX0.

NotonsF l'évènement [le virus disparait]. En reprenant le raisonnement de la n de la partie précédente, on a P(F) = lim

n→∞ P(Xn= 0). Or : P([Xn= 0]) = 1−

N

X

i=1

P([Xn=i])donc P([Xn = 0]) −→

n→+∞1 d'où P(F) = 1

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