Lois stables et processus ponctuels :liens et estimation des paramètres

(1)

et estimation des paramètres

Shuyan LIU

Laboratoire Paul Painlevé Université des Sciences et Technologies Lille 1

10 décembre 2009

(2)

GÉNÉRALITÉS SUR LES LOIS STABLES

I Fonction caractéristique

I Manque de l’expression simple de la densité

I Moments d’ordrep< αuniquement

I Estimation des paramètres : problème ouvert, riche littérature CONTEXTE DU TRAVAIL

I Loisα-stables non-gaussiennes : un sous-ensemble des lois à queue régulière

I Lois strictement stables dans un cône convexe

I Lien entre les lois stables et les processus ponctuels

I Une méthode d’estimation des paramètres d’une loi stable dansR^d proposée par Davydov et Paulauskas [DP99], [DPR00]

(3)

Partie I : Lois à queue régulière et lois stables

I Étude nécessaire pour la construction des algorithmes de simulation

I Lien entre la variation régulière, les lois stables et les processus ponctuels

I Préservation de régularité par trois sortes de transformations

I Simulation des vecteurs aléatoires stables, max-stables et appartenant au domaine d’attraction d’une loi stable

Partie II : Estimation des paramètres

I Estimation des paramètres des lois à queue régulière dans le cône convexe

I Estimation de la densité de mesure spectrale

I Estimation basée sur l’échantillon permuté

I Algorithme d’estimation : mise en oeuvre et analyse des performances Partie III : Application

I Estimation des paramètres et tests statistiques sur des données provenant de l’astronomie et de l’économie

(4)

Plan de l’exposé

1

Lois à queue régulière et lois stables dans un cône

Définitions et exemples

Transformations des lois à queue régulière

2

Estimation de l’indice caractéristique et de la mesure spectrale

Algorithme d’estimation Consistance

Normalité asymptotique Estimation de la densité deσ

3

Application : Étude des perturbations planétaires des comètes du nuage de Oort

Analyse exploratoire

Inférence statistique du modèle de loi à queue régulière

4

Conclusion et perspectives

(5)

Plan de l’exposé

1

Lois à queue régulière et lois stables dans un cône

2

Estimation de l’indice caractéristique et de la mesure spectrale

3

Application : Étude des perturbations planétaires des comètes du nuage de Oort

4

Conclusion et perspectives

(6)

Cône convexe

Définition

Uncône convexe IK est un semigroupe abélien topologique, supposé complet et séparable, avec une opération continue(x,a)→ax de multiplication par des scalaires positifs pour x ∈IK et a>0tel que les conditions suivantes sont satisfaites:

1 a(x+y) =ax+ay, a>0, x,y ∈IK

2 a(bx) = (ab)x, a,b>0, x∈IK

3 1x=x, x∈IK

4 ae=e, a>0, eest l’élément neutre de IK.

Notons

IK⁰=IK\{0,e}.

(7)

Lois à queue régulière

Définition

Un e.a. X ∈IK a uneloi à queue régulièred’indiceα >0 si∃σ, une mesure finie sur S ={x| kxk=1,x∈IK}, telle que∀B∈ B(S)etσ(∂B) =0,

x→∞lim x^α L(x)P

X

kXk ∈B,kXk>x

=σ(B), (X ∈VR(α, σ))

où L est une fonction à variation lente, i.e. ^L(λx_L(x)⁾ →1quand x → ∞, ∀λ >0.

(8)

Loi strictement α -stable

Définition

Un e.a. X ∈IK a uneloi strictementα-stablesi∀a,b>0 a^1/αX1+b^1/αX2

= (aL +b)^1/αX, (StαS)

où X1,X2sont des copies indépendantes de X .

(9)

Loi strictement α -stable

Exemples

IK= (R^d,+) : α∈(0,2],Sd(α, σ),

S1(α,(β, γ)),γ=σ(1) +σ(−1),β= ^{σ(1)−σ(−1)}_γ .

I α=2: lois gaussiennes,p(x) =_2σ¹^√_πe⁻^x

2 4σ2.

I α=1: lois de Cauchy,p(x) =_π(x₂^σ_+σ₂₎.

I α=1/2: lois de Lévy,p(x) = _2π^σ^1/2 1

x^3/2exp −_2x^σ . IK= (R^d+,∨): α∈(0,∞),MSd(α, σ).

I d =1: lois de Fréchet, Φα=exp(−(x/σ)^−α).

Pour plus d’exemples, voir [DMS08].

(10)

S1(α,(β, γ)) S2(0.75, σ) MS2(0.75, σ) Dépendance deβ σ : uniforme surS¹ σ: uniforme surS_∨¹

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35

!=−1

!=0

!=1

−2 −1 0 1 2

−2

−1 0 1 2

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Dépendance deαetγ σ: discrète σ: discrète

−9 −7 −5 −3 −1 1 3 5 7 9

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

!=1.5,"=1,#=5

!=1.5,"=2,#=5

!=0.5,"=1,#=−5

!=0.5,"=2,#=−5

−2 −1 0 1 2

−2

−1 0 1 2

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

(11)

Transformations des lois à queue régulière

SoitX un e.a. dans IK⁰ tel queX ∈VR(α, σ), f :S→S,µ=σf⁻¹,

h:S →R+,ν une mesure finie surS telle quedν/dσ=h(x)^α. Nous considérons l’e.a. Y =

kXk,f

X kXk

etZ = kXkh

X kXk

,_kXk^X . Théorème 1.1 (Transformation sphérique)

Si f est σ-p.p. continue, alors Y ∈VR(α, µ).

Théorème 1.2 (Transformation radiale, condition forte) Si h estσ-p.p. continue et bornée, alors Z ∈VR(α, ν).

Théorème 1.3 (Transformation radiale, condition moins forte) Supposons que les variables _kXk^X etkXksont indépendantes.

SiR

Sh^α+εdσ <∞pour unε >0, alors Z ∈VR(α, ν).

(12)

Projections des lois à queue régulière dans R

^d

Soitx= (x1, . . . ,xd)un vecteur dansR^d. Notons xk= (x1, . . . ,xk), 1≤k <d.

Définissons

Λ_k :R^d\{x |x1=· · ·=xk =0} → R^k, x 7→ xk

kx_kkkxk.

Υk:S^d−1\{x |x1=· · ·=xk=0} → S^k−1, x 7→ xk

kxkk.

Proposition 1.1

Soit X un v.a. dans R^d tel que X ∈VR(α, σ). Alors pour un nombre entier k, 1≤k<d , on aΛk(X)∈VR(α, σk)oùσk= Υk(σ).

(13)

Plan de l’exposé

1

Lois à queue régulière et lois stables dans un cône

2

Estimation de l’indice caractéristique et de la mesure spectrale

3

Application : Étude des perturbations planétaires des comètes du nuage de Oort

4

Conclusion et perspectives

(14)

Algorithme d’estimation

Soitξ1, . . . , ξN des e.a. i.i.d. suivant une loi à queue régulière.

Étape 1 On divise l’échantillon enngroupes disjoints, chacun contientm éléments, i.e.

ξ1, . . . , ξm,

| {z } Gm,1

ξm+1, . . . , ξ2m

| {z }

, . . . , Gm,2

ξ_(n−1)m+1, . . . , ξnm.

| {z } Gm,n

En pratique on choisitn= [N^r]etm= [N^1−r],r ∈(0,1).

Étape 2 NotonsM_m,i⁽¹⁾ =max{kξk:ξ∈Gm,i},

ξm,i : l’élément dansGm,i tel quekξm,ik=M_m,i⁽¹⁾, M_m,i⁽²⁾ =max{kξk:ξ∈Gm,i\{ξm,i}}, i=1, . . . ,n.

Étape 3 CalculonsSn=

n

P

i=1 M⁽²⁾_m,i

M⁽¹⁾_m,i,θm,i= _kξ^ξ^m,i

m,ik,qm,i = ^M

(1) m,i

m^1/α, ˆ

αN = _n−S^Sⁿ

n, ^(2.1)

ˆ

σN(·) = ¹_nPn

i=1δθ_m,i(·), ^(2.2)

σ(S)[_N =

1 nΓ(1−_α^t)

Pn

i=1q_m,i^t ^αt

, t>0. ^(2.3)

(15)

Un exemple de données simulées

Densité de loiS1(1.5,(0.5,1))

(16)

Un exemple de données simulées

Données simulées de loiS1(1.5,(0.5,1)),N=1500

(17)

Un exemple de données simulées

Histogrammes

(18)

Un exemple de données simulées

Diviser l’échantillon en 80 groupes, chacun contient 18 éléments.

- ...

A A

A U

(19)

Un exemple de données simulées

Diviser l’échantillon en 80 groupes, chacun contient 18 éléments.

- ...

A A

A U

(20)

Un exemple de données simulées

Calculer les valeurs deαˆ_N,βˆ_Netγˆ_N: 1.78, 0.42 et 0.77.

- ...

A A

A U

M_m,1⁽²⁾

M_m,1⁽¹⁾ =^4.61_8.70=0.53 θm,1=−1

M_m,2⁽²⁾

M_m,2⁽¹⁾ =^3.12_3.44=0.91 θm,2=1

...

M_m,80⁽²⁾

M_m,80⁽¹⁾ = ^2.46_2.86 =0.86 θm,80=1

(21)

Résultats auxiliaires pour la consistance des estimateurs

Lemme 2.1 (Statistique d’ordre) Soit X un e.a. dans IK⁰ tel que X ∈VR(α, σ),

Y1,Y2, . . .des variables aléatoires i.i.d. suivant la loi F(x) =P{kXk<x}, Yn,1,Yn,2,· · ·,Yn,n, Yn,1≥Yn,2≥ · · · ≥Yn,n, les statistiques d’ordre de Y1,Y2, . . . ,Yn.

Alors b_n⁻¹(Yn,1, . . . ,Yn,n,0,0, . . .)⇒σ(S)^1/α(Γ^−1/α₁ ,Γ^−1/α₂ , . . .).

(22)

Résultats auxiliaires pour la consistance des estimateurs

Proposition 2.1 (LGN pour le schéma triangulaire)

Soient{Xm,i,1≤i≤n} des variables aléatoires réelles i.i.d. pour chaque m.

Supposons que

n∼N^r, m∼N^1−r quand N→ ∞

où0<r <1 est une constante et N ∈N. S’il existe un nombre réel k >²_r et une constante M >0 tels queE|Xm,1|^k≤M<∞, alors

1 n

n

X

i=1

Xm,i−EXm,1 p.s.

−−−−→

N→∞ 0.

(23)

Consistance

Soientξ, ξ1, . . . , ξN des e.a. i.i.d. à valeurs dans IK⁰ tels que ξ∈VR(α, σ).

SiSn etσˆN sont défini par ^(2.1) et ^(2.2) avec n∼N^r, 0<r<1, alors on a

1 nSn

−−−−→p.s.

N→∞

α

1+α (Th. 1.2.4).

et

ˆ σN

p.s.⇒ σ quandN→ ∞ (Prop. 1.2.2).

Si la condition de régularité (VR) est satisfaite avec L(x) =1 et σ(S[)_N est défini par ^(2.3) avecn∼N^r, 0<r <1, et 0<t< ^αr₂, alors on a

σ(S)[_N−σ(S)−−−−→^p.s.

N→∞ 0 (Th. 1.2.6).

(24)

Conditions pour établir la normalité asymptotique

I L’e.a. ξ∈IK satisfait àla relation asymptotique du second ordre si P{kξk>x}=σ(S)x^−α+cx^−ρ+o(x^−ρ) quand x → ∞, (RS) avec 0< α < ρ≤ ∞oùc est une constante.

I L’e.a. ξ∈IK satisfait àla relation forte du second ordre si∀B ∈ B(S)tel queσ(∂B) =0

P ξ

kξk ∈B,kξk>x

=σ(B)x^−α+cx^−ρ+o(x^−ρ)quandx → ∞, (RFS) avec 0< α < ρ≤ ∞oùc est une constante.

Remarque

(RFS)⇒ξ∈VR(α, σ).

(25)

Normalité asymptotique

Théorème 2.4

Soitξun e.a. dans IK⁰ tel queξ∈VR(α, σ)et la condition (RS) est satisfaite.

Si on choisit

n=N2ζ/(1+2ζ)−ε, m=N^1/(1+2ζ)+ε, oùζ= (ρ−α)/αetε >0, alors

√n

1

nSn−_α+1^α

1 n

n

P

i=1

M_m,i⁽²⁾ M_m,i⁽¹⁾

²

− ¹_nSn²

!^1/2 ⇒ N(0,1).

(26)

Normalité asymptotique

Théorème 2.5

Soitξun e.a. dans IK⁰ tel que la condition (RFS) est satisfaite.

Si on choisit

n=N2ζ/(1+2ζ)−ε,m=N^1/(1+2ζ)+ε,

oùζ=min(^ρ−α_α ,1)etε >0, alors∀B ∈ B(S)tel queσ(∂B) =0 on a

√n(ˆσN(B)−σ(B))

1 n

n

P

i=1

(1IB(θ_m,i))²−

1 n

n

P

i=1

1IB(θ_m,i)

²!^1/2 ⇒ N(0,1).

(27)

Normalité asymptotique dans le cas IK = R

^d

Remarque

Dans le cas où l’échantillon vient d’une loi stable dansR^d, le résultat de Fristedt implique ρ=2α. Cela nous permet de choisir n=N^2/3−ε, i.e. r =2/3−ε, alors la vitesse de convergence des estimateurs dansL1s’approche de N^1/3.

N=100 000, α=1.75 N=100 000, β=0.5

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

0.5 1 1.5 2 2.5 3

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

−0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

Figure : Graphes des points(1−r,αˆN)et(1−r,βˆN)estimés de loi S1(1.75,(0.5,1)).

(28)

Estimation de la densité de σ

I Supposons queσest absolument continue de densité p. On estimepen utilisant la méthode de noyau suivante

ˆpn(x;θm,1, . . . , θm,n) = C(hn) nh^d−1n

n

X

i=1

K

1−x^Tθm,i

h²_n

, x ∈S^d−1,

oùθm,i est défini comme avant,hn>0,C(hn)>0,K(·)est une fonction non-négative définie sur[0,∞)telle que

h^d−1_n C(hn)=

Z

S^d−1

K

1−x^Ty h²_n

λ(dy).

I La difficulté dans notre cas est que l’échantillonθ_m,1, . . . , θ_m,n ne suit pas la loiσ.

I En supposant une condition forte de variation régulière on peut prouver la convergence de la densité deθm,i vers la densité deσ.

(29)

Condition pour la convergence de la densité de θ

_mi

I SoitΛ_α,σ une mesure sur R^d définie parmα×σoùσest une mesure finie surB(S^d−1)etmα((r,∞)) =r^−α,r >0.

I La condition forte de variation régulière

Pour la mesureµn=nPξ(bnA),bn=n^1/αL(n),A∈ B(R^d\{0}), la convergence en variation a lieu surB(0, ε)^{, si∀ε >0

µ_n|_B(0,ε)_{−→^var Λ_α,σ|_B(0,ε)_{, (FVR)

oùB(0, ε)est une boule ouverte de centre 0 et de rayonεdansR^d. Remarques

I ξ∈VR(α, σ)⇔µn((r,∞)×B)→Λ_α,σ((r,∞)×B), n→ ∞,

∀B ∈ B(S^d−1)avecσ(∂B) =0 et∀r>0.

I (FVR)⇒ξ∈VR(α, σ).

(30)

Convergence de la densité de θ

_mi

Théorème 2.6

Soitξ₁, . . . , ξ_m des v.a. i.i.d. dansR^d suivant la loi F . Si F vérifie la condition (FVR), alors

pm L¹

−→p, m→ ∞,

où p est la densité de la mesure spectraleσ, pm est la densité de θ_m,1.

Conclusion : En ajoutant des conditions classiques pour la méthode de noyau on peut prouver la consistance d’estimateur ˆpn(x;θm,1, . . . , θm,n).

(31)

Plan de l’exposé

1

Lois à queue régulière et lois stables dans un cône

2

Estimation de l’indice caractéristique et de la mesure spectrale

3

Application : Étude des perturbations planétaires des comètes du nuage de Oort

4

Conclusion et perspectives

(32)

Application en astronomie

I Les perturbations planétaires au cours des "rencontres proches" avec les planètes constituent le mécanisme principal qui influence les trajectoires des comètes.

I L’intégration directe du problème des 6 corps:

Soleil+Jupiter+Saturne+Uranus+Neptune+comète est très coûteuse en temps de calcul.

I Les perturbations planétaires sur les comètes du nuage de Oort sont non corrélées.

I Plan d’étude: analyse exploratoire –> modélisation –> résultats d’estimation –> test d’hypothèse.

(33)

Données

Les données sont obtenues par des méthodes d’intégration numériques [RVF02].

Nous considérons l’ensemble des triplets (cosi,q,∆z),

i : l’inclinaison du plan orbital avec un plan de référence, q: la distance du périhélie au soleil,

a: le demi-grand axe,

z =1/a : l’inverse de demi-grand axe,

∆z =zf −zi : la marque de perturbation.

Ellipse du mouvement képlérien

(34)

Données

I Le manque de stationnarité des marques des perturbations impose la partition de l’espace des positions.

I Les cellules ont toutes le même volume de 0.1×0.1 UA, chacune contient environs 1500 données de perturbations.

I Nous supposons que les marques de perturbations à l’intérieur d’une cellule sont des variables aléatoires i.i.d..

(35)

Analyse exploratoire : quantiles empiriques

I Statistique d’ordre : quantiles empiriques

I Quantiles empiriques centraux : non informatifs

I Quantiles empiriques extrêmes : phénomènes intéressants

I Indicateur de la queue lourde : ˆzq−ˆnq

ˆ

zq : q-quantile empirique, ˆ

nq : q-quantile correspondant de loi normale d’espérance et écart-type estimés sur les données.

I Indicateur de symétrie : ˆzq− |ˆz1−q|

(36)

a)

−1.0 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0

1 2 3 4 5 6 7

−0.00054 0.00068 0.0019 0.0031 0.0044

b)

−1.0 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 8

9 10 11 12 13 14 15

4.2e−07 0.00029 0.00058 0.00087 0.0012

c)

−1.0 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 15

16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

−4.1e−07 1.7e−05 3.4e−05 5.2e−05 6.9e−05

d)

−1.0 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 24

25 26 27 28 29 30 31 32

1.2e−06 1.6e−05 3e−05 4.4e−05 5.8e−05

Figure : Différences des quantiles empiriqueszˆ0.99−ˆn0.99pour les perturbations autour de grande planète : a) Jupiter,aJ =5.2 UA, b) Saturne,aS =9.6 UA, c) Uranus, aU=19.2 UA, d) Neptune,aN =30.1 UA.

(37)

a)

−1.0 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0

1 2 3 4 5 6 7 8

−0.0025 −0.0015 −0.00053 0.00043 0.0014

b)

−1.0 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0

1 2 3 4 5 6 7 8

1.6e−200 0.25 0.5 0.75 0.99

Figure : a) Différences des quantiles empiriques ˆz0.99− |ˆz0.01| pour les perturbations autour de Jupiter.

b) Lesp-valeurs obtenues pour le test de normalité des quantiles empiriques ˆz0.95autour de l’orbite de Jupiter.

(38)

Forme analytique de perturbations

Théorie Öpik : problème de trois corps (Soleil+planète+comète) –> résultats analytiques

4.7 4.8 4.9 5 5.1 5.2

-1 -0.5 0 0.5 1

q (UA)

cos (i)

0.05 0.03 0.04

Figure : Courbes de niveau de la distribution des perturbations autour de Jupiter.

(39)

Analyse exploratoire : conclusions préliminaires

I Existence d’une structure spatiale

I Comportement de type queue lourde autour des orbites des grandes planètes

I Symétrie : à prendre en compte

I Normalité : rejetée autour des orbites des grandes planètes

I Les lois à queue régulière s’adaptent à cette situation.

(40)

a)

−1.0 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0

1 2 3 4 5 6 7 8

0.98 2.2 3.3 4.5 5.7

b)

−1.0 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 8

9 10 11 12 13 14 15

1.1 2.7 4.3 5.9 7.5

c)

−1.0 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 15

16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

1.1 2.7 4.3 5.9 7.5

d)

−1.0 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 25

26 27 28 29 30 31 32

0.85 1.8 2.7 3.7 4.6

Figure : Résultats d’estimation de l’indice de queueαsur les marques des perturbations autour des grandes planètes: a) Jupiter, b) Saturne, c) Uranus et d) Neptune.

(41)

a) ⁰⁻¹ ^−0.8 ^−0.6 ^−0.4 ^−0.2 ⁰ ^0.2 ^0.4 ^0.6 ^0.8 ¹

1 2 3 4 5 6 7 8

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

b)⁰⁻¹ ^−0.8 ^−0.6 ^−0.4 ^−0.2 ⁰ ^0.2 ^0.4 ^0.6 ^0.8 ¹

1 2 3 4 5 6 7 8

1 2 3 4 5 6 7 8 9 x 10⁻⁵

Figure : Résultats d’estimation de l’indice de symétrieβ (a) et de paramètre d’échelle γ(b) sur les marques des perturbations autour de Jupiter.

(42)

Résultats du test χ

²

a)⁻¹ ^−0.8 ^−0.6 ^−0.4 ^−0.2 ⁰ ^0.2 ^0.4 ^0.6 ^0.8 ¹

8

7

6

5

4

3

2

1

0

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

b)⁻¹ ^−0.8 ^−0.6 ^−0.4 ^−0.2 ⁰ ^0.2 ^0.4 ^0.6 ^0.8 ¹

8

7

6

5

4

3

2

1

0 0

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

Figure : Lesp-valeurs du test statistique deχ²pour les perturbations autour de Jupiter :

a)α <2,H0: les données sont issues d’une loi stable de paramètres estimés, b)α >2,H0 : les données sont issues d’une loi alternative de densité

f(z) = Cκ,α

1+κ|z −ω|^α+1, oùCκ,α est une constante de normalisation,

κest le paramètre d’échelle, ω est le paramètre de position.

(43)

Plan de l’exposé

1

Lois à queue régulière et lois stables dans un cône

2

Estimation de l’indice caractéristique et de la mesure spectrale

3

Application : Étude des perturbations planétaires des comètes du nuage de Oort

4

Conclusion et perspectives

(44)

Conclusion

I Généralisation aux lois à queue régulière dans un cône abstrait

I Vitesse de convergence des estimateurs optimisée

I Résultats d’estimation comparables avec d’autres méthodes

I Modélisation des données réelles

(45)

Perspectives

I Problème d’estimation pour les processusα-stables

I Estimation de la densité de mesure spectrale d’une loi stable

I Amélioration de la méthode d’estimation proposée

I Trouver la loi qui ajuste au mieux un jeu de données.

I Quelle alternative pour la loi à queue régulière avecα >2

I Choix de modèle

I Multidimensionnelle