Table des mati` eres
Curriculum Vitae 1
Etat civil . . . .´ 1
Situation actuelle . . . 1
Cursus Universitaire . . . 2
Publications . . . 2
Activit´es Scientifiques . . . 3
Carri`ere Scientifique . . . 3
Communications Orales . . . 3
Groupes de Travail . . . 3
Participation `a des Conf´erences . . . 4
Activit´es d’Enseignement . . . 4
Comp´etences Informatiques et Linguistiques . . . 4
Divers . . . 4
Description des travaux de recherche 6 Estimation des param`etres des lois `a queue r´eguli`ere dans le cˆone convexe . . . 6
Transformations des lois multivari´ees avec queues r´eguli`eres . . . 7
Simulation et performance des estimateurs . . . 8
Applications . . . 8
Premi`ere application : ´Etude des cours des 30 valeurs de l’indice DJIA . . 8
Deuxi`eme application : ´Etude des perturbations plan´etaires des com`etes du nuage de Oort . . . 8
Conclusion et perspectives . . . 9
Conclusion . . . 9
Perspectives . . . 9 Annexe : Personnes `a contacter pour des lettres de recommandation 11
Curriculum Vitae
Etat civil ´
Shuyan LIU
N´ee le 1erjanvier 1982 `a Nanjing (Chine), c´elibataire.
COORDONN ´EESPROFESSIONNELLES: Institut de statistique, biostatistique et sciences actuarielles (ISBA)
Universit´e Catholique de Louvain Voie du Roman Pays, 20, Bureau D.374 B-1348 Louvain-la-Neuve, Belgium T´el : +32 10 47 46 08
Fax : +32 10 47 30 32
e-mail : [email protected]
http ://www.stat.ucl.ac.be/ISpersonnel/liu/
COORDONN ´EESPERSONNELLES: Scav´ee du Bi´ereau, 5, Appt. 12 B-1348 Louvain-la-Neuve, Belgium T´el : +32 4 97 41 12 20 e-mail : [email protected]
Situation actuelle
Post-Doctorat `a l’ISBA de l’Universit´e Catholique de Louvain (UCL) depuis f´evrier 2010
Sujet : Variation r´eguli`ere des s´eries temporelles. Lois stables dans un cˆone.
Simulation et estimation des param`etres des lois stables multivari´ees.
Application aux donn´ees astronomiques et financi`eres.
Encadrement : Johan Segers
Cursus Universitaire
• 10 d´ecembre 2009 Doctorat de l’universit´e, soutenue `a l’Universit´e Lille 1 Titre : Lois stables et processus ponctuels : liens et estimation
des param`etres
Discipline : Math´ematiques appliqu´ees Sp´ecialit´e : Probabilit´es
Mention : Tr`es honorable
Pr´esident : PhilippeSoulier, Universit´e Paris 10 Directeur : Youri Davydov, Universit´e Lille 1 Rapporteurs : Jean-Marc Bardet, Universit´e Paris 1
Bernard Garel, Institut National Polytechnique de Toulouse Examinateurs : Johan Segers, Institut de statistique, UCL
Radu Stoica, Universit´e Lille 1 AlainVienne, Universit´e Lille 1
• 10/2005-12/2009Doctorante de Math´ematiques Appliqu´ees `a l’Universit´e Lille 1
Directeur : Y. Davydov
• 10/2004-07/2005D.E.A. de Math´ematiques Appliqu´ees `a l’Universit´e Lille 1 Option : Probabilit´es et Statistiques
Titre du m´emoire : Continuit´e absolue pour les lois de fonctionnelles des processus ponctuels.
Mention : Assez bien Directeur : Y. Davydov
• 09/2002-01/2004Master en Math´ematiques Appliqu´ees `a l’Universit´e de Hohai (Chine)
Option : Th´eorie des Graphes et Math´ematiques Combinatoires.
• 09/1998-07/2002Licence de Math´ematiques Appliqu´ees `a l’Universit´e de Hohai Titre du m´emoire : Research of Job Hunting Mathematical Model.
Publications
• R. Stoica, S. Liu, Y. Davydov, M. Fouchard, A. Vienne, G. B. Valsecchi, Order statistics and heavy-tail distributions for planetary perturbations on Oort cloud comets, (accept´e, Astronomy & Astrophysics).
• Y. Davydov, S. Liu,Transformations des lois multivari´ees avec queues r´eguli`eres, (soumis, Revue Roumaine de Math´ematique pure et appliqu´ee).
• Y. Davydov, S. Liu,Estimation des param`etres de loi stable dans le cˆone convexe, (en pr´eparation).
Activit´ es Scientifiques
Carri`ere Scientifique
• 2/2010-1/2011Post-Doctorat `a l’ISBA de l’UCL Type de contrat : CDD (12 mois).
Organisme de financement : Interuniversity Attraction Poles (IAP).
Pourcentage d’occupation : temps complet.
• 9/2009-12/2009 A.T.E.R. (Attach´e temporaire d’enseignement et de recherche)
`
a l’Universit´e Lille 1
Type de contrat : CDD (4 mois).
Organisme de financement : minist`ere charg´e de l’enseignement sup´erieur et Uni- versit´e Lille 1.
Pourcentage d’occupation : temps complet.
• 9/2008-8/2009A.T.E.R. `a l’Universit´e Lille 1 Type de contrat : CDD (12 mois).
Organisme de financement : minist`ere charg´e de l’enseignement sup´erieur et Uni- versit´e Lille 1.
Pourcentage d’occupation : mi-temps.
• 10/2005-9/2008 Allocataire de recherche Type de contrat : CDD (3 ans).
Organisme de financement : minist`ere de la recherche fran¸caise.
Pourcentage d’occupation : temps complet.
Communications Orales
• Estimation of parameters of regularly varying tail distributions on convex cones.
Statistics seminar organized jointly with IAP-network, Louvain-la-Neuve, f´evrier 2010.
• Inf´erence param´etrique pour les processus ponctuels marqu´es. Groupe de travail
”G´eom´etrie Stochastique” de Laboratoire Paul Painlev´e, Lille, avril 2009.
• Lois avec queues r´eguli`eres et estimation des param`etres. M´ecanisme de Transport des Com`etes du Nuage de Oort, Observatoire de Lille, avril 2008.
• Estimation des param`etres des lois stables dans le cˆone convexe et ses applications.
Journ´ees des Doctorants en Math´ematiques, Wimereux, mars 2008.
• Estimation of parameters of stable distributions on convex cones. ´Ecole d’´et´e de Probabilit´es Saint-Flour, Clermont-Ferrand, s´ejour de 15 jours, participation au cours de syst`eme dynamique, chaos-stabilit´e et EDS, juillet 2007.
• Estimation des mesures spectrales stables. S´eminaire des doctorants/post-doctorants, Lille, d´ecembre 2006.
Groupes de Travail
• Depuis f´evrier 2010, participation au cours “Special topics in mathematical statis- tics” de l’ISBA de l’UCL organis´e par I. Van Keilegom.
• De septembre 2008 `a d´ecembre 2009, participation au groupe de travail ”G´eom´etrie Stochastique” de Laboratoire Paul Painlev´e organis´e par Y. Davydov.
Participation `a des Conf´erences
• Journ´ees de G´eom´etrie Al´eatoire, Lille, 3-4 d´ecembre 2008.
• Congr`es National de Math´ematiques Appliqu´ees et Industrielles, SMAI 2007, Cham- b´ery, s´ejour de 5 jours, juin 2007.
• Stochastic Processes and Random Fractals, Lille, mars 2006.
Activit´ es d’Enseignement
2008-2009 TD d’Alg`ebre Lin´eaire et Affine (60h) TD de Probabilit´es et Statistiques (30h)
Niveau : Licence Sciences et Technologies 2`eme ann´ee
`
a l’Universit´e Lille 1.
Cours-TD de Probabilit´es et Statistiques (36h)
Niveau : Licence am´enag´ee (1`ere ann´ee) `a l’Universit´e Lille 1.
2007-2008 TD sur Maple de Recherche Op´erationnelle et Aide `a la D´ecision (34h) TD sur Scilab de Statistiques et Probabilit´es (30h)
Niveau : ´El`eves ing´enieurs de 1`ere et 2`eme ann´ee
`
a l’ ´Ecole Nationale Sup´erieure des Arts et Industries Textiles.
Comp´ etences Informatiques et Linguistiques
Informatique Environnements : Windows, Linux, Unix.
Traitement de texte : Latex, Microsoft office.
Programmation : Matlab, Maple, R, Scilab, C, Fortran.
Langues Fran¸cais : courant.
Chinois : langue maternelle.
Anglais : scientifique.
Divers
• 03/2004-07/2004Stage intensif de fran¸cais `a l’Universit´e Lille 1.
• 01/2004-03/2004Cours de fran¸cais `a l’Alliance Fran¸caise de Nanjing (Chine).
• 12/2003Etudiante d’´´ echange de Master 2 s´electionn´ee sous l’accord entre l’Uni- versit´e de Hohai (Chine) et l’Universit´e Lille 1.
Loisirs
travaux manuels, natation, lecture, cin´ema.
Description des travaux de recherche
Le but de cette partie du dossier est de pr´esenter bri`evement les travaux effectu´es pendant la th`ese.
Estimation des param` etres des lois ` a queue r´ eguli` ere dans le cˆ one convexe
Les lois stables sont d´efinies par leur fonction caract´eristique qui donne pas une expression simple de la densit´e. Une loiα-stable admet uniquement les moments d’ordre p < α, c’est-`a-dire elle admet une esp´erance si et seulement siα > 1 et la variance est infinie si α < 2. A cause de ces difficult´es, l’estimation des param`etres des lois stables est un probl`eme ouvert qu’il existe beaucoup d’´etudes sur ce sujet. En utilisant le lien entre les lois stables et les processus ponctuels Davydov et Paulauskas (voir [2] et [3]) ont propos´e une m´ethode pour estimer l’indiceαet la mesure spectrale normalis´ee d’une loi StαS dans Rd. L’objective de notre travail est de g´en´eraliser cette m´ethode aux lois `a queue r´eguli`ere dans un cˆone convexe. Un r´esum´e des lois stables et lois `a queue r´eguli`ere dans un cˆone est le suivant.
Un vecteur al´eatoire X `a valeurs dans un espace de Banach a une loi strictement α-stable(StαS) si pour tous a, b >0
a1/αX1+b1/αX2 = (aL +b)1/αX,
o`u X1, X2 sont les copies ind´ependantes de X, et = repr´L esente l’´egalit´e en loi. Cette d´efinition a le sens dans tous les espaces o`u l’addition d’´el´ements et la multiplication par scalaires positives sont d´efinies, i.e. dans tous les cˆones convexes not´e IK. Les valeurs possibles de l’exposant caract´eristique α sont li´ees avec les propri´et´es de semigroupe et l’op´eration scalaire correspondante (voir [1]). Dans l’espace de Banach les valeurs possibles pour α sont dans l’intervalle (0,2]. Dans l’espace (Rd+,∨), i.e. x∨y = (x1 ∨ y1, . . . , xd∨yd), x,y ∈ [0,∞)d, les lois StαS correspondantes s’appellent max-stable, l’intervalle de l’exposantαest (0,∞). Le choix de diff´erents cˆones rend quelques th´eories et applications diff´erentes mais le point commun est que plusieurs probl`emes sont li´es `a la propri´et´e de la variation r´eguli`ere des lois dans un cˆone.
L’´el´ement al´eatoireX∈IK est `a queue r´eguli`ere avec l’exposant caract´eristiqueα >0 si il existe une mesure finie σ sur la sph`ere unit´e, not´eeS, et une fonctionL`a variation
lente tels que pour toutB ∈ B(S) avecσ(∂B) = 0,
x→∞lim xα L(x)P
X
kXk ∈B,kXk> x
=σ(B). (1)
La variation r´eguli`ere multivari´ee est ´equivalente `a la convergence des processus ponctuels empiriques vers un processus ponctuel poissonnien limite qui poss`ede des propri´et´es tr`es int´eressantes et dont la mesure d’intensit´e a une forme particuli`ere [6]. La condition (1) est n´ecessaire et suffisante pour que X appartienne au domaine d’attraction des lois StαS dansRd d’indice de stabilit´e α <2 et de mesure spectrale σ. C’est-`a-dire les lois stables non gaussiennes est un sous-ensemble des lois `a queue r´eguli`ere.
Nous rendons une m´ethode connue d’estimation des param`etres des lois stables dans Rdapplicable aux lois `a queue r´eguli`ere dans un cˆone arbitraire IK. Nous avons ´etabli la consistance des estimateurs. En ajoutant des conditions suppl´ementaires, nous prouvons la normalit´e asymptotique. La m´ethode d’´echantillonnage par paquets est modifi´ee afin d’optimiser la vitesse de convergence des estimateurs. Un nouvel estimateur de la masse totale de la mesure spectrale est propos´e sous la condition que la loi appartienne au domaine d’attraction normal d’une loiStαS.
Transformations des lois multivari´ ees avec queues r´ eguli` eres
La variation r´eguli`ere a la propri´et´e importante qu’elle est pr´eserv´ee sous plusieurs op´erations et transformations qu’on utilise souvent en pratique. Une large collection des r´esultats de ce type est pr´esent´ee dans le survey de Jessen et Mikosch [4]. Le but de notre travail est de compl´eter les investigations dans cette direction. On consid`ere ici trois genres des transformations. Premi`erement, on ´etudie le passage de l’´el´ement al´eatoire initialX au vecteur
Y =kXkf X
kXk
,
o`u f est une application de la sph`ere unit´e S `a S. Dans le deuxi`eme cas on transforme la partie radiale deX, plus exactement on s’int´eresse `a la variation r´eguli`ere du vecteur
Y =Xf X
kXk
,
o`u la fonction f cette fois-ci est une application de S `a R+. On propose des conditions suffisantes et on donne des exemples qui montrent que ces conditions ne pourront ˆetre affaiblies sensiblement. En conclusion remarquons que les propri´et´es des transformations pr´esent´ees ici seront utiles pour les simulations des vecteurs appartenant au domaine d’attraction d’une loi stable avec la mesure spectrale donn´ee.
Dans le troisi`eme cas on consid`ere la projection des vecteurs al´eatoires de loi `a queue r´eguli`ere de Rd `a Rk, k < d. La r´egularit´e est pr´eserv´ee sous la projection. Ce r´esultat peut ˆetre utile pour examiner la structure de mesure spectrale d’un vecteur al´eatoire de loi `a queue r´eguli`ere multidimensionnelle.
Simulation et performance des estimateurs
Afin de v´erifier les propri´et´es des estimateurs pr´ecit´es, nous avons ´ecrit le programme Matlab ”mvrfit.mat” qui permet d’estimer l’indice caract´eristiqueαet la mesure spectrale σd’une loi `a queue r´eguli`ered-dimensionnelle,d≤30. Les donn´ees suivant une loi stable sur lesquelles on ´evalue les statistiques sont simul´ees par la repr´esentation de s´eries de LePage de loi stable, i.e.
X=L c
∞
X
k=1
Γ−1/αk k
o`u Γk=λ1+· · ·+λk, k≥1,{λk, k≥1}et{k, k≥1}sont deux suites ind´ependantes des variables al´eatoires i.i.d., les variables al´eatoiresλkont la loi exponentielle standard, et k sont de mˆeme loi ˜σ(·) = σ(·)
σ(S) concentr´ees sur Sd−1 et c = σ(S)1/α. Quelques m´ethodes connues pour estimer les param`etres de loi α-stable sont pr´esent´ees. Nous comparons ces m´ethodes avec notre m´ethode sur des ´echantillons de taille diff´erente et diff´erentes valeurs des param`etres. Une m´ethode d’estimation utilisant les permutations al´eatoires d’´echantillon est propos´ee pour augmenter le nombre de points utilis´es.
Applications
Les lois stables et les lois `a queue lourde sont beaucoup utilis´ees dans le domaine d’application des ´ev´enements rares. Ces deux familles de lois sont des sous-ensembles des lois `a queue r´eguli`ere. On applique la m´ethode d’estimation d´evelopp´ee pour mod´eliser deux jeux de donn´ees r´eelles. Des descriptions statistiques sont obtenues.
Premi`ere application : ´Etude des cours des 30 valeurs de l’indice DJIA Nous consid´erons 1256 valeurs de cours pour les 30 titres de l’indice DJIA comme un jeu de donn´ees avec 30 composantes. Nous comparons les r´esultats d’estimation de notre m´ethode avec ceux obtenus par la m´ethode du maximum de vraisemblance pour les lois stables [5]. En choisissant quelques composantes repr´esentatives nous formons des jeux de donn´ees multivari´ees, et nous ´etudions la structure de leur mesure spectrale.
Le comportement de la queue de l’amplitude des donn´ees est ´etudi´e `a la fin.
Deuxi`eme application : ´Etude des perturbations plan´etaires des com`etes du nuage de Oort
Le mouvement des com`etes est l’un des mouvements les plus difficiles `a mod´eliser dans les m´ecaniques c´elestes. A cause de leur forme allong´ee, les trajectoires des com`etes sont influenc´ees par les perturbations plan´etaires au cours des ”rencontres proches” avec les grandes plan`etes. Il s’agit d’un cas particulier du probl`eme des 6 corps : le Soleil, les plan`etes Jupiter, Saturne, Uranus et Neptune et la com`ete. L’int´egration directe est coˆuteuse en temps de calcul. Grˆace `a la propri´et´e de non corr´elation des perturbations
plan´etaires des com`etes du nuage de Oort, on peut consid´erer ces perturbations comme des variables al´eatoires ind´ependantes. Une analyse exploratoire bas´ee sur les quantiles empiriques est faite sur les donn´ees des perturbations calcul´ees par l’int´egration num´e- rique. Ensuite la m´ethode d’estimation des param`etres des lois `a queue r´eguli`ere est mise en place. Les lois `a queue r´eguli`ere s’adaptent particuli`erement `a notre situation, car il prend en compte en mˆeme temps l’´etat d’engraissement de la queue et l’asym´etrie de la distribution. Les lois stables et une famille alternative de lois `a queue r´eguli`ere d’indice de queue α≥2 sont propos´ees pour mod´eliser les donn´ees.
Conclusion et perspectives
Conclusion
Nous avons g´en´eralis´e une m´ethode d’estimation des param`etres d’une loi stable dans Rd aux lois `a queue r´eguli`ere dans un cˆone abstrait. Un des points forts de cette m´ethode est que l’estimateur de la mesure spectrale normalis´ee ne d´epend pas de l’indice de queue. Nous avons prouv´e que les estimateurs propos´es ont une loi asymptotiquement normale. La vitesse de convergence d´epend de l’exposant du second ordre de la queue de loi marginale. Un nouvel estimateur de la masse totale de mesure spectrale est propos´e sous l’hypoth`ese que l’´echantillon est issu d’une loi appartenant au domaine d’attraction normal d’une loi stable.
Nous avons ´etudi´e trois sortes de transformations pour lesquelles la propri´et´e de variation r´eguli`ere est pr´eserv´ee. Des conditions suffisantes pour cette pr´eservation ont
´et´e pr´esent´ees. Les deux premi`eres transformations sont utiles pour simuler des vecteurs al´eatoires appartenant au domaine d’attraction d’une loi stable. Les propri´et´es des pro- jections sont utiles pour ´etudier la structure de la mesure spectrale d’une loi `a queue r´eguli`ere multidimensionnelle.
Nous avons effectu´e la mise en oeuvre de l’algorithme d’estimation pr´ecit´e dans le langage de programmation MATLAB. Trois diff´erentes m´ethodes d’estimation des para- m`etres des lois stables ont ´et´e compar´ees par l’´etude de simulation. Les r´esultats d’esti- mation sont comparables. Nous nous sommes int´eress´es aussi `a l’estimation de la densit´e de mesure spectrale d’une loi `a queue r´eguli`ere. La m´ethode d’estimation du noyau a ´et´e propos´ee et la consistance a ´et´e ´etablie.
Les mod`eles de lois stables et de lois `a queue lourde sont tr`es utilis´es dans plusieurs domaines d’application. Nous consid´erons deux jeux de donn´ees r´eelles : les cours des 30 valeurs de l’indice DJIA et les perturbations plan´etaires des com`etes du nuage de Oort. En appliquant la m´ethode d’estimation pr´esent´ee nous obtenons des descriptions statistiques de ces donn´ees.
Perspectives
La m´ethode d’estimation d´evelopp´ee dans cette th`ese est fiable asymptotiquement, mais qu’elle se d´et´eriore pour les petites tailles d’´echantillon. Pour augmenter le nombre
de points utilis´es dans l’´echantillon nous avons propos´e une m´ethode d’estimation uti- lisant les permutations al´eatoires d’´echantillon. Cela permet num´eriquement d’am´elio- rer la convergence des estimateurs. Il nous reste `a calculer th´eoriquement la vitesse de convergence en moyennant sur les ´echantillons permut´es.
Nous avons propos´e un estimateur de noyau de la densit´e de mesure spectrale. La consistance est ´etablie sous la condition forte de variation r´eguli`ere. Il nous reste `a ´etudier la vitesse de convergence de cet estimateur par rapport au param`etre de fenˆetre optimal.
La m´ethode d’estimation propos´ee est construite sous l’hypoth`ese d’ind´ependance d’´echantillon. Une direction int´eressante est l’estimation des param`etres des processus α-stable sans l’hypoth`ese d’ind´ependance.
Nous avons pr´esent´e deux applications de mod`eles de lois `a queue r´eguli`ere. Ces
´etudes servent ´egalement `a mettre en ´evidence une perspective importante li´ee `a ce travail : quelle alternative pour la loi `a queue r´eguli`ere avec α >2 qui ajuste au mieux un jeu de donn´ees.
Dans les ann´ees `a venir, je souhaite pouvoir `a la fois poursuivre mes projets en cours et trouver, en interaction avec les membres de l’´equipe qui m’accueillera, de nouveaux sujets de recherche. Ma formation g´en´erale en probabilit´es et statistique me permettra, je l’esp`ere, d’en apprendre d’autres outils afin de pouvoir mener aux nouveaux projets.
Annexe : Personnes ` a contacter pour des lettres de recommandation
Guoting Chen
Universit´e Lille 1 – Laboratoire Paul Painlev´e Bˆatiment M2, Bureau 214
59655 Villeneuve d’Ascq Cedex France T´el : +33 3 20 43 42 09
Fax : +33 3 20 43 43 02
e-mail : [email protected] Youri Davydov
Universit´e Lille 1 – Laboratoire Paul Painlev´e Bˆatiment M3, Bureau 303
59655 Villeneuve d’Ascq Cedex France T´el : +33 3 20 43 45 75
Fax : +33 3 20 43 67 74
e-mail : [email protected] Pierre Douillet
Ecole Nationale Sup´´ erieure des Arts et Industries Textiles 2, all´ee Louise et Victor Champier BP 30329
59056 Roubaix cedex 1 France
T´el : +33 3 20 25 89 47/ +33 3 20 27 25 97 e-mail : [email protected]
Johan Segers
Institut de statistique, biostatistique et sciences actuarielles (ISBA) Universit´e Catholique de Louvain
Voie du Roman Pays, 20, Bureau D.118 B-1348 Louvain-la-Neuve, Belgium T´el : +32 10 47 43 11
Fax : +32 10 47 30 32
e-mail : [email protected]
Radu Stoica
Universit´e Lille 1 – Laboratoire Paul Painlev´e Bˆatiment M3, Bureau 316
59655 Villeneuve d’Ascq Cedex France T´el : +33 3 20 43 42 17
Fax : +33 3 20 43 67 74
e-mail : [email protected] AlainVienne
LAL-IMCCE Laboratoire d’Astronomie de Lille 1 1 Impasse de l’Observatoire
59000 Lille France T´el : +33 3 20 52 44 24
e-mail : [email protected]
Bibliographie
[1] Y. Davydov, I. Molchanov, and Zuyev S. Strictly stable distributions on convex cones. Electron. J. Probab, 13 :259–321, 2008.
[2] Y. Davydov and V. Paulauskas. On the estimation of the parameters of multiva- riate stable distributions. Acta Applicandae Mathematicae : An International Survey Journal on Applying Mathematics and Mathematical Applications, 58(1) :107–124, 1999.
[3] Y. Davydov, V. Paulauskas, and A. Raˇckauskas. More on p-stable convex sets in banach spaces. Journal of Theoretical Probability, 13(1) :39–64, 2000.
[4] A. H. Jessen and T. Mikosch. Regularly varying functions. Publications de L’Institut Mathematique, Nouvelle Serie, (94) :171–192, 2006.
[5] J. P. Nolan. Multivariate stable densities and distribution functions : general and elliptical case. Deutsche Bundesbank’s Annual Fall Conference, 2005.
[6] S. I. Resnick. Extreme Values, Regular Variation and Point Processes. Springer- Verlag, Berlin, 1987.
