Méthode du domaine fictif avec le problème de Dirichlet et de Stokes

REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE Ministère de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique

UNIVERSITE DE JIJEL

Faculté des Sciences Exactes et Informatique Département de Mathématiques

N˚d’ordre Série

Mémoire de fin d’études

Présenté pour l’obtention du diplôme de Master

Spécialité : Mathématiques Appliquées Option : EDP et applications

Intitulé :

Présenté par : Kihal Amina

Soutenu le 28 Octobre 2020, devant le jury composé de :

Président S. Lounis MCA Université de Jijel Encadreur O. Yakhlef MCB Université de Jijel Examinateur A. Zazoua MCB Université de Jijel

Méthode du domaine fictif avec le problème de

Dirichlet et de Stokes

Remerciements

Nous tenons tout d’abord à remercier ALLAH le tout-puissant qui nous a guidés vers le chemin du savoir et pour tous ses bienfaits.

La première personne que nous tenons à remercier est notre promoteur Mr Othman Yakhlef, pour l’orientation, la confiance, la patience qui ont constitué

un apport considérable sans lequel ce travail n’aurait pas pu être mené au bon port. Qu’il trouve dans ce travail un hommage vivant à sa haute personnalité.

Nos sincères remerciements s’adressent aux enseignants de l’université de Jijel pour tout le savoir qu’ils ont su nous transmettre durant ces cinq dernières années, et spécialement un grand merci pour le professeur Mme W. Chikouche.

Nous remercions tous les membres de département de mathématiques plus particulièrement celles du jury pour nous avoir honorés en acceptant de juger

notre travail.

Mme S. Lounis, qui me fait l’honneur de présider ce jury.

Mme A. Zazoua, pour avoir accepté d’examiner ce travail.

Nous tenons à remercier également, tous ceux qui ont contribué par leurs conseils ou leurs encouragements à l’aboutissement de ce modeste travail.

…Pour tous et à toutes,

Du profond de mon cœur, je dédie ce travail à tous ceux qui me sont chers,

À mon cher père AZZOUZ et ma chère mère SORIA, aucune dédicace ne saurait exprimer mon respect, mon

amour et ma considération pour les sacrifies que vous avez consenti pour mon instruction et mon bien être.

Que ce modeste travail soit l’exaucement de vos vœux tant formulés, le fruit de vos innombrables sacrifices.

Puisse Dieu, le très Haut, vous accorder santé, bonheur et longue vie.

À l’âme de mon grand-père AHMED et mon cousin ADEM, que Dieu ait pitié d’eux.

À ma grand-mère, qui est ma deuxième mère FATMA, que Dieu la protège et prolonge sa vie.

À mes chers frères YASSER, MOHAMMED-WASSIM et AHMED, qui m’ont encouragé et m’ont apporté le meilleur soutien, j’espère vous donner le bon exemple.

À mes chères tantes FADILA, SABRINA et ma chère cousine ILHEM. Et toute la famille KIHAL.

À mes grands-parents AZZOUZ et DJAMILA, que Dieu les protège, et à tous oncle, tantes et toute la famille

BOUNEMEUR.

À tous cousins, cousines, amies et tous qui ont toujours cru à ma réussite…

Dédicace

Table des mati` eres

Notations 2

Introduction g´ en´ erale 5

1 Concepts de base et r´ esultats pr´ eliminaires 8

1.1 Notations . . . . 8

1.2 Ensembles convexes . . . . 8

1.3 Fonctions convexes . . . . 9

1.4 Existence et unicit´ e de la solution . . . . 9

1.4.1 Formules de Green et formule de la divergence . . . . 11

1.4.2 Th´ eor` eme de Lax-Miligram . . . . 12

1.4.3 La th´ eorie de Babushka-Brezzi . . . . 13

2 La m´ ethode du domaine fictif avec p´ enalisation 15 2.1 Probl` eme de Dirichlet . . . . 15

2.1.1 Formule variationnelle . . . . 15

2.1.2 Disque . . . . 18

2.1.3 Ellipse . . . . 20

2.2 Probl` eme de Stokes . . . . 22

2.2.1 Formule variationnelle . . . . 23

2.2.2 Formulation mixte par l’utilisation de domaine fictif avec p´ enalisa-

tion H

¹

. . . . 27

TABLE DES MATI ` ERES

2.2.3 Calcul des erreurs . . . . 28

Conclusion G´ en´ erale 32

Bibliographie 33

Notations

d : dimention de l’espace,

Ω : ouvert born´ e de R

^d

, g´ en´ eralement domaine physique ou domaine fictif, Ω

_cal

: domaine de calcul,

Ω ¯ : l’adh´ erence de Ω, Γ = ∂Ω : fronti` ere de Ω, p.p. : presque partout,

: param` etre de p´ enalisation (tendant vers 0), h : pas du maillage,

dx : mesure de Lebesgue sur R

^d

,

(E, < ., . >) espace pr´ e-hilbertien : espace vectoriel muni d’un produit scalaire, L

^p

(Ω)={v :Ω → R ; v mesurable et

^R

Ω

|v(x)|

^p

dx < ∞}, 1 ≤ p < ∞ , k v k

_L^p_(Ω)

=

^R

Ω

|v(x)|

^p

dx

!¹_p

, 1 ≤ p < ∞ , L

²

(Ω)={v :Ω → R ; v mesurable et

^R

Ω

|v(x)|

²

dx < ∞},

L

²

(Ω) : est un espace de Hilbert pour le produit scalaire < v, w >=

^R

Ω

v (x)w(x)dx; v, w ∈ L

²

(Ω),

k v k

_L²_(Ω)

=

^R

Ω

|v(x)|

²

dx

!¹₂

,

L

^∞

(Ω)={v mesurable dans Ω / ∃c ≥ 0 v´ erifiant |v| ≤ 0 p.p. sur Ω } , k v k

_∞

= inf { c, |v| ≤ c p.p. sur Ω } ,

|α| =

^Pd

α

_i

, utilis´ e pour la d´ efinition des espaces de Sobolev,

Notations

∂

^α

v =

_∂α1x^∂1^|α|...∂^vαdx_d

,

W

^m,p

(Ω) : espace de Sobolev sur Ω d´ efini par :

W

^m,p

(Ω) = {v ∈ L

^p

(Ω), ∂

^α

v ∈ L

^p

(Ω), ∀α ∈ N

^d

, |α| ≤ m},

k v k

_W^m,p_(Ω)

=

^R

Ω

P

|α|≤m

|∂

^α

v|

^p

(x) dx

!¹_p

,

H

^m

(Ω) = W

^m,2

(Ω) = { v ∈ L

²

(Ω), ∂

^|α|

v ∈ L

²

(Ω), ∀α ∈ N

^d

, |α| ≤ m} , H

¹

(Ω) : espace de Sobolev d’ordre 1 sur Ω d´ efini par :

H

¹

(Ω) = {v ∈ L

²

(Ω); ∂v

∂x

_i

∈ L

²

(Ω), 1 ≤ i ≤ d},

dont la norme associ´ ee est :

k v k

_1,Ω

= (v, v)

1 2

1,Ω

= k v k

²_0,Ω

+

d

X

i=1

k ∂v

∂x

_i

k

²_0,Ω

!

,

et de produit scalaire :

(u, v)

_1,Ω

= (u, v)

_0,Ω

+

d

X

i=1

∂u

∂x

_i

, ∂v

∂x

_i

!

,

H

¹

(Ω) : est un espace de Hilbert pour le produit scalaire (., .)

_1,Ω

, H

₀¹

= {∀v ∈ H

¹

, v = 0 sur ∂Ω},

H

⁰

: l’espace dual de l’espace H,

|v|

_H¹_(Ω)

: semi-norme sur H

¹

(Ω), telle que :

|v|

_H¹_(Ω)

=k ∇v k

_H¹

0(Ω)

,

Notations

D(Ω) : espace des fonctions ind´ efiniment d´ erivables ` a support born´ e (espace des fonctions

test) .

Introduction g´ en´ erale

Les m´ ethodes des domaines fictifs sont de plus en plus utilis´ ees, notamment pour les probl` emes d’interactions fluide/structure et plus g´ en´ eralement pour tous les probl` emes

`

a fronti` ere libre. Le principe de ces m´ ethodes est de prolonger un domaine r´ eel ouvert r´ egulier Ω (dans la suite d = 2) de bord Γ en un domaine D plus grand et de g´ eom´ etrie simple appel´ e domaine fictif.

Parmi les m´ ethodes de domaine fictif :

• Les m´ ethodes de p´ enalisation, consid´ er´ ees comme faisant partie des m´ ethodes de domaines fictifs, ont ´ et´ e introduite depuis les ann´ ees 1960 par V.K. Saul’ev [13] et V.D. Kopˇ cenov [7]. Le principe de ces m´ ethodes de p´ enalisation afin d’ajouter un terme de p´ enalisation au coefficient de diffusion utiliser une ´ equation unique sur le domaine Ω

_cal

. Des travaux ont ´ et´ e faites dans le cas des ´ equations elliptiques scalaires avec des conditions aux limites de type Dirichlet, Neumann et Robin par I.Rami` ere [10].

• Les m´ ethodes de fronti` eres immerg´ ees traitant des probl` emes d’obstacle immerg´ es

dans un domaine. Elles ont ´ et´ e introduites et d´ evelopp´ es par Charles S. Peskin

[9] dans le but de mod´ elisation des ´ ecoulements sanguins dans les valves. Ainsi,

elles ont ´ et´ e utilis´ ees pour r´ esoudre les probl` emes d’interaction fluide structure

que nous pouvons dire c’est le domaine le plus vaste dans la recherche scientifique

aujourd’hui, le fait qu’il regroupe de nombreuses sp´ ecialit´ es.

Introduction g´ en´ erale

• Les m´ ethodes de multiplicateur de Lagrange qui sont des m´ ethodes classiques pour la r´ esolutions des probl` emes de domaine fictif, cette m´ ethode s’applique ` a toute recherche de minimum en pr´ esence de contraintes, l’id´ ee est d’associer ` a chaque contrainte un multiplicateur a priori ind´ etermin´ e, il y a plusieurs m´ ethodes encore bien d´ etaill´ e par M.Fabre [5].

Dans ce m´ emoire nous nous int´ eressons ` a la m´ ethode de domaine fictif avec p´ enalisation pour le probl` eme de Dirichlet et le probl` eme de Stokes.

Ce m´ emoire est compos´ e de deux chapitres. Le premier est consacr´ e ` a des notions de base que nous avons utilis´ e tout au long de ce travail, concernant les vecteurs, la divergence d’un champ vectoriel et la norme associ´ ee, quelques rappels sur les ensembles et les fonctions convexes, les formules de Green et de la divergence, ainsi que le th´ eor` eme de Lax-Milgram et le th´ eor` eme de Babushka-Brezzi ` a propos d’existence et d’unicit´ e de la solution.

Dans le deuxi` eme chapitre, nous ´ etudions l’application de la m´ ethode du domaine fictif avec p´ enalisation L

²

et H

¹

pour le probl` eme de Dirichlet suivant :











−∆u = f dans Ω, u = 0 sur ∂Ω,

(1)

o` u f une fonction de L

²

(Ω) et u ∈ H

₀¹

(Ω).

Avec Ω le domaine r´ eel (Disque ou ellipse) afin de calcul´ e les estimations d’erreurs entre les solutions exactes u et les solutions approch´ ees u

,h

apr` es la pr´ esentation des formulations variationnelles.

Ensuite, nous effectuons l’application de la m´ ethode du domaine fictif pour les ´ equa-

tions de Stokes

Introduction g´ en´ erale



















−ν∆u + ∇p = f dans Ω, div u = 0 dans Ω, u = 0 sur ∂Ω.

(2)

afin de calculer les estimations d’erreurs relatives entre les solutions exactes u, p et les

solutions des probl` emes p´ enalis´ e u

_,h

, p

_,h

(vitesses, pressions respectivement) apr` es la

pr´ esentation de la formulation faible-mixte du probl` eme de Stokes et la formulation mixte

par l’utilisation de domaine fictif avec p´ enalisation H

¹

. De plus, pour valider nos r´ esultats,

des exemples num´ eriques ont ´ et´ e donn´ es o` u les calculs num´ eriques ont ´ et´ e ´ elabor´ es via le

ligiciel ”FreeFem++”.

Chapitre 1

Concepts de base et r´ esultats pr´ eliminaires

Dans ce chapitre, nous rappelons des notions de base de l’analyse convexe, quelques formules de Green et de la divergence et concernant l’existence et l’unicit´ e de la solution avec les th´ eor` emes de Lax-Milgram et de Babushka-Brezzi.

1.1 Notations

Soit H un espace de Hilbert r´ eel s´ eparable muni du produit scalaire h·, ·i, et de la norme associ´ ee k·k.

1.2 Ensembles convexes

D´ efinition 1.1 :

Un sous ensemble C de H est dit ensemble convexe si pour tout u, v ∈ C : λu + (1 − λ) v ∈ C ∀λ ∈ [0, 1] .

Nous appelons enveloppe convexe (resp. enveloppe convexe ferm´ e) de C, et on note co (C)

(resp. co (C)), le plus petit ensemble convexe (resp. ensemble convexe ferm´ e) contenant

C.

Chapitre 1 Concepts de base et r´ esultats pr´ eliminaires Remarque 1.1 :

En g´ en´ eral, co (C) n’est pas un ensemble ferm´ e. De plus, si C est convexe alors co (C) = C est r´ eciproquement. D’autre part, si C est born´ e (resp. compact) alors co (C) est born´ e (resp. compact).[11]

1.3 Fonctions convexes

Nous consid´ erons les fonctions ϕ telles que ϕ : H −→ R ∪ {+∞}.

Nous appelons l’´ epigraphe de la fonction ϕ, l’ensemble not´ e par : epi (ϕ) = {(u, λ) ∈ H × R /ϕ (u) 6 λ} . Nous notons par

dom (ϕ) = {u ∈ H/ϕ (u) < +∞}

le domaine de la fonction ϕ. Si dom (ϕ) 6= ∅ alors la fonction ϕ est dite propre.

D´ efinition 1.2 :

La fonction ϕ est dite convexe si pour tout u, v ∈ H avec ϕ(u) < +∞ est ϕ(v ) < +∞, nous avons

ϕ (λu + (1 − λ) v) 6 λϕ(u) + (1 − λ) ϕ(v) ∀λ ∈ [0, 1] . La fonction ϕ est dite strictement convexe si l’in´ egalit´ e ci-dessus est stricte.

Remarquons qu’une fonction est convexe si son ´ epigraphe est une partie convexe de H × R .[11]

1.4 Existence et unicit´ e de la solution

Dans cette section, nous rappelons des notions de base par rapport ` a la norme et des

th´ eor` emes principaux concernant l’existence et l’unicit´ e de la solution.

Chapitre 1 Concepts de base et r´ esultats pr´ eliminaires Soit d ∈ N , d ≥ 1. Dans cette section nous travaillerons avec des champs vectoriels de fonctions v, u, w : Ω → R

^d

(Ω ⊂ R

^d

), que nous noterons

v = (v

₁

, ..., v

_d

), o` u v

_i

: Ω → R (i = 1, ..., d),

Pour un tel champ, nous ´ ecrirons les op´ erateurs vectoriels associ´ es de la mani` ere sui- vante :

div v =

d

X

i=1

∂v

_i

∂x

_i

,

∇v =



















∇v

₁

...

∇v

_d



















=



















∂v1

∂x1

, ...,

_∂x^∂v1

d

...

∂vd

∂x1

, ...,

^∂v_∂x^d

d



















et ∆v =



















∆v

₁

...

∆v

_d



















.

La norme d’un champ vectoriel u dans un espace de Hilbert H

¹

(Ω)

^d

se note : kuk

_H1(Ω)^d

:=





d

X

j=1

ku

_j

k

²_H1(Ω)





1 2

.

Si u

_i

est un champ scalaire dans l’espace H

¹

(Ω) alors par la d´ efinition de la norme H

¹

:

k∇u

_i

k

_L2(Ω)

:=





d

X

j=1

∂u

_i

∂x

j

2

L²(Ω)





1 2

≤ ku

_j

k

_H1(Ω)

. Th´ eor` eme 1.1 (In´ egalit´ e de Cauchy-Schwarz) [1]

• Avec des sommes :

Soient u et v ∈ Ω (Ω ⊂ R

^d

) . Alors :

d

X

k=1

|u

_k

v

_k

| ≤

d

X

k=1

|u

_k

|

²

!

1

2 d

X

k=1

|v

_k

|

²

!

1 2

.

• Avec des int´ egrales :

Soient f, g ∈ C([0, 1], R ) . Alors :

1

Z

0

|f g| dx ≤





1

Z

0

|f|

²

dx





1 2 



1

Z

0

|g|

²

dx





1 2

.

Chapitre 1 Concepts de base et r´ esultats pr´ eliminaires

• Dans un espace de Hilbert :

Soit (E, < ., . >) un espace pr´ e-hilbertien .Alors,pour tous u, v ∈ E,

| < u, v > | ≤k u k

_E

k v k

_E

. Th´ eor` eme 1.2 (In´ egalit´ e de H¨ older) [3]

Soit Ω un ouvert de R

^d

. 1 ≤ r ≤ ∞, 1 ≤ s ≤ ∞ et 1 ≤ t ≤ ∞ tels que (

¹_r

+

¹_s

=

¹_t

). Alors

∀f ∈ L

^r

(Ω), ∀g ∈ L

^s

(Ω), f.g ∈ L

^t

(Ω) et

k f.g k

_L^t_(Ω)

≤k f k

_L^r_(Ω)

k g k

_L^s_(Ω)

. Remarque 1.2 :

Cette in´ egalit´ e devient l’in´ egalit´ e de Cauchy-Schwarz pour r = s = 2 et t = 1.

Th´ eor` eme 1.3 (In´ egalit´ e de Poincar´ e) [1]

Soit Ω un ouvert born´ e de R

^d

. Alors, il existe une constante C > 0 (d´ ependent de Ω) telle que : pour tout fonction v ∈ H

₀¹

(Ω) , nous avons :

k v k

_L²_(Ω)

≤ C

_Ω

k ∇v k

_L²_(Ω)

Remarque 1.3 :

Une in´ egalit´ e de Poincar´ e est une in´ egalit´ e qui permet de controler (estimer) la norme L

²

d’une fonction par la norme L

²

de son gradiant.

Th´ eor` eme 1.4 (Th´ eor` eme de Riesz) [3]

Soit H un espace de Hilbert de produit scalaire (., .)

_H

et de norme k . k

_H

. Alors, pour tout f ∈ H

⁰

, ∃!u ∈ H tel que < f, v >

_H⁰_,H

= (v, u)

_H

∀v ∈ H .

De plus, k f k

_H⁰

=k u k

_H

.

1.4.1 Formules de Green et formule de la divergence

Nous donnons quelques rappels utiles par la suite.

Ω un ouvert born´ e de R

^d

, soient v, w ∈ H

¹

(Ω) et soient v, w ∈ H

²

(Ω).

Chapitre 1 Concepts de base et r´ esultats pr´ eliminaires

Z

Ω

∂v

∂x

_i

w dx =

Z

∂Ω

vn

_i

w dσ −

Z

Ω

v ∂w

∂x

_i

dx a) Pour tous champs scalaires v, w r´ eguliers, on a

−

Z

Ω

(∆w)v dx =

Z

Ω

∇w · ∇v dx −

Z

∂Ω

∂w

∂ n v dσ, (1.1)

o` u n est la normale unitaire ext´ erieure ` a Ω b) Pour tous champs vectoriels v, w r´ eguliers, on a

−

Z

Ω

∆w · v dx =

Z

Ω

∇w : ∇v dx −

Z

∂Ω

∂ w

∂n · v dσ, (1.2)

avec ∇w : ∇v =

^Pd

i=1 d

P

j=1

∂wi

∂xj

∂vi

∂xj

.

c) Soit Ω un ouvert r´ egulier de R

^d

et p : ¯ Ω → R une fonction de classe C

¹

et v : ¯ Ω → R

^d

un champ vectoriel de classe C

²

. Alors

Z

Ω

∇p · v dx = −

Z

Ω

p · div v dx +

Z

∂Ω

(pn) · v dσ, (1.3)

o´ u n = (n

₁

, ..., n

_d

) est le vecteur normal unitaire ` a ∂ Ω.

Formule de la divergence :

Pour tout champ vectoriel v r´ egulier, nous avons

Z

Ω

div v dx =

Z

∂Ω

v · n dσ, (1.4)

o` u n est la normale unitaire ext´ erieure ` a Ω Nous notons par k·k

X

(resp. k·k

Y

) la norme sur X (resp. sur Y ).

1.4.2 Th´ eor` eme de Lax-Miligram

D´ efinition 1.3 :

Soit a : X × X → R une forme bilin´ eaire. Nous disons que 1) a(u, v) est continue sur X si :

∀u, v ∈ |a(u, v)| ≤ kuk kvk

Chapitre 1 Concepts de base et r´ esultats pr´ eliminaires 2) a(u, v) est coercive sur X si :

Il existe α > 0 tel que α kvk

²

X

≤ a(v, v ).

3) a(u, v) est sym´ etrique si :

∀u, v ∈ X , a(u, v) = a(v, u).

Th´ eor` eme 1.5 (Th´ eor` eme de repr´ esentation de Lax-Milgram)[2]

Soit a : X × X → R une forme bilin´ eaire, continue et coercive sur l’espace de Hilbert X et soit L : X → R une forme lin´ eaire continue sur X . Alors, il existe un unique u ∈ X tel que l’´ equation a(u, v) = L(v) soit v´ erifi´ ee pour tout v de X , c-` a-d :

∃!u ∈ X ∀v ∈ X , a(u, v) = L(v) (1.5) Si on suppose de plus que la forme a est sym´ etrique, alors l’´ el´ ement u est caract´ eris´ e comme ´ etant l’unique ´ el´ ement de X qui minimise la fonctionnelle J : X → R d´ efinie par J(v) =

¹₂

a(v, v) − L(v) pour tout v de X , c’est-` a-dire :

∃!u ∈ X , J (u) = min

v∈X

J(v) (1.6)

1.4.3 La th´ eorie de Babushka-Brezzi

Soit X et Y deux espaces de Hilbert et deux formes bilin´ eaires a : X × X → R

b : X × Y → R .

Etant donn´ e f ∈ X

⁰

, nous cherchons (u, p) ∈ X × Y tels que

a(u, v) + b(v, p) =< f, v >

_X⁰_,X

∀v ∈ X (1.7)

b(u, q) = 0 ∀q ∈ Y . (1.8)

Th´ eor` eme 1.6 [8]

Nous faisons les hypoth` eses suivantes : 1) La forme a(u, v) est continue sur X :

∀u, v ∈ |a(u, v)| ≤ kuk kvk

Chapitre 1 Concepts de base et r´ esultats pr´ eliminaires 2) La forme a(u, v) est coercive sur X :

Il existe α > 0 tel que α kvk

²

X

≤ a(v, v ).

3) La forme b(v, q) est continue :

Il existe N > 0 ∀v ∈ X ∀q ∈ Y , tel que |b(v, q)| ≤ N kvk

X

kqk

Y

. 4) La forme b(v, q) satisfait la condition ’inf-sup’ :

Il existe β > 0, tel que inf

q∈Y q6=0

sup

v∈X v6=0

b(v, q) kv k

X

kqk

Y

≥ β.

Alors le probl` eme (1.7),(1.8) admet une unique solution (u, p) ∈ X × Y . Corollaire 1.1 :[6]

Soit Ω un ouvert born´ e de R

^d

. Alors :

L’op´ erateur div est un isomorphisme de V

^⊥

sur L

²₀

(Ω)

Chapitre 2

La m´ ethode du domaine fictif avec p´ enalisation

2.1 Probl` eme de Dirichlet

Nous nous proposons dans cette partie d’appliquer la m´ ethode de domaine fictif pour le probl` eme de Dirichlet qui nous permet de simplifier la prise en compte de domaine de g´ eom´ etrie complexe.

Soit Ω un ouvert de R

²

. Nous consid´ erons le probl` eme de Dirichlet suivant :











−∆u = f dans Ω, u = 0 sur ∂Ω,

(2.1)

o` u f une fonction de L

²

(Ω) et u ∈ H

₀¹

(Ω).

2.1.1 Formule variationnelle

Nous supposons que u ∈ H

²

(Ω). En multipliant l’´ equation de Laplace (2.1) par une

fonction test v qui s’annule sur le bord ∂Ω et en int´ egrant sur Ω et apr` es nous utilisons

Chapitre 2 La m´ ethode du domaine fictif avec p´ enalisation la formule de Green, nous obtenons le probl` eme suivant :















trouver u ∈ H

₀¹

(Ω) tel que

R

Ω

∇u · ∇v dx =

^R

Ω

f v dx ∀v ∈ H

₀¹

(Ω).

(2.2)

Nous d´ efinissons la forme bilin´ eaire a : H

₀¹

× H

₀¹

→ R et la forme lin´ eaire continue F : H

₀¹

→ R :

a(u, v) =

Z

Ω

∇u · ∇v dx.

F (v) =

Z

Ω

f v dx.

Th´ eor` eme 2.1 Il existe une unique solution u ∈ H

₀¹

(Ω) telle que a(u, v) = F (v) ∀v ∈ H

₀¹

(Ω).

Preuve.

1) Continuit´ e de a(., .) :

Soient u, v ∈ H

₀¹

(Ω) , nous avons :

|a(u, v)| = |

Z

Ω

∇u · ∇v dx|

≤

Z

Ω

|∇u · ∇v| dx

C−S

≤k ∇u k

_L²_(Ω)

k ∇v k

_L²_(Ω)

= |u|

_H¹_(Ω)

|v|

_H¹_(Ω)

.

Donc la forme bilin´ eaire a est continue avec M = 1 comme constante de continuit´ e.

2) Coercivit´ e de a(., .) :

Soit v ∈ H

₀¹

(Ω), nous avons :

Chapitre 2 La m´ ethode du domaine fictif avec p´ enalisation

a(v, v) =

Z

Ω

(∇v )

²

dx

=k ∇v k

²_L2(Ω)

= |v|

_H¹_(Ω)

.

Donc la forme bilin´ eaire a est coercive avec α = 1 la constante de coercivit´ e.

3) Continuit´ e de F (., .) : Soit v ∈ H

₀¹

(Ω), nous avons :

|F (v)| = |

Z

Ω

f v dx|

≤

Z

Ω

|f v| dx

C−S

≤k f k

_L²_(Ω)

k v k

_L²_(Ω)

I.P oincaré

≤ C

_Ω

k f k

_L²_(Ω)

|v |

_H¹_(Ω)

.

De plus, H

₀¹

(Ω) est un espace de Hilbert. Alors, le th´ eor` eme de Lax-Miligram assure l’existence et l’unicit´ e de u (solution de probl` eme (2.2)).

Soit D un ouvert de R

²

tel que Ω ⊂ D, Ω

₂

= D\Ω, Γ = ∂Ω, soit f une fonction d´ efinie de D ` a valeur dans R , maintenant nous allons r´ esoudre un probl` eme de p´ enalisation L

²

[14] avec un coefficient de p´ enalit´ e 0 < < 1, qui est ´ equivalant ` a la forme suivante :















trouver u

∈ H

₀¹

(D) tel que

R

D

∇u

· ∇v dx +

^{1 R}

Ω2

u

v dx =

^R

D

f v dx ∀v ∈ H

₀¹

(D).

(2.3)

Chapitre 2 La m´ ethode du domaine fictif avec p´ enalisation Un autre exemple d’application de la m´ ethode de domaine fictif avec p´ enalisation H

¹

de (2.2) est de :















trouver u

∈ H

₀¹

(D) tel que

R

D

∇u

· ∇v dx +

^{1 R}

Ω2

u

v +

_∂x^∂u

1

∂v

∂x1

+

^∂u_∂x

2

∂v

∂x2

dx =

^R

D

f v dx ∀v ∈ H

₀¹

(D).

(2.4)

Th´ eor` eme 2.2 (Theorem 2.1 dans [14])

Soit D un domaine rectangulaire et Ω un domaine r´ egulier. Il existe des solutions uniques u et u

pour (2.2) et (2.4), respectivement, et nous avons les estimations suivantes :

ku

− uk

_1,Ω

≤ C, (2.5)

ku

k

_1,Ω

2

≤ C. (2.6)

Nous donnons aussi un th´ eor` eme concernant la r´ egularit´ e des solutions pour les pro- bl` emes de p´ enalisation H

¹

Th´ eor` eme 2.3 (Theorem 3.1 dans [14])

Soit D un domaine rectangulaire et Ω un domaine r´ egulier. Soit u

∈ H

₀¹

(D) la solution du probl` eme de p´ enalisation H

¹

(2.4) pour f ∈ L

²

(Ω). Si Γ ∈ C

³

et ∂D lipschitz alors nous avons

u

|

_Ω

∈ H

²

(Ω), u

|

_Ω2

∈ H

²

(Ω

₂

),

ku

− uk

_1,Ω

≤ C, (2.7)

ku

k

_1,Ω

2

≤ C. (2.8)

2.1.2 Disque

Dans cette partie nous consid´ erons Ω un disque inclus dans le domaine D, tel que Ω =

(x

₁

, x

₂

) ∈ R

²

|

^q

x

²₁

+ x

²₂

≤ 2

, et D c’est le carr´ e qui est defini par

D = {(x

₁

, x

₂

)| − 3 < x

₁

< 3, −3 < x

₂

< 3}. Nous mettons f = 4 dans (2.1) nous obtenons le probl` eme suivant :









−∆u = 4 dans Ω, u = 0 sur ∂Ω,

(2.9)

Chapitre 2 La m´ ethode du domaine fictif avec p´ enalisation La solution exacte de (2.9) est u = 4 − x

²₁

− x

²₂

.

n

n

1

2

Ω

Ω

Γ

2

D

Figure 2.1 – Domaine de calcul

Nous avons calcul´ e les erreurs relatives avec la norme L

²

(D) par la p´ enalisation L

²

et nous avons utilis´ e la m´ ethode des ´ elements finis P

¹

, avec plusieurs valeurs de et de h, (o` u h = √

2/k (k = N/6), pour N = 30, 60, 120, 300, 600, et de g´ en´ erer une grille N × N dans le carr´ e D) nous obtenons les r´ esultats qui sont repr´ esent´ ees par la Figure 2.2. Ensuite, nous avons utilis´ e la p´ enalisation H

¹

et nous avons calcul´ e l’erreur relative avec la norme H

¹

(D), la Figure 2.3 repr´ esente ces r´ esultats.

-4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0

-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1

log(relative error L2)

log(h)

eps=0.1 eps=0.05 eps=0.01 eps=0.005 eps=0.001

Figure 2.2 – Disque : p´ enalisation L

²

et l’erreur relative avec la norme L

²

(D) k

^u,h−u

k

_0,D

kuk_0,D

!

avec ´ echelle logarithmique

Chapitre 2 La m´ ethode du domaine fictif avec p´ enalisation

-3.2 -3 -2.8 -2.6 -2.4 -2.2 -2 -1.8 -1.6

-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1

log(relative error H1)

log(h)

eps=0.01 eps=0.005 eps=0.001 eps=0.0005

Figure 2.3 – Disque : p´ enalisation H

¹

et l’erreur relative avec la norme H

¹

(D) k

^u,h−u

k

_1,D

kuk_1,D

!

avec ´ echelle logarithmique

Remarque 2.1 :

Nous pouvons voir ` a travers la Figure 2.2, si nous diminuons le terme de discr´ etisation h nous remarquons que l’erreur ne diminue pas et parfois elle augmente. Ce ph´ enom` ene, nous pouvons l’expliquer par le fait que l’erreur avec la p´ enalisation L

²

d´ epend de h, mais aussi de (voir Th´ eor` eme 3.3 dans [12]).

2.1.3 Ellipse

Dans cette partie nous consid´ erons Ω une ellipse dans le domaine D qui ` a la mˆ eme d´ efinition comme dans la section du cercle, tel que Ω =

ⁿ

(x

₁

, x

₂

) ∈ R

²

|

^q

x

²₁

/4 + x

²₂

≤ 1

^o

. Nous mettons f = 2.5 dans (2.1) nous obtenons le probl` eme suivant :











−∆u = 2.5 dans Ω, u = 0 sur ∂ Ω,

(2.10)

La solution exacte de (2.10) est u = 1 − x

²₁

/4 − x

²₂

.

Chapitre 2 La m´ ethode du domaine fictif avec p´ enalisation

n¹

n2

Ω₂ D

Ω

Γ

Figure 2.4 – Domaine de calcul

Nous avons fait les calculs identiques ` a la section pr´ ec´ edente du disque mais au lieu de prendre un disque nous avons pris une ellipse, les r´ esultats sont dans les figures suivantes :

-3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1

-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1

log(relative error L2)

log(h)

eps=0.1 eps=0.05 eps=0.01 eps=0.005 eps=0.001

Figure 2.5 – Ellipse : p´ enalisation L

²

et l’erreur relative avec la norme L

²

(D) k

^u,h−u

k

_0,D

kuk_0,D

!

avec ´ echelle logarithmique

Chapitre 2 La m´ ethode du domaine fictif avec p´ enalisation

-2.8 -2.6 -2.4 -2.2 -2 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6

-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1

log(relative error H1)

log(h)

eps=0.1 eps=0.05 eps=0.01 eps=0.005 eps=0.001

Figure 2.6 – Ellipse : p´ enalisation H

¹

et l’erreur relative avec la norme H

¹

(D) k

^u,h−u

k

_1,D

kuk_1,D

!

avec ´ echelle logarithmique

Nous observons pour l’ellipse (Figure 2.5 et 2.6) le mˆ eme ph´ enom` ene que dans l’exemple pr´ ec´ edent pour le disque, voir la remarque 2.1.

2.2 Probl` eme de Stokes

L’´ equation de Stokes permet de d´ ecrire un fluide visqueux coulant lentement dans un lieu ´ etroit ou autour d’un petit objet,

Dans cette partie nous allons nous int´ eresser au probl` eme de Stokes suivant : pour Ω un ouvert de R

²

, ´ etant donn´ e une fonction f : Ω → R

²

, on veut trouver des fonctions u : Ω → R

²

et p : Ω → R telles que



















−ν∆u + ∇p = f dans Ω, div u = 0 dans Ω, u = 0 sur ∂Ω.

(2.11)

Le vecteur u repr´ esente le champ de vitesse du fluide. La fonction scalaire p est la pression

qui lui est associ´ ee. Nous consid` erons encore le champ de force f agissant sur la fronti` ere et

le coeffficient de viscocit´ e cin´ ematique ν (ν > 0). Ici nous nous int´ eresserons uniquement

Chapitre 2 La m´ ethode du domaine fictif avec p´ enalisation

2.2.1 Formule variationnelle

Nous supposons que f ∈ L

²

(Ω)

²

, u ∈ H

²

(Ω)

²

et p ∈ H

¹

(Ω) . Nous multiplions la premi` ere ´ equation par un champ vectoriel v dans l’espace des fonctions tests (D(Ω))

²

et nous int´ egrons. Le probl` eme devient :

−ν

Z

Ω

∆u · v dx +

Z

Ω

∇p · v dx =

Z

Ω

f · v dx ∀v ∈ (D(Ω))

²

.

En utilisant les formules de Green (1.2) et (1.3) avec d = 2, l’expression devient :

Z

Ω

(ν(∇u :∇v) − p div v) dx +

Z

∂Ω

((−ν(∇u)n) · v + (pn) · v) dσ =

Z

Ω

f · v dx ∀v ∈ (D(Ω))

²

. De plus, afin de simplifier le probl` eme variationel, nous cherchons une fonction s’annulant sur ∂Ω . Nous d´ efinissons ainsi

V := H

₀¹

(Ω)

²

.

Concernant la pression, puisque l’´ equation de Stokes n’en fait intervenir que les d´ eriv´ ees, nous sommes pouss´ es ` a imposer une condition sur p qui nous fixe la constante d’int´ egration afin de garantir l’unicit´ e d’une telle pression. Nous choisissons ` a cet effet l’espace des fonctions de carr´ e sommable ` a moyenne nulle

Q = L

²₀

(Ω) := {q ∈ L

²

(Ω)\

Z

Ω

q dx = 0}.

Par l’´ equation d’incompressibilit´ e, divu = 0, nous la multiplions par une fonction scalaire q : Ω → R dans l’espace Q et nous int´ egrons. Nous obtenons

Z

Ω

q div u dx = 0 ∀q ∈ Q.

Finalement, en d´ efinissant les formes bilin´ eaires a : V × V → R et b : V × Q → R : a(u, v) := ν

Z

Ω

∇u :∇v dx, (2.12)

b(v, q) := −

Z

q div v dx, (2.13)

Chapitre 2 La m´ ethode du domaine fictif avec p´ enalisation ainsi que la fonctionnelle lin´ eaire F : V → R :

F (v) :=

Z

Ω

f · v dx,

Nous obtenons la formulation variationnelle suivante :























Trouver u ∈ V , p ∈ Q tel que a(u, v) + b(v, p) = F (v) ∀v ∈ V b(u, q) = 0 ∀q ∈ Q.

(2.14)

Th´ eor` eme 2.4 Il existe une unique solution (u, p) telle que a(u, v)+b(v, p) = F (v) ∀v ∈ V .

Preuve.

1) Continuit´ e de a(., .) : Soient u, v ∈ V , nous avons :

| a(u, v) |= |ν

Z

Ω

∇u :∇v dx| ≤ ν

2

X

i,j=1

Z

Ω

| ∂u

_i

∂x

_j

∂v

_i

∂x

_j

| dx

C−S

≤ ν

2

X

i,j=1

k ∂u

i

∂x

_j

k

_L²_(Ω)

k ∂v

i

∂x

_j

k

_L²_(Ω)

≤ ν

2

X

i=1

k u

_i

k

_H¹_(Ω)

k v

_i

k

_H¹_(Ω)

≤ ν k u k

_V

k v k

_V

,

Donc la forme bilin´ eaire a(u, v) est continue avec M = ν comme constante de continuit´ e.

2) Coercivit´ e de a(., .) : Soit v ∈ V , nous avons :

a(v, v) = ν

Z

Ω

∇v :∇v dx = ν

2

X

j=1

Z

Ω

∇u

j

· ∇u

j

dx.

Chapitre 2 La m´ ethode du domaine fictif avec p´ enalisation V´ erifions dans un premier temps que la forme bilin´ eaire

a

_j

(v, v) =

Z

Ω

∇u

_j

· ∇u

_j

dx

=k ∇v

j

k

²_L2(Ω)

.

est coercive. En effet,grˆ ace ´ a l’´ en´ egalit´ e de Poincar´ e :

k v

_j

k

²_V

≤ (1 + C

_Ω²

) k ∇v

_j

k

²_L2(Ω)

.

O` u C

_Ω

est la constante de Poincar´ e. Par cons´ equent, a

_j

(v, v) ≥ 1

1 + C

_Ω²

k v

_j

k

²_V

. Donc a

_j

est coercive avec α =

_1+C¹ 2

Ω

> 0 la constante de coercivit´ e . Puisque a(v, v) = ν

2

X

j=1

a

j

(v, v) ≥ ν

2

X

j=1

α k v

j

k

²_V

≥ να k v k

²_V

Donc la forme bilin´ eaire a est coercive avec να la constante de coercivit´ e.

3) Continuit´ e de b(., .) :

Soient u ∈ V , q ∈ Q , nous avons :

|b(u, q)| = | −

Z

Ω

qdiv u dx| ≤

2

X

k=1

Z

Ω

| ∂u

k

∂x

_k

q| dx

C−S

≤

2

X

k=1

k ∂u

k

∂x

_k

k

_L²_(Ω)

k q k

_L²_(Ω)

≤

2

X

k=1

k u

_k

k

²_V

!¹₂

√

2 k q k

_L²_(Ω)

≤ γ k u k

_V

k q k

_Q

∀u ∈ V, q ∈ Q.

Donc la forme b est continue avec γ = √

2 la constante de continuit´ e .

4) On peut finalement montrer (voir [6], [4]) que les espaces V et Q v´ erifient la propri´ et´ e suivante :

∃β > ∀q ∈ ∃v ∈ 6= 0 : ≥ k k k k

Chapitre 2 La m´ ethode du domaine fictif avec p´ enalisation Soit

V = {v ∈ H

₀¹

(Ω)

²

; div v = 0} ⊂ H

₀¹

(Ω)

²

grˆ ace au corollaire 1.1 nous avons :

div : V

^⊥

−−→

^isom

L

²₀

(Ω) v 7−→ div v.

Soit q ∈ Q, donc ∃!v ∈ V

^⊥

tel que :

div v = q,

d’apr` es la continuit´ e de (div)

⁻¹

nous avons :

k div v k

_L²_(Ω)

≥ c k v k

_H¹_(Ω)²

∀v ∈ V

^⊥

, donc

k v k

_H¹_(Ω)²

≤ 1

c k q k

_L²_(Ω)

(∗) Par cons´ equent

(q, div v)

k v k

_H¹_(Ω)²

= (q, q)

k v k

_H¹_(Ω)²

= k q k

²_L2(Ω)

k v k

_H¹_(Ω)²

, (∗) = ⇒ 1

k v k

_H¹_(Ω)²

≥ c 1 k q k

_L²_(Ω)

, donc

(q, div v)

k v k

_H¹_(Ω)²

≥k q k

²_L2(Ω)

c 1 k q k

_L²_(Ω)

≥ c k q k

_L²_(Ω)

, d’o` u

(q, div v) ≥ c k q k

_L²_(Ω)

k v k

_H¹_(Ω)²

∀q ∈ Q, Soit w = −v ∈ V

^⊥

⊂ H

₀¹

(Ω)

²

,

−div ≥ k k k k ∀q ∈

Chapitre 2 La m´ ethode du domaine fictif avec p´ enalisation nous avons :

(q, −div w) = −(q, div w),

−(q, div w) = b(w, q).

De plus, H

₀¹

(Ω) et L

²₀

(Ω) sont des espaces de Hilbert. Alors, la th´ eorie de Babushka-Brezzi assure l’existence et l’unicit´ e de (u, p) (solution de probl` eme (2.14) ).

2.2.2 Formulation mixte par l’utilisation de domaine fictif avec p´ enalisation H

¹

Soit D un ouvert de R

²

tel que Ω

^S

, Ω

^F

⊂ D, et D = Ω

^S

∪ Ω

^F

D

n^{S F}

n^F

S

Figure 2.7 – Domaine de calcul

Maintenant nous allons r´ esoudre un probl` eme par la m´ ethode de domaine fictif avec p´ enalisation H

¹

avec un coefficient de p´ enalit´ e 0 < < 1, soit

u

: D → R

²

, p

: D → R , u

= 0 sur ∂D

Chapitre 2 La m´ ethode du domaine fictif avec p´ enalisation Donc notre probl` eme est : trouver (u

, p

) ∈ H

₀¹

(D)

²

× L

²₀

(D) tel que

Z

D

2µ(u

) : (w) dx −

Z

D

(∇ · w)p

dx + 1

Z

Ω^F

(u

· w + ∇u

: ∇w) dx

=

Z

D

f · w dx ∀w ∈ H

₀¹

(D)

²

(2.15)

−

Z

D

(∇ · u

)q dx = 0 ∀q ∈ L

²₀

(D) (2.16) o` u (u

) =

¹₂

∇u

+ (∇u

)

^T

et (w) =

¹₂

∇w + (∇w)

^T

.

2.2.3 Calcul des erreurs

Lorsque nous calculerons des probl` emes avec solutions exactes, nous v´ erifierons le r´ esultat en calculant les erreurs relatives entre les solutions exactes u et p et leurs ap- proximations u

,h

et p

,h

.

Pour la pression p, l’erreur absolue se fera pour la norme L

²

: kp

_,h

− pk

_L2(D)

=



 Z

D

(p

_,h

− p)

²

dx





1 2

.

Comme u se trouve dans un sous espace de Sobolev de type H

¹

(D)

²

, nous allons estimer l’erreur absolue pour la norme correspondante, c’est ` a dire

ku

_,h

− uk

_H1(D)²

=

2

X

i=1

u

_i,h

− u

_i²

H¹(D)

!¹₂

o` u

u

_i,h

− u

_i²

H¹(D)

=

u

_i,h

− u

_i²

L²(D)

+

2

X

j=1

∂u

i_,h

∂x

_j

− ∂u

i

∂x

_j

2

L²(D)

.

Finalement, nos erreurs relatives sur u et p seront calcul´ ees de la mani` ere suivante : Er(u) = ku

_,h

− uk

_H1(D)²

kuk

_H1(D)²