Plans d'expérience pour mélanges à deux niveaux et facteurs externes

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Submitted on 10 Feb 2011

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Plans d’expérience pour mélanges à deux niveaux et facteurs externes

Hanen Hanna

To cite this version:

Hanen Hanna. Plans d’expérience pour mélanges à deux niveaux et facteurs externes. Mathématiques [math]. Université de Pau et des Pays de l’Adour, 2010. Français. �tel-00564885�

N^{◦attribué parla} bibliothèque

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THÈSE

présentée à

L'UNIVERSITÉ DE PAU ET DES PAYS DE L'ADOUR

ÉCOLE DOCTORALE DES SCIENCESEXACTES ET DELEURS APPLICATIONS

par

Hanen HANNA

pour obtenirle grade de

Doteur

Spéialité :MATHÉMATIQUES APPLIQUÉES

Plans d'expériene pour mélanges à deux

niveaux et fateurs externes

SOUTENUE LE16DÉCEMBRE2010DEVANTLE JURYCOMPOSÉDE MESSIEURS:

ChristopheBIERNACKI, Professeur à l'Université Lille1 Rapporteur

Laurent BORDES, Professeur à l'UPPA Direteur

PierreDRUILHET, Professeur à l'Université Blaise Pasal Rapporteur

Walter TINSSON, Maître de onférenes à l'UPPA Codireteur

J'adresse ma profonde gratitude à Walter Tinsson qui a guidé mes travaux de

reherhe. Meri d'avoir partagé ave moi tes idées, tes onnaissanes et ton ex-

périene. J'aieu beauoup de hane de t'avoiromme direteur de thèse.

J'exprime toutemon admirationauProfesseur LaurentBordes, Direteur du Labo-

ratoiredeMathématiques.J'aibienappréiévotreapaitéàexererl'autoritédans

l'équilibre de la fermeté etla gentillesse.

JeremeriesinèrementlesRapporteurs,ProfesseursChristopheBiernaki etPierre

Druilhet, quiont aeptélaresponsabilitéde rapportersur montravailmalgréleurs

multiplesoupations.

Je suis ontente d'avoir renontré tous es jeunes dotorants ave qui j'ai partagé

des momentstrès agréables au sein du laboratoire.Jeremerie eux quim'onttant

aidée à surmonter les diultés de la languelors de la rédation de ette thèse.

Je remerie le personnel de la Bibliothèque Mathématiques/Géologie, tout parti-

ulièrement LinaGonalvespour son servie de qualité et son eaité.

Pendant es trois ans j'ai reçu du Laboratoirede Mathématiques de l'Université de

Pau et des Pays de l'Adour le support matériel néessaire à la réalisation de mes

travauxainsi que le nanement pour mapartiipation àdes ongrès. Meri.

A la Universidad de Carabobo debo el apoyo naniero que hizo posible desarrollar

este trabajo durante una estadía extraordinaria de tres años y tres meses ontinuos

en Frania. Graias.

afrontar las diultades on entusiasmo

Les plans d'expérienepour mélanges traitent des as oùlespropriétés du mélange

sont dépendantes uniquement des proportions de ses omposants.

Ce travailporte sur lessystèmes de mélanges à deux niveaux oùhaque omposant

prinipal (CP) est lui-même un sous-mélange de omposants seondaires (CS). Ces

systèmes sont lassés en :

Mélanges de type A : les proportionsdes CP sont xées etelles des CS sont

variables.

Mélanges de type B : lesproportionsdes CP et des CS sont toutes variables.

And'analyserlesdeux typesde mélangesonpropose desmodèlesadditifs.Ce type

de modèles est bien adapté pour l'expérimentation ave de nombreux omposants

arlenombredeparamètresestonsidérablementinférieuraunombredeparamètres

des modèles multipliatifsproposés dans lalittérature.

On onstruitdes plansvériant deux hypothèses, l'uned'orthogonalité à l'intérieur

de haque groupede CS etl'autred'équilibreentre sous-mélangesde CS parouple

de CP.Pour e typede plans,ditorthogonal-équilibré (OE), onobtient de manière

expliite lesestimateursdes moindresarrés des paramètresdu modèleadditifainsi

que sa matrie de dispersion. À partir de la dispersion on déduit l'optimalité uni-

forme des plans omposés de sous-mélanges purs dans lalasse de plans OE.

L'identiationentre les plansorthogonaux fatoriels lassiques etette sous-lasse

de plans OE permet d'obtenir des plans de taille restreinte pour ertaines ong-

urations des systèmes de mélanges. On établit aussi l'identiation entre les sous-

mélanges purs etles expérienes axiales, ei donne une méthode pour la onstru-

tion de plans OEoù lesproportionsdes CS etdes CP sont non nulles.

On onsidère aussilamodélisationonjointede mélanges etfateursexternes.C'est

le as par exemple d'un médiament pour lequel la performane dépend de la for-

mulation ainsi que de la dose appliquée. On propose toujours des modèles additifs

pour les mélanges de type A et de type B tenant omptedes fateurs externes. On

utilise de même les tehniques lassiques de onstrution de frations orthogonales

de tailles réduites à partir d'un plan fatoriel omplet omposé du rassemblement

des trois groupesde variables : proportions des CS, proportionsdes CP et fateurs

externes.

Mots-lés : mélanges à deux niveaux, modèle additif, plan orthogonal-équilibré,

Introdution 3

1 Plans d'expériene pour mélanges 7

1.1 Notations,dénitions et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.1 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.2 Combinatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.1.3 Dénitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1.4 Déterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.1.5 Matries binaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2 Modèle linéaireet estimabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.2.1 Modèle linéaire usuel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.2.2 Surfae de réponse polynomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.2.3 Estimabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.3 Critères d'optimalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.4 Plans pour mélanges lassiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.4.1 Domaine expérimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.4.2 Parties du simplexe

S

1.4.3 Plan d'expérieneaxial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.4.4 Réseaux de Sheé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.4.5 Polynme reparamétré de degré deux . . . . . . . . . . . . . . 30

1.4.6 Polynme généralde Sheé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.4.7 Modèle de Cox . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.5 Systèmespour mélanges à deux niveaux . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.5.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.5.2 Exemples etremarques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.5.3 Système MoMde typeA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1.5.4 Système MoMde typeB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

1.6 Plans etmodèles pour systèmes MoM . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

1.6.1 Réseau multiplede Sheé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

1.6.2 Modèle multipliatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

1.7 Basesde Gröbner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.1 Modèle additifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.1.1 Identiabilitédu modèleadditif . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.1.2 Contraintes d'identiation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.1.3 Interprétation des paramètres . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.2 Plan orthogonal-équilibré(OE) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.3 Estimationdes paramètres du modèle additif . . . . . . . . . . . . . . 57

2.3.1 Matrie d'information . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2.3.2 Fatorisation de l'inverse de la matried'information . . . . . 58

2.3.3 Estimateurs des moindres arrés . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

2.3.4 Espérane etdispersion des estimateurs . . . . . . . . . . . . . 65

2.3.5 U-optimalitédans lalasse de plans OE . . . . . . . . . . . . 67

2.4 Plan stritement orthogonal-équilibré (SOE) . . . . . . . . . . . . . . 68

2.4.1 Réseaux multiples d'ordreun . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

2.4.2 Rappel: plans fatorielset frations orthogonales . . . . . . . 73

2.4.3 Exemples de frations SOE de petites tailles . . . . . . . . . . 75

2.5 Plan entroïde pour lemodèleadditif . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

2.6 Modèle roisé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

3 Modèle et plan pour système MoM de type B 83 3.1 Domaine expérimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

3.2 Modélisation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

3.2.1 Modèle additifgénéral (AG) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

3.2.2 Modèle CP-additif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

3.3 Plan OEpour lesystème MoM de type B (

OE

3.4 Estimationdes paramètres du modèle AGpour un plan

OE

3.5 Plan partiellement

OE

POE

3.5.1 Plan axial-

OE

3.5.2 Plan

POE

OE

3.6 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

4 Mélanges à deux nivaux et fateurs externes 105 4.1 Mélangelassique et fateur externe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

4.2 Fateurmasse et système MoMde typeA . . . . . . . . . . . . . . . 107

4.3 SystèmeMoM de type A et fateurs externes . . . . . . . . . . . . . . 111

4.3.1 Modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

4.3.2 Plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

4.4 SystèmeMoM de type B et fateurs externes . . . . . . . . . . . . . . 114

Conlusions 117

Perspetives 119

Référenes 121

Lesplansd'expérienepour mélangestraitentlesas oùertainespropriétésquel'on

herhe à modéliser sont dépendantes des proportions des omposants intervenant

dans le mélange. Ledomaine expérimental est aratérisé par la ontrainte qui met

en relationlesproportions,ainsi, si

x

∈ [0, 1]

i

pour

i = 1, · · · , q

x

+ x

+ · · · + x

= 1

La modélisationet l'analyse de données pour mélanges sont traitées dans de nom-

breux artiles repris en partie dans le livre de Cornell (2002) onsaré à e sujet.

La théorie et la méthodologie des plans pour mélanges ont été développées fae à

diverses appliations de l'industrie depuis les quatre dernières déennies. On peut

iterKissell (1967),Draper&St.John (1977a),Snee(1981),Chik &Piepel(1984),

Cornell&Ramsey (1998).Lesplusréentes éditionsdesouvrages sur lesplansd'ex-

périene pour surfaes de réponse, préisément Myers &Montgomery (2002)etBox

&Draper (2006),ont inorporé des hapitres sur lesplans pour mélange.D'oùl'im-

portaneatteintepar e sujet pendant lesdernières années.

Bien que la première mention à des plans pour mélanges date de 1953 (Quenouille,

1953), les artiles lesplus reonnus sont eux de Sheé (1958, 1963) ar ils ont in-

troduitlesplansenréseauxpourmodèlespolynomiauxreparamétrésenonordane

ave laontrainte(1).Cesartilessontlesbasesde travauxpostérieurstels queeux

de Lambrakis (1968) qui a fait l'extension pour des réseaux multiples de Sheé. Il

s'agit de la première référene sur e que plus tard on appellera plans d'expériene

pour mélange de mélanges. Cei est l'objet d'étude dans ette thèse.

Un système de mélangeà deux niveaux (mélange de mélanges) searatérise par le

fait que haque omposant est lui-même un mélange d'autres omposants. Ils sont

appelésomposantsprinipaux etsontdessous-mélangesdeomposantsseondaires.

Pour la plupartdes référenes lesproportionsdes omposantsprinipauxsont xes.

Cornell&Ramsey (1998)introduisentpar ontre des proportionsvariablespour des

omposants prinipauxdans une appliation assoiée à lafabriation de iruits in-

tégrés. D'autre part Piepel (1999) traite la formulation de médiaments omme un

systèmeàdoublemélangeetintroduitl'appellationMoM(mixture-of-mixtures)ainsi

que sa lassiation en deux types de systèmes à propos de l'artile de Cornell et

Ramsey.

polynomialesomme elle proposée par Lambrakis (1968). Il s'agit de modèles mul-

tipliatifsobtenusparproduits despolynmesreparamétrésselonlesontraintes des

sous-mélanges.Ce type de modèle est estimésur un réseaumultiple onstruit par le

produit artésien des réseaux de Sheé, où haque réseau est assoié aux ompo-

santsseondaires liés àun unique omposant prinipal.

Bien que le modèle multipliatif soit identiable sur le réseau multiple, on se pose

des questions sur sa tailleetla faisabilité éonomique de sa mise en plae lorsqu'on

exèdedeuxomposantsprinipauxetquedenombreuxomposantsseondairessont

onsidérés.

Très peu de modèles alternatifs existent dans la bibliographie. Suite aux travaux

de Lambrakis (1968, 1969), les auteurs Nigam (1973), Kumari & Mittal (1986) et

Murthy & Murty (1989) proposent des modèles polynomiaux quadratiques pour les

as oùlesomposantsprinipauxsontonçusommedesfateurs etnonpas omme

omposants dans une formule.

D'autrepart, nousnousintéressons auxproblèmesmélange-fateur,'est-à-dire,aux

as où laréponse dépend de fateurs autresque lesproportions de mélanges à deux

niveaux. Dans la bibliographie l'inlusion de fateurs externes n'a été onsidérée

que pour des mélanges lassiques. On y trouve des modèles polynomiaux du plus

simple(additif)auplus omplexe(multipliatif).Parexemple,Czitrom(1988,1989)

propose le regroupement de mélanges par blos orthogonaux soumis au ritère de

D-optimalitéen obtenantl'expressionanalytiqued'untelritèrepourtrois etquatre

omposants.Presott &Draper (1998)onstruisentaussi des plansà blosorthogo-

naux tenant omptede bornes supplémentaires sur les proportions des omposants.

Kowalski, Cornell& Vining (2000),et Presott(2004) sont pluttorientés vers l'in-

lusionséletive de termes roisés an de réduire latailledu plan.

Un type partiulier des problèmes de mélange-fateur est la formulation d'un médi-

ament où la réponse mesurée est fontion de la formule et de la dose. Pour ette

appliation on n'a qu'un fateur externe qui est la quantité du mélange. Un autre

exemple, assoié à la prodution d'hydroarbures, est le mélange d'essenes où la

performane dépend desproportionsdesomposantsranésainsi quede latailledu

véhiuleet de la vitesse, ily a don deux fateurs externes.

Dans ette thèse le but est de onstruire des modèles polynomiaux et des plans de

petite taillepour :

(I) Système MoMà proportionsde omposantsprinipaux xées.

(II) SystèmeMoM à proportions de omposantsprinipaux variables.

(III) Inlusion de fateurs externes dans les deux as.

Ce doument est onstitué de quatre hapitres :

Chapitre 1. On met àdispositionles outils mathématiquesutilisés danse travail.

On fait des rappels sur les thèmes de mélanges lassiques et de mélanges à deux

Chapitre 2.On introduit les notionsde plan orthogonal-équilibré (OE) et de plan

stritementorthogonal-équilibré (SOE) pour le système de mélanges indiqué en (I).

Ce type de plans sont analysés à l'aide d'un modèle polynomial d'ordreun. Ce mo-

dèle est surparamétréàause des ontraintes du système MoM,onimposealors des

ontraintes d'identiationsupplémentaires.

Chapitre 3. On généralise le modèle et le type de plans du hapitre 2 pour les

système MoM oùles proportions de omposants prinipauxne sontplus xées.

Chapitre 4. Sur la base des plans de lasse OE pour les deux type de systèmes

MoMononstruitdes planspourune surfaepolynomialed'ordreuntenantompte

de fateurs externes.

Plans d'expériene pour mélanges

Ce hapitre rassemble des notations, dénitions et théories qui seront très souvent

utiliséespar lasuite

On fait tout d'abord des rappels pour ertaines propriétés d'analyse ombinatoire,

quelques opérations matriielleset quelques résultatsd'algèbre linéaire.

On présente ensuite des généralités sur l'estimabilité pour le modèle linéaire utilisé.

En partiulier nous nous intéressons dans le adre de la thèse à l'estimation des

moindrearrés de modèles sur-paramétrés soumisà des ontraintes d'identiation.

La troisième partie, la plus importante du hapitre, est onsarée aux modèles et

plans d'expériene pour des modèles lassiques de mélanges, tel que les réseaux de

Sheé ou les plans utilisant les axes de Cox. Une approhe du modèle de Cox

généralisé est envisagée omme une alternative aux modèles multipliatifsproposés

dans la littérature pour le système de mélanges à deux nivaux ou, en terminologie

anglaise,système MoM (mixture of mixtures).

Ladernière partie du hapitre utiliselesbases de Gröbner, selonl'artilede Pistone

etWynn (1996),en onstruisant des modèles identiablesà partir d'un plan donné.

Cetteméthode est bienappropriée auxsystèmes MoMdu fait queleplan du départ

peut être mis sous la forme d'un système d'équations polynomiales ontenant les

ontraintes propresaux systèmes MoM.

1.1 Notations, dénitions et propriétés

1.1.1 Notations

⊲ 1

:

R

1

⊲ M

(K) :

m

n

orps

K

m × n

m = n

n

K = R

R

M

( R )