Le lissage optimisé

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Submitted on 1 Jan 1964

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Le lissage optimisé

Max Tournarie

To cite this version:

Max Tournarie. Le lissage optimisé. Journal de Physique, 1964, 25 (10), pp.909-916.

�10.1051/jphys:019640025010090900�. �jpa-00205893�

909.

LE LISSAGE OPTIMISÉ Par MAX TOURNARIE,

Service de Physique ^{du Solide et} de Résonance Magnétique, ^{C. E.} N., Saclay.

Résumé.

On rappelle que les notions de distorsion 0394 ^et de fluctuation 03A6 permettent l’analyse

de la structure de l’écart quadratique moyen ^E lorsque ^{ce dernier est défini comme} la distance entre les mesures lissées et leur valeur probable. ^On montre que la connaissance de la fonction de

corrélation du bruit de fond suffit pour ^mesurer E, 0394 ^{et 03A6 sans} qu’il soit nécessaire de connaître les valeurs probables ^du signal. ^Ceci permet ^{de se} placer facilement dans les conditions optimales ^de lissage.

Abstract.

It is recalled that the concept of distortion 0394 of a signal ^{and the} concept ^of

fluctuation 03A6 of a noise permit ^the description ^{of the} properties ^{of the mean} square ^{error E} when E is defined as the distance between the smoothed data and their probable ^{value. It} is shown that

only ^the knowledge of the correlation function of the noise is sufficient to evaluate E, 0394 and 03A6. This property permits optimization ^{of the} smoothing.

PHYSIQUE 25, ^OCTOBRE 1964,

Premi6re partie

Definition, ^{existence et} détermination _{d’un pro-} edd6 de lissage.

^{Pour 6tudier un} phenomene physique qui depend ^{d’un ou de} plusieurs paramè- tres, ^{on realise} généralement des series de mesures

dont on cherche ensuite a extraire le maximum d’information. °

L’exploitation ^{des resultats} expérimentaux ^est

f acilitee _par l’usage d’un processus de lissage ^att6-

nuant les erreurs statistiques ^sans trop alterer les series.

Nous avons tente de mettre au point ^un proces-

sus de lissage pratique ^et impersonnel, c’est-h-dire

ne 8supposant pas d’équation pour le phénomène,

mais admettant qu’aucun ^d6tail important ^n’a

entibrement échappé ^a l’experience.

Critdre de 1’6eart quadratique moyen. - On se

propose d’approcher ^le plus possible ^{de la fonction} probable (signal pur) f k ^au point k, par combi- naison lin6aire des valeurs observees (signal brouillé) /1 ⁺ fi, ^{ceci en} attribuant un poids ^{Wk à} chaque observation. On entend par fk ^{la valeur}

moyenne prise ^{sur un} ensemble de systèmes ^iden-

tiques fournissant f ^au point k, ^{autrement dit} 1’esp6rance mathématique ^du signal, ^{et on entend}

par ^sk 1’ecart entre fk ^{et le} tirage unique ^de f ^dont

on dispose ^au point ^k. (La liste des symboles ^est

donnée en annexe a la fin de l’article.)

Avec ces definitions la valeur liss6e fk ^{s’ écrit :}

L’erreur E est d6finie comme :

Le choix des Wk est précisé plus lqin. ^En por- tant (1) ^dans (2), ^{et en} developpant ^le carr6,

1’ erreur s’ ecrit :

On veut rendre minimale Fesperance ^math6- matique ^{de cette} quantite ^en choisissant conve-

nablement les Akl-

L’intérêt du crit6re de 1’ecart quadratique

moyen r6sulte, ^{outre la} simplicité ^{des calculs} qu’il permet, ^{du fait} qu’il se justifie par des conside- rations de probabilit6s.

La probabilite ^{de ]a} s6rie des valeurs apr6s ^]is- sage est ^{souvent une fonction} d6croissante de E,

notamment dans le cas de grandeurs ^al6atoires gaussiennes.

Cette probabilite ^{est alors} effectivement maxi- mis6e par la minimisation de E.

Solution.

Nous ne voulons _{pas que A} (l’en-

semble des Akl) ^soit optimal pour le f particulier (d’ailleurs inconnaissable) ^sur lequel porte ^{le lis-}

sage. Mais nous voulons que A soit optimal pour l’ensemble _moyen des f possibles, ensemble défini par la matrice F, ^dont les coefficients sont :

L’erreur totale a pour esp6rance mathématique :

On voit que E ^est une forme quadratique ^des

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:019640025010090900

910

coefficients Akl- Écrivons que nous sommcs au

minimum de E, c’est-a-dire _{que :}

ou encore

En definissant les matrices C, ^{D et S dont les}

coefficients sont :

les relations de minimisation peuvent s’écrire sim-

plement :

La solution est donc :

Remarquons ^{bien, ce resultat est} independant

des poids ^wk choisis pourvu qu’ils ^{ne soient} pas nuls. Aussi, pour simplifier, ^nous prenons par ]a suite :

Si l’inversion de [F + ^{C + D +} S] n’est pas

possible, ^c’est que l’hyper-ellipsoide ^{des 6carts} types

est complètement aplati dans certaines directions.

11 _y a donc une ou plusieurs quantités ^certaines qu’on peut extraire des donn6es. Une fois ceci fait,

on projette dans le sous-espace restant ou 1’inver- sion est possible.

D’autre part, ^le problème ^des bords de table est

rigoureusement r6solu. On evite ainsi un def aut inherent a la plupart des m6thodes de lissage, ^a

savoir qu’il ^{leur est} impossible de lisser la totalite d’une s6rie donn6e de mesures.

Par contre ce proc6d6 ^{n’a aucune} raison d’être conservatif des moments car, ^en general, ^{on a :}

ce qui entraine :

Bruit de fond quantique.

Lorsque ^le signal f

et sa perturbation s ^sont independants, ^{les formules} pr6c6dentes ^se simplifient. ^{Ce cas se} pr6sente lorsque f ^{+ s} r6sulte d’un comptage ^de particules.

Meme si le flux est constant, l’aspect corpusculaire

se manifeste _par ^une sorte d’eff et de grenaille, ^dont

les caractéristiques ^sont telles que :

et aiissi

qui ^est la traduction de l’ind6pendance ^{des 6carts.}

La condition de minimisation de E devient alors :

Cas particulier ^du signal stationnaire d’ordre deux.

La mise en pratique de ta solution g6n6-

rale pr6c6dente ^{conduit a des calculs de} volume important lorsque ^le nombre N d’observations

augmente. En eff et A ^est obtenu _par une inversion et un produit de matrices. Le travail croit done

comme N3.

Une methode moins volumineuse consiste a lis,ser par ^une s6rie de translat6s d’une fonction donn6e

go(x) ^{que nous} déterminerons plus loin. Le volume des calculs croit seulement comme N.

Ce cas se pr6sente ^{en toute} rigueur lorsque ^le signal ^{et le bruit sont} stationnaires d’ordre deux.

Alors :

Les matrices F et S sont ainsi donn6es par les distributions d’auto-correlation _cp du signal ^{et 5}

du bruit de fond définies par :

et

ou les observations sont consid6r6es comme ayant

ete r6alis6es sur des points d’abscisses- egalement espac6es. ^{C’est cet} intervalle d’abscisse qui ^est pris ^comme unite des t dans les transformations de Fourier dont nous avons besoin.

L’espace ^t porte ainsi des distributions de masses

diverses équidistantes. Les transf ormees de Fourier que ^nous consid6rons sont alors des fonctions perio- diques ^de p6riode ^{1. Les} int6grales ^{sur T seront}

donc limitées de - 1/2 ^a 1/2.

La matrice A s’exprime par suite ^en fonction des valeurs d’une fonction transl atee

En appliquant ^{cette methode 4 un} signal ^non

stationnaire on se prive ^des avantages que permet

une certaine information sur la localisation du

signal. ^{Par contre on} evite ainsi les consequences

d’une localisation r6elle différente de la locali- sation escompt6e. Enfin, ^{pour une} puissance donne,

de bruit de fond, ^{un meme} signal donnera le meme

lissage quelle que soit sa position, ^ce qui n’est pas obtenu par les formules 12 ^ou 18.

Analyse harmonique ^du lissage.

L’analyse harmonique permet d’expliciter ^{et de} s6parer ^les

contributions diverses qui ^forment l’espérance

math6matique de l’erreur totale E [36].

911 La densite spectrale FF* ^du _{signal pur} ^est

elle est en general ^{assez mal} connue.

Par contre la densite spectrale ^{SS* du bruit de}

fond

qui ^est ind6pendante ^{de T} (bruit blanc) ^{est souvent}

aisee a estimer a priori. ^Du reste, ^{nous verrons} que

sa connaissance préalable ^n’est pas indispensable

car elle peut ^etre appr6ei6e ^{au cours du} lissage.

Le lissage ^est analogue ^{a un} filtrage ^linéaire

dont le coefficient G de transmission a ]a fr6- quence T est

La densite spectrale ^du signal ^{brouillé avant} lissage ^est FF* + SS*. _Après lissage elle devient

G2[FF* + SS*].

L’erreur moyenne peut maintenant s’exprimer

comme la somme de deux quantites

est la distorsion subie par le signal pur. C’est une forme quadratique ^{des 6carts entre le} signal ^vrai

et le signal pur liss6.

est ]a fluctuation. Elle traduit les incertitudes ^res- tantes sur le signal perturb6 ^liss6.

Un calcul des variations permet de determiner

quel ^{est le filtre G} qui ^{tend E} minimal. C’est le filtre de Gabor qui ^vaut

lorsqu’il n’y ^a pas de correlation ^entre le signal pur et le bruit de fond, ^ce que ^nous supposons. ^Toute- fois cette hypothèse ^{n’est pas} essentielle _{pour la} suite. Elle a seulement l’ avantage ^de simplifier ^les

formules. Le traitement ^{en cas} de correlation serait le meme, ^{mais avec un filtre} optimal ^diff6rent.

Variation produite par ^le lissage ^{sur le} signal brouillé.

La différence entre le signal ^broui]16 f ^{+ s et le} signal broul]16 liss6 f’ comporte ^deux

termes : l’un qui r6sulte de I’att6nuation du bruit de fond et qui ^{est ais6ment} calculable a priori,

l’autre qui ^{r6sulte de la} distorsion sur le signal.

Le spectre ^du signal ^{brouillé avant} lissage ^est

F + S, apr6s lissage ^{il devient} G(F ⁺ S). ^Nous

définissons la variation comme :

On peut ^donc exprimer ^{V en fonction} des gran-

deurs th6oriques, ^en explicitant ⁱ

ou l’on reconnait dans la premiere ^{somme de droite} 1’expression ^{de la} distorsion. D’autre part SS* est une constante qui ^sort de la deuxi6me somme.

Done

On remarque que

Finalement on constate que la variation V, ^seule quantite observable, ^{est la somme} de 1’erreur E entre le signal ^{brouillé liss6 et le} signal ^vrai inconnu,

et de la fluctuation initiale affectee d’un coefficient calculable :

D’où la conclusion, paradoxale ^en apparence, que l’on peut ^6valuer E, A, O bien que f soit inconnue :

ceci parce qu’on sait que Ie bruit de fond ^{est à} micro-correlation et qu’on ^admet qu’on ^connait SS*, ^la puissance du bruit. Mais on peut ^deter-

miner une borne superieure du bruit de fond en

6crivant que A ^calcule (a fortiori E calcul6e) ^doit

etre positive. ^{On trouve :}

Relations satisfaites au minimum de E.

Au minimum de E, ^les quantités E, A, (D ^{et V} s’expri-

ment facilement ^en fonction de SS*. En effet au

minimum G gr Go. ^Alors

d’ou

912

Done

Deuxième partie

RECHERCHE D’UN PROCÉDÉ PRATIQUE APPROCHANT L’OPTIMAL. EXEMPLES.

Ajustage ^{de la bande} passante.

Supposons qu’on connaisse le filtre optimal ^{sous la forme}

d’une fonction reduite G(x) telle que

et que

Ceci revient a dire qu’on ^connait la forme du filtre optimal, ^mais qu’on ingore ^{sa bande} pas- sante. Alors

Si, ^en outre, y est plus grand que l’inverse de

largeur ^{totale de bande de} G,

Compte ^tenu que SS* ^{est une} constante, que

f dT

^{1, on obtient}

Donc l’optimum ^se caractérise par la verification de la relation

qui porte ^{sur des} quantités ^{toutes connues. Une}

fois connu le _yo solution de (50), ^on peut ^{eff ectuer}

le lissage ^et 6valuer les quantités th6oriques.

On remarque ^que le rapport A,I(D. ^{est toujours} égal à (1 ¹

^{C) IC.}

Fonetion réduite d’usage général. ^{- Nous avons}

montre [34], [36], [37], [38] que le filtre optimal changeait peu de forme dans les cas courants, ^et

nous avons profit6 ^{de cette} propriete pour proposer

une fonction r6duite qui, ^{mise a 1’6chelle conve-} nable, permettait ^de s’approcher du filtre de Gabor,

tout en conservant tous les moments des signaux

liss6s. Cette fonction reduite G(x) ^{est la transfor-}

mée de Fourier de g(x) d6finie par

La recherche des conditions optimales ^{se ram6ne}

donc au choix de 1’echelle _y qui ^{determine la bande} passante. ^Autrement dit, ^la formule de lissage ^est

la suivante

Notons que pour ^cette fonction et

Qualités ^de g(x) pour Ie lissage.

L’avantage qu’il y ^a a utiliser la fonction g(x) plutbt que le filtre de Gabor r6sulte de l’existence simultan6e des deux propri6t6s suivantes :

1) La d6croissance a l’infini de g(x) ^est plus rapide que ^toute puissance ^inverse de x, c’est-a-dire

qu’il ^existe toujours ^un xo tel que

A elle seule cette propriete conditionne une

bonne localisation de l’approximation, c’est-a-dire que l’intervalle ^sur lequel ^se fait sentir 1’eff et d’une

singularite ^est extremement petit ([38], para-

graphe 11, 4°, ^formule 73, p. 24).

Precisions _{que xo}

(2/1t)(0153-l)/2.

D’autre part, ^{on ne} peut ^{atteindre un ordre élevé} d’approximation que si ^cette condition ^est remplie

en meme temps que la suivante.

2) ^{Les moments de} g(x) ^sont tels que

xv g(x) ^dx

⁰ pour p ^{1 si} grand que soit p. (57) Autrement dit ^dp _dxp G = 0 pour x = 0. (58)

Ceci permet ^de profiter pleinement ^{de la d6crois-}

sance a l’infini en autorisant un ordre d’approxi-

mation aussi élevé qu’on veut, ^limit6 seulement par la precision ^des ordinateurs [34], paragraphe 5,

p. 2511.

Mise en applieation.

^{La marche est done la}

suivante :

Determiner SS* a partir des 6carts types

913 TABLEAU 1

c’est la densit6 spectrale de la fonction d’auto- correlation du bruit de fond avant lissage.

La variation V(y) ^est 6gale ^à

On sait que le y essay6 ^{est le} yo optimal lorsque

que ^nous r6solvons par iteration.

.

On s’arrête lorsque ^la difference relative entre les valeurs de qui ^encadrent SS* est

plus petite que la racine de

Le syst6me equivalent ^aux opérations pratiques pr6c6dentes ^est sch6matis6 (fig. 2). ^{On voit} qu’on peut s’approcher ^de f ^sans la connaitre. Par contre il est n6cessaire d’avoir ^une estimation ^ext6rieure de ]a puissance ^{du bruit de fond.}

Signal pur

FIG. 1.

Schéma du syst6me ^idéal d’ajustage ^{de la bande} passante.

Mais, ^{en mgme} temps qu’on ^calcule g,° on ^calcule

aussi

ce qui permet de s’assurer que la distórsion cal- oul6e est bien positive :

FIG. 2.

Schema du dispositif pratique equivalent d’ajus- tage de la bande passante P(y) = (y 2013 2)/y. ^Memes

conventions que pour la figure ^1.

Si ce n’est _{pas le cas,} c’est que SS* est surestim6.

On pourrait 6galer ^{SS* a} la valeur qui ^{annule la}

distorsion calcul6e et recommencer l’optimisation.

Mais on risquerait ^{d’avoir a estimer} SS* A nouveau, et de se trouver ainsi entraine dans un cycle ^d’it6-

rations _peu convergent. ^{Pour éviter} cela, ^on accepte

une incertitude e sur ]a valeur estim6e de SS* et

l’on prend

914

On aboutit ainsi au processus qui ^{est sch6matis6}

sur la figure ^{3. On} y voit qu’il n’est pas n6cessaire de connaitre autre chose que la fonction perturbee

a lisser des que l’on sait que le bruit de fond est un

bruit blanc.

FIG. 3.

Schema du dispositif pratique d’ajustage ^{de la}

bande passante ^avec estimation du bruit de fond.

atY)

y/(y- 2 ⁺ c).

Memes conventions que pour la figure ^2.

Verification.

Il est clair qu’un lissage optimal

pour 1’ensemble des donn6es s’effectue ^au d6tri- ment de certaines regions ^{des mesures} dont l’infor- mation ^est utilis6e pour corriger ^d’autres regions.

On ne peut ^{donc dire} qu’une methode de lissage ^est

meilleure qu’une ^{autre, que :}

10 Si 1’on a compare ^{leur action sur une fonction}

dont 1’ensomble de 1’6volution a lieu sur l’inter- valle d’observation (sinon ^{le choix} d6pendra ^{de la} region ^{servant au} classement).

20 Si l’on connait la fonction probable ^a appro- cher.

Malheureusement nous n’avons pas ^rencontre de

presentation de m6thodes ou ces deux conditions soient simultan6ment r6alis6es.

Aussi s’est-on contenté de proc6der ^{a une veri-}

fication num6rique ^{de la} pr6sente metbode par simulation arithm6tique ^du bruit de fond sur une

courbe propos6e par’yVhitatker [41] p. 299, ^modi-

fi6e pour r6pondre ^aux conditions 1° et 2°.

Afin de 1’evolution ^{de la} fonction soit termin6e dans l’intervalle des points choisis, ^{on a att6nu6 la}

fonction sur les bords de l’intervalle :

A cette fonction on a aj oute ^{un bruit} blanc gaus- sien d’espérance math6matique ^{nulle et d’écart}

type y/12 (correspondant ^au meme 6cart type

que celui resultant d’erreurs d’arrondi sur l’unit6) engendre par des programmes dont les propri6t6s statistiques ^{ont ete} soigneusement ^v6rifi6es.

On peut voir les résultats obtenus dans le tableau 2. On _{y trouve} les valeurs

mesur6es

de 1’erreur totale, ^{de la} fluctuation et de la distorsion.

TABLEAU 2

(1) ^{Methode de Whittaker avec} crit6re de fidelite. Clas- sement d’apr6s 1’erreur totale de la fluctuation.

(2) ^Methode propos6e ^{dans cette} publication.

Par mesur6es, ^{on entend} d6terminees par les for- mules de definition. On trouve d’autre part ^dans

le tableau 2 les valeurs de ces memes quantités

calcul6es par les formules (26), (28) ^et (27). ^Et ce, pour différentes valeurs du rapport y. On a port6

aussi dans le meme tableau le r6sultat donne par la methode de Whittaker combin6e avec un crit6re de

fidelite, ^en le classant d’après son erreur et sa fluc- tuation. On remarque que pour ^{une meme} fluc- tuation notre methode donnerait une distorsion

plus faible, ^car g ^est plus proche ^{du filtre} optimal

que le filtre de Whittaker. Enfin on a port6 ^les

résultats correspondant ^au y optimal ^calcule par notre methode. On constate qu’on ^est effectivement dans la region ^du minimum de 1’erreur totale.

La figure ^{4 donne une vue du} principe du pro-

gramme.

On _y voit repr6sent6s ^{en traits} pleins les valeurs calculées de

et de

de E, A ^{et C. Les} points ^sont les valeurs mesur6es de E, ^{A et (D.}

FIG. 4. - Valeurs de E, A, (D, ^{V’ et V" en fonction de} y.

Les courbes E et 0 partent ^a gauche (ou y = 1)

de la valeur vraie de SS*. On remarque que ^cette valeur est correctement évaluée _{par le} minimum de V’. Ce minimum ^est determine au cours de l’it6ration sur y. La determination du point ^{ou V’}

est 6gal ^au minimum de V" donne une valeur de _y voisine du _{y, oÙ} 1’erreur ^est minimale.

On remarque enfin que les courbes repr6sentant E, A et O calcul6es par le programme de lissage,

et les valeurs réelles repr6sent6es par les points

voisinent suffisamment pour permettre ^{un choix}

convenable du _y optimal.

REMERCIEMENTS. - Nous tenons a exprimer

toute notre gratitude ^a MM. les Professeurs R. Fortet et H. Curien, pour les ^tres fructueuses discussions sur les probl6mes etudies dans cet article.

FIG. 5.

Organigramme du sous-programme ^de lissage,

x7 entree et sortie.

Manuscrit _reçu le 11 septembre ¹⁹⁶⁴

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LISTE DES SYMBOLES

Caractéristiques ^du lissage : ^{D :} Transposée ^{de la} précédente.

A : Matrice de lissage. FS* : Densite spectrale ^{de la} diaphonie.

Akl : Coefficient de la matrice de

lissage.

g,(t) ^: Fonction de lissage optimale. Relatifs

^{bruit :}

Go(t) : Transformée de Fourier de la precedente (filtre ^{de S}

Matrice de covariance du bruit de fond.

Gabor).

Sk

Valeur realisee du bruit de fond au point ^k.

g(x) . Fonction reduite. Qk

^Valeur quadratique moyenne du bruit de fond ^au

G(x) Transformee de Fourier de la pr6c6dente. ^k point ^k.

C ^: Aire du carr6 de la fonction reduite. S(t)

Distribution d’auto-correlation du bruit de fond.

y ^: Inverse de la largeur int6grale ^{de la bande} passante SS* . Densit6 spectrale ^{du bruit de} fond.

du filtre de lissage.

Relati f s

valeurs lissées :

Relati f s

signal f k

^{Valeur lissee au} point ^k.

F

Matrice d’auto-corrélation probable ^du signal. ^{V : Variation} quadratique ^{totale E} ( f k ⁺ 2sk ^{- fÍrJ2.}

f k

Signal probable ^au point ^{k. E : Erreur} quadratique ^{totale I} (fk

fj) 2.

cp(t) ^: Distribution d’auto-corrélation du signal. ⁰

Fluctuation quadratique ^totale.

q>

^{Poids du} point k de la distribution precedent. ^A

Distorsion quadratique ^totale.

FF* : Densite spectrale de 1’ensemble des signaux pro- DiCJers : bables.

8(t)

Mesure de Dirac.

Retatifs

signal ^et

^{bruit :} P : Probabilités de la série des points ^observ6s.

Relatifs au signal et au ^{bruit :} _P’ : Probabilite de la série des points ^lisses.

C

Matrice d’inter-corrélation ^entre le signal ^{et le bruit.} 8fk ^: Alteration des ordonn6es des points, ^{due au} lissage