Partiel du 1er Semestre 2011-2012

Partiel du 1er Semestre 2011-2012

Classe 7F / Mathématiques 5 périodes / SANS support technologique

Ecole européenne de Karlsruhe - Page : 2/2

30 points QUESTIONS :

3 points A1. Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on considère les points : A(1;−3; 3)et B(3;−7;−1).

Déterminer une équation cartésienne deπ, le plan médiateur du segment[AB]. 4 points A2. Soitf la fonction dénie par :

f(x) =









 4x

a−x² , x <1 2a

x+ 2 , x>1

aveca∈R.

Déterminer les valeurs exactes du paramètre réelapour quef soit continue enx= 1. 3 points A3. Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on considère les plans :

π1 :2x+y−3z−7 = 0 et

π2 :−x−y+ 5z+ 8 = 0.

Déterminer une représentation paramétrique ded, la droite intersection deπ1et π2. 4 points A4. Soitf la fonction dénie par :

f(x) =xe^x.

Déterminer une équation de la tangente et une équation de la normale à la courbe représentative def au point d'abscissex= 1.

5 points A5. Résoudre dansCl'équation d'inconnue zsuivante : z²+ 2iz−3 = 0.

5 points A6. Résoudre dansCl'équation d'inconnue zsuivante : z³= 4√

2 + 4√ 2i. Donner les solutions sous forme exponentielle.

6 points A7. Soitf la fonction dénie par :

f(x) = x² 4−x.

Calculer l'aire du domaine borné délimité par le graphe def et la droite d'équationy= 3x.

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Classe 7F / Mathématiques 5 périodes / AVEC support technologique

Ecole européenne de Karlsruhe - Page : 3/5

20 points B2. GEOMETRIE

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on considère : les pointsA(2; 0; 8) etB(6;−6; 4),

la droiteh:



 x y z



=



 4 6

−3



+s



 4

−1 1



, s∈R, et les plans π1 :5x+y−3z+ 5 = 0;

π2 :x−8y−7z−29 = 0; π₃ :3x−2y+z−21 = 0.

2 points a) Déterminer une équation vectorielle de la droite gqui passe parAet B.

"

Un résultat possible estg:



 x y z



=



 2 0 8



+t





−2 3 2



, t∈R.

#

2 points b) Etudier la position relative entre les droites get h. 2 points c) Calculer la distance entre le point Aet la droiteh.

3 points d) Déterminer une représentation paramétrique de la droite intersection des plansπ2 etπ3. 1 point e) Calculer les coordonnées du pointP, le point d'intersection des plansπ1, π2 etπ3.

SoitS la sphère de rayon minimal qui est à la fois tangente àg au pointT1 et àhau pointT2.

5 points f) Calculer les coordonnées deT1 etT2 puis déterminer une équation deS. hRésultats intermédiaires :T1(4;−3; 6), centre deS :(6; 1; 2)i

2 points g) Déterminer une équation cartésienne du plan tangent àS au pointT₁. 3 points h) Déterminer le centre et le rayon du cercle intersection entre S etπ1.

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Classe 7F / Mathématiques 5 périodes / AVEC support technologique

Ecole européenne de Karlsruhe - Page : 4/5

20 points B3. GEOMETRIE

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé et d'un système de coordonnéesOxyz, on considère : le planπ:x+ 2y−2z−4 = 0,

la droiteg :



 x y z



=



 1 0 0



+s



 1 2

−2



, s∈R, et les sphères S1 :x²+y²+z²+ 4y−4z−8 = 0;

S2 :x²+y²+z²−4x−4y+ 4z+ 8 = 0. 4 points a) Déterminer le rayon et le centre de chacune des sphères.

2 points b) Montrer que les centres deS₁ etS₂ appartiennent à g.

4 points c) Montrer queS₁et S₂ sont tangentes et calculer les coordonnées de leur point de tangence.

2 points d) Montrer queπest le plan tangent àS₁ et àS₂.

3 points e) Déterminer les coordonnées des points A, B et C, les points d'intersection entre π et, respectivement, l'axe(Ox), l'axe(Oy)et l'axe(Oz).

3 points f) Calculer le volume du tétraèdreOABC.

2 points g) Déterminer une équation cartésienne réduite de la sphère S3 qui passe par les sommets du tétraèdreOABC.

PARTIE A : sans calculatrice Notes

30 points

Question n°1 : analyse

Rechercher les points d’inflexion éventuels de la fonction

f x( )2x²ln( )x

.

4 points

Question n°2 : analyse

Soit la fonction définie par

f x( )e^2x e^x 6.

Rechercher les points d’intersection éventuels du graphe de f avec l’axe des abscisses.

4 points

Question n°3 : analyse

Calculer les limites suivantes:

2 1

lim

3

1

x x x

e e



  4 points

Question n°4 : analyse

Soit la fonction

( ) ¹

1 f x arctg x

x

  

   

définie sur ^{\ 1 .}  

Calculer la dérivée de f et simplifier l’expression obtenue.

3 points

Question n°5 : géométrie

Rechercher l’équation cartésienne du plan  contenant la droite (AB) et perpendiculaire au plan .

On donne : 

    x y

3

z

1 0 ,

A

(1, 0,1)

et B

(0,1, 1).

 4 points

Question n°6 : géométrie

Déterminer l’intersection éventuelle des deux droites d

₁

et d

₂

. On donne :

1 2

1 3

2 1 ; , .

1 2 2

x t x k

d y t et d y k t k

z t z k

  

 

 

      

      

 

6 points

Question n°7 : géométrie

Soit le point

H(1,1, 1)

appartenant à la sphère

Sx²y²z²2x4y1.

Rechercher l’équation du plan  tangent à la sphère S passant par le point H.

5 points

Question n° 3 : géométrie

^{21 points}

Soient deux plans 

1

, 

2

et une sphère S dont les équations sont données :

1

2

2 2 2

1 3 3

3

2 4 0

2 8 0

x t

y k

z t k

x y z

S x y z x y





  



 

    



    

      

a) Rechercher le centre C et le rayon r de la sphère S.

2 points

b) Rechercher l’équation cartésienne du plan 

1

.

2 points

c) Rechercher la position relative du plan 

1

et de la sphère S. Justifier.

3 points

d) Rechercher les coordonnées du point P projeté orthogonal du point C

sur le plan 

2

.

4 points

e) Rechercher les caractéristiques de l’intersection de la sphère S et du plan 

2

.

4 points

f) Montrer que les plans 

1

et 

2

sont sécants et déterminer un point et un

vecteur directeur de la droite d’intersection.

6 points

Question n° 4 : géométrie

^{17 points}

Soient les points

A(1, 2, 7), B(4, 5,3) et C( 1, 0, 4).

a) Déterminer un système d’équations paramétriques de la droite

(AB)

.

2 points

b) Déterminer un système d’équations cartésiennes de la droite

(AB)

.

2 points

c) Montrer que le point C n’appartient pas à la droite

(AB)

.

1 point

d) Calculer la distance du point C à la droite

(AB)

.

3 points

e) Soit d la droite parallèle à la droite

(AB)

passant par C.

Déterminer les équations paramétriques de la droite d.

2 points

f) Déterminer les coordonnées du point D pour que le quadrilatère ABCD

soit un parallélogramme.

2 points

g) Calculer l’aire du parallélogramme ABCD.

1 point

h) Soit 

2

le plan d’équation :

8x4y9z 7 0

.

Déterminer la position relative du plan 

2

et de la droite d.

4 points

PARTIE A (30 points de 100) A1

5 Pts.

On considère la fonction f , définie par f(x)=(x−1)⋅lnx et soit G sa représentation graphique dans un repère orthonormé. Montrer que G ne possède pas de point

d’inflexion. Justifier votre réponse.

A2 6 Pts.

Montrer en indiquant toutes les étapes que: I 4xe^2xdx 8ln2 3

2 ln

0

−

=

= ∫

A3 3 Pts.

Dans un repère orthonormé du plan on considère la courbe F d’une fonction f

comme indiquée dans le schéma ci dessous. Les aires géométriques délimitées par la courbe F, la droite d’équation x=a et l’axe des x sont notées: A₁, A₂ et A₃.

Sachant que ^d ( ) 2.5

a f x dx= −

∫

^,

∫

_b^{c f x dx( ) =4 et que A1} vaut 3unités d’aires, déterminer l’aire géométrique de A₃.

A4

4 Pts.

Dans l’ensemble des nombres complexes résoudre l’équation z⁴=−4 et indiquer les solutions sous forme algébrique.

A5 4 Pts.

Dans un repère orthonormé de l’espace on considère les trois ponts

A

















− 2

3 5

; B

















− 3

1 3

et C

















− 0

1 6

. Montrer que le triangle ∆(ABC) est un triangle

rectangle isocèle et indiquer le sommet de l’angle droit.

A6 4 Pts.

Montrer que 

 π

= +

+ 12

;5 2 2 ) i 1 )(

i 3

( et en déduire la valeur exacte de 



 



 π

12 cos 5 .

A7 4 Pts.

Calculer la valeur moyenne de la fonction f définie par f(x)=4x−x² sur l’intervalle

[ ]

^0;3

I= et donner une interprétation géométrique du résultat obtenu.

Question 1 (Analyse)

4 points

Soit la fonction f définie par :

f(x)=sin(2x)!!pour!!!x![0;!]

.

Déterminer les coordonnées des points de la courbe représentative de f en lesquels la tangente est parallèle à la bissectrice du premier quadrant.

Question 2 (Analyse)

5 points On considère la fonction f définie par

f(x)=ln(x) x

Calculer l’aire du domaine délimité par l’axe des abscisses, le graphe de

f et les

droites d’équations

x=1!!et!!x=e²

Question 3 (Analyse)

4 points Déterminer une primitive de la fonction définie par

1 2 ) 5

( +

= − x x x f

pour x > - 1.

Question 4 (Géométrie)

5 points

Soient deux droites l et p données par les équations ci-dessous :

et

Trouver une équation cartésienne du plan R déterminé par les deux droites l et p

Question 5 (Géométrie)

4 points

Soient les plans P et P’ d’équations :

P!!2x+y"z+1=0

P'!!x"2y"z+3=0

Déterminer des équations cartésiennes des plans bissecteurs des plans P et P’.

Question 6 :

4 points

Soient A et B deux événements tels que : p(A)=0, 36!!p(B)=0, 25!!!et!!!!p(A!B)=0, 59.

Les événements A et B sont-ils indépendants? Justifier.

Question 7 :

4 points Résoudre dans C l’équation

z² =!3+4i

en détaillant tous les calculs.

5 1 3

2

:7 −

+ =

= y z

l x

10 2 6

3 14

: 1 +

− =

− = y z p x

PréBAC 2012 : MATHEMATIQUES 5 PERIODES

Barème Partie A : Sans calculatrice (30 points) Page 1/1

5 points

Question 1 :

On considère la fonction

f

:

xx

. cos

x

, ainsi que les régions du plan définies par :

 







    



, 0 ( )

0 2 /

1 x

;

y x y f x

D 

 







    



2 , 0 ( )

2 / 3

2 x

;

y x y f x

D  

Vérifier que la somme des aires de D

₁

et D

₂

est

2

. 5 points

Question 2 :

Soit la fonction ₃

) 1 ( : 1

  x x f

Déterminer la primitive de f qui s’annule en x=2 ; et préciser si l’intégrale de la fonction f de 0 à 2 est définie ou non. Justifier.

4 points

Question 3 :

On donne, dans un repère orthonormé de l’espace, le plan



:

 xy

1



0 , ainsi que les droites r et s :





















 









 

0 2

0

; 2 0 1 2

0 1

z y

z s x

z y r x

Déterminer laquelle de ces deux droites est parallèle à



, ainsi que les coordonnées du point d’intersection de l’autre droite avec  .

4 points Question 4 :

Soient, dans un repère orthonormé,le point

C

( 1 , 2 , 0 ) et le plan

  x y

2 .

z

6



0 .

Déterminer une équation de la sphère centrée en C et tangente à  . 4 points Question 5 :

Résoudre l’équation suivante, avec

z xy

.

i

, en précisant les étapes :

i.z4(2i).z

4 points Question 6 :

Ecrire

z₁  3i

et

z₂  3i

sous forme trigonométrique, et calculer

2

2 1

3 







 z

z z

en l’exprimant sous forme trigonométrique.

4 points Question 7 :

Démontrer que la suite













. 2

: 1 ) (

3 1 1

0 n n

n u u

u u

n’est ni arithmétique, ni géométrique.

PréBAC 2012 : MATHEMATIQUES 5 PERIODES

Barème Partie A : Sans calculatrice (30 points) Page 1/1

5 points

A1. Soient la fonction f définie par f (x)1x²

et F son graphique.

Calculer l’aire de la surface délimitée par F, la tangente à F au point d’abscisse 1 d’équation

y 

2

x

et l’axe oy.

5 points

A2. Soit la fonction f définie par

1 ) 4

(   _x  x e x

f

.

Déterminez les coordonnées du point en lequel la tangente au graphique de f est horizontale et donnez alors l’équation de cette tangente.

4 points

A3. Calculer toutes les primitives de la fonction

x x x

f ln³

:  1

et précisez la primitive qui s’annule en

² 1 xe

4 points

A4.Soient, dans un repère orthonormé, le point C

( 1 , 2 , 0 ) et le plan

 xy

2 .

z

6



0 Déterminer une équation développée de la sphère centrée en C et tangente à  .

4 points

A5.On donne, dans un repère orthonormé de l’espace, le plan 

:

 xy

1



0 , ainsi que les droites r et s :





















 









 

0 2

0

; 2 0 1 2

0 1

z y

z s x

z y r x

Déterminer laquelle de ces deux droites est parallèle à



, ainsi que les coordonnées du point d’intersection de l’autre droite avec  .

4 points

A6. : On donne, dans un repère orthonormé de l’espace d’origine O(0,0,0), les quatre

points suivants : A(0,1,1) , B(2,1,0) , C(0,-1,-1) et D(1,0,-5)

Déterminer l’angle formé par la droite CD avec le plan OAB

4 points

A7.Résoudre dans C l’équation suivante, avec z  xy

.

i

, en précisant les étapes :

i.z4(2i).z

PREBAC CULHAM 2012 : MATH 5 PÉRIODES

Partie A : SANS OUTIL TECHNOLOGIQUE Page 1 sur 1 Barème

Page 2/2

A1

Déterminer une primitive de la fonction définie par

. 5 points

A2

Calculer la valeur moyenne de la fonction

entre et . 5 points

A3

On considère la fonction définie par

définie sur Déterminer

,en donner le domaine de définition.

5 points

A4

La droite d’équation paramétrique

coupe la sphère

d’équation

en deux points P et Q.

Déterminer les coordonnées des points P et Q.

5 points

A5

Une suite

est définie par

a)

Déterminer la valeur des cinq premiers termes de la suite

b)

En admettant que la suite

converge vers une limite l, écrire

l’équation de déterminer la valeur de l. Calculer l.

5 points

A6

Résoudre l’équation complexe ci-dessous :

Ecrire les solutions sous la forme

avec et .

5 points

Question 1 :

Résoudre l'équation

z³=

3+3 i , en laissant les solutions sous forme exponentielle

Question 2 :

Déterminer l'écriture trigonométrique du complexe

z=4+4 i

Question 3 :

Soit la courbe F d'équation

y=ln(

5−2

x)

et la droite (d) d'équation

y=−2x+7 ; calculer

l'abscisse du point A de F telle que la tangente à F en A soit paralllèle à (d).

Question 4 :

Calculer ∫

₀^{1 x2}

√ ²⁻

^x3

^d

^x

Question 5 :

Déterminer le système d'équations paramétriques de la droite d'intersection des plans P et Q d'équations respectives 2

x−3y+z−

2= 0 et 3

x−y−2z+

4=0

Question 6 :

On considère la sphère S d'équation

(x−6)²+(y−3)²+(z−

2)

²=49 et le plan Π

d'équation

x+2y+3z=12 ; déterminer le centre et le rayon du cercle d'intersection de S et Π

.

Question Barème

1) Calculer

∫

^x3

^ln(

^x

⁾

^{dx 4 points}

2) L’espace est rapporté à un repère orthonormal Oxyz.

Trouver des équations paramétriques de la droite r passant par le point P (1 ; 2 ; 3) et parallèle aux plans P1 d’équation : x – y – z = 9 et P2 d’équation : x – 3y + z = 1.

4 points

3) Dans une chocolaterie la production est constituée de

3

2

de chocolats bruns, les autres chocolats étant blancs. Une personne prend au hasard 3 chocolats dans la production de cette chocolaterie.

Calculer la valeur exacte de la probabilité que cette personne ait pris au moins deux chocolats blancs.

3 points

4) Déterminer les abscisses des points d’inflexion de la fonction suivante :

( )

+ < <

π

= x x pour x

x

f

( ) sin 2

²

, 0

.

6 points

5) Résoudre dans l’ensemble C des nombres complexes l’équation suivante d’inconnue z :

0

3 +

8

=

z . Représenter les solutions dans le plan complexe.

4 points

6) L’espace est rapporté à un repère orthonormal.

Calculer l’angle entre le plan P d’équation : x + y – 2z + 5 = 0

et la droite l d’équations paramétriques : pour t R t

z

t y

t x

⎪ ∈

⎩

⎪⎨

⎧

+

−

= +

=

−

=

, 3 4

2 1

.

5 points

7) Pour se rendre à l’école, un élève a deux possibilités : soit il prend le bus seul, soit il y est conduit par son père en voiture. S’il vient avec son père, il est en retard dans 20 % des cas.

La probabilité que son père l’emmène à l’école est de 15 %. Globalement, cet élève est en retard 1 fois sur 10.

Un certain jour, il est en retard. Calculer la probabilité qu’il soit venu avec son père.

4 points

N. Sottocornola

Scuola Europea di Varese

Anno scolastico 2011/2012 Prova Parziale 1^◦semestre

Points Partie A : sans l’outil technologique – 60 min

3 A1 Donner une équation de la droite tangente à la courbe d’équationy=lnx−1 en son point d’abscissex₀= √

e.

4 A2

Donner la définition de primitiveFd’une fonction f. Vérifier queF(x)= 1

3x³lnx− 1

9x³+3 est une primitive de f(x)=x²lnx.

3 A3

Étudier la continuité de la fonction

f(x)=











√

1+x² x≤0 sinx

x x>0

4 A4

On donne les droitesretssuivantes :

r:















x=2+h y=−1−h z=4+3h

et s:









 x y z











=









 3 2 4









 +k









 1 1 1











h,k∈R.

Déterminer leur position réciproque.

6 A5

Dans un espace muni d’un repère orthonormé, déterminer une équation cartésienne du plan parallèle à→−

u =









 2

−3 1









 et→−

v =











−1 0 2











et passant par A(1,2,−1).

5 A6

La production de pièces mécaniques dans une entreprise est assurée par deux machinesAetB. La machineAproduit 40 % de la totalité des pièces produites et chaque pièce a la probabilité 5/6 de fonctionner correctement ; la machine B produit le 60 % restant et la probabilité qu’une pièce produite par cette machine soit non défectueuse est 9/10.

Sachant qu’une pièce est défectueuse, quelle est la probabilité qu’elle ait été produite par la machineB?

5 A7

Dans un gratte-ciel il y a 5 ascenseurs. La probabilité qu’un ascenseur tombe en panne un jour donné est de 0,1. On considère que les pannes sont indé- pendantes les unes des autres. Calculer la probabilité qu’un jour donné il y ait deux ascenseurs en panne dans le gratte-ciel.

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B2 : Géométrie (30 points de 100)

2 Points

3 Points

2 Points 3 Points 3 Points 2 Points 3 Points 2 Points 3 Points 3 Points 2 Points

2 Points

Dans l’espace euclidien on considère le cube ABCDEFGH avec une longueur d’arrête égale à 1.

On note I le centre de la face ADHE, J le centre de la face ABCD et K le milieu du segment [IJ].

Dans cet espace on utilise le repère (A;AB u ruu

,AD u ruu

,AE u ruu

) de façon que :

A(0,0,0) ; D(-1,0,0) ; B(0,1,0) et E(0,0,1) a) Indiquer les coordonnées des points C ; F ; G et H.

b) Le plan BDE coupe les faces ABFE et ADHE selon deux droites. En vous basant sur le schéma et sans faire de calculs indiquer 2 points qui appartiennent à l’une respectivement à l’autre de ces 2 droites et utiliser ces points pour établir les équations paramétriques de ces droites.

c) Ces deux droites sont-elles perpendiculaires ? Justifier votre réponse.

d) Calculer le volume du tétraèdre de sommets ABDE.

e) Déterminer les coordonnées des points I, J et K dans le repère donné.

f) Montrer que les points A, K et G ne sont pas alignés.

g) Etablir une équation du plan AKG.

h) Montrer que les points D et F appartiennent au plan AKG.

i) Déterminer une équation du plan ABC et de la droite (IJ).

j) Calculer l’angle formé par la droite (IJ) y et le plan ABC.

k) Déterminer les coordonnées de la projection orthogonale du point K sur le plan ABC.

l) Calculer la distance du point K au plan ABC.

Question 2 : Géométrie (20 points)

2 points

3 points

4 points

2 points

4 points

2 points

3 points

L’espace est rapporté à un repère orthonormal (O;

^⎯

i ;

^{→ ⎯}

j ;

^{→ ⎯}

k).

^→

Soit le plan α ^:

^x!y+z=0

le point A( 1 ;2 ;4) et la droite r :

^x+y!1=0 2x!z=0

"

#$

i) Vérifier que

A!!

et calculer la distance du point A au plan α ^.

ii) Soit la droite s :

^x+y!z+1=0 x!y=0

"

#$

Déterminer les positions relatives des droites r et s.

iii) Déterminer des équations paramétriques de la perpendiculaire commune aux deux droites r et s.

iv) Calculer la distance entre les droites r et s .

v) Soit la sphère S :

(x!1)²+(y!2)²+z² =16

Déterminer une équation cartésienne du plan

β

tangent à S en A .

vi) Démontrer que S et α sont sécants

vii) Déterminer le centre et le rayon du cercle

C=S!!

.

16

PréBAC 2012 : MATHEMATIQUES 5 PERIODES

Barème Partie B : Avec calculatrice Page 2/3 (25 points)

5

5 5

5

5

Question 2 : Justifier toutes les réponses !!!

The very famous album The Dark Side of the Moon is the 8^th studio album by English rock band PINK FLOYD, released in 1973 and one with an iconic cover.

On donne :



Une pyramide régulière OABCT avec A(4,0,0); C(0,-4,0) et T(2,-2,t).



S(1,-2,3) est le point d’intersection de la droite



































































1 0 4 . 3

2 1

: 

z y x

k

avec le

plan latéral OTC.

La droite PQ avec

³⁸, 2,⁴²

13 13

P 

  

 

et

^{Q q}

 ^{, 2, 0}

^

 coupe ABT en P et OXY en Q.

1. Calculer t > 0 si T(2,-2,t) est le sommet de la pyramide régulière OABCT.

Pour la suite de la question, prendre t = 6.

2. Calculer l’angle formé par la droite k et le plan latéral OTC.

3. Si le faisceau représenté par la droite k n’était pas dévié, il aurait comme point d’intersection avec le plan ABT le point S’. Calculer les coordonnées de S’.

4. Une sphère

(M r, )

est tangente au carré OABC et aux 4 triangles TOA, TOC, TAB et TBC. Calculer les coordonnées du centre M situé sur la droite TT’, et le rayon r de cette sphère.

5. Calculer q > 0 si l’angle entre le faisceau de lumière entrant et le faisceau de

lumière sortant ( c'est-à-dire les droites k et PQ ) est égal à 25 .

PréBAC 2012 : MATHEMATIQUES 5 PERIODES

Barème Partie B : Avec calculatrice Page 2/3 (30 points)

2

3 3 5

2

2

3

3

3

3 1

B2. Géométrie !!! Justifier toutes les réponses !!!

Dans l’espace de dimension 3, rapporté à un système orthonormé Oxyz, on donne les points A(1;0;-5), A’(2;1;-9), C(-2;0;1) et D(3;3;2),

la droite b d’équations paramétriques



















l z

l y

l x b

2 1

2 3

4

:

ainsi que la sphère S d’équation S:

x²  y² z² 

4

x

2

y

4



0 .

1. i. Vérifier que





















k z

k y

k x

4 1

1

sont des équations paramétriques de la droite

^{a AA'}

.

ii. Montrer que les droites a et b ne sont pas coplanaires.

iii. Déterminer une équation cartésienne du plan

1

contenant a et parallèle à b.

2. i. Déterminer des équations paramétriques de la perpendiculaire commune p à a et b.

ii. Préciser les coordonnées des points I et J d’intersection de p respectivement avec a et b.

iii. Déterminer la distance entre a et b.

3. Déterminer une équation cartésienne du plan

²

, passant par C et perpendiculaire à la droite b.

4. i. Préciser les coordonnées du centre M et la mesure r du rayon de la sphère S.

Justifier qu’il s’agit de la sphère de diamètre

^IJ

.

ii. Donner une équation cartésienne du plan

³

tangent à la sphère S en D.

iii. Déterminer à 10

^1

près l’angle aigu formé par les plans

1

et

3

.

iv. Déterminer des équations cartésiennes de la droite i d’intersection

de

1

et

³

.

PREBAC CULHAM 2012 : MATH 5 PÉRIODES

B 2. GEOMETRIE DANS L’ESPACE Page 3 sur 5 Barème

Page 4/6

On considère deux points A et B de l’espace de coordonnées et

.

On considère les sphères S1 et S2 d’équations respectives :

Le plan π d’équation :

Total : 25 points

a)

Déterminer le centre et le rayon des sphères S

1

et S

2

. 3 points Considérons la sphère S de centre A et de rayon 5, et la sphère S’ de centre B

et de rayon 6.

b) i.

Justifier que les sphères S et S’ sont sécantes.

ii.

Etablir une équation cartésienne du plan contenant l’intersection de ces deux sphères.

1 point 2 points

c)

Déterminer les coordonnées du point K intersection de la droite (AB) et du plan π.

4 points

d)

Justifier que le lieu C des points M de l’espace tels que et est un cercle dont vous en donnerez TOUTES les caractéristiques.

3 points

e)

On considère le point D de coordonnées (5 , -1 , 5)

i.

Vérifier que le point D appartient à C .

ii.

Déterminer une équation du plan α tangent à la sphère S au point D.

iii.

Déterminer une équation paramétrique de la droite (d) intersection des plans α et π.

iv.

Montrer que la droite (d) est tangente à la sphère S’.

2 points

3 points

3 points

4 points

Exercice 1 : Géométrie dans l'Espace

Dans l'Espace muni d'un repère orthonormé, on considère les points

A8 ; 0 ; 8 et B10 ; 3 ; 10 ainsi que la droite (d) dont le système d'équations paramétriques est :

{

^{zxy=−2=−5=}

¹

^3s

²

^ss

^{, s}

^{∈ ℝ.}

1°)a)Déterminer le système d'équations paramétriques de la droite



, passant par les points A et B;

b)Montrer que les droites (d) et



sont non coplanaires.

2°)Le plan (P) est parallèle à (d) et contient



. Déterminer une équation cartésienne de (P).

3°)Calculer la distance entre les droites (d) et (



).

20 pts

5 5 5

5

Exercice 2 : Analyse

On considère la fonction f définie par

f x =x²−

3

x−

2 et on appelle F sa représentation graphique dans un repère orthonormé 

_O

_;

^_i

_;

^_j

 .

1)Étudier f : domaine de définition, coordonnées des intersections avec les axes de coordonnées, variations de f, coordonnées des extrema éventuels (chaque réponse sera justifiée de façon explicite)

2)Montrer que F admet une asymptote oblique, dont vous déterminerez l'équation, puis étudier sa position par rapport à F.

3)Construire un graphique comportant tous les éléments étudiés.

4)Calculer l'aire exacte du domaine délimité par F et l'axe des abscisses.

20 pts

8

5

3

4

Question 1 - Analyse Barème On considère la fonction f suivante : f

(

x

)

=

3

e^2x −

17

e^x +

20

.

On note F sa courbe dans un repère orthogonal d’unité 2 cm en abscisses et 0,5 cm en ordonnées.

1.

a) Déterminer le domaine et les zéros de cette fonction.

b) Déterminer les limites de f aux bornes de son domaine et ses éventuelles asymptotes.

c) Etudier les variations de f sur son domaine.

d) Déterminer une équation de la droite T, tangente à F au point d’abscisse 0.

e) Tracer F et T dans le même repère.

f) Déterminer l’aire du domaine compris entre la courbe F et les axes de coordonnées.

2. Dans cette question aucune justification n’est demandée.

a) Déterminer une valeur approchée à 0,01 près de l’abscisse du deuxième point d’intersection entre T et F.

b) Déterminer les variations de la fonction g suivante : g x e ^x

17

e^x

20

x

2

) 3

(

= ² − + .

3 points 2 points 3 points 2 points 2 points 3 points

2 points

3 points

Question 2 - Géométrie Barème

L’espace est rapporté à un repère orthonormé Oxyz.

On considère le point A (0 ; 0 ; 1), la droite k d’équations paramétriques :

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−

= +

=

= t z

t y x

1 9

le plan T de vecteurs directeurs (2 ; 3 ; -1), (1 ; 2 ; 1) et passant par le point (2 ; -1 ; 3).

a) B est le point de la droite k le plus proche de A. Déterminer les coordonnées de B.

b) C est le point du plan T le plus proche de A. Déterminer les coordonnées de C.

c) Calculer l’aire du triangle ABC.

d) Déterminer une équation du plan ABC sous forme cartésienne et une équation du plan ABC sous forme paramétrique.

5 points

5 points

5 points

5 points

N. Sottocornola

Scuola Europea di Varese

Anno scolastico 2011/2012 Prova Parziale 1^◦semestre

Points B2 : Géométrie

Dans un repère orthonormé on donne les pointsA(1; 8; 1), B(3; 0; 3) etC(9; 0;−3), la droite get le planπ1:

g:









 x y z











=









 4 4

−4









 +t









 3 4

−1











t∈R, π1 : 2x+y+2z=0.

2 a) Écrire une équation cartésienne du planπ2 passant parA, BetC.

4 b) Montrer que les deux plansπ1etπ2sont parallèles. Calculer la distance entre les deux plans.

5 c) La droiteget le planπ1 sont sécants. Calculer les coordonnées de leur point d’intersection.

5 d) i) Calculer les coordonnées du pointP, projection orthogonale du pointAsurπ1.

4 ii) Calculer les coordonnées du pointA⁰, symétrique du pointApar rapport au planπ1.

B2 Géométrie

^{20 P}

L’espace est muni d’un repère orthonormé ( ⃗ ⃗ ⃗⃗). Dans ce repère, on considère :

Les points de coordonnées ( ) et de coordonnées ( )

Les plans d’équation et d’équation

a. Démontrer que est parallèle au plan

2

b. Démontrer que est le projeté orthogonal de sur

4

c. Déterminer les coordonnées du point intersection de la droite ( ) avec le plan

4

d. Démontrer que est une équation de la sphère de centre et de rayon 4

2

e. Montrer que le plan est sécant à la sphère

4

f. Le plan coupe donc la sphère suivant un cercle . Déterminer le rayon de ce cercle.

4