c Éditions H&K Publié dans lesAnnales des Concours 1/20
X Physique et Sciences de l’ingénieur MP 2010 Corrigé
Ce corrigé est proposé par Olivier Frantz (Professeur agrégé) ; il a été relu par Benoît Lobry (Professeur en CPGE) et Julien Dumont (Professeur en CPGE).
Ce sujet porte sur l’étude de quelques aspects des lecteurs de CD. Il s’articule au- tour de deux grandes parties, orientées respectivement vers les sciences de l’ingénieur et les sciences physiques.
• La partie sciences de l’ingénieur aborde tout d’abord la mécanique du déplace- ment du chariot qui supporte le laser, proposant une modélisation cinématique, avec trois liaisons en parallèle. Ensuite, les questions sont centrées sur le système de suivi de la piste et l’asservissement du spot. Après avoir établi les fonctions de transfert de la commande en déplacement, on cherche à dimensionner un correcteur à avance de phase.
• La deuxième partie traite de la partie optique du lecteur. Elle se décompose en sous-parties relativement indépendantes, abordant de nombreux points du cours. On suit d’abord le cheminement du faisceau lumineux, onde polarisée, à travers une lame quart d’onde, un miroir et un cube séparateur. Ensuite, à partir des lois de la diffraction, on détermine la taille du spot. Enfin, le cœur de cette partie consiste en l’étude de la détection des défauts de focalisation, avec de nombreuses questions qualitatives sur un système astigmate, nécessitant beaucoup de recul sur l’optique géométrique.
Le sujet est très long et de difficulté inégale. Les deux parties sont complètement indépendantes et peuvent être traitées séparément. Fait assez rare pour être signalé, une large part de la première partie est abordable avec le seul programme de pre- mière année. Elle permet en outre de faire le point sur l’ensemble du cours de sciences de l’ingénieur dont elle aborde tous les aspects : mécanique du solide indéformable et asservissements. La seconde partie est plus originale. Les questions d’optique de- mandent de réfléchir, essentiellement de manière qualitative, sur des concepts hors programme.
Téléchargé gratuitement surwww.Doc-Solus.fr.
c Éditions H&K Publié dans lesAnnales des Concours 2/20
Indications
Partie I
I.1 Exprimer le rayon en fonction de l’angle polaire.
I.4 Dériver l’expression du rayon.
I.6 Le torseur cinématique équivalent et ceux des liaisons parallèles doivent être tous égaux lorsqu’ils sont ramenés au même point.
I.8 Un couple de torsion est l’équivalent pour les rotations de la force de rappel élastique exercée par un ressort pour les translations.
I.13 La solution non identiquement nulle de l’équation homogène est obtenue lorsque le déterminant de la matrice est nul.
I.17 Traduire la conversion parfaite de puissance électromécanique pour écrire la force de Laplace.
I.21 Quel est le signe des coefficients du dénominateur ?
I.23 Évaluer la différence d’aire entre le secteur circulaire dans son ensemble et le triangle sous la piste.
I.26 Pour simplifier l’étude, considérer qu’à haute fréquence le dénominateur de la fonction de transfert est équivalent à son terme de plus haut degré enω. Il y a vraisemblablement une erreur d’énoncé : considérer queKest positif.
Partie II II.3 Exprimer la partie réelle deExet deEy. II.5 Étudier la légende de la figure 15.
II.9 Dessiner le dioptre plan, les rayons incident et réfracté et en déduire la nouvelle position du point de focalisation.
II.11 Dessiner la lentille cylindrique en coupe dans les plans cités.
II.13 Les rayons dans le plan vertical sont courbés deux fois. Dans le plan horizontal, ils ne sont courbés qu’une fois.
II.17 Différentier la formule de conjugaison de la lentille.
II.18 Calculer le grandissement pour des points quelconques puis passer à la limite en plaçant la source sur le premier foyer.
II.24 Écrire la formule fondamentale des réseaux et en déduire l’angle de déviation.
Téléchargé gratuitement surwww.Doc-Solus.fr.
c Éditions H&K Publié dans lesAnnales des Concours 3/20
Lecteurs optiques numériques
I. Aspects de la mécanique d’un lecteur de CD
I.1 Caractéristiques cinématiques des éléments du lecteur
I.1 Le rayon est une fonction affine de l’angle polaire. En outre, pour un tour, le rayon croît du pasp. Notonsr0le rayon intérieur et fixons àθ= 0l’angle du début de la piste. Le rayon s’écrit alors
r=r0+ p 2πθ
On en déduit dθ= 2π
p dr et la longueur L de la piste est donnée par
L = Z θ1
0
rdθ=2π p
Z r1
r0
rdr
L = π p(r12
−r02
) = 5,4 km
Il est plus intéressant d’exprimerθ en fonction der, même si c’est moins in- tuitif, car ainsi l’intégrale s’exprime en fonction des rayons extrêmes, qui sont donnés dans l’énoncé.
I.2 La vitesse de défilement du spot devant la piste étant constante, la durée maxi- male de lecture audio vaut
T = L
V = 75 min
La valeur usuellement retenue est 74 minutes. Le résultat calculé est légè- rement inférieur à 75 minutes mais arrondi à 75 pour garder une cohérence dans les chiffres significatifs. La rumeur voudrait que cette durée ait été choi- sie afin que la version la plus lente de la 9e symphonie de Beethoven tienne sur un seul CD.
I.3 La vitesse angulaire s’exprime simplement en fonction de la vitesse linéaire
ω(r) =V r
Les vitesses aux bords intérieur et extérieur du disque valent
ω0 = 48 rad.s−1= 460 tr.min−1 ω1 = 21 rad.s−1= 200 tr.min−1
r ω
r0 ω0
r1 ω1
Téléchargé gratuitement surwww.Doc-Solus.fr.
c Éditions H&K Publié dans lesAnnales des Concours 4/20
I.4 Reprenons et dérivons l’expression du rayon écrite à la question I.1 :
˙
u(r) = dr dt = p
2π dθ dt = p
2πω
Ainsi, avec la vitesse angulaire trouvée à la question précédente,
˙
u(r) = pV 2π r Les valeurs extrémales de cette vitesse radiale sont
˙
u0= 12µm.s−1 et u˙1= 5,3µm.s−1
I.2 Une solution technologique pour le déplacement du spot laser I.5 Le chariot est relié au bâti du lecteur par trois liaisons en parallèle. Les liaisons A et B sont de type sphère-cylindre. La liaison C est un contact ponctuel.
Ba Ch
Liaison A Liaison B Liaison C
La liaison sphère-cylindre s’appelait autrefois liaison linéaire annulaire.
Le contact ponctuel est souvent dénommé liaison sphère-plan.
I.6 L’ajout d’une liaison sphère-cylindre en parallèle de la première bloque deux ro- tations, autour des axes(A,−→y)et(A,−→z); le chariot est lié par les deux points A et B à l’axe (A,−→x), ce qui correspond à une liaison pivot glissant. Le contact ponctuel placé en parallèle annule la dernière rotation, autour de l’axe(A,−→x).
La liaison équivalente est une glissière d’axe(A,−→x).
Le torseur cinématique équivalent à ces trois liaisons parallèles est obtenu en écrivant que les torseurs cinématiques de chaque liaison exprimés en un même point sont égaux. Ainsi, on veut
{VLiaison A}A={VLiaison B}A={VLiaison C}A
−
→Ω
−→VA
A
=
−
→Ω
−→VB+−→
AB∧−→ Ω
A
=
−
→Ω
−→VC+−→
AC∧−→ Ω
A
Avec−→
AB =a−→x et−→
AC =−b→−y, on a alors
˙ α u˙ β˙ 0
˙ γ 0
A
=
˙ α u˙ β˙ −aγ˙
˙ γ aβ˙
A
=
˙
α u˙−bγ˙ β˙ v˙
˙ γ bα˙
A
Téléchargé gratuitement surwww.Doc-Solus.fr.
