Mines Physique 1 MP 2008 — Énoncé 1/4 ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSS ´´ EES.
ECOLES NATIONALES SUP ´´ ERIEURES DE L’A ´ERONAUTIQUE ET DE L’ESPACE, DE TECHNIQUES AVANC ´EES, DES T ´EL ´ECOMMUNICATIONS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT– ´ETIENNE, DES MINES DE NANCY, DES T ´EL ´ECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE,
ECOLE POLYTECHNIQUE (FILI `´ ERE TSI) CONCOURS D’ADMISSION 2008 PREMI `ERE ´EPREUVE DE PHYSIQUE
Fili`ere MP
(Dur´ee de l’´epreuve : 3 heures) L’usage de la calculatrice est autoris´e
Sujet mis `a disposition des concours : ENSAE ParisTech, ENSTIM, T´el´ecom SudParis (ex INT), TPE–EIVP, Cycle international
Les candidats sont pri´es de mentionner de fac¸on apparente sur la premi`ere page de la copie : PHYSIQUE I — MP.
L’´enonc´e de cette ´epreuve comporte 4 pages.
– Si, au cours de l’´epreuve, un candidat rep`ere ce qui lui semble ˆetre une erreur d’´enonc´e, il est invit´e `a le signaler sur sa copie et `a poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il aura ´et´e amen´e `a prendre.
– Il ne faudra pas h´esiter `a formuler les commentaires (incluant des consid´erations num´eriques) qui vous sembleront pertinents, mˆeme lorsque l’´enonc´e ne le demande pas explicitement. La bar`eme tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualit´es de r´edaction de la copie.
QUELQUES OSCILLATIONS
Dans tout ce probl`eme, les vecteurs sont surmont´es d’un chapeauabs’ils sont unitaires, d’une fl`eche
−
→a dans le cas contraire. Les nombres complexes sont soulign´es :z∈C.
Lorsqu’une bille sph´erique roule sur une piste de forme circulaire suspendue en un point, le couplage entre la bille et la piste engendre un mouvement spectaculaire, objet de ce probl`eme.
Une sph`ere homog`ene, de centreC, de rayonret de massem, est mobile dans un plan vertical en restant en contact avec un railPP′, de masseM, que l’on mod´elise par une portion de cercle de centre Oet de rayonR, dont l’axe de sym´etrie est vertical.
Figure 1 : Sph`ere mobile sur un rail fixe
Le moment d’inertie de la sph`ere par rap- port `a un axe passant parCestJ=2mr2/5.
Le r´ef´erentiel fixe orthonorm´e direct Rg= O,bi,bj,bk
o`ubi est vertical dirig´e vers le bas est suppos´e galil´een (voir Figure 1). On pourra ´egalement utiliser les vecteurs mo- biles polaires unitairesbretαbrepr´esent´es sur la Figure 1. Le mouvement de la sph`ere est rep´er´e par deux param`etres : l’angle αque fait−→
OCavecbiet l’angle de rotationθautour de l’axe horizontal qui portebk. `A chaque ins- tantt, on appelleIle point de contact de la sph`ere avec le rail. On noteAle point du rail situ´e sur son axe de sym´etrie. L’acc´el´eration de la pesanteur est−→g =gbi.
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Mines Physique 1 MP 2008 — Énoncé 2/4
I. — Rail fixe
La sph`ere roule sans glisser sur le rail fixe. Initialement, elle est au repos et−→
OCfait un angleαoavec bi. Le syst`eme comprend deux degr´es de libert´e cin´ematiques,αetθ.
1 —Ecrire la condition de roulement sans glissement de la sph`ere sur le rail sous la forme d’une´ relation lin´eaire liantr,R, ˙θ=dθ/dtet ˙α=dα/dt. Contrˆoler la pertinence de la relation obtenue, d’une part en comparant les signes respectifs de ˙θ et de ˙α, et d’autre part en analysant la situation lorsquer=R.
2 —D´eterminer l’expression de l’´energie m´ecanique totaleEtdu syst`eme. En d´eduire l’´equation diff´erentielle v´erifi´ee par la fonctionα(t).
3 —D´eterminer la p´eriodeTpodes petites oscillations.
On consid`ere deux rails circulaires de mˆeme rayonR. Sur chaque rail, on place `a l’instant initial une sph`ere de rayonr, de massemen des points rep´er´es par le mˆeme angleαo(situation d´ej`a repr´esent´ee sur la Figure 1). Les sph`eres sont lˆach´ees au mˆeme instant, avec une vitesse initiale nulle. Les deux rails sont de nature diff´erente, de sorte que la premi`ere sph`ere roule sans glisser et que la seconde glisse sans rouler.
4 —En utilisant des arguments ´energ´etiques qualitatifs, d´eterminer quelle est la sph`ere qui arrive la premi`ere au point le plus basA. Le r´esultat est-il modifi´e si les masses des sph`eres sont diff´erentes ? 5 — Etablir une expression int´egrale du temps´ τmis par la sph`ere la plus rapide pour atteindre le pointA. Comment peut-on, sans calcul suppl´ementaire, obtenir le tempsτ′mis par la sph`ere la plus lente pour atteindre ce point ? D´eterminer le rapportτ′/τ.
FIN DE LA PARTIE I
II. — Rail suspendu
Figure 2 : Sph`ere mobile sur un rail suspendu Les anglesαetβ sont mesur´es par rapport `a la verticale
et l’on note−→
OG =ℓ
Les points P etP′ sont attach´es en Opar des fils inextensibles de masse n´egligeable, ce qui permet au rail d’osciller autour de l’axe horizontal passant parO. La position du milieuA du rail est rep´er´ee par l’angle β repr´esent´e sur la Figure 2. Le centre de masseGdu rail se trouve `a chaque instant sur la droiteOA `a une distanceℓdeO. On noteJ′=MR2le moment d’inertie du rail par rapport `a son axe de rotation. On appelle respectivementN etT les composantes de la force de r´eaction du rail sur la sph`ere au pointIselonbretα. La sph`ere roule sans glis-b ser sur le rail, qui est maintenant en forme de quart de cercle, les grandeursαetθsont les mˆemes que celles utilis´ees dans la partie I.
II.A. — Description du mouvement
6 — Ecrire la condition de roulement sans glissement reliant ˙´ θ,α˙ et ˙β=dβ/dt.
7 —Exprimer dansRgle moment cin´etique−→σ1Cde la sph`ere enCet en d´eduire l’expression du moment cin´etique−σ−→1Ode la sph`ere enO.
8 —Exprimer dansRgle moment cin´etique−σ−→2Odu rail enO.
9 —Exprimer dansRg, l’´energie cin´etiqueECSde la sph`ere, l’´energie cin´etiqueECRdu rail et enfin l’´energie cin´etiqueECTde l’ensemble rail-sph`ere.
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Mines Physique 1 MP 2008 — Énoncé 3/4
10 —Appliquer le th´eor`eme du moment cin´etique enO`a l’ensemble rail-sph`ere et en d´eduire une
´equation diff´erentielle liant les fonctionsα(t)etβ(t).
11 —Appliquer le th´eor`eme du moment cin´etique enC`a la sph`ere seule et en d´eduire l’expression deTen fonction de ¨θ=d2θ/dt2, puis, en utilisant le r´esultat de la question 6, en fonction de ¨α= d2α/dt2et ¨β=d2β/dt2.
12 —Appliquer le th´eor`eme du moment cin´etique enOau rail seul et en d´eduire la relation diff´erentielle
Ad2β dt2 −Bd2α
dt2 =−Mgℓsinβ (1) On exprimera la constanteAen fonction deM,metRet la constanteBen fonction dem,retR
13 —D´eduire des r´esultats pr´ec´edents la relation
A′d2α dt2 −Bd2β
dt2 =−mg(R−r)sinα (2)
On exprimera la constanteA′en fonction dem,retR. V´erifier que l’´equation(2)est en accord avec le r´esultat de la question 2.
14 —Retrouvez les ´equations (1) et (2) `a partir de consid´erations ´energ´etiques. D´emontrer que AA′>B2.
15 —Que traduit l’absence de termes en ˙αet ˙βdans les ´equations(1)et(2)?
II.B. — Modes d’oscillation
On consid`ere dans cette sous-partie que les anglesαetβ sont l’un et l’autre voisins de z´ero, ce qui permet de lin´eariser les ´equations(1)et(2). On poseD=MgℓetD′=mg(R−r). On cherche les solutions du syst`eme lin´earis´e sous la forme
α(t) =Re αoeiωt
etβ(t) =Re βoeiωt
(3) o`uαoetβosont deux nombres complexes,i2=−1.
On appelle pulsation propre du syst`eme tout r´eel positifω qui permet d’obtenir des solutionsnon nullesdu syst`eme lin´earis´e sous la forme(3).
16 —D´eterminer les pulsations propresω1etω2du syst`eme (ω1>ω2) en fonction deA,A′,B,D etD′.
On consid`ere dor´enavant que les conditions initiales du syst`eme sont
α(t=0) =αoet ˙α(t=0) =β(t=0) =β˙(t=0) =0 (4)
17 —Montrer que siαo6=0, la solutionβ du syst`eme lin´earis´e est une fonction de la forme β(t) =η[cos(ω1t)−cos(ω2t)]. On ne cherchera pas forc´ement `a d´eterminer la constanteηen fonc- tion des param`etres du syst`eme.
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Mines Physique 1 MP 2008 — Énoncé 4/4
Figure 3 : Enregistrement deβ en radians en fonction deten secondes
On r´ealise le montage exp´erimental de la Figure 2 avec les param`etres physiques suivants
r=1,27×10−2m, R=19×10−2m M=90×10−3kg, m=67×10−3kg ℓ=17,7×10−2m, g=9,81 m.s−2 On dispose d’un syst`eme de mesure qui permet d’enregistrer la valeur de l’angle β en fonction du temps. Pour des condi- tions initiales du type(4), avecαosuffi- samment faible, on obtient l’enregistre- ment repr´esent´e sur la Figure 3.
18 — D´eterminer `a partir de la Figure 3, une valeur approximative des pulsations propres du syst`eme exp´erimental. Cette estimation est-elle compatible avec les valeurs th´eoriques ?
FIN DE LA PARTIE II
III. — Oscillations ´electriques
Figure 4 : Oscillateur ´electrique
19 —On consid`ere le montage ´electrique de la Figure 4. Trouver les ´equations diff´erentielles v´erifi´ees par les charges q1(t)et q2(t) des deux condensateurs.
20 — Quel est le lien entre ce montage et l’oscillateur m´ecanique de la partie II. Relier les constantesA,A′,B,DetD′de la partie II aux ca- ract´eristiques des composants du montage de la Fi- gure 4.
FIN DE LA PARTIE III
FIN DE L’ ´EPREUVE
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