11-Le centre de masse

(1)

Version 2022 11 - Le centre de masse 1

1.

La position de centre de masse en x est

( )

1 1 2 2 3 3

1 1

1 0, 5 3 3, 5 3 2 4

10 20 10 2

xcm xm m

x m x m x m m

kg m kg m kg kg

kgm kg m

=

= + +

= ⋅ + ⋅ + ⋅

=

∑

La position de centre de masse en y est

( )

1 1 2 2 3 3

1 1

1 2,5 3 2, 5 3 0, 5 4 10

17 10 1, 7 ycm ym

m

y m y m y m m

m kg m kg m kg

kg kgm

kg m

=

= + +

= ⋅ + ⋅ + ⋅

=

∑

Le centre de masse est donc à la position (2 m, 1,7 m).

2.

Nous avons les trois masses suivantes.

1) Une masse de 3 kg à (0,0).

2) Une masse de 2 kg à (10 m, 0 m).

3) Une masse de 1 kg à (5 m, 8,66 m).

(Cette dernière position est y₃ = 10 m sin (60°).

(2)

( )

1 1 2 2 3 3

1 1

1 0 3 10 2 5 1

6 25

6 4,17 xcm xm

m

x m x m x m m

kg m kg m kg kg

kgm kg

m

=

= + +

= ⋅ + ⋅ + ⋅

=

∑

La position de centre de masse en y est

( )

1 1 2 2 3 3

1 1

1 0 3 0 3 8, 66 1

6 8, 66

6 1, 44 ycm ym

m

y m y m y m m

m kg m kg m kg

kg kgm kg

m

=

= + +

= ⋅ + ⋅ + ⋅

=

∑

Le centre de masse est donc à la position (4,17 m, 1,44 m).

3. ( )

( )

1 1 2 2 3 3 4 4

4 4

1 1

4m 1 1m 1kg 3m 4kg 6m 2kg 10m

7kg

4m 1 25kgm 10m

7kg

cm

x xm

m

x x m x m x m x m m

m m

=

= + + +

= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

+

= + ⋅

+

∑

Il ne reste qu’à isoler m₄.

(3)

( )

4 4

4m 1 25kgm 10m

7

4m 7 25kgm 10m

28kgm 4m 25kgm 10m 3kgm 6m

0, 5kg kg m m

kg m m

m m

= + ⋅

+

⋅ + = + ⋅

+ ⋅ = + ⋅

= ⋅

=

4.

La tige va de x = 0 à x = 3. On a donc

( )

( ) ( )

3

3m

0 3m

kg 2 kg

m m 0 3m

kg 3 kg

m m 0

kg 4 kg 2 3m

1 1

4 m 2 m 0

4 2

kg kg

1 1

4 m 2 m

1

1 1 1

1

1 3m 3m

1 24,75kgm xcm x dx

m

x x dx m

x x

m m m

λ

=

= ⋅ +

= ⋅ + ⋅

 

=  ⋅ + ⋅ 

 

=  ⋅ + ⋅ 

= ⋅

∫

Il faut trouver la masse de la tige. La masse est simplement la somme de toutes les masses dm. On la trouve donc avec

( )

3

3m

0 3m

kg 2 kg

m m 0

kg 3 kg 3m 1

3 m m 0

kg 3 kg

1

3 m m

1 1

1

3m 1 3m

12

m dx

x dx

x x

kg λ

=

= ⋅ +

 

= ⋅ + ⋅ 

 

= ⋅ + ⋅ 

=

∫

Le centre de masse est donc a

(4)

Version 2022 11 - Le centre de masse 4 24,75kgm

24,75kgm 12kg 2, 0625 xcm

m

=

5.

On remplace chacune des tiges par une masse située au centre de la tige. On a donc les masses suivantes (on prend un axe des x dont l’origine est au bout de gauche de la poutre).

1) Une masse de 30 kg à x = 1 m.

Le centre de masse est donc à

( )

1 1 2 2 3 3

1 1

1 1 30 3 20 5 10

60 140

60 2,333 xcm xm

m

x m x m x m m

m kg m kg m kg

kg kgm

kg m

=

= + +

= ⋅ + ⋅ + ⋅

=

∑

6.

On remplace chacune des tiges par une masse située au centre de la tige. La masse de ces tiges est proportionnelle à la longueur de la tige. La longueur des tiges est

Tige 1 (tige horizontale) : m₁=λ⋅30 cm.

Tige 2 (tige inclinée de gauche) : m₂ =λ⋅ 500 cm. Tige 3 (tige inclinée de droite) : m₃ =λ⋅ 800 cm. On a donc les masses suivantes.

1) La masse m₁ à (15 cm, 0 cm).

2) La masse m₂ à (5 cm, 10 cm).

3) La masse m₃ à (20 cm, 10 cm).

(5)

Version 2022 11 - Le centre de masse 5 Le centre de masse en x est donc à

( )

( ) ( ) ( )

1 1 2 2 3 3

1 1

15 30 5 500 20 800

30 500 800

15 30 5 500 20 800

30 500 800

13, 98 xcm xm

m

x m x m x m m

cm cm cm cm cm cm

cm cm cm

cm cm cm cm cm cm

cm cm cm

cm

λ λ λ

=

= + +

⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

= ⋅ + ⋅ + ⋅

⋅ + ⋅ + ⋅

= + +

=

∑

et le centre de masse en y est à

( )

( ) ( ) ( )

1 1 2 2 3 3

1 1

0 30 10 500 10 800

30 500 800

10 500 10 800

30 500 800

6, 28 ycm ym

m

y m y m y m m

cm cm cm cm cm cm

cm cm cm

cm cm cm cm

cm cm cm

cm

λ λ λ

=

= + +

⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

=

⋅ + ⋅ + ⋅

⋅ + ⋅

= + +

=

∑

7.

On sépare la plaque en trois plaques rectangulaires (notez qu’il y a plusieurs façons de la faire) et on remplace chacune de ces plaques par une masse située au centre de la plaque. La masse de ces plaques est proportionnelle à la surface de la plaque. La surface des trois plaques est

(6)

Version 2022 11 - Le centre de masse 6 Plaque 1 (celle du haut) : m₁=σ⋅18 cm².

Plaque 2 (celle du milieu) : m₂ =σ⋅8 cm². Plaque 3 (celle du bas) : m₃=σ⋅6 cm². On a donc les masses suivantes :

1) La masse m₁ à (0 cm, 1,5 cm).

2) La masse m₂ à (-1 cm, -1 cm).

3) La masse m₃ à (0 cm, -2,5 cm).

Le centre de masse en x est donc à

( )

( ) ( ) ( )

1 1 2 2 3 3

2 2 2

2

2 2 2

1 1

0 18 1 8 0 6

18 8 6

1 8

18 8 6

0, 25 xcm xm

m

x m x m x m m

cm cm cm cm cm cm

cm cm cm

cm cm

cm cm cm

cm

σ σ σ

=

= + +

⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

= ⋅ + ⋅ + ⋅

− ⋅

= + +

= −

∑

et le centre de masse en y est à

( )

( ) ( ) ( )

1 1 2 2 3 3

2 2 2

1 1

1, 5 18 1 8 2,5 6

18 8 6

1, 5 18 1 8 2,5 6

18 8 6

0,125 ycm ym

m

y m y m y m m

cm cm cm cm cm cm

cm cm cm

cm cm cm cm cm cm

cm cm cm

cm

σ σ σ

=

= + +

⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅

= ⋅ + ⋅ + ⋅

⋅ + − ⋅ + − ⋅

= + +

=

∑

8.

On sépare la plaque en deux plaques. Il y a une plaque carrée et une plaque triangulaire. On remplace ensuite chacune de ces plaques par une masse située au centre de la plaque.

La plaque triangulaire a une hauteur de 0,2 m tan(60°) = ₅³m= 0,34641 m.

(7)

Version 2022 11 - Le centre de masse 7 La masse de ces plaques est proportionnelle à la surface de la plaque. Les surfaces des plaques sont

Plaque 1 (carré) : m₁ =σ⋅aire=60_m^kg_²⋅

(

0, 4m⋅0, 4m

)

=9, 6kg Plaque 1 (triangle) : m² =σ⋅aire=60^kg_m²⋅¹2

(

0, 4m⋅ 5³m

)

=4,157kg

On va prendre un système d’axe dont l’origine est dans le coin inférieur gauche de la plaque carrée.

Inutile de faire de longs calculs pour trouver la position du centre de masse en x puisqu’il y a un axe de symétrie vertical à x = 20 cm. Le centre de masse en x doit donc être à x = 20 cm. Il faudra cependant faire un peu plus de calcul pour la position du centre de masse en y.

On remplace le triangle par une masse se situant au croisement des axes de symétrie du triangle.

La hauteur de ce centre de masse par rapport à la base de triangle est

( )

20 tan 30 11, 547 h= cm⋅ ° = cm (ce qui est le tiers de la hauteur du triangle).

Une fois que les plaques sont remplacées par des masses ponctuelles, on a les masses suivantes.

1) Une masse de 9,6 kg à (20 cm, 20 cm).

2) Une masse de 4,157 kg à (20 cm, 51,547 cm).

Le centre de masse en y est donc à

(

1 1 2 2

)

1 1

20 9, 6 51,547 4,157 9, 6 4,157

29, 53 ycm ym

m

y m y m m

cm kg cm kg

kg kg

cm

=

= +

⋅ + ⋅

= +

=

∑

Le centre de masse est donc à (20 cm, 29,53 cm) avec nos axes.

(8)

9.

On va utiliser un système d’axe dont l’origine est au centre de la plaque rectangulaire.

On va imaginer qu’on a une plaque rectangulaire sans trou formée de deux plaques.

1) Une plaque rectangulaire avec un trou.

2) Une plaque circulaire qui viendrait boucher le trou.

La formule suivante donne alors la position en x du centre de masse de cette plaque sans trou.

1 1 2 2

plaque sans trou

1

cm i i

cm cm

cm

x x m

m

m x m x

x m

=

⋅ + ⋅

=

∑

De toute évidence, la position de centre de masse de la plaque sans trou est au centre de la plaque, donc à x_cm = 0, et il nous reste

1 1 2 2

plaque sans trou

1 1 2 2

0 0

cm cm

m x m x m

m x m x

⋅ + ⋅

=

= ⋅ + ⋅

On peut alors isoler la position du centre de masse de la plaque avec un trou.

1 1 2 2

2 2

1

0 _cm _cm

cm cm

m x m x

m x

x m

= ⋅ + ⋅

− ⋅

=

Le centre de masse de la plaque qui boucherait le trou est au centre de cette plaque, donc à

2 2

2 1

cm cm

x cm

y cm

=

On trouve les masses en multipliant la densité surfacique par l’aire de la plaque. On a donc

( )

2 2

2 1

2

14 10 2

m cm

m cm cm cm

σ π

= ⋅

 

= ⋅ ⋅ − 

(9)

Version 2022 11 - Le centre de masse 9 On a donc

( )

2 2

1

2

2 2

14 10 2

2 2

14 10 2

0,19722

cm cm

m x

x m

cm cm

cm cm cm

cm cm

cm cm cm

cm σ π

σ π

π

− ⋅

=

− ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ − 

− ⋅

=

⋅ −

= −

En procédant de la même façon en y, on arrive a

( )

2 2

1

2

2 1

14 10 2

2 1

14 10 2

0, 0986

cm cm

m y

y m

cm cm

cm cm cm

cm cm

cm cm cm

cm σ π

σ π

π

− ⋅

=

− ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ − 

− ⋅

=

⋅ −

= −

10.

_a)

Au départ, les deux astronautes sont arrêtés et la quantité de mouvement totale du système formé des deux astronautes et de la corde est nulle.

x tot 0 p =

Si Buzz a une vitesse de 3 m/s, alors la quantité de mouvement du système devient, si on néglige la masse de la corde,

120 3 0 80

360 80

x tot Buzz Buzz corde corde Alan Alan m

corde Alan

s kgm

Alan s

p m v m v m v

kg kg v kg v

kg v

′ = ′ + ′ + ′

′ ′

= ⋅ + ⋅ + ⋅

= + ⋅ ′

Puisque les forces entre les astronautes et la corde sont des forces internes, la quantité de mouvement est conservée.

(10)

0 360 80

4,5

x tot x tot

kgm kgm

s s Alan

m

Alan s

p p

kg v v

= ′

= + ⋅ ′

′ = −

b) Quand il n’y a que des forces internes, le centre de masse reste à la même place.

Avec un axe des x dont l’origine est à la position initiale de Buzz, la position du centre de masse est

( )

1 1 2 2

1 1

1 0 120 10 80

200 4

xcm xm m

x m x m m

m kg m kg

kg m

=

= +

= ⋅ ⋅ + ⋅

=

∑

Une seconde après son départ, Buzz sera maintenant à x = 3 m, mais le centre de masse sera toujours à la même place. On a donc

( )

1 1 2 2

2

1 1

4 1 3 120 80

200

5, 5

cm

x xm

m

x x m x m

m

m m kg x kg

kg

x m

=

= +

= ⋅ ⋅ + ⋅

=

∑

Buzz étant à x = 3 m et Allan étant à x = 5,5 m, la distance entre les deux est 2,5 m.

c) Le centre de masse demeurant toujours à la même place ici, les deux astronautes vont donc se rencontrer au centre de masse. Buzz va donc parcourir 4 m à la vitesse de 3 m/s. Il va donc arriver au centre de masse au bout de 1,333 s.

(On peut aussi le faire avec Alan. Ce dernier va parcourir 6 m à la vitesse de 4,5 m/s, ce qui lui prendra aussi 1,333 s.)

11.

_a)

On va considérer que le système est formé du train (avec le canon) et du boulet. Le train sera noté avec un indice 1 et le boulet avec un indice 2. La position du centre de masse de ce système est

(11)

(

1 1 2 2

)

1

cm cm

x x m x m

=m +

On ne sait pas exactement où se trouve le centre de masse du train (x_1cm dans l’équation), mais ce n’est pas bien grave.

Quand le boulet va partir et aller à l’autre bout du wagon, le centre de masse va rester à la même place. Le train se sera déplacé de d vers la gauche et le boulet sera à 20 m - d de son point de départ. (Il ne faut pas oublier que le bout du train s’est déplacé vers la gauche et que le boulet a frappé le mur avant de faire 20 m). On aura alors

( ) ( )

(

1 1 2 2

)

1 20

cm cm

x x d m x m d m

′ =m − + + −

Puisque le centre de masse est resté à la même place, on a

( ) ( ( ) ( ) )

( ) ( )

1 1 2 2 1 1 2 2

1 1 2 2 1 1 1 2 2 2 2

1 2 2

2

1 2

1 1

20 20 20m

0 20m

20m 20m 20m 10 12 000 10

0, 01665 1, 66

cm cm

x x

x m x m x d m x m d m

m m

x m x m x d m x m d m

x m x m x m d m x m m d m

d m m d m

d m d m m

d m

m m d kg

kg kg

d m

d

= ′

+ = − + + −

+ = − ⋅ + + ⋅ − ⋅

= − ⋅ + ⋅ − ⋅

⋅ + ⋅ = ⋅

= ⋅ +

= ⋅

+

=

= 5cm

b) Initialement, la quantité de mouvement totale est nulle.

x tot 0 p = Après le départ du boulet, on a

1 1 2 2

12 000 10 500

12 000 5000

x tot

m

x tot s

kgm

x tot s

p m v m v

p kg v kg

p kg v

′ = ⋅ ′+ ⋅ ′

′ = ⋅ ′+ ⋅

′ = ⋅ ′+

(12)

Version 2022 11 - Le centre de masse 12 Puisque les forces sont des forces internes, la quantité de mouvement est conservée.

1 1

0 12 000 5000

0, 4167

x tot x tot

kgm kgm

s s

m s

p p

kg v v

= ′

= ⋅ ′+

′ = −

c) Comme les forces internes ne changent pas la vitesse du centre de masse et que le centre de masse était immobile au départ, alors la vitesse du centre de masse reste nulle.

12.

On va considérer que le système est formé de la chaloupe et de Sébastien. La chaloupe sera notée avec un indice 1 et Sébastien avec un indice 2. La position du centre de masse de ce système est

(

1 1 2 2

)

1

cm cm

x x m x m

=m +

On ne sait pas exactement où se trouve le centre de masse de la chaloupe (x_1cm dans l’équation), mais ce n’est pas bien grave.

Quand Sébastien va aller à l’autre bout de la chaloupe, le centre de masse va rester à la même place. La chaloupe se sera déplacé 40 cm vers la droite et Sébastien sera à 3 m - 0,40 m = 2,60 m de son point de départ. On aura alors

( ) ⁽ ⁾

(

¹ ¹ ² ²

)

1 0, 4m 2, 6m

cm cm

x x m x m

′ = m + ⋅ + − ⋅

Puisque le centre de masse est resté à la même place, on a

( ) ( ( ) ⁽ ⁾ )

( ) ⁽ ⁾

1 1 2 2 1 1 2 2

1 1 2 2 1 1 1 2 2 2

1 2

1 1

0, 4m 2, 6m

0 0, 4m 2, 6m 0 0, 4m 2, 6m 60kg

390

cm cm

x x

x m x m x m x m

m m

x m x m x m x m

x m x m x m m x m m

m m

m

m kg

= ′

+ = + ⋅ + − ⋅

= ⋅ − ⋅

=

(13)

13.

a) La composante en x de la vitesse du centre de masse est

( )

1

1 1200 25 1300 0

2500 12

cm x i xi

m m

s s

m s

v m v

m

kg kg

kg

=

= ⋅ ⋅ + ⋅

=

∑

La composante en y de la vitesse du centre de masse est

( )

1

1 1200 0 1300 15

2500 7,8

cm y i yi

m m

s s

m s

v m v

m

kg kg

kg

=

= ⋅ ⋅ + ⋅

=

∑

La vitesse du centre de masse est donc

(

¹² ^7,8

)

^m

cm s

v = i+ j

b) Comme il n’y a que des forces internes lors d’une collision et que les forces internes ne peuvent pas changer la vitesse du centre de masse, la vitesse du centre de masse reste la même après la collision. On a donc

(

¹² ^7,8

)

^m

cm s

v = i+ j

c) Comme il n’y a que des forces internes lors d’une collision et que les forces internes ne peuvent pas changer la vitesse du centre de masse, la vitesse du centre de masse reste la même après la collision. On a donc

(

¹² ^7,8

)

^m

cm s

v = i+ j

14.

On va utiliser un système d’axe où le x = 0 et le y = 0 sont situés au point de départ de la fusée, au sol.

Malgré l’explosion, le centre de masse de la fusée continuera son mouvement exactement comme s’il n’y avait pas eu d’explosion. Le centre de masse va donc monter et redescendre pour retomber exactement au point de départ de la fusée.

Trouvons la position du centre de masse en trouvant où serait la fusée 6 secondes après l’arrêt de moteur et qu’il n’y avait pas eu d’explosion.

(14)

Version 2022 11 - Le centre de masse 14 Comme la fusée aurait fait un mouvement purement vertical, elle serait toujours restée à x = 0 m. On a donc x_cm = 0.

Pour la hauteur, on a un objet en chute libre qui a démarré son mouvement à y₀ = 60 m avec une vitesse de v_y0 = 25 m/s. Au bout de 6 secondes, la position du centre de masse est donc

( )

0 0

2

²

1 ² 2

60 25 6 1 9,8 6

2 33, 6

cm y

m m

s s

y y v t gt

m s s

m

= + −

= + ⋅ − ⋅ ⋅

=

Puisque la position en x du centre masse est 0, la position du morceau de 1,2 kg est

( )

1 1 2 2

1 2

2

90 0, 5 1, 2

0 0, 5 1, 2

37, 5

cm

x m x m

x m m

m kg x kg

m kg kg

x m

= + +

− ⋅ + ⋅

= +

=

Puisque la position en y du centre de masse est 33,6 m, la position du morceau de 1,2 kg est

( )

1 1 2 2

1 2

2

0 0, 5 1, 2

33, 6

0, 5 1, 2 47, 6

cm

y m y m

y m m

m kg y kg

m kg kg

y m

= +

+

⋅ + ⋅

= +

=

Le deuxième morceau est donc à 37,5 m à l’est du point de départ et est à une altitude de 47,6 m.

15.

_{a) On a}

(15)

( )

1

1 0, 2 20 1 5

1, 2 7, 5

cm x i xi

m m

s s

m s

v m v

m

kg kg

kg

=

= ⋅ ⋅ + ⋅

=

∑

b) L’énergie cinétique du centre de masse est

( )

2

1 2

1 1, 2 7, 5 2

33, 75

k cm cm

m s

E mv

kg J

=

= ⋅ ⋅

=

c) La vitesse de la balle de 200 g relative au centre de masse est 20^m_s −7,5^m_s =12,5^m_s

La vitesse de la balle de 1000 g relative au centre de masse est 5^m_s −7,5^m_s = −2,5^m_s

L’énergie cinétique relative au centre de masse est donc

( )

²

( )

²

1 1

0, 2 12,5 1 2, 5

2 2

18, 75

m m

k rel s s

E kg kg

J

= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ −

=

d) Comme la vitesse du centre de masse ne change pas lors d’une collision et que les deux objets restent collés, les deux objets ont la même vitesse que le centre de masse. On a donc

7,5^m

x s

v′ =

e) Comme la collision n’a pas changé la vitesse du centre de masse, l’énergie cinétique du centre de masse reste la même que ce qu’elle était avant la collision

33, 75 Ek cm = J

f) Comme les deux objets ont la même vitesse que le centre de masse, les vitesses relatives deviennent nulles et l’énergie cinétique relative au centre de masse

(16)

Version 2022 11 - Le centre de masse 16 devient nulle. (C’est d’ailleurs le cas avec toutes les collisions parfaitement inélastiques.)

16.

La position en x du centre de masse est donnée par 1

xcm x dx m λ

=

∫

Avec le système de coordonnées sur la figure, la tige va de x = 0 à x = L. Ainsi, l’intégrale est

( )

0

0 1 0

2

0 2

1 1

2 2

L cm

L n

n L

n

x x dx

m

kx x dx m

k x dx m

k x m n kL m n λ

+

=

 

=  

 + 

= +

∫

Il faut trouver la masse de la tige. La masse est simplement la somme de toutes les masses dm. On la trouve donc avec

0

0 1

1 1

L

L n

n L

n

m dx

kx dx

k x dx k x

n kL

n λ

+

=

 

=  

 + 

= +

∫

La position du centre de masse est donc

(17)

( )

2

2 1

1 2 1

2 1 2

n cm

n n

x kL

m n n kL kL n

n L n

+

+ +

= +

+

= + +

Si on veut que le centre de masse soit à x = 0,9 L, on a

( )

1 0,9

2

1 0,9 2

1 0, 9 2

1 0, 9 1,8

0,1 0,8

8

n L L

n n n

n n

+ =

+ + = +

+ = ⋅ +

⋅ =

=

17.

La position en y du centre de masse est donnée par 1

ycm y dm

=m

∫

On va séparer la plaque en petites tranches horizontales, comme illustré sur la figure.

L’aire de cette tranche est 2xdy. Ainsi, la masse de cette tranche est

(18)

Version 2022 11 - Le centre de masse 18 2

dm=σ xdy Pour un cercle de rayon a, on a

2 2 2

x +y =a Cela veut dire que x est

2 2

x= a −y La masse de la petite tranche devient donc

2 2

2

dm=σ a −y dy Ainsi, la position du centre de masse se trouve avec

2 2

1

1 2

ycm y dm m

y a y dy

m σ

=

= −

∫

Comme on somme ces tranches de y = 0 à y = a, on a

2 2

0

2

a

ycm y a y dy m

=σ

∫

−

Cette intégrale est

( )

( ) ( )

2 2 3/2

0

3/2 3/ 2

2 2 2 2

3

3 / 2

0

3 / 2 3 / 2

3 / 2 2

3

a

cm

a y

y m

a a a

m a m

a m σ

σ

σ σ

− − 

 

=  

 

− − − − 

 

= −

 

 

=

= La masse de la plaque est

(19)

Version 2022 11 - Le centre de masse 19 1 2

2 m aire

a σ σ π

= ⋅

= ⋅ La position en y du centre de masse est donc

3

3 2

1 2 3 2 2

3 4

3

cm

y a m

a a a

σ σ σπ

π

=