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un multiple de 3

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Academic year: 2022

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(1)

2.17 25n4+ 50n3−n2−2n =

n(25n3+ 50n2−n−2) = n 25n2(n+ 2)−(n+ 2)

= n(n+ 2) (25n2−1) = n(n+ 2) 24n2+ (n2−1)

= 24n3(n+ 2) +n(n+ 2) (n2−1) = 24n3(n+ 2) +n(n+ 2) (n−1) (n+ 1)

Il est évident que24n3(n+ 2) est un multiple de 24.

On constate que n(n + 2) (n − 1) (n + 1) est un produit de quatre entiers consécutifs. Il est dès lors inévitable que parmi eux se trouvent :

– un multiple de 2 et un multiple de 4distincts l’un de l’autre ; – un multiple de 3.

Leur produit forme par conséquent un multiple de 24.

On a ainsi décomposé 25n4+ 50n3 −n2 −2n en somme de deux multiples de24, ce qui montre que c’est aussi un multiple de 24, c’est-à-dire un nombre divisible par 24.

Algèbre : factorisation Corrigé 2.17

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