MINISTERE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE
MEMOIRE
Présenté
AU DEPARTEMENT DE MECANIQUE FACULTE DES SCIENCES DE L’INGENIEUR
UNIVERSITE DE BATNA Pour l’obtention du diplôme de
MAGISTERE EN GENIE MECANIQUE Option : Energétique
Par
CHERRAD ADEL-EDDINE
ETUDE DE L’ECOULEMENT TRANSSONIQUE
AUTOUR D’UN OBSTACLE
Soutenu le 22/02/2012
Rahal Samir Pr. Univ. Batna Président Aouachria Zeroual M.C. Univ. Batna Rapporteur Soudani Azeddine Pr. Univ. Batna Examinateur Nemouchi Zoubir Pr. Univ. Constantine Examinateur
Je Dédie ce modeste Travail :
A mes parents.
A mes frères et mes sœurs.
A toute ma famille et à mes amis.
Remerciements
Nous tenons à remercier:
Au terme des années de préparation de mémoire de magistère, je tiens
à remercier chaleureusement toutes les personnes qui ont contribué à
l’aboutissement de ce travail:
Je remercie également Docteur AOUACHRIA Zeroual
pour la qualité
du sujet, son support et les orientations durant toute la réalisation de
ce mémoire par ses conseils qui m’ont appris la patience.
Professeur RAHAL Samir
de l’université de Batna de m’avoir fait
l’honneur de présider le jury.
Professeur SOUDANI
Azeddine de l’université de Batna et
Professeur NEMOUCHI Zoubir de l’université de Constantine qui ont
accepté de juger ce travail
TABLE DES MATIERES
Nomenclature Pages
Introduction……….…..………...1
CHAPITRE I: Ecoulements externes autour d'un profils………...………..…………..7
I.1 Généralités et définitions………..….……….……….………...7
I.1.1 Définition d’un fluide……… 7
I.2.2 Viscosité………..……….….….7
I.1.3 Classification des fluides………..…...…….. 8
I.1.4 Compressibilité……….……….9
I.2 Physique de son……….………...……..9
I.2.1 Angle de Mach – Cône de Mach… ……….……..………10
I.2.2 Les ondes de choc……….…..……12
I.2.3 Equations fondamentales pour les chocs droits……….………...…………..….…..13
I.3 Structure de l’écoulement autour d'un profil………...15
I.4 Caractéristiques et désignation d'un profil……….……….….17
I.4.1 Caractéristique géométriques………..………17
I.4.2 Désignation d'un profil………..……..18
I.5 Caractéristiques aérodynamiques d'un profil……….………..…….…19
I.5.1 Les forces agissant sur un profil………...………..……….……19
I.5.1.1 Le poids……….…………20
I.5.1.2 La portance……….………..……….20
I.5.1.3 La traînée……….. 20
I.5.2 Coefficient de pression………...………. 21
CHAPITRE II: Modélisation du problème……….….………25
II.1 formulation de l’écoulement transsonique ………..….…………..….25
II.2 Forme de l'équation de continuité……… ………..……….…..……….……27
II.3 Forme de l'équation de quantité de mouvement………….…….……….………..……….……28
II.5 Conclusion……….………...………….……..30
CHAPITRE III : Etude numérique de l'écoulement…...………..………...32
III.1 Principe de la méthode des volumes finis … …….…32
III.3 Conditions aux limites 35
III.3.1 Condition a l'infini amont (a l'entrée) 36
III .3.2 Condition au bord de fuite (a la sortie) 36
II .3.3 Condition sur la paroi du profil 36
III.4 La discrétisation …. … … ………..…..……....36
III .4.1 Intégration du flux convectif 37
III .4.2 Intégration du flux source … ……….………….…..…….38
III.4.3 Discrétisation spatial ……….38
III.5 Schemas Upwind(ups)… ……….………..39
III.6 Procédure de résolution ………40
III.6.1 Equation algébrique de pression … ………..………40
III.7 Conclusion………..………...….…42
CHAPITRE IV: Résultats……….……….……….44
IV.1 Introduction……… …….44
IV.2 Les résultats ……… …………..………..……..……….…. 45
IV.2.1 Effets de l’angle d’incidence sur l’écoulement autour du Profil NACA0012……….…45
IV.2.2 Effets du nombre de Mach sur l’écoulement autour du Profil NACA0012…….………45
IV.2.3 Effets de l’angle d’incidence sur l’écoulement autour du Profil REA2822…..………..46
ANNEXES……….……… ……….66
ANNEXE IIi…...………..…… …...66
ANNEXE.1 Maillage……….………...……….…66
ANNEXE.2 Conditions aux limites…..……….………67
ANNEXE.2.1 Condition a l'infini amont (a l'entrée)…. ………..…..……....68
ANNEXE.2.2 Condition au bord de fuite (a la sortie)…… …………...………..….………...68
ANNEXE .2.3 Condition sur la paroi du profil ……….………….…..…….68
ANNEXE.3 Discrétisation……… ……….69
ANNEXE.3.1 Forme adimensionnelle des équations……….………..69
ANNEXE.3.2 Transformation des équations en coordonnées généralisées… ………70
ANNEXE.3.3 Discrétisation des équations modélisèrent………..………72
ANNEXE IIIi ANNEXE.A Notice d’utilisation de Gambit…….………..………80
ANNEXE.B Notice d’utilisation de Fluent ……… ………...…..87
Conclusion générale……….……….…………..………….93
NOMENCLATURE
q : Le vecteur vitesse m/sec
U,V : Composantes du vecteur vitesse m/sec
P : Le poids N x, y : Cordonnées cartésiennes m
m : La masse de l’objet kg g : L’intensité de pesanteur qui vaut 9,81 N.kg -1
Fz : Force de portance N
Cz : Coefficient de portance
Re : Nombre de Reynolds
θ : Angle d’incidence degrés : La masse volumique du fluide kg.m-3
Fx : Force de traînée N
Cx : Coefficient de traînée
S : Surface de l’objet faisant face au fluide en déplacement m2
P : Pression Pas. r : Constante des gaz parfait
T : Température du fluide à l'infini K a : Vitesse de son m/s M : Nombre de Mach
: Variable intervenant dans l’équation de transport
V : Volume spécifique m3/kg Z : Coefficient de compressibilité du fluide à la température constante m2/N
: L’épaisseur relative maximale du profil m
INTRODUCTION
Les premiers travaux sur les écoulements des fluides compressibles datent du siècle dernier. Réellement étudié les mouvements non stationnaires à une dimension ; il établit sa méthode d’intégration des équations aux dérivés partielles du type hyperbolique. Rankine et Huggoniot ont envisagé la propagation des discontinuités dans un gaz et ont donné pour la première fois les équations du choc.
Les phénomènes physiques, comme les écoulements transsoniques bien qu’ils ont toujours été un domaine fascinant et d’une importance capitale aussi bien en théorie que dans les domaines expérimentaux et industriels, posent des problèmes mathématiques complexes difficiles. Ainsi les résultats actuels ne concernent que des cas où de tels problèmes physiques sont modélisés de façon très simplifiée. Mais les méthodes numériques développées à partir de ces analyses sont de plus en plus performantes et fournissent de nouveaux outils d’aide à la compréhension et à l’interprétation des différents phénomènes qui peuvent surgirent dans les écoulements des fluides compressibles. L'aérodynamique de ces fluides compressibles est l’une des branches de la dynamique des fluides qui porte sur l’étude et l'analyse de leurs effets sur les écoulements d'air par exemple, ainsi que sur les corps solides qu’ils entourent. La dynamique des fluides dans ce domaine vise à optimiser les conceptions des formes des profils de hautes performances aérodynamiques dans le domaine de l’aéronautique, dans les turbomachines etc.….
En générale, le comportement physique des écoulements de fluides compressibles est très complexe par apport aux écoulements incompressible. Ces écoulements peuvent se rapporter aussi bien aux fluides visqueux qu’aux fluides non visqueux.
L'écoulement compressible non visqueux est étudié par l'utilisation des équations de potentiel ou d’Euler, par contre les écoulements compressibles visqueux sont résolus par les équations de Navier Stokes.
La création de l'onde de choc dans les écoulements compressibles correspondant à une certaine valeur du nombre de Mach et elle exige une attention spéciale dans le choix de la méthode numérique qui converge vers une meilleure solution.
L’aérodynamique compressible se subdivise en aérodynamique subsonique à Mach compris entre 0.2 et 0.6, transsonique à Mach compris entre 0.7 et 1.2, supersonique à Mach entre 1.2 et 5 et hypersonique au-delà de la valeur de 5.
L'un des points essentiel dans l'aérodynamique, consiste à étudier les écoulements transsoniques, comme c’est le cas d’un écoulement autour d’un profil d’aile.
En régime transsonique, l'air est accéléré à une vitesse proche ou supérieure à la vitesse du son, (typiquement avec des nombres de Mach de M = 0.6 ou 0.7 à 1.2) créant des ondes de choc au niveau de l'aile. Une onde de choc, est une zone très mince de compression, correspond à une brusque variation des paramètres physiques du système aile flux d'air, tels que la densité, la température, et surtout, pour notre étude, la pression.
L'interaction de l'onde de choc et la couche limite turbulent dans l'écoulement compressible visqueux constitue l'un des phénomènes physiques les plus importants en C.F.D. et qui ne considèrent la vitesse de l'air que dans l’intervalle de [100m/s – 1700m/s] ce qui corresponde au nombre de Mach allant de 0.3 à 5. Dans cet intervalle le fluide peut être considéré comme fluide en écoulement compressible non visqueux. Cet intervalle est subdivisé en trois parties correspondant chacune un type d’écoulement bien spécifique à savoir
L’écoulement subsonique [ 0.3< M< 0.8] L’écoulement transsonique [0.8< M <1.2]
L’écoulement supersonique [1.2< M <5] et au-delà c’est l’écoulement hypersonique [1].
Dans un écoulement transsonique, la vitesse du fluide est proche de la vitesse du son. L’objet se déplace presque à la même vitesse que celle des perturbations. A cette vitesse, des phénomènes aérodynamiques particuliers apparaissent telle que l’interaction d’une onde de choc local avec la couche limite, comme le cas des écoulements autour de profils. Les études de ce type d’écoulement s’avèrent d’une grande importance.
Du point de vue théorique, la résolution des problèmes qui sont dus à ce type d'écoulement transsonique est assez complexe à cause de la combinaison de plusieurs problèmes non-linéaires [2].
Les difficultés essentielles proviennent du passage du régime subsonique, au régime supersonique avec leur frontière inconnue à priori, de la présence de l’onde de choc dont la position sensible reste à déterminer, et enfin la couche limite qui est aussi un troisième phénomène non-linéaire, dont l’étude de son interaction avec l’onde de choc est devenu un objectif de recherche majeur [3]. En effet, en écoulement transsonique, l’interaction de l’onde de choc avec la couche limite turbulente et le décollement qui en découlent sur l’extrados d’une aile induisent d'instabilités provoquant des vibrations de l’aile. Ce phénomène va influer sur les performances aérodynamiques. L’investigation sur ces performances et l’efficacité d’un élément de machine conduit à la recherche d’une configuration géométrique performante telle que l’intérêt d’un profil
aérodynamique optimisé pour les aubes d’une éolienne, d’une turbine ou d’ailes pour l’aéronautique. Ce domaine d’étude est bien riche vue le nombre de travaux qui y sont investis.
On peut cites quelque études dans ces domaine tels que:
1- Une étude numérique des écoulements transsoniques gouvernés par l'équation complète du potentiel, écrite sous forme conservative, et modifiée en introduisant le terme de viscosité artificielle, est présentée par Chekired Omar (2003) [4].
La technique de génération de maillage a été utilisée, rende l'application des conditions aux limites plus maniables et transforme le domaine physique complexe en un domaine de calcul régulier. La méthode numérique des différences finies, dans cette étude, est retenue pour la discrétisation de l'équation complète du potentiel.
Le code élaboré en fortran, a permis la capture de l'onde de choc et a défini la frontière entre les zones subsonique et supersonique. Deux profils NACA0012 et NACA0015 et un profil supercritique ont été étudiés.
2-Pour contrôle le décollement d’un écoulement autour d’une aile d’avion et pour éviter les bruis et les frottements générés sur la surface de l’aile, une étude d'un écoulement transsonique autour de profil d'aile par D. You et P. Moin (2006) [5], utilisé un maillage non structuré par la méthode (LES), pour prédire le décollement turbulent sur une aile et son contrôle par des jets synthétiques, afin de comprendre ce mécanisme. Pour cela il a exécuté une simulation à grande échelle et a évalué l'efficacité de jets synthétiques comme une technique de contrôle.
3- Sur un profil NACA0012, Ahmed Ezzarfi [6] étudie la couche limite, le champ de vitesse, la distribution du coefficient de pression CP, et les isothermes.
Les résultats obtenus montrent que le code de calcul représente qualitativement avec une bonne approximation de l’écoulement et le transfert de chaleur turbulents autour du profil NACA0012.
4- Mme. Djouimaa Sihem [7] a Simulé un écoulement du fluide compressible transsonique entre deux aubes similaires à celles d'une turbine à gaz. Des simulations ont été effectuées sur un maillage quadratique irrégulier dans le cas bidimensionnel et hexaédrique irrégulier dans le cas tridimensionnel avec le Logiciel "FLUENT" qui résout les équations de Navier-Stockes par la méthode des volumes finis. Son travail porte sur l’étude de distribution de pression et de l'étude de la couche limite autour de l'aube.
5- Une étude de comparaison entre les régimes d'écoulements d’un fluide compressible (subsonique, transsonique, sonique, supersonique et hypersonique) et autour d'une aile d’avion et d’un écoulement dans une conduite, par Alaine Drotz et A. Habisreutinger [8].
6- Nouali Nassira [9] a effectué des études sur les écoulements laminaires et turbulents autour d’un profil d’aile où l a analysé les caractéristiques des couches limites telles que les champs de pression et de vitesse et le coefficient de traînée pour différentes valeur de l’angle d’attaque. La comparaison de ces résultats avec ceux de l’expérience par Bessanane Nabil [10], donne une bonne concordance. Donc on conclut que globalement les résultats obtenus sont satisfaisants dans l'ensemble et que le procédé expérimental reste toujours le meilleur moyen pour la détermination des coefficients de traînée.
L’utilisation des logiciels pour la résolution de problèmes physiques est de nos jours très fréquents. En effet, dans la plus part des ces problèmes, surtout la résolution de phénomènes couplés à la mécanique des fluides (transfert de chaleur, rayonnement, changement de phase…) n’est possible que sous certaines hypothèses simplificatrices qui ne permettent pas de faire une étude plus réaliste des phénomènes physiques observés expérimentalement.
L’objectif principal de notre travail est d'estimer, par la méthode des volumes finis, l’écoulement stationnaire d'un fluide parfait non visqueux et irrotationnel transsonique bidimensionnel autour d’un profil d’aile d'avion pour détecter la position de l’onde de choc sur ce profil et les paramètres physiques et aérodynamiques qui ont des effets sur la position de l'onde de choc.
Pour un nombre de Mach proche de 1, l'équation potentielle tend vers la forme parabolique, produit ainsi l'instabilité ou la divergence des schémas numériques. Pour éviter cette difficulté, il y a plusieurs méthodes numériques qui ont été développées. Une parmi d’elles, fait injecter un des paramètres dit artificiel telle que : la viscosité artificielle, la compressibilité artificielle, flux artificielle, ou schéma retardé (upsilon), et l'itération avec cette relaxation.
La simulation numérique a été menée à l'aide du code de calcul '' FLUENT '' Version 6.3.26. Nous présentons les détails de la démarche de résolution en annexe.
Ce travail rentre dans le cadre d'un mémoire de Magistère, dont le plan se compose en quatre chapitres et une conclusion :
Le premier chapitre est une introduction générale sur les définitions et les propriétés physiques des fluides, caractéristiques (géométriques, aérodynamiques) et désignation d'un profil d'aile d'avion.
Le second chapitre décrit la formulation mathématique du problème physique. On y présente les équations régissant l’écoulement d’un fluide compressible et transsonique autour d’un profil d’aile.
Le chapitre trois expose la méthode numérique utilisée " Méthode des volumes finis " pour transformer les équations différentielles en équations algébriques gouvernant le phénomène.
Le dernier chapitre présenté les résultats obtenus pour deux types d'ailes, compte tenu des différents paramètres physiques et aérodynamiques, est suivie d'une discussion pour chaque cas. En fin, une annexe expliquant les détails de la démarche de résolution du problème avec le code de calcul '' FLUENT '' Version 6.3.26. est présentée.
En fin une conclusion générale de cette étude, les perspectives sont présentées.
CHAPITRE I
CHAPITRE 1
ECOULEMENTS EXTERNES AUTOUR D’UN PROFIL
Le but de ce chapitre est de rappeler les définitions et les propriétés physiques essentielles des fluides et les caractéristiques géométriques et aérodynamiques d'un profil d'aile ainsi que ses différentes désignations.
I.1 GENERALITES ET DEFINITIONS
I.1.1 Définition d’un fluide
Un fluide est une substance qui se déforme d’une manière continue sous l’action d’une contrainte de cisaillement aussi petite qu’elle soit. Le mot fluide englobe le liquide et le gaz.
I.1.2 Viscosité
La viscosité est cette propriété du fluide qui lui permet de résister aux contraintes de cisaillement. Considérons l’expérience qui consiste à placer une substance entre deux plaques séparées par une petite distance e. La plaque inférieure est fixe et la plaque supérieure est soumise à une force F parallèle à la plaque engendrant une contrainte tangentielle en chaque point de la substance entre ces deux plaques.
Alors, il découle de cette expérience les résultats suivants :
a. Sous l’action de la force de cisaillement F, il s’établit dans le fluide un état de mouvement tel que les
couches qui se trouvent en contact direct avec les plaques ont la même vitesse qu’elles (adhérence aux
Plaque mobile Plaque fixe X Y P’ P e u U F
plaques), tandis que les couches intermédiaires glissent les unes sur les autres avec la vitesse u proportionnelle à leur distance y de la plaque fixe.
b. La force de cisaillement est donnée par :
e SU
F (I.1) Le facteur de proportionnalité est appelé la viscosité absolue ou viscosité dynamique du fluide.
c. La contrainte de cisaillement est donnée par :
e U S 0 F/ (I.2) Le rapport e U
est appelé le taux de déformation angulaire du fluide. L'équation (I.2) peut être écrite sous une forme plus générale :
dy dU
0 (I.3) L'équation (I.3) est appelée la loi de Newton de la viscosité.
Tirons de (I.3) , nous obtenons :
dy dU
0
(I.4) Se mesure en [N.sec/m2] ou en [Kg/m.sec].
On définit aussi la viscosité cinématique qui se mesure en [m2/sec] par :
v (I.5)
I.1.3 Classification des fluides
Il existe deux classes de fluides : Les fluides Newtoniens et les fluides non Newtoniens. Dans les cas des fluides Newtoniens, il y’a une relation linéaire entre le module ou la norme de la contrainte de cisaillement appliquée et le taux de déformation qui en résulte ; c’est à dire que le coefficient est constante. Dans le cas des fluides non Newtoniens, cette relation n’est plus linéaire.
I.1.4 Compressibilité
On appelle compressibilité d'un fluide, à température constante, la capacité de changer son volume sous l'action d'un changement de la pression. On l'exprime par un coefficient défini par la relation:
dP dV V
Z 1 (I.6)
I.2 PHYSIQUE DU SON
Pourquoi la physique du son ?C’est à cause du rôle particulièrement important joué par sa vitesse dans l'étude des fluides compressibles. En effet lorsqu'un mobile (projectile, avion, fusée, etc. …) se déplace dans l'air par exemple avec une certaine vitesse, il constitue une source de perturbations qui se déplacent à la vitesse du son. On a alors observé divers cas intéressants selon que la vitesse de déplacement du mobile était supérieure, égale ou inférieure à la vitesse du son.
Figure I.2 Classification des fluides dy dU Fluide non Newtonian Fluide Newtonian Fluide Ideal 0
I.2.1 Angle de Mach – Cône de Mach
Examinons le déplacement des ondes sonores dans une atmosphère se trouvant à température constante et au repos. Plusieurs cas peuvent se présenter.
Une perturbation provoquée au temps t = 0 par la présence dans cette atmosphère d'une source sonore S, se propage à la vitesse du son dans toutes les directions par rapport au fluide et occupe, à un instant t ultérieur, une surface sphérique de rayon constant. C’est le cas où la source est fixe représenté par la figure I.4-a. Dans le cas où la source se déplace à une vitesse subsoniqueUa
,
représentée par exemple par un avion qui se trouve à l'instant t = 0 au point A (Figure I.4 b). Après un temps t0, il s'est déplacé successivement aux points B, C et S en parcourant la distance : AS = Ut. Dans le même temps, l'onde sonore a parcouru la distance : at telque :at Ut
Le point S se trouve donc à l'intérieur de cette onde et ainsi : la perturbation provoquée par la source arrive en un point de la trajectoire future avant le passage du mobile.
Les ondes sonores, émises par cette source se déplaçant à la vitesse sonore, forment un front d'onde dont l'enveloppe est un plan perpendiculaire à la direction du mouvement et se déplaçant avec le mobile (Figure I.4c). La zone d'influence du mobile se trouve maintenant dans la zone arrière du plan formé par le front d'onde et ainsi, un auditeur placé en face du mobile, n'entend pas son approche.
Les ondes issues du passage supersonique du mobile admettent à l'instant t une enveloppe sous forme de cône. Cette enveloppe s'appelle le cône de Mach dont le demi-angle au sommet s'appelle l'angle de Mach , et qui est donné par la relation :
M V
a/ 1/ sin
La zone intérieure de ce cône s'appelle zone d'action et la zone extérieure s'appelle zone de silence.
c
Figure I.4: Type différents de propagation d'ondes a- Cas d’une source fixe
b- Cas d’une source se déplaçant à vitesse subsonique c- Cas d’une source se déplaçant à vitesse sonique d- Cas d’une source se déplaçant à vitesse supersonique
Supposons maintenant, qu'au lieu d'avoir le déplacement d'un obstacle ponctuel dans un fluide au repos, on a un obstacle ponctuel (pointe très fine d'une tige par exemple : Figure I.5) immobile dans un fluide en mouvement. S a S b C B A S d C B A Ut at a U
Figure I.5 Déplacement d'un obstacle ponctuel dans un fluide
S C U B A te c U
Dans le cas d'un écoulement supersonique, il se forme un cône de Mach "fixe" à l'intérieur duquel se manifestent les perturbations occasionnées par la présence de l'obstacle, tandis qu'à l'extérieur de ce cône tout se passe, dans l'écoulement, comme si l'obstacle n'existait pas.
I.2.2 Les ondes de choc
De nombreuses expériences montrent que les caractéristiques physiques des fluides compressibles lors des écoulements à grande vitesse peuvent subir des variations brusques sur des distances très faibles. Les équations connues des écoulements restent valables tant que les fonctions inconnues restent continues. Cependant il est nécessaire d’envisager l’apparition des discontinuités dans le champ des vitesses du fluide. On dit alors que le fluide subit un choc en ce point lorsque la vitesse est discontinue ; en tel point, la densité, la pression et la température sont aussi discontinues. Le lieu géométrique de ces points en lesquels se produit ce phénomène forme une surface que l’on appelle onde de choc. Les exemples connus de ce type de comportement sont les ondes de détonation accompagnant les explosions et le "bang" produit par un avion en vol supersonique. L'observation par strioscopie ou par la méthode des ombres de l'écoulement dans une tuyère ou autour de projectiles à grande vitesse met en évidence des variations rapides de l'indice de réfraction du milieu à travers des fronts d'épaisseur très faible. Les changements de densité, de vitesse, de pression et de température correspondants s'effectuent sur une distance extrêmement courte, de telle sorte que l'onde de choc apparaît comme une discontinuité séparant des écoulements amont et aval continus. La Figure I.6 montre par exemple une onde de choc droite dans le divergent d'une tuyère.[11]
Pour ce choc, le rapport de la pression aval à la pression amont est de l'ordre de cinq et la vitesse aval est environ trois fois plus faible que la vitesse amont. Ces variations de pression et de vitesse s'effectuent sur une distance de l'ordre de 2.10-4 mm (200nm) et cette valeur est de l'ordre de
M1=2
Figure I.6 Dessin d'après une strioscopie d'une onde de choc droite dans un canal divergent. Le choc n'est pas parfaitement droit. On observe deux bifurcations associées à l'interaction entre le choc et les couches limites pariétales. [11]
celle du libre parcours moyen des molécules dans les conditions de l'expérience [11]. Comme la variation de vitesse qui accompagne un choc peut être de l'ordre de plusieurs centaines de mètres par seconde, la décélération des particules fluides est de l'ordre de 109 m/s2, une valeur tout à fait considérable. A la traversée de ce type d'onde, les particules fluides subissent un véritable "choc", ce qui explique le terme utilisé pour désigner ce type de front.
Dans beaucoup de situations pratiques, on s'intéresse principalement aux changements des propriétés de l'écoulement. La structure détaillée de l'onde de choc peut alors être ignorée. Le choc est considéré comme une discontinuité et il suffit d'analyser les relations qui existent entre les propriétés de l'écoulement en amont et en aval de cette discontinuité. Comme l'épaisseur du choc est de l'ordre de quelques libres parcours moyens, l'étude de sa structure fine ne peut être effectuée en utilisant le concept de milieu continu. Il faut alors utiliser une approche statistique [11].
Il existe de nombreuses variétés d'ondes de choc. Les ondes de choc peuvent être perpendiculaires à l'écoulement, on dit alors qu'il s'agit d'ondes de choc droites ou normales. Elles peuvent être inclinées par rapport à l'écoulement et il s'agit alors d'ondes de choc obliques.
I.2.3 Equations fondamentales pour les chocs droits
Comme nous savons que l’énergie totale et la masse de chaque élément de fluide se conservent au travers d’une onde de choc ; la variation de la quantité de mouvement est égale à la somme des percussions subies. Il en résulte des relations qui permettent la détermination de l’état final du gaz lorsque son état initial est connu. Le modèle d'écoulement que nous nous proposons d'analyser est représenté la (Figure I.7). L'onde de choc est une surface de discontinuité plane perpendiculaire à l'écoulement séparant une région amont désignée par l'indice 1 d'une région aval d'indice 2. Nous supposons que la discontinuité est stationnaire. Nous verrons plus loin comment les résultats obtenus dans ce cas peuvent être utilisée pour traiter les problèmes de choc droits en translation uniforme.
Figure I.7 Effet d'une onde de choc droite stationnaire sur les pressions, densité, température, vitesse et nombre de Mach. L'indice 1 repère les paramètres de l'écoulement en amont du choc. L'indice 2 désigne les paramètres de l'écoulement en aval du choc. [11]
1 1 1 1 M T P 2 2 2 2 M T P 1
q
q
2 P 1 P 2 P x Pression 1 2 x Densité T 1 T 2 T x Température V 1 U 2 U x Vitesse M 1 M 2 M x Nombre de MachI.3 STRUCTURE DE L’ECOULEMENT AUTOUR D'UN PROFIL
Les écoulements transsoniques autour d’un profil sont caractérisés par une combinaison mixte de régions subsonique et supersonique qui sont régies par des équations différentielles aux dérivées partielles de type elliptique et hyperbolique respectivement (Figure I.8). Ces écoulements sont obtenus à des nombres de Mach, à l’infini amont, allant de 0.7 à 1.2. La zone supersonique se termine par une onde de choc, derrière laquelle l’écoulement devient subsonique. Cet écoulement mixte, comportant une onde de choc, est la combinaison de plusieurs problèmes non-linéaires (discontinuité), l'étude de ce problème c'est l’objectif de cette thèse.
L’évolution de l’écoulement autour d’un profil en fonction du nombre de Mach à l’infini, est représentée dans la (Figure I.9).
Lorsque le nombre de Mach de l’écoulement infini amont croit en s’approchant à l’écoulement, aux approches du transsonique, divers phénomènes apparaissent dits: Phénomènes de compressibilité. Lorsque la vitesse sonique est atteinte, au niveau de l'épaisseur maximale du profil, le nombre de Mach prend une valeur dite critique. L’ensemble de l’écoulement est encore subsonique mais en un seul point du profil apparaît un écoulement sonique.
La valeur critique du nombre de Mach est très variable et dépend de la forme du profil et de l’angle d’incidence [4].
Pour un nombre de Mach légèrement supérieur au Mach critique, apparaît une zone supersonique coiffant le point, N, de dépression maximum (Figure I.8). Cette zone est limitée par une ligne sonique.
Lorsque le Mach augmente, la zone supersonique devient de plus en plus importante et à une certaine valeur du nombre de Mach naisse une onde de choc droite délimite cette zone à son aval.
A mesure que le Mach infini augmente, la ligne sonique se rapproche du bord d’attaque et l’onde de choc recule vers le bord de fuite (Figure I.9-c, d et e).
Dés que le Mach infini dépasse l’unité, une onde de choc apparaît à l’avant du bord d’attaque (Figure I.9-f-). M1 N M1 M1 Onde de choc Ligne sonique
Les détails de développement de ces écoulements transsoniques, dépendent beaucoup des caractéristiques géométriques et aérodynamiques des profils utilisés (Figure I-10).
Figure I.9 Progression de l'onde de choc en fonction du nombre de Mach
Onde normale
Onde normale Ecoulement
supersonique
M=0.95
La vitesse maximum est égale à la vitesse sonique
M=0.72
(Nombre de Mach critique) La vitesse maximum est
inférieure à vitesse sonique
M=0.50 Onde en arc Ecoulement supersonique M=1.05 M=0.77 Ecoulement supersonique
Onde de choc normal subsonique Onde normale Onde normale Ecoulement supersonique M=0.82 -a- -b- -c- -d- -e- -f-
Profil NACA Profil supercritique Figure I.10 Types de Profils
La formule permettant de calculer les coordonnées des points des profils symétriques, s’exprime par :
4
5 3 4 2 3 2 12
.
0
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
t
Y
(I-7) Où 1 0x 4779155 . 1 1 a 624424 . 0 2 a 727016 . 1 3 a 384087 . 1 4 a 510563 . 0 5 aLe rayon de courbure au bord d’attaque est :
2 1019 . 1 r
Où δ est l’épaisseur maximale du profil.
I.4 CARACTERISTIQUES GEOMETRIQUES ET DESIGNATION D'UN
PROFIL
I.4.1 Caractéristique géométriques
Les paramètres aérodynamiques des profils dépendent fortement des caractéristiques géométriques du profil présentés sur la (Figure I.11)
X d B A M f N c Y
Figure I.11 Caractérestiques géométriques d'un profil x = c x = 0
U
A : Bord d'attaque. B : Bord de fuite. AMB : Extrados. ANB : Intrados.
d : Distance du bord d'attaque à la flèche maximal.
* La corde : Est la ligne droite qui connecte le bord d'attaque avec le bord de fuite (Segment AB).
* L'angle d'attaque : Est l'angle entre la corde du profil et la direction de l'écoulement à l'infini (désigné par la lettre ).
* La ligne moyenne est l'ensemble des points milieux des segments perpendiculaires à la corde (exemple milieu de MN). On l'appelle aussi squelette du profil ou courbure moyenne. La forme de cette ligne moyenne est la base dans la détermination des caractéristiques aérodynamiques des profils d'ailes. Une courbure non-nulle, correspondant à un profile dissymétrique, engendre une portance même à un angle d'incidence nulle.
* La flèche maximale (f) : La plus grande ordonnée de la ligne moyenne par rapport à la corde AB.
* L'épaisseur maximum du profil (e): C’est la distance maximum entre l’extrados et l’intrados. * L'épaisseur relative (e/c) : Est le rapport de l'épaisseur maximum à la corde du profil.
* Courbure relative (f/c) : C'est le rapport de la flèche maximal à la corde du profil.
I.4.2 Désignation d'un profil
Plusieurs familles des profils d'ailes ont été conçues et testées. Les plus utilisés de nos jours, sont les profils NACA (National Advisory Commitée for Aéronautics). Ils sont couramment utilisés, ce qui les rend pratiques dans la validation des méthodes numériques.
Il y'a plusieurs classifications des profils NACA. Les plus utilisés sont ont des désignations à quatre et à cinq chiffres. Ces chiffres nous renvoient aux caractéristiques géométriques du profil, comme exemple:
1. NACA à quatre chiffre : * NACA 2412 :
Le premier chiffre (2) indique la valeur de la flèche maximale (f ) en pourcent par rapport à la corde.
Le deuxième chiffre (4) indique la distance du bord d'attaque à la flèche maximale (d) en dixième de la corde.
Les deux derniers chiffres (12) indiquent l'épaisseur maximum en pourcent par rapport à la corde (MN).
* NACA 0015 : Est un profil symétrique, d'épaisseur maximum 15%.
2. NACA cinq chiffres * NACA 230-12
Le premier chiffre (2) indique la valeur de la flèche maximale en pourcent par rapport à la corde.
Le deuxième et le troisième chiffre (30) indiquent le double de la distance du bord d'attaque à la position de la flèche maximale en pourcent par rapport à la corde.
Les deux derniers chiffres (12) indiquent l'épaisseur maximale en pourcent par rapport à la corde.
I.5 CARACTERISTIQUES AERODYNAMIQUES D'UN PROFIL
I.5.1 Les forces agissant sur un profil
On distingue trois forces qui agissent sur l’aile qu'on représente sur la (Figure I.12)
I.5.1.1 Le poids
C’est la force qui entraine notre aile vers le bas, dont la formule est :
P = mg
I.5.1.2 La portance
Perpendiculaire à l'aile donc à l'écoulement, c’est cette composante de la résultante aérodynamique qui maintient l'avion en l'air, déterminé par la formule suivante :
Z
Z U SC
F 1/2 2
Cz : coefficient de portance, qui dépend de :
o Nombre de Reynolds o Nombre de Mach o Forme du profil o Angle d’Incidence
I.5.1.3 La traînée
C’est la force qui est due à la résistance de l’aile au déplacement dans l’air, elle à un sens oppose au déplacement, et s’accroit avec la vitesse du mobile. Elle détermine par la formule suivante :
X
X U SC
F 1/2 2
X
C : Coefficient de traînée, il dépend de : o Nombre de Reynolds
o Nombre de Mach o Forme du profil o Angle d’Incidence La traînée totale se compose de :
- La traînée de forme : Appelée aussi traînée de profil, elle est due à l'épaisseur du profil.
- La traînée induite : Générée par la différence de pression entre l'intrados et l'extrados entraîne des tourbillons marginaux en bouts d'aile.
- La traînée de frottement : Elle est due à la viscosité de l'air.
- La trainée d'onde : Engendrée lors des écoulements transsoniques, ou apparaissent des ondes de chocs.
Chaque profil est connu par sa finesse, qui représente le rapport entre la portance et la traînée (dFZ /dFX), et a un impact significatif sur les performances aérodynamiques du profil. Le paramètre
essentiel d’un profil est sa finesse qui, par son accroissement, les performances aérodynamiques augmentent.
I-5-2 Coefficient de pression
Pour déterminer les forces qui s'appliquent à un profil, il faut connaître la distribution de pression autour du profil, ce qui équivaut pour un écoulement compressible à déterminer le coefficient de pression
En général, le coefficient de pression s'écrit sous la forme :
dy p P P P C (I-8) Avec P : La pression dynamique qui s’écrit sous la forme : dy
2 2 1 U Pdy (I-9) Alors le coefficient de pression Cp est défini par :
2 2 1 U P P Cp (I-10)
Si un système thermodynamique est parfait et évolue de façon isentropique il obéit aux relations bien connues:
1 2 1 2 1 2 1 T T P P (I-11) Cependant, dans un choc, l’entropie subit une discontinuité et en vertu du deuxième principe thermodynamique, la variation d’entropie est positive. Lorsque l’écoulement amont de l’onde est isentropique, l’écoulement aval ne possède pas cette propriété à moins que l’on se trouve le cas où tous les éléments fluides subissent la même variation d’entropie. Nous dirons donc dans ce cas qu’on se trouve, à l’aval, en présence d’un écoulement irrotationnel et isentropique [13].
* La loi des gaz parfait donne pour une mole de gaz qui se trouve dans l’état amont de m’onde: rT P (I-12)
* L'équation de la vitesse du son est exprimée par : S P a 2 Ou bien d dP a2
Comme on a pu établi, en thermodynamique que pour un gaz parfait et à entropie constante que:
rT
a2
(I-13) Soit pour un état du système quelconque on a :
a rT
* Le nombre de Mach
Le nombre de Mach est défini comme le rapport de la vitesse du fluide q à la vitesse locale des perturbations acoustiques a [13]:
a q M
Le nombre de Mach pour un gaz parfait a donc pour expression:
2 1 rT q M La signification physique du nombre Mach peut être perçue en portant l'expression précédente au carré:
rT q M 2 2 Le numérateur q2 est proportionnel à l'énergie cinétique par unité de masse. Le dénominateur
rT
est proportionnel à l'énergie thermique (l'énergie interne) associée au mouvement aléatoire des molécules composant le gaz.Ce qu'on peut traduire par:
gaz du erne énergie gaz du cinétique énergie M int ~ 2 * La relation isentropique :
De la relation (I-11) et (I-13) on à :
1 2 2 2 1 1 2 1 a a rT rT alors: 1 2 2 a a P P ; 2 2 2 1 2 1 a a T T et 1 1 2 2 2 1 1 2 1 a a (I-14) Par substitution les équations (I-12) et (I-13), on abouti à l'expression du Cp :
2 2 1 1 q P P P Cp 1 2 2 P P M Cp Alors finalement on a: 1 2 1 2 2 2 a a M Cp (I-15)
- 25 -
CHAPITRE 2
MODELISATION DU PROBLEME
Le mouvement d’un fluide est défini lorsqu’on connait la vitesse en chaque point et à chaque instant. Les fonctions inconnues, aux nombre de cinq, sont les composantes cartésiennes de la vitesse (U, V, W), la masse volumique, ρ, et la pression. Les variables indépendantes sont les coordonnés cartésiennes x, y, z et le temps t.
Dans ce chapitre, on considère l'écoulement stationnaire d'un fluide qui peut être considéré comme fluide en écoulement compressible non visqueux dans la gamme du nombre de Mach qui s’étale de 0.3 à 5. Nous exprimons les équations appropriées pour l'analyse de l'écoulement transsonique qui sont alors des équations d'Euler.
II.1 FORMULATION DE L’ECOULEMENT TRANSSONIQUE
Nous supposons que le fluide n’est soumis à aucune force extérieure, les différents éléments de fluides n’échangent pas de la chaleur entre eus et avec le milieu extérieur. Ceci est vérifié lorsque la conductivité thermique du fluide est faible. On dit que l’écoulement envisagé est un phénomène adiabatique .Donc on se limitera à au cas d’fluide parfait dans un écoulement stationnaire et à caractère bidimensionnel. Nous dirons aussi dans ce cas qu’on se trouve, à l’aval, en présence d’un écoulement irrotationnel et isentropique.
Pour détermine les paramètres qui caractérisent l'écoulement (pression, vitesse, ….), il faut considérer l'ensemble des équations provenant du théorème de conservation de la masse (équation de continuité), de conservation de quantité de mouvement (équation d'Euler) et de la conservation de l'énergie [4]. * Equation de continuité : 0 q t (II-1) * Equation d'EULER : P g dt q d ) ( (II-2)
* Equation d'énergie:
2 1
2 1 2 2 1 2 2 g z z q q h h W Q (II-3) Avech2 –h1=∆h Est la variation de l’enthalpie spécifique.
Q = 0 : Ecoulement adiabatique
W = 0 : Pas de travail avec l'extérieur.
Et que l'on néglige la variation d'énergie potentielle, g(z2-z1).
D'autre part on à: h2h1cp
T2T1
L'équation d'énergie (II-3) devient:
2 2 2 2 2 2 1 1 q T c q T cp p Et cp cv r ; v p c c d’où 1 1 1 r c r cp p r a T rT a rT a 2 2
Alors l'équation d'énergie devient :
2 1 2 1 2 . 1 2 . 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 q a q a q r a r q r a r 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 q a q a
Et pour la vitesse à l'infini amont et la vitesse du fluide au voisinage du profil on à:
2 1 2 2 1 2
2 2
a qa q (II-4) En tenant compte de l’équation (II-4), l’équation (I-15) devient:
1 1 2 1 1 2 1 2 2 2 2 q q M M Cp (II-5) * Relations isentropiques :
- 27 -
On peut écrire les relations entre les paramètres à l'infini amont du profil ceux du domaine physique ainsi: 1 1 2 2 a a D’où: 1 1 2 2 a a (II-6)
Le fait de considérer l'air comme un fluide parfait, et l'écoulement est isentropique et irrotationnel implique l'existence d'un potentiel de vitesse qui, par définition, est donné par :
q (II-7) Où est appelé le potentiel du champ des vitesses.
Dans le cas bidimensionnel l'équation (II-7), s'écrit dans la base (i,j) d'un repère cartésien:
j
v
i
u
j
y
i
x
(II-8)On obtient alors par identification :
x u , y v (II-9) Il faut noter que si le potentiel des vitesses est connu, la vitesse peut être obtenue directement
à partir des équations (II-9). En outre, nous supposons que l'écoulement est permanent, ce qui implique que toutes les dérivées par rapport au temps s'annulent. Pour simplifier l'écriture, nous adoptons la notation pour les dérivées de , comme suit :
i x i x Et j ix x j ix x 2 (II-10)
II.2 FORME DE L'EQUATION DE CONTINUITE
L'équation complète du potentiel donnée par l'équation de continuité, et la forme la plus utilisée dans la dynamique des fluides en régime stationnaire:
0 0 0 j y i x q
0 0 y x y x j y y y i x x x Alors:
0 y y x x (II-11) La densité est calculée à partir de l'équation (II-4) et l'équation (II-6):1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 1 2 1 a q U a a a
Après transformation on obtient:
1 1 2 2 2 1 2 1 1 U q M
Cette équation est valable pour les écoulements isentropiques et irrotationnels autour d'une configuration arbitraire [14].
II.3 FORME DE L'EQUATION DE QUANTITE DE MOUVEMENT
Utilisons l'équation de quantité de mouvement sous cette forme:g P dt
dq
Alors l'équation de quantité de mouvement projetée suivant x et y, en régime stationnaire, s’écrit:
x g x P y u v x u u (II-12a) y g y P y v v x v u (II-12b)
- 29 -
A partir de l’expression de la dérivée de la pression par rapport à la masse volumique en écoulement isentropique, on peut écrire :
x P x P s (II-13) L'application de la vitesse locale du son :
2 s P a (II-14)
Cette relation permet de réécrire l'équation (II-13) sous la forme:
x a x P 2 (II-15)
Réécrivons les équations de mouvement suivant x et y, en remplaçant le terme de pression dans l'équation (II-15), en régime stationnaire et en négligeant les forces de pesanteur et en multipliant les équations (II-12a) et (II-12b) par u et v respectivement:
x a u x P u y u uv x u u 2 2 (II-16a) y a v y P v y v v x v uv 2 2 (II-16b)
Et en utilisant l'équation de continuité sous la forme:
y v x u y v x u (II-17)
Et en sommant les deux équations de mouvement suivant x et y, (II 16a et b) on obtient :
y v x u a y v x u a y v x u a x v uv y v v y u uv x u u 2 2 2 2 2 (II-18) Et de l'équation (II-17) on déduit la relation:
2 2
( 2 2) 0 x v y u uv y v v a x u u a (II-19)Si on considère l'hypothèse de l'écoulement à potentiel, et en substituant l'équation (II-9) dans l'équation (II-19), on aboutit à la relation:
a2 x2
xx
a2 y2
yy 2xyxy 0 (II-20) Qui représente l'équation de quantité de mouvement.C’est la forme standard de l'équation différentielle aux dérivées partielles du second ordre (EDP). Cette équation peut être classée en trois types, en considérant l'équation caractéristique correspondante suivante:
2
2 2
0 2 2 2 x x y a y dx dy dx dy a (II-21)On détermine alors les deux directions caractéristiques associées avec l'équation (II-20), qui sont:
2 2
2 2 2 x y x a a q a dx dy (II-22)II.5 CONCLUSION
Nous conclurons que l'équation complète du potentiel écrite sous forme de l'équation (II-11) et (II-20), est :
Hyperbolique pour un écoulement supersonique (qa) Parabolique pour un écoulement sonique (qa)
Elliptique pour un écoulement subsonique (qa)
En outre, notons que les directions des caractéristiques pour l'équation complète du potentiel ne sont pas symétriques par rapport à l'axe des x et sont par contre symétriques par rapport aux lignes de courant.
CHAPITRE III
CHAPITRE 3
ETUDE NUMERIQUE DE L’ECOULEMENT
En analyse numérique, la méthode des volumes finis est utilisée pour résoudre numériquement des équations aux dérivées partielles, comme la méthode des différences finies et la méthode des éléments finis. Mais, contrairement à la méthode de différences finies qui utilise des approximations de dérivées, la méthode des volumes finis utilise des approximations d'intégrales. Toutefois, on résout l'équation aux dérivées partielles de manière approchée sur un maillage. Ce maillage est constitué de volumes finis. Les volumes finis sont des petits volumes en 3D, des surfaces en 2D ore des segments en 1D et dont la réunion forme le domaine d’étude.
III.1 PRINCIPE DE LA METHODE DES VOLUMES FINIS
Dans la simulation par la méthode des volumes finis, le domaine de calcul est divisé en un nombre fini de sous-domaines élémentaires, appelés volumes de contrôle. La méthode des volumes finis consiste à intégrer les équations aux dérivées partielles, décrites au chapitre précédent, sur chaque volume de contrôle. Chacun de ces derniers (volumes de contrôle) contenant un nœud dit: "nœud principal". Un exemple de volume de contrôle est montré dans la figure III.1. Pour un nœud principal (P'), les points E et W (E: Est, W: West) sont des voisins dans la direction X, tandis que N et S (N: Nord, S: Sud) sont ceux dans la direction Y. Le volume de contrôle entourant (P') est montré par les lignes discontinues. Les faces du volume de contrôle sont localisées aux points (e) et (w) dans la direction X, (n) et (s) dans la direction Y.
III.2 MAILLAGE
Le maillage est la subdivision du domaine d’étude en grilles longitudinales et transversales dont l’intersection représente un nœud.
La discrétisation du domaine est obtenue par un maillage constitué d’un réseau de points (nœuds). Ainsi un élément de volume (volume de contrôle) est défini autour de chaque nœud.
Les grandeurs scalaires sont stockées dans le nœud (P') du maillage, tandis que les grandeurs vectorielles sont stockées aux milieux des segments reliant les nœuds. L’équation générale de transport est intégrée sur le volume de contrôle associé aux variables scalaires et les équations de quantité de mouvement sont intégrées sur le volume de contrôle associé aux composantes de la vitesse.
Pour la composante longitudinale (U) le volume de contrôle est décalé suivant la direction (X) par rapport au volume de contrôle principal, celui de la composante transversale (V) est décalé suivant la direction (Y). Ce type de maillage dit: «maillage décalé» permet d'obtenir une bonne approximation des flux convectifs et une stabilisation numérique de la solution.
La construction des volumes de contrôle et le maillage décalé sont montrés dans le schéma de la figure III.2 : X P' e w W E S N n s Y X (X) e (X) w (Y) s (Y) n
Y
III.3 CONDITIONS AUX LIMITES
Ces différentes conditions sont résumées suivant: La température T = 300 KLa pression atmosphérique P = 101325 Pascal
Nœud des variables scalaires;
Volume de contrôle pour les variables scalaires ; Volume de contrôle pour U ;
Volume de contrôle pour V. Nœud de vitesse ;
Figure III.2 Schéma représentant le maillage décalé.
III.3.1 Condition a l'infini amont (a l'entrée)
y q v x q u v u q sin . cos . , sin cos xq y q (III-1)III .3.2 Condition au bord de fuite (a la sortie)
0 0 0 0 xy xx x v x u (III-2)
III .3.3 Condition sur la paroi du profil
v0 , uqcos (III-3)
III.4 LA DISCRETISATION DES EQUATIONS DE TRANSPORT
Les équations de conservation présentées au chapitre précédent peuvent être écrites sous une forme condensée. Cette formulation permet de ne pas répéter le travail de discrétisation pour chaque équation. Si on note la variable étudiée, chacune des équations peut être réduite à une seule équation générale, en coordonnées cartésiennes selon la forme:
(III.4)
Où:
I : Terme convectif. S : Terme source.
Nous venons de voir que, pour chaque variable, l'équation de transport s'écrit dans le cas stationnaire, bidimensionnel:
S v y u x (III-5)
S j I j j S u X
1Seul cette équation (III-5) est discrétisée et le système d'équations aux dérivées partielles est résolu pour chaque valeur successive de .[15]
L'équation (III-5) peut être écrire sous la forme:
S J y J x x y (III-6) Avec:
u J v J x y (III-7) xJ et J , sont les flux (convection) par unité de surface dans les directions x et y. y
La discrétisation consiste à transformer l'équation différentielle de transport en un système d'équations algébriques. L'équation (III.4) est d'abord intégrée sur le volume de contrôle:
(III-8)
Pour pouvoir approximer l'équation sous forme algébrique, on considère les hypothèses suivantes: * La variable généralisée varie linéairement entre les nœuds principaux dans les deux directions; * les termes convectifs uniformes à travers les faces correspondantes;
* le terme source est uniforme sur le volume de contrôle.
III.4.1 Intégration du flux convectif
L'intégration du terme convectif (terme I) de l'équation (III-8) pour le volume de contrôle élémentaire est: dxdy y J x J I n s e w y x
(III-9)
J dxdy y dy dx J x I n s e w y n s e w x
(III-10)
e w s y n y n s w x e x J dy J J dx J I (III-11)
J y
J y
J x
J x I x e x w y n y (III-12) Si on pose: II n s e w I n s e w y x dxdy S dxdy y J x J
J y Je x e J
J x n y n
J y Jw x w J
J x s y s Donc l'expression de l'intégrale I devient:
Je Jw Jn Js
I (III-13)
III.4.2 Intégration du flux source
L'intégration du terme source (terme II) de l'équation (III-8) pour le volume de contrôle élémentaire s'écrit: dxdy S II n s e z
(III-14) En utilisant la troisième hypothèse, on peut écrire:V S dxdy S II n s e z
(III-15) Où V est le volume du contrôle.III.4.3 Discrétisation spatial
Discrétiser une équation différentielle aux dérivées partielles revient à remplacer l'information continue exacte, contenue dans cette équation par une information discrète pour une équation algébrique.
L'approximation de la variable généralisée aux interfaces du volume de contrôle se fera donc avec le choix du schéma de discrétisation approprié. Le rôle de ce schéma intervient pour expliquer comment évaluer le flux de convection sur la face du volume de contrôle après intégration.
La forme stationnaire de l'équation (III-8) est:
Je Jw Jn Js
Sxy (III-16) Où Ji
ie,w,n,s
est le flux évalué sur la face du volume de contrôle.Par exemple:
ee u
J , pour i=e
