Epreuve de Math´ ´ ematiques

(1)

Epreuve de Math´ ´ ematiques

La clarté des raisonnements et la qualité de la rédaction interviendront dans l’appréciation des copies.

L’usage d’un instrument de calcul et du formulaire officiel de math´ematiques est autoris´e.

BTS Electrotechnique, BTS Electronique et BTS IRIS

Exercice 1

(10 points)

On consid`ere la fonctionf d´efinie sur R, par :











f est paire

f est p´eriodique de p´eriode 4 f(t) =1

2 si 06t <1 f(t) = 1− t

2 si 16t <2 1) Tracer une repr´esentation graphique de la fonctionf sur l’intervalle [−6 ; 6 ].

2) Calculer le carr´ef_e² de la valeur efficace def.

3)

a) V´erifier quef satisfait aux conditions de Dirichlet.

b) Montrer que le développement en série de Fourier t7→S(t) associé à la fonction f est défini, pour tout réelt par :

S(t) = 3 8− 2

π²

+∞

X

n=1

1 n²

cos(nπ)−cos(nπ 2)

cos(nπ 2t)

4) On consid`ere la fonctionϕd´efinie surR, par ϕ(t) = 3 8 + 2

π² cos(π 2t)− 1

π² cos(πt) a) Justifier que la fonctionϕest paire, et de p´eriode 4.

b) Calculerϕ⁰(t) et montrer que : ϕ⁰(t) = 2 π sinπ

4t cos

3π 4t c) Etablir le tableau de variation de´ ϕsur l’intervalle [ 0 ; 2 ].

d) Recopier et compléter le tableau ci-dessous avec des valeurs à 10⁻³près, puis faire une représentation graphique rapide la fonctionϕ.

t 0 ¹₆ ¹₃ ¹₂ ²₃ ⁵₆ 1 ⁷₆ ⁴₃ ³₂ ⁵₃ ¹¹₆ 2 ϕ(t)

e) Calculer `a l’aide de la formule de Parseval ϕ²_e le carr´e de la valeur efficace deϕ.

f ) Donner à 10⁻³ près, une valeur approchée du rapport ϕ²_e f_e²

(2)

BTS Electronique et BTS IRIS

Exercice 2

(10 points)

Le nombrenqui intervient dans cet exercice est un entier naturel La suite n7→e(n) représente l’échelon unité discrétisé causal.

On considère l’équation récurrente :

x(n+ 2)−4x(n+ 1) + 4x(n) = (−2)ⁿe(n) avec :

x(0) = 0 x(1) = 1

1) On pose y(n) =n aⁿe(n) o`uaest un r´eel non nul.

A l’aide du formulaire, montrer que la transform´` ee en Z dey est d´efinie par : (Zy)(z) = a z

(z−a)²

2) Montrer que la transform´ee en Z dexest d´efinie par : (Z_x)(z) = z

(z−2)² + z (z+ 2)(z−2)²

3) D´eterminer les r´eels A,B et Ctels que pour toutz∈C− {−2,2}on ait : 1

(z+ 2)(z−2)² = A

(z+ 2) + B

(z−2)² + C (z−2)

4)

a) Déduire des questions précédentes l’expression de x(n) pour toutn∈N

b) Montrer que :







x(2k) = 5k2^2(k−1) k∈N x(2k+ 1) = (10k+ 4) 2^2(k−1) k∈N

5) Repr´esenter n7→x(n) sur [ 0 ; 4 ] dans un rep`ere orthogonal.

(3)

BTS Electrotechnique

Exercice 2

(10 points)

Une usine produit en grande série des pièces susceptibles de présenter un défautA dans 3% des cas et un défautB dans 7% des cas.

L’apparition d’un d´efaut est ind´ependante de l’apparition de l’autre.

1) Calculer la probabilit´e qu’une pi`ece choisie au hasard dans la production

a) pr´esente les deux d´efauts.

b) pr´esente au moins l’un des deux d´efauts.

c) pr´esente un seul d´efaut.

d) ne pr´esente aucun d´efaut.

2) On prélève au hasard 250 pièces dans la production, et on admet que ce prélèvement peut être assimilé

`

a un tirage avec remise.

a) SoitX la variable aléatoire qui associe à chaque prélèvement de 250 pièces, le nombre de pièces qui présentent le défautA.

– Quelle est la loi de probabilité deX? – Calculer P(X= 7) à 10⁻² près.

b) On admet que la loi de probabilité deX peut être approchée par une loi de Poisson.

– D´eterminer le param`etreλde cette loi de Poisson.

– Calculer alors la probabilité que, parmi un prélèvement de 250 pièces, il y ait au plus 3 pièces présentant le défautA.

3) Soit la variable aléatoireY qui associe à chaque chaque prélèvement de 250 pièces, le nombre de pièces qui présentent le défautB.

On admet que l’on peut approcher Y par une loi normale Z de moyenne m = 17,5 et d’´ecart type σ= 4,03.

a) Calculer P(Z 623)

b) Calculer P(156Z 620)

(4)

Epreuve de Math´ ´ ematiques (Solution)

BTS Electrotechnique, BTS Electronique et BTS IRIS

Exercice 1

(10 points)

On consid`ere la fonctionf d´efinie sur R, par :











f est paire

f est p´eriodique de p´eriode 4 f(t) =1

2 si 06t <1 f(t) = 1− t

2 si 16t <2 1) Tracer une repr´esentation graphique de la fonctionf sur l’intervalle [−6 ; 6 ].

t f(t)

−6 −4 −2 O ~i 2 3 4 6

~j

2) Calculer le carr´ef_e² de la valeur efficace def.

f_e²=1 4

Z 2

−2

f²(t)dt= 1 42

Z 2 0

f²(t)dt=1 2

Z 1 0

1 4dt+

Z 2 1

1− t 2

2

dt

=1 2

1 4 +h

t−t² 2 + t³

12 i²

1

=1 8 +1

2

2−2 +2 3

− 1−1

2 + 1 12

f_e²=1 6 3)

a) V´erifier quef satisfait aux conditions de Dirichlet.

Sur l’intervalle 0 ; 4

la fonctionf est continue partout et d´erivable sauf pour t= 1, pour t= 2 et pourt= 3, mais les limites suivantes sont finies :

f⁰(1⁻) = 0 f⁰(2⁻) =−1

2 f⁰(3⁻) =1

2 f⁰(1⁺) =−1

2 f⁰(2⁺) = 1

2 f⁰(3⁺) = 0

Doncf satisfait aux conditions de Dirichlet et admet un d´eveloppement en s´erie de Fourier, et S(t) =f(t) pour toutt.

b) Montrer que le développement en série de Fourier t7→S(t) associé à la fonction f est défini, pour tout réelt par : S(t) =3

8 − 2 π²

+∞

X

n=1

1 n²

cos(nπ 2t)

La p´eriode est T = 4 donc : ω= ^π₂ f est paire donc : bn= 0

(5)

a0= 1 4

Z 2

−2

f(t)dt=1 42

Z 2 0

f(t)dt= 1 2

Z 1 0

1 2dt+

Z 2 1

1− t 2

dt

= 1 2

1 2 +h

t−t² 4

i²

1

= 1 4+1

2

2−1

− 1−1

4

a0= 3 8

On fera une int´egration par partie :

u= 1− t 2 dv= cos(n^π₂t)dt

du=−dt 2 v=2 sin(n^π₂t)

nπ an= 2

4 Z 2

−2

f(t) cos(nπ

2t)dt=1 22

Z 2 0

f(t) cos(nπ 2t)dt

= Z 1

0

1 2cos(nπ

2t)dt+ Z 2

1

1− t 2

cos(nπ 2t)dt

= 1 2

h2 sin(n^π₂t) nπ

i1 0

+h 1− t

2

2 sin(n^π₂t) nπ

i2 1

+ 1 nπ

Z 2 1

sin(nπ 2t)dt

= 1 2

2 sin(n^π₂) nπ

−1 2

0 +

0

−1 2

2 sin(n^π₂) nπ

+ 1

nπ

h−2 cos(n^π₂t) nπ

i2 1

= 1 nπ

−2(−1)ⁿ nπ

−

−2 cos(n^π₂) nπ

an=− 2

n²π² cos(nπ)−cos(n^π₂) Donc :

S(t) = 3 8− 2

π²

+∞

X

n=1

1 n²

cos(nπ 2t)

4) On consid`ere la fonctionϕd´efinie surR, par ϕ(t) = 3 8 + 2

π² cos(πt) a) Justifier que la fonctionϕest paire, et de p´eriode 4.

Pour toutton a : ϕ(−t) =ϕ(t) donc ϕest paire

ϕ(t+ 4) = 3 8 + 2

π² cos(π

2t+ 2π)− 1

π² cos(πt+ 2π) = 3 8+ 2

π² cos(πt) =ϕ(t) Doncϕest de p´eriode 4

b) Calculerϕ⁰(t) et montrer que : ϕ⁰(t) = 2 π sinπ

4t cos

3π 4t ϕ⁰(t) = 0− 2

π² π 2 sin(π

2t) + 1

π²πsin(πt) = 1 π

sin(πt)−sin(π 2t)

= 2 π sinπ

4t cos

3π 4t c) Etablir le tableau de variation de´ ϕsur l’intervalle [ 0 ; 2 ].

t 0 ²₃ 2

ϕ⁰(t) 0 + 0 − 0

↔

ϕ(t) % &

↔ ↔

avec :

ϕ(0) = 3 8 + 1

π² ϕ(²₃) = 3

8+ 3 2π² ϕ(2) = 3

8 − 3 π²

(6)

d) Recopier et compléter le tableau ci-dessous avec des valeurs à 10⁻³près, puis faire une représentation graphique rapide la fonctionϕ.

t 0 ¹₆ ¹₃ ¹₂ ²₃ ⁵₆ 1 ⁷₆ ⁴₃ ³₂ ⁵₃ ¹¹₆ 2

ϕ(t) 0,476 0,483 0,500 0,518 0,527 0,515 0,476 0,410 0,324 0,232 0,149 0,092 0,071

t f(t)

O 2

3

~i 2

~j

e) Calculer `a l’aide de la formule de Parseval ϕ²_e le carr´e de la valeur efficace deϕ.

g²_e=3 8

² +1

2 2

π² ²

+ 1 π²

²

g²_e= 9 64+ 5

2π⁴

f ) Donner à 10⁻³ près, une valeur approchée du rapport ϕ²_e f_e² g²_e

f_e² '0,998

(7)

BTS Electronique et BTS IRIS

Exercice 2

(10 points)

Le nombrenqui intervient dans cet exercice est un entier naturel La suite n7→e(n) représente l’échelon unité discrétisé causal.

On considère l’équation récurrente :

x(n+ 2)−4x(n+ 1) + 4x(n) = (−2)ⁿe(n) avec :

x(0) = 0 x(1) = 1 1) On pose y(n) =n aⁿe(n) o`uaest un r´eel non nul.

A l’aide du formulaire, montrer que la transform´` ee en Z dey est d´efinie par : (Z_y)(z) = a z (z−a)²

r(n) =n e(n) (Zr)(z) = z

(z−1)² y(n) =aⁿr(n) (Z_y)(z) = (Z_r) z

a =

z a

(^z_a−1)² (Z_y)(z) = a z

(z−a)²

2) Montrer que la transform´ee en Z dexest d´efinie par : (Zx)(z) = z

(z−2)² + z (z+ 2)(z−2)² On pose :

x(n)7→(Z_x)(z) ; x(n+ 1)7→z

(Z_x)(z)−0

; x(n+ 2)7→z²

(Z_x)(z)−0−z⁻¹ On applique la transformée enZ à l’équation :

z²(Zx)(z)−z−4z(Zx)(z) + 4(Zx)(z) = z z+ 2 (z²−4z+ 4)(Zx)(z) = z

z+ 2 +z (z−2)²(Zx)(z) = z

z+ 2 +z (Z_x)(z) = z

(z−2)² + z (z+ 2)(z−2)² 3) D´eterminer les r´eels A,B et Ctels que pour toutz∈C− {−2,2}on ait :

1

(z+ 2)(z−2)² = A

(z+ 2)+ B

(z−2)² + C (z−2)

=A(z−2)²+B(z+ 2) +C(z+ 2)(z−2) (z+ 2)(z−2)²

=(A+C)z²+ (B−4A)z+ (4A+ 2B−4c) (z+ 2)(z−2)²







A+C = 0 B−4A = 0 4A+ 2B−4C = 1







C = −A B = 4A 4A+ 8A+ 4A = 1











A = 1

16 B = 1

4 C = − 1

16

(8)

4)

a) Déduire des questions précédentes l’expression de x(n) pour toutn∈N (Z_x)(z) =1

2 2z

(z−2)² + 1 16

z

z+ 2 + 4z

(z−2)²− z z−2

x(n) =¹₂n2ⁿ+₁₆¹

(−2)ⁿ+ 2n2ⁿ−2ⁿ

b) Montrer que :







x(2k) = 5k2^2(k−1) k∈N x(2k+ 1) = (10k+ 4) 2^2(k−1) k∈N

x(2k) =1

22k2^2k+ 1 16

2^2k+ 4k2^2k−2^2k

=k2^2k+ 4

16k2^2k= 5 4k2^2k x(2k) = 5k2^2(k−1)

x(2k+ 1) = 1

2(2k+ 1) 2^2k+1+ 1 16

−2^2k+1+ 2 (2k+ 1) 2^2k+1−2^2k+1

= 1

2(2k+ 1) 2^2k+1+ 1

16(4k) 2^2k+1

= 4

8(2k+ 1) 2^2k+1+2 8k2^2k+1

= (10k+ 4) 2^2k+1

8 = (10k+ 4) 2^2k−2 x(2k+ 1) = (10k+ 4) 2^2(k−1) 5) Repr´esenter n7→x(n) sur [ 0 ; 4 ] dans un rep`ere orthogonal.

n x(n)

−2 −1 0 1 2 3 4

1 5 10 14 40

• • • •

•

(9)

BTS Electrotechnique

Exercice 2

(10 points)

Une usine produit en grande série des pièces susceptibles de présenter un défautA dans 3% des cas et un défautB dans 7% des cas.

L’apparition d’un d´efaut est ind´ependante de l’apparition de l’autre.

Définissons les événements avec précision : – A=«Le produit présente le défautA»

– B=«Le produit pr´esente le d´efautB»

– A∩B=«Le produit pr´esente les deux d´efautsAet B»

– A∪B=«Le produit présente au moins un es deux défautsA ouB» – A∩B=«Le produit présente le défautAmais pas le défautB»

– A∩B=«Le produit présente le défautB mais pas le défautA»

– A∩B=A∪B=«Le produit ne pr´esente aucun des deux d´efautsAouB»

1) Calculer la probabilité qu’une pièce choisie au hasard dans la production a) présente les deux défauts. P(A∩B) = 3%×7% = 0,21%

On calcule de mˆeme :

P(A∩B) = 3%×93% = 2,79% P(A∩B) = 97%×7% = 6,79% P(A∩B) = 97%×93% = 90,21%

b) pr´esente au moins l’un des deux d´efauts.

P(A∪B) =P(A) +P(B)−P(A∩B) = 3% + 7%−0,21% = 9.79%

c) pr´esente un seul d´efaut. P(A∩B) +P(A∩B) = 2,79% + 6,79% = 9.58%

d) ne pr´esente aucun d´efaut. P(A∪B) = 1−P(A∪B) = (100−9.79)% = 90,21%

A

B

A∩B 0,21%

A∩B 6,79%

A∩B 2,79%

A∩B=A∪B 90,21%

(10)

2) On prélève au hasard 250 pièces dans la production, et on admet que ce prélèvement peut être assimilé

`

a un tirage avec remise.

a) SoitX la variable aléatoire qui associe à chaque prélèvement de 250 pièces, le nombre de pièces qui présentent le défautA.

– Quelle est la loi de probabilité deX? – Calculer P(X= 7) à 10⁻² près.

La variable al´eatoireX suit une loi de binomialeB(250 ; 0,03) avec : n= 250 et p= 3%

P(X = 7) =C₂₅₀⁷ ×0,03⁷×0,97²43'0,15

b) On admet que la loi de probabilité deX peut être approchée par une loi de Poisson.

– D´eterminer le param`etreλde cette loi de Poisson.

– Calculer alors la probabilité que, parmi un prélèvement de 250 pièces, il y ait au plus 3 pièces présentant le défautA.

λ=n×p= 250×0,03 = 7,5

P(X63) =

3

X

k=0

e^−λλ^k k! =

3

X

k=0

e^−7,5×7,5^k

k! '0,059

3) Soit la variable aléatoireY qui associe à chaque chaque prélèvement de 250 pièces, le nombre de pièces qui présentent le défautB.

On admet que l’on peut approcher Y par une loi normale Z de moyenne m = 17,5 et d’´ecart type σ= 4,03.

Soit la variable al´eatoireT = Z−m

σ = Z−17,5

4,03 , elle suit une loi normale centr´ee r´eduite N(0; 1) a) Calculer P(Z 623)

P(Z623) =P

23−17,5 4,03

=P(T 61,36) = Π(1,36)'0,9131

P(Z623)'0,9131 b) Calculer P(156Z 620)

P(156Z620) =P(−0,626T 60,62) = Π(0,62)−Π(−0,62) Π(0,62)−Π(−0,62) = Π(0,62)−

1−Π(−0,62)

= 2 Π(0,62)−1'2×0,7324−1 P(156Z620) ='0,9131