,∂x∂f d} est en chaque point une base de l’espace tangent

ANNEE UNIVERSITAIRE 2013/2014 Licence de Math´ematiques

Examen de G´eom´etrie Diff´erentielle (N1MA6011) Date : 06/05/2013 Heure : 14h00 Dur´ee : 3h Documents : Non autoris´es. Calculette homologu´ee : autoris´ee Epreuve de Mr : Bessi`eres. Sujet : 2 pages

Exercice 1 (Questions de cours).

(a) D´emontrer les relations de Frenet, satisfaites par une courbe bi-r´eguli`ere de R³ param´etr´ee par longueur d’arc.

(b) Soit M une sous-vari´et´e lisse deRⁿ de dimensiondet soita∈M. Rappeler la d´efinition et les propri´et´es de l’espace tangent `aM en un point donn´e. Soitf :U ⊂R^d→M une param´etrisation, justifier que {_∂x^∂f₁, . . . ,_∂x^∂f

d} est en chaque point une base de l’espace tangent.

(c) Soit f :U ⊂ R²→Σ⊂ R³ une param´etrisation d’une surface Σ. Montrer que la matrice (g_ij) de la premi`ere forme fondamentale associ´ee `a f v´erifie (gij)_(u,v)=^tJ_(u,v)f ·J_(u,v)f, o`u J_(u,v)f est la matrice jacobienne de f. Montrer que pour tout domaine D⊂Σ, la quantit´e

Z

f⁻¹(D)

q

det(g_ij)dudv

est ind´ependante de la param´etrisation.

Exercice 2.

Soit U =R×(0,2)et f :U→R³ d´efinie parf(θ, t) = (tcos(θ), tsin(θ), θ).

(a) Rappeler la d´efinition d’une param´etrisation et montrer quef param´etrise une surfaceΣ =f(U).

(b) D´eterminer l’espace tangent `a Σenf(0,1).

(c) Calculer l’endomorphisme de Weingarten de Σ.

(d) Donner courbures principales, courbure de Gauss et courbures moyennes deΣ.

(e) Montrer que t7→f(θ, t) est une g´eod´esique.

(f) Calculer premi`ere et seconde forme fondamentale. V´erifier que le r´esultat est coh´erent avec celui de la question (c).

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Exercice 3.

On consid`ere Mn(R), leR-espace vectoriel des matrices carr´ees de taillen, identifi´e `aRⁿ². On note S_n(R) ⊂ M_n(R) le sous-espace vectoriel constitu´e des matrices sym´etriques, aussi identifi´e `a un espace R^p. On d´efinit f :M_n(R)→S_n(R) par f(A) =^tAA.

(a) Montrer que f est lisse de diff´erentielled_Af :M_n(R)→S_n(R) o`u d_Af(X) =^tAX+^tXA

(b) SoitOn(R) ={A∈Mn(R),^tAA=In}, l’ensemble des matrices orthogonales (Inest la matrice identit´e). Soit A ∈ M_n(R), S ∈ S_n(R) et X = ¹₂AS, montrer que d_Af(X) = S. En d´eduire que On(R) est une sous-vari´et´e de Mn(R), de dimension `a d´eterminer en fonction den.

(c) Montrer que l’espace tangent `a On(R) enIn est {X∈Mn(R);^tX =−X}.

Exercice 4. SoitS une surface connexe deR³ dont tous les points sont desombilics, c’est-`a-dire que en tout point les deux courbures principales sont ´egales. On va montrer queS est une portion de plan ou une portion de sph`ere.

(a) Soit φune param´etrisation de S par des variables (u, v). Montrer que ^∂φ_∂u et ^∂φ_∂v sont directions principales et en d´eduire la matrice de l’endomorphisme de Weingarten dans la base{^∂φ_∂u,^∂φ_∂v}. (b) Montrer que la courbure de Gauss est constante sur la surface. (Indication : calculer _∂u^{∂ ∂ν}_∂v et

∂

∂v

∂ν

∂u, o`u ν(u, v) =N ◦φ(u, v),N l’application de Gauss).

(c) On suppose que cette constante est nulle. Montrer qu’alors la surface est incluse dans un plan.

(d) Si on suppose que cette constanteK n’est pas nulle, montrer qu’alors la surface est incluse dans une sph`ere de rayon1/K.

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