Chapitre 6 ; Calcul matriciel ; Exercices

Chapitre 6 ; Calcul matriciel ; Exercices

1. Calculer le produit des matrices suivantes : 𝐴 = 2 −1

3 2 et 𝐵 = 1 3

−1 2 2. Calculer le produit des matrices suivantes : 𝐴 =

2 0 3

−1 6 5 1 −4 2

et 𝐵 =

0 1

−2 2 0 −3

3. Calculer le produit des matrices 𝐴 = 𝑐𝑜𝑠𝜃 −𝑠𝑖𝑛𝜃

𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃 et 𝐵 = 𝑐𝑜𝑠𝜃′ −𝑠𝑖𝑛𝜃′

𝑠𝑖𝑛𝜃′ 𝑐𝑜𝑠𝜃′

Déduire 𝐴² puis 𝐴³ 4. On donne 𝐴 =

𝑐𝑜𝑠𝜃 −𝑠𝑖𝑛𝜃 0 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃 0

0 0 1

; calculer 𝐴²

5. Déterminer les matrices 𝑋 de 𝑀₂(ℝ) telles que 1 2

−2 4 𝑋 = 1 1 1 1 puis 𝑋 1 2

−2 4 = 1 1 1 1 6. Soit 𝑀 = 𝑎 𝑏

0 𝑎 ; Calculer 𝑀⁴ ; conjecturer 𝑀^𝑛 7. On considère la matrice : 𝐵 =

0 1 0 0 0 1 0 0 0

et 𝐴 = 𝐵 + 𝐼₃ ; Calculer 𝐵² puis 𝐵³; déduire 𝐴² puis 𝐴³

8. Soit 𝐴 =

1 0 1 0 1 0 1 0 1

Calculer 𝐴² 𝑒𝑡 𝐴³

Montrer que 𝐴³− 3𝐴² + 2𝐴 = 𝑂₃ Déduire 𝐴⁴

𝐴 est elle inversible ? 9. Soit 𝐴 = 3 1

2 2 et 𝑃 = 1 1

−2 1

Justifier que P est inversible et calculer 𝑃⁻¹ Calculer 𝐷 = 𝑃⁻¹𝐴𝑃

Déduire 𝐷^𝑛 puis 𝐴^𝑛

10. Mêmes questions avec 𝐴 = 1 1

4 1 et 𝑃 = 1 1

−2 2

11. A l’aide du calcul matriciel, résoudre , selon les valeurs du paramètre 𝑎, le système : 𝑎𝑥 + 𝑦 = 2

𝑎²+ 1 𝑥 + 2𝑎𝑦 = 1

12. Soit 𝐴 =

0 1 1 1 0 1 1 1 0

et 𝐵 =

1 2 2 2 1 2 2 2 1

Justifier que (𝐴 + 𝐼₃)² = 3(𝐴 + 𝐼₃) où 𝐼₃ =

1 0 0 0 1 0 0 0 1

Déduire une équation du 2^nd degré vérifiée par 𝐴 (on l’appelle un polynôme annulateur de A) ; déduire 𝐴⁻¹

Opérer de manière analogue pour la matrice 𝐵 Déduire la solution du système :

𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 = 1 2𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = −1

2𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 3 13. Soit 𝐴 =

2 1 1 1 2 1 1 1 2

; : Déterminer un polynôme de degré 2 annulateur de A ; Déduire 𝐴⁻¹

14. Soit 𝐴 =

1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1

et 𝐼₄ =

1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1

Déterminer la matrice 𝐵 telle que 𝐴 = 𝐼₄ + 𝐵 Calculer 𝐵² puis 𝐵³ puis 𝐵^𝑛 pour n ≥ 4 Déduire 𝐴² puis 𝐴³

15. Soit 𝐴 =

2 1 1 1 2 1 1 1 2

; Montrer que A est L-équivalente à une matrice triangulaire Déduire que A est inversible

16. 𝐴 =

2 0 1 3

−1 6 −2 5

3 1 −1 2

1 −4 0 2

; Montrer que A est L-équivalente à une matrice triangulaire

Déduire que A est inversible

17. Soit 𝑀 ∈ 𝑀₃ ℝ , , déterminer les matrices 𝑃 telles que le produit matriciel 𝑃 𝑀 corresponde aux opérations élémentaires :

𝐿₁ ↔ 𝐿₃ ; 𝐿₂ ← 𝐿₂+ 3𝐿₃ ; 𝐿₂ ← −3𝐿₂

18. Montrer que toute matrice peut s’écrire comme somme d’une matrice symétrique et d’une matrice antisymétrique

Nota : 𝐴 ∈ 𝑀_𝑛 𝕂 est symétrique ⟺ 𝐴^𝑡 = 𝐴

𝐴 ∈ 𝑀_𝑛 𝕂 est antisymétrique ⟺ 𝐴^𝑡 = −𝐴 exemple avec 𝐴 =

1 2 3 4 5 6 7 8 9

19. Montrer que l’ensemble ℐ_𝑛 𝕂 des matrices inversibles de 𝑀_𝑛 𝕂 est un groupe pour

la multiplication matricielle

20. Soit 𝐴 ∈ 𝑀_𝑛 𝕂 ; on note « 𝐶𝑜𝑚(𝐴) » l’ensemble : 𝑀 ∈ ℐ_𝑛 𝕂 , 𝐴𝑀 = 𝑀𝐴 , c'est-à- dire l’ensemble des matrices inversibles qui commutent avec A

Montrer que l’ensemble 𝐶𝑜𝑚(𝐴) est un groupe pour la multiplication matricielle