1
le 18 F´evrier 2010 UTBM MT12
M´edian Printemps 2009
Calculatrices interdites. Le seul document autoris´ e est une feuille A4 recto-verso r´ edig´ ee ` a la main
Chaque exercice doit ˆ etre r´ edig´ e sur une feuille diff´ erente
Exercice 1 - 8 points
1) Soit f un endomorphisme deR3. Soit B ={b1, b2, b3} une base deR3. D´emontrer que f est bijective si et seulement si la famille {f(b1), f(b2), f(b3)} est une base de R3.
2) Soit E leR-espace vectoriel des suites num´eriques r´eelles.
Les sous-ensemble suivants de E sont-ils des sous-espaces vectoriels de E? (expliquer ra- pidement pourquoi)
a) L’ensemble des suites croissantes.
b) L’ensemble des suites monotones.
c) L’ensemble des suite major´ees.
d) L’ensemble des suites born´ees.
3) Peut-on trouver x∈R tel que vect(
1
−1 x
,
x 1 1
) =vect(
1 1 2
,
1 2 2
)?
4) Soit E un R-espace vectoriel. Soit B = {e1, e2, e3}, une base de E. Pour a ∈ R, on d´efinit fa ∈End(E) par fa(e1) = 0 et fa(e2) =fa(e3) =e2−a.e3.
a) D´eterminer une base de Ker(fa) et Im(fa).
b) A quelle condition sur a, Ker(fa) et Im(fa) sont-ils suppl´ementaires ?
c) Dans le cas o`u Ker(fa) et Im(fa) ne sont pas suppl´ementaires, d´eterminer un suppl´ementaire de Im(fa).
Exercice 2 (NOUVELLE FEUILLE) - 6 points Soit f l’endomorphisme de R3 d´efini par f(
x y z
) =
2x−y−z 3x−2y−z
−x+y
.
a) Quelle est la matrice A de f dans la base canonique de R3 b) Soient V1 =
1 1 1
, V2 =
1 1 0
, V3 =
0 1
−1
.
Montrer que B ={V1, V2, V3} est une base R3. c) D´eterminer la matrice D de f dans la base B.
d) D´eterminer P ∈ M3(R) tel que A=P.D.P−1. Calculer P−1. En d´eduire An (n ∈N).
e) D´eduire de ce qui pr´ec`ede f97(
1 2 3
) o`u fk d´esigne la compos´ee f◦f◦...◦f (k fois).
TOURNER LA PAGE SVP
2
Exercice 3 (NOUVELLE FEUILLE) - 9 points 1 - Soit les deux applications :
∆2 : R2[X] −→ R2[X]
P(X) 7→ P(X+ 1)−P(X)
D2 : R2[X] −→ R2[X]
P(X) 7→ P′(X) a) Montrer que∆2 et D2 sont des endomorphismes deR2[X].
b) D´eterminer les matrices de ∆2 etD2 dans la base canonique de R2[X], B ={1, X, X2}. c) D´eterminer le noyau et l’image de ∆2 et D2.
d) D´eterminer ∆k2 et D2k (k ∈N∗) o`u fk d´esigne la compos´ee f ◦f ◦...◦f (k fois)..
2 - Soit L’´equation matricielle dans M3(R) : (E1) : N2 =J1 avec J1 =
0 0 1 0 0 0 0 0 0
.
D´eterminer 2 solutions de (E1).
3 - Soit L’´equation matricielle dans M3(R) : (E2) : M2 =J2 avec J2 =
0 1 0 0 0 1 0 0 0
.
a) Soit f un endomorphisme de R2[X]. On poseg =f2 =f ◦f.
Montrer que Ker(g) et Im(g) sont stables par f (On dit queF est stable par f si f(F)⊂ F).
b) Soitf l’endomorphisme de R2[X] associ´e `a une solution M quelconque de (E2).
D´eterminer le rang def2 etf4. En d´eduire le rang def et f3 (utiliser le th´eor`eme du rang et le r´esultat pr´ec´edent). Quel est le rang de f6?
c) D´eduire des questions pr´ec´edentes que (E2) n’admet pas de solutions (on pourra utiliser le fait que, comme dans a), Im(f3) est stables par f).
