Les nombres premiers ont fasciné pendant des siècles les mathématiciens. La découverte des grands nombres premiers a, aujourd’hui, des applications pratiques.
Dans les années 1970, une idée révolutionnaire créa une technique pour effectuer des communications sécurisées en utilisant un système nécessitant la génération de grands nombres premiers. Cette technique se développa via Internet, nous permettant d’acheter en ligne en toute sécurité. (méthode de cryptographie RSA de Ronald Rivest,Adi Shamir, Leonard Adleman).
I. Nombres premiers
Définition : Un nombre premier est un entier naturel qui admet exactement deux diviseurs dans ℕ : 𝟏 et lui-même.
Exemple :
1 n’est pas premier (il n’admet qu’un diviseur dans ℕ) 2 est le seul nombre premier pair.
Les nombres premiers inférieurs à 50 sont :
2; 3; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; 31; 37; 39; 41; 43; 47.
Un entier non premier est dit composé.
Théorème : Tout entier naturel 𝒏, 𝒏 ≥ 𝟐, admet un diviseur premier.
Si 𝒏 n’est pas premier, alors il admet un diviseur premier 𝒑 tel que : 𝟐 ≤ 𝒑 ≤ √𝒏.
Démonstration :
Si 𝑛 est premier, il admet donc un diviseur premier : lui-même.
Si 𝑛 n’est pas premier, l’ensemble des diviseurs 𝑑 de 𝑛 tel que 2 ≤ 𝑑 ≤ 𝑛 n’est pas vide.
Il admet donc un plus petit élément 𝑝.
Si 𝑝 n’était pas premier, il admettrait un diviseur 𝑑′ tel que 2 ≤ 𝑑′ ≤ 𝑝 qui diviserait 𝑛. Ceci est impossible car 𝑝 est le plus petit élément. Donc 𝑝 est premier.
On a donc 𝑝 premier et 𝑛 = 𝑝 × 𝑞 avec 𝑝 ≤ 𝑞. En multipliant cette inégalité par 𝑝 on obtient : 𝑝2 ≤ 𝑝 × 𝑞 ⇔ 𝑝2 ≤ 𝑛 soit 𝑝 ≤ √𝑛
Test de primalité :
Soit 𝒏 ≥ 𝟐 un entier naturel.
Si aucun des entiers compris entre 𝟐 et √𝒏 ne divise 𝒏, alors 𝒏 est premier.
Démonstration : contraposée du théorème précédent
Exemple : Montrer que 487 est un nombre premier.
On a √487 ≈ 22. On teste tous les nombres premiers strictement inférieurs à 22, soit : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.
En effectuant chaque division euclidienne, on remarque que 487 n’est pas divisible par 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19. Il est donc premier.
Exercice : 251 est-il un nombre premier ?
On a √251 ≈ 16 .On teste tous les nombres premiers strictement inférieurs à 16, soit : 2, 3, 5, 7, 11, 13.
En effectuant chaque division euclidienne, on remarque que 251 n’est pas divisible par 2, 3, 5, 7, 11, 13. Il est donc premier.
ALGORITHME TEST DE PRIMALITE :
Langage naturel CASIO TI
Entrée : 𝑁 entier naturel
Traitement :
Pour 𝐽 de 2 à 𝐸(√𝑁) Si 𝐽 divise 𝑁 Alors afficher « NON PREMIER » Stopper le programme Fin Si
Fin Pour
Sortie : Afficher « PREMIER »
Exercice : Tester le programme pour 𝑁 = 2017, 𝑁 = 149, 𝑁 = 2021, 𝑁 = 107.
𝑁 = 2017 PREMIER (√2 017 ≈ 45)
𝑁 = 149 PREMIER (√149 ≈ 13)
𝑁 = 2021 NON PREMIER (√2 021 ≈ 45)
𝑁 = 107 PREMIER (√107 ≈ 11)
Crible d’Eratosthène :
Le crible d’Eratosthène (IIIème siècle avant J-C) permet de déterminer par exclusion tous les nombres premiers inférieurs à un entier 𝒏 donné.
Voici un exemple avec 𝑛 = 100.
II. Infinité des nombres premiers
Théorème : Il existe une infinité de nombres premiers.
Démonstration : (faite par Euclide au IIIème siècle avant J-C)
Raisonnons par l’absurde en supposant qu’il existe un nombre fini d’entiers premiers.
Soit 𝑝 le plus grand d’entre eux et soit 𝑁 le produit de tous ces nombres premiers : 2 × 3 × 5 × 7 × … × 𝑝.
On considère l’entier 𝑁′= 𝑁 + 1 : le reste de la division euclidienne de 𝑁′ par 2, 3, 5, … ou 𝑝 est 1.
Donc 𝑁′ n’est divisible par aucun des entiers 2, 3, 5, … , 𝑝.
On en déduit que les seuls diviseurs de 𝑁′ sont 1 et lui-même, donc 𝑁′est premier et 𝑁′> 𝑁 par construction.
On aboutit ainsi à une contradiction.
III. Décomposition en facteurs premiers
Théorème fondamental de l’arithmétique :
Tout entier 𝒏 ≥ 𝟐 peut se décomposer de façon unique (à l’ordre des facteurs près) en produit de facteurs premiers :
𝒏 = 𝒑𝟏𝜶𝟏 × 𝒑𝟐𝜶𝟐× … × 𝒑𝒎𝜶𝒎
où 𝒑𝟏, 𝒑𝟐, … , 𝒑𝒎 sont des nombres premiers et 𝜶𝟏, 𝜶𝟐, … , 𝜶𝒎 des entiers naturels non nuls.
Exemple : Décomposons 16 758 en produit de facteurs premiers.
Pour décomposer un entier, on effectue des divisions successives par des nombres premiers dans l’ordre croissant.
On a donc : 16 758 = 2 × 32× 72× 19 16 758
8 379 2 793 931 133 19
2 3 3 7 7 19
Exercice : Décomposer les nombres suivants 𝑁1 = 1 050, 𝑁2 = 7 429, 𝑁3 = 13 552
1 050 2
525 3
175 5
35 5
7 7
𝟏 𝟎𝟓𝟎 = 𝟐 × 𝟑 × 𝟓𝟐× 𝟕 7 429 17
437 19
23 23
𝟕 𝟒𝟐𝟗 = 𝟏𝟕 × 𝟏𝟗 × 𝟐𝟑 13 552 2
6 776 2
3 388 2
1 694 2
847 7
121 11
11 11
𝟏𝟑 𝟓𝟓𝟐 = 𝟐𝟒× 𝟕 × 𝟏𝟏𝟐
ALGORITHME DE DECOMPOSITION EN FACTEURS PREMIERS :
Langage naturel CASIO TI
Entrée : 𝑁 entier naturel, 𝑁 ≥ 2
Traitement : 𝐷 prend la valeur 2 Tant que 𝑁 ≠ 1
Tant que 𝐷 divise 𝑁 Afficher 𝐷
𝑁 prend la valeur 𝑁/𝐷 Fin Tant que
𝐷 prend la valeur 𝐷 + 1 Fin Tant que
Exercice : Tester l’algorithme en décomposant les nombres suivants en facteurs premiers : 600; 4 998; 41 724; 87 616; 2 317.
600 = 23× 3 × 52
4 998 = 2 × 3 × 72× 17
41 724 = 22× 32× 19 × 61
87 616 = 26× 372
2 317 = 7 × 331
IV. Diviseurs d’un entier naturel non premier
Théorème : Soit un nombre 𝒏 (𝒏 ≥ 𝟐) dont la décomposition en facteurs premiers est : 𝒏 = 𝒑𝟏𝜶𝟏× 𝒑𝟐𝜶𝟐 × … × 𝒑𝒎𝜶𝒎
Alors tout diviseur 𝒅 de 𝒏 a pour décomposition :
𝒅 = 𝒑𝟏𝜷𝟏 × 𝒑𝟐𝜷𝟐× … × 𝒑𝒎𝜷𝒎 Avec 𝟎 ≤ 𝜷𝒊≤ 𝜶𝒊 et 𝒊 ∈ {𝟏; 𝟐; … ; 𝒎 }.
Le nombre de diviseurs 𝑵 est alors : 𝑵 = (𝜶𝟏+ 𝟏) × (𝜶𝟐+ 𝟏) × … × (𝜶𝒎+ 𝟏).
Exemple : Trouver le nombre de diviseurs de 120 puis déterminer tous ces diviseurs.
On décompose 120 en facteurs premiers : 120 = 23× 3 × 5.
Un diviseur de 120 est de la forme 2𝛼1× 3𝛼2× 5𝛼3 où 0 ≤ 𝛼1 ≤ 3; 0 ≤ 𝛼2 ≤ 1; 0 ≤ 𝛼3 ≤ 1.
Il y a donc quatre valeurs possibles pour 𝛼1 et deux valeurs possibles pour 𝛼2 et 𝛼3, soit 4 × 2 × 2 = 16
120 a donc 16 diviseurs.
On utilise un arbre pondéré dont les coefficients sont les facteurs premiers possibles.
L’ensemble des diviseurs de 120 est 𝐷 = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 8; 10; 12; 15; 20; 24; 30; 40; 60; 120}.
Exercice :
Pour chacun des nombres suivants, donner sa décomposition en produit de nombres premiers, puis l’ensemble 𝐷 de ses diviseurs.
𝑛1 = 340 ; 𝑛2 = 127; 𝑛3 = 2 401
𝒏𝟏= 𝟑𝟒𝟎
On détermine la décomposition de 𝑛1 : 𝒏𝟏= 𝟐𝟐× 𝟓 × 𝟏𝟕
Les diviseurs de 340 sont de la forme : 𝟐𝜶𝟏 × 𝟓𝜶𝟐× 𝟏𝟕𝜶𝟑
où : 𝟎 ≤ 𝜶𝟏 ≤ 𝟐 𝟎 ≤ 𝜶𝟐≤ 𝟏 𝟎 ≤ 𝜶𝟑≤ 𝟏
𝛼1 prend trois valeurs, 𝛼2 prend deux valeurs et 𝛼3 prend deux valeurs.
Donc 3 × 2 × 2 = 12.
Il y a 12 diviseurs pour 𝟑𝟒𝟎.
L’arbre nous permet de déterminer tous ses diviseurs :
𝑫 = {𝟏; 𝟐; 𝟒; 𝟓; 𝟏𝟎; 𝟏𝟕; 𝟐𝟎; 𝟑𝟒; 𝟔𝟖; 𝟖𝟓; 𝟏𝟕𝟎; 𝟑𝟒𝟎}
𝒏𝟐= 𝟏𝟐𝟕 est un nombre premier, il n’admet donc que deux diviseurs positifs.
𝑫 = {𝟏; 𝟏𝟐𝟕}
𝒏𝟑= 𝟐 𝟒𝟎𝟏
On détermine la décomposition de 𝑛3 :
𝒏𝟑= 𝟕𝟒
Les diviseurs de 2 401 sont de la forme :
7𝛼1
où : 𝟎 ≤ 𝜶𝟏≤ 𝟒
𝜶𝟏 prend cinq valeurs. Il y a cinq diviseurs pour 𝟐 𝟒𝟎𝟏.
L’arbre nous permet de déterminer tous ses diviseurs :
𝑫 = {𝟏; 𝟕; 𝟒𝟗; 𝟑𝟒𝟑; 𝟐𝟒𝟎𝟏}
V. Nombres de Mersenne
On appelle nombres de Mersenne, les nombres 𝑴𝒏 de la forme : 𝑴𝒏 = 𝟐𝒏− 𝟏 avec 𝒏 ∈ ℕ∗
1. Calculons les 6 premiers nombres de Mersenne : 𝑀1 = 21− 1 = 1
𝑀2 = 22− 1 = 3 𝑀3 = 23− 1 = 7 𝑀4 = 24− 1 = 15 𝑀5 = 25− 1 = 31 𝑀6 = 26− 1 = 63
On constate que pour 𝑛 égaux à 2; 3 ; 5 les nombres de Mersenne sont premiers.
Est-ce que si 𝑛 est premier, 𝑀𝑛 est premier ?
Remarque :
Le 17 décembre 2018, un record a été battu, celui du plus grand nombre premier connu :
𝟐
𝟖𝟐 𝟓𝟖𝟗 𝟗𝟑𝟑− 𝟏
qui possède près de 25 millions de chiffres en écriture décimale ! ll a été trouvé par le Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS) Les onze plus grands nombres premiers connus sont de
Mersenne, le 12ème n’est pas de Mersenne.
2. Montrons que si 𝒏 n’est pas premier alors 𝑴𝒏 ne l’est pas non plus.
Pour rappel : 𝑥𝑛− 1 = (𝑥 − 1)(𝑥𝑛−1+ 𝑥𝑛−2+ ⋯ + 𝑥 + 1)
Si 𝑛 n’est pas premier, alors il existe 𝑑, diviseur de 𝑛 tel que : 𝑛 = 𝑑 × 𝑞 où 𝑞 > 1.
Factorisons 𝑀𝑛:
𝑀𝑛 = 2𝑛− 1 = 2𝑑×𝑞− 1 = (2𝑑)𝑞− 1
= (2𝑑 − 1) × [(2𝑑)𝑞−1+ (2𝑑)𝑞−2+ ⋯ + 2𝑑+ 1]
Donc 2𝑑− 1 est un diviseur de 𝑀𝑛 et donc 𝑀𝑛 n’est pas premier.
Conclusion : si 𝑛 n’est pas premier alors 𝑀𝑛 ne l’est pas non plus.
On peut alors utiliser la contraposée : Si 𝑀𝑛 est premier alors 𝑛 l’est également.
3. La réciproque est-elle vraie ?
La réciproque est fausse, ce qui ne permet pas de trouver un nombre premier aussi grand que l’on souhaite. Exemple : si 𝑛 = 11 alors 𝑀11 = 211− 1 = 2 047 or 2 047 = 23 × 89.
𝑀11 n’est pas premier mais 11 l’est.
