Méthodes Econométries
Module M2:
-Econométrie I
2015-16
Parcours :
Economie et Gestion
S6 -Section B-
Vol. Horaire : 50h = 34 C + 12.5 Td +3.5 éval
1 TOUIJAR
2 TOUIJAR
La naissance de l'économétrie moderne
L'économétrie moderne est née à la fin des années 30 et pendant les années 40. Elle est la résultante de trois
phénomènes : le développement de la théorie de l'inférence statistique à la fin du XIX ème siècle ; la théorie macro-
économique et la comptabilité nationale qui offrent des agrégats objectivement mesurables ( contrairement à la agrégats objectivement mesurables ( contrairement à la
microéconomie fondée sur l'utilité subjective ) ; enfin, et surtout , la forte demande de travaux économétriques, soit de la part d'organismes publics de prévision et de planification , soit de la part d’entreprises qui ont de plus en plus besoin de modéliser la demande et leur environnement économique général. A
partir des années 60, l'introduction de l'informatique et des logiciels standardisés va rendre presque routinière l'utilisation
de l'économétrie . TOUIJAR 3
La naissance de l'économétrie moderne
En simplifiant de façon sans doute abusive l'on peut distinguer deux grandes périodes de la recherche économétrique moderne . Jusqu'à la fin des années 70 l'économétrie va étudier la spécification et la
solvabilité de modèles macroéconomiques à solvabilité de modèles macroéconomiques à
équations simultanées . Puis à la suite de ce que l'on a appelé la révolution des anticipations rationnelles et de la critique de Lucas, la recherche se tournera
davantage vers la microéconomie et l'analyse des séries temporelles .
4 TOUIJAR
Introduction générale
L’économétrie est la branche des sciences économiques qui traite des modèles et des méthodes mathématiques appliquées aux grandeurs et variations économiques.
Le calcul infinitésimal, les probabilités, la statistique, et la théorie des jeux, ainsi que d’autres domaines des
la théorie des jeux, ainsi que d’autres domaines des
mathématiques, sont utilisés pour analyser, interpréter et prévoir divers phénomènes économiques tels que les variations de prix sur le marché, l’évolution des coûts de production, le taux de croissance, le niveau du
chômage, les variations du taux de change, les grandes tendances de l’économie à court et moyen terme qui
permettent d’orienter la conduite d’une politique
économique. TOUIJAR 5
Introduction générale
Les modèles utilisés ne permettent pas de prévoir, au sens strict, l’évolution des
phénomènes économiques, mais davantage de construire des hypothèses et d’extrapoler des construire des hypothèses et d’extrapoler des tendances futures à partir d’éléments actuels.
6 TOUIJAR
PROGRAMME DE CE SEMESTRE
Chapitre 0: Rappel sur les Tests
d’Hypothèses et moments
conditionnelsChapitre 1: Introduction au modèle de régression linéaire simple
Chapitre 2: Le modèle
de régression linéaire multiple
TOUIJAR 7BIBLIOGRAPHIE
Titre Auteurs
CodeECONOMETRIE
William Greene ECONOMETRIE : Théorie et
techniques de base- exercices
M.Cohen- J.Pradel techniques de base- exercices J.Pradel ECONOMETRIE : manuel et exercices
corrigés R.Bourbonnais
Probabilités-Analyse des données et
statistique G.Saporta
ECONOMETRIE : Le modèle linéaire
général F.B. doucouré Econ:46
8 TOUIJAR
CH 0
Rappels
II
LES TESTS
STATISTIQUES
9 TOUIJAR
Introduction
Soit X1, X2, …, Xn un échantillon aléatoire
relatif à la V.A. parente X de loi LLLL (θθθθ), où est un paramètre réel inconnu.
Le semestre précédent, on cherchait à estimer
Θ
θ ∈
Le semestre précédent, on cherchait à estimer θθθθ. Mais il arrive qu’on ait une idée préconçue sur sa valeur:
On désire alors tester la validité de cette
hypothèse, en la confrontant à une hypothèse alternative.
θ
0θ =
10 TOUIJAR
Cette dernière exprime une
tendance différente au sujet du paramètre.
Exemple :
Est-ce que le taux de
chômage au Maroc est p ?
chômage au Maroc est p
0?
Est-ce que l’espérance de vie au Maroc est µµµµ
0000?...ou a
augmenté ?
11 TOUIJAR
Méthodologie du test d’hypothèse
On suppose que Θ est partitionné en Θ0 et Θ1:
et Θ1:
Ø
Exprimons le fait que par
l’hypothèse
H
0 et le fait que parH
1= Θ
Θ Θ
Θ
=
Θ
0∪
1et
0∩
1Θ
0θ ∈
Θ
1θ ∈
12 TOUIJAR
H
0 : « »H
1 : « »Θ
0θ ∈
Θ
1θ ∈
13 TOUIJAR
H
0 : s’appelle l’hypothèse nulle.H
1 : s’appelle l’hypothèse alternative. Si Θ0 se réduit au seul pointθθθθ
0000:Θ
0= { } θ
0 Si Θ0 se réduit au seul pointθθθθ
0000:H
0 devientH
0: « »
et sera appelée l’hypothèse simple.0θ θ =
{ }
00
= θ
Θ
14 TOUIJAR
Soit l’hypothèse simple
H
0: « »
SiH
1 est telle queH
1: « » ; alors on dit que le test est unilatéral à droite:θ
0θ >
θ
0θ =
droite:
>
=
"
:"
#
"
:"
. .
.
0 1
0 0
θ θ
θ θ
H H D
U T
15 TOUIJAR
Si H1 est telle que H1: « » ; alors on dit que le test est unilatéral à gauche:
θ
0θ <
H :" θ = θ "
<
=
"
:"
#
"
:"
. .
.
0 1
0 0
θ θ
θ θ
H H G
U T
16 TOUIJAR
Si H1 est telle que H1: « » ; alors on dit que le test est bilatéral :
θ
0θ ≠
H 0 :" θ = θ 0 "
≠
=
"
:"
#
"
:"
. .
0 1
0 0
θ θ
θ θ
H H B
T
17 TOUIJAR
• Définition:
Un test d’hypothèse, est une règle de décision permettant, au vu de la réalisation ( x1, x2, …, xn ) de l’E.A., de répondre à la question « dans lequel des deux sous ensemble se trouve θθθθ ? »• Cette règle de décision peut
conduire à deux types d’erreurs:
18 TOUIJAR
• On rejette H0 alors que H0 est vraie:
RH0/H0vraie
• On l’appelle « erreur de première espèce »
• On ne rejette pas H0 alors que H1 est
vraie: 0 1
vraie:
NRH0/H1vraie;
• c’est « l’erreur de seconde espèce ».
• On définit alors la probabilité de commettre l’une ou l’autre erreur:
19 TOUIJAR
• 1)-
• C’est le risque de première espèce.
• 2)-
( RH
0H
0Vraie ) P
0( RH
0)
P =
α =
• 2)-
• C’est le risque de seconde espèce.
( NRH
0H
1Vraie ) P
1( NRH
0)
P =
β =
20 TOUIJAR
• Voici un tableau résumant toutes les situations
Décision
Réalité
RH
0NRH
0H0 Vraie Erreur de 1ère espèce
Bonne Décision
H1 Vraie Bonne Décision Erreur de 2ème espèce
21 TOUIJAR
Procédure à suivre
1- définir le paramètre θ à tester
2- Formuler les deux hypothèses H0 et H1 3- Préciser le Genre du test
4- Choisir la Statistique du test
4- Choisir la Statistique du test (bon estimateur de θ)
5- Préciser la loi de la statistique sous H0 6- Ecrire la règle de Décision
7- Faire l’application numérique et décider 8- Conclure
22 TOUIJAR
1Test Unilatéral à gauche pour la proportion
•i) Formulation des hypothèses
I- Tests Relatifs à Une Proportion
H :" p = p "
<
=
"
:"
#
"
:"
. .
.
0 1
0 0
p p
H
p p
H G
U T
23 TOUIJAR
Procédure à suivre
1- paramètre p=θ à tester
2- Formulation des deux hypothèses 3- TUG pour la proportion
4-
4- F est un bon estimateur de p
5- si le T.C.L. est vérifié sous H0 alors
0 0 0
F p
Z p q
n
= −
24 TOUIJAR
1Test Unilatéral à gauche pour la proportion
R.D
I- Tests Relatifs à Une Proportion
< = 0 − 0 0 on rejette H0 n
q z p
p c
f
Si α α
En effet : - Notation :
−
=
≥
−
=
<
0 0
0 0
0 0
H pas rejette
ne on
H rejette on
n q z p
p c
f Si
z n p
c f
Si
α α
α α
25 TOUIJAR
π 2 1
Courbe de densité de la loi normale
centrée réduite
( )
1
où
P Z z et
où z z
α
α α
α
−
> + =
= −
0 0 0
F p
Z p q
n
= −
1- αααα
αααα+zαααα
Z
0 TOUIJAR 26
cαααα p0
R0
R0
n q zα p0 0
( ) ( )
n q z p
p c
z n
q p
p c
n q p
p c
n q p
p P F
c F
P RH
P
0 0 0
0 0
0
0 0
0 0
0
0 0
0 0
0
α α
α α
α α
α
−
=
− ⇒
− =
⇒
− < −
=
<
=
=
27 TOUIJAR
Loi de F sous H1
Loi de F sous H0
p1111 cαααα p0000
F
αααα
p1 cαααα p0000
ββββ
28 TOUIJAR
• Remarque : Les logiciels utilisent souvent
le niveau de signification
αααα
0000 (p-value
)d’une réalisation de : c’est le plus petit αααα à partir du quel on ne peut plus rejeter H0 :
( )
00
F < f = α
P
f F
Si dans notre exemple on suppose que n=100, p0=0.75
Alors :
Le test est donc significatif à 5%
( )
00
65 ,
=0
( )
f( 2 , 309 ) 1 %
0 0 0
=
−
<
=
<
=
Z P
f F
α P
Signe de la région de Rejet
29 TOUIJAR
αααα0000 P-value Interpretation
αααα0000 <<<< 0,01 very strong evidence against H0
0,01 ≤≤≤≤ αααα0000 <<<< 0,05 moderate evidence against H0 0,05 ≤ ≤ ≤ ≤ αααα0000 <<<< 0,10 suggestive evidence against H0
0,10 ≤≤≤≤ αααα0000 little or no real evidence against H0
30 TOUIJAR
• 2- Test Unilatéral à droite pour la proportion
• i)-F.H.
• ii)
si le T.C.L. est vérifié sous H alors la
>
=
"
:"
#
"
:"
. .
.
0 1
0 0
p p
H
p p
H D
U T
• ii)
si le T.C.L. est vérifié sous H0 alors la règle de décision devient :R.D
+
=
≤
+
=
>
0 0
0 0
0 0
0 0
H pas rejette
ne on
H rejette on
n q z p
p c
f Si
n q z p
p c
f Si
α α
α α
31 TOUIJAR
p0 cαααα
R0 R0
n q zα p0 0
F En effet :
( ) ( )
0 00 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0
0 0 0
F p c p
P RH P F c P
p q p q
n n
c p z c p z p q
p q n n
α α
α α α α
α
− −
= = > = >
⇒ − = + ⇒ = +
32 TOUIJAR
• Remarque :
Lap-value
ici vaut :Si on teste p = 0,75 # p > 0,75 et si n=100
Alors :
( F f )
P >
=
0α
065 ,
= 0 f
Alors :
Le test n’est donc pas significatif à 5% ni à 95%
( )
( 2 , 309 ) 99 %
0 0 0
=
−
>
=
>
=
Z P
f F
α P
33 TOUIJAR
3- Test Bilatéral pour la proportion
• Si T.C.L.
On adopte la Règle de
F.H
≠
=
"
:"
#
"
:"
. .
0 1
0 0
p p
H
p p
H B
T
• Si T.C.L.
On adopte la Règle de décision suivante :
R.D
[ ]
[ ]
∈
∉
0 2
1
0 2
1
H pas
rejette ne
on
;
H rejette
on
; c c
f Si
c c
f Si
34 TOUIJAR
or
c1 p0 c2 R0
R0 R0
[ ] [ ]
[
c c]
f p cf où d
c p
f c
p c
p f
c c
f
>
−
⇔
∉
≤
−
⇔ +
−
∈
⇔
∈ 1 2 0 0 0
, '
, ,
[
c c]
f p cf où
d ' ∉ 1, 2 ⇔ − 0 >
( ) ( )
n q z p
c z
n q p
c
n q p
c n
q p
p P F
c p
F P
RH P
0 0 2
0 2 0
0 0 0
0
0 0
0 0
0 0
α α
α
=
= ⇒
⇒
− >
=
>
−
=
=
35 TOUIJAR
• D’où:
• R.D
≤
−
>
−
0 0
0 2
/ 0
0 0
0 2
/ 0
H pas rejette
ne on z
H rejette on
z
n q p p
f Si
n q p p
f Si
α α
• Ou
• avec
/ 2 0
/ 2 0
z on rejette H
z on ne rejette pas H Si z
Si z
α α
>
≤
0 0 0
f p z p q
n
= −
36 TOUIJAR
Remarque
Si on teste p = 0,75 # p ≠ 0,75 et si F vaut , alors lap-value
vaut ici :
0
0 0
0 0
0 , 7 5 0 , 7 5 0 , 2 5
F p f
P p q
α
− −
= >
×
65 ,
= 0 f
Le test est donc significatif à 5% et même à 2,5%
( ) ( )
0 0
0 0
1 0 0
2 , 3 0 9 2 2 , 3 0 9
2 1 % 2 %
n
P Z P Z
= > + = × > +
= × =
37 TOUIJAR
II- Tests Relatifs à Une Moyenne
• 1- Test Unilatéral à droite pour la moyenne
• Question : est-ce que l’espérance de vie
• Question : est-ce que l’espérance de vie des marocains a augmenté depuis le
dernier recensement ?
• Pour répondre à cette question, on doit confronter 2 hypothèses:
38 TOUIJAR
•
i
)-•
ii
)-On adopte ensuite une Règle dedécision basée sur la statistique et qui
X
>
=
"
:"
#
"
:"
. .
.
0 1
0 0
µ µ
µ µ
H H D
U T
décision basée sur la statistique et qui répondra à la question: à partir de quelle réalisation de décidera-t-on du rejet de H0 pour un risque α ?
X X
≤ >
0 0
H pas
rejette ne
on
H rejette
on
c x
Si
c x
Si
39 TOUIJAR
• 1)- Détermination de
c
en fonction du risque αααα :a)Si σσσσ est connu et (X est normale ou )
( )
c −µ
≥ 30 n
( ) ( )
> × −
=
>
=
=
σ
α
P0 RH0 P0 X c P0 Z n cµ
0z n c
z
c n µ σ
σ
µ × =
α⇒ = +
α⇒ −
0 0
40 TOUIJAR
D’où la règle de décision :
> =
0+ on rejette H
0z σ n
µ
αc
αx Si
+
=
≤
+
=
>
0 0
0 0
H pas rejette
ne on n
z
H rejette on
n z
µ σ µ
α α
α α
c x
Si
c x
Si
41 TOUIJAR
b)Si σσσσ est inconnu et X est normale; on a la règle de décision :
+
=
≤
+
=
>
−
−
0
; 1 0
0
; 1 0
H pas
rejette ne
on n
t
H rejette
on n
t c s
x Si
c s x
Si
n n
α α
α α
µ µ
c)Si σσσσ est inconnu et ; on a la règle de décision :
≥ 50 n
+
=
≤
+
=
>
0 0
0 0
H pas rejette
ne on n
z
H rejette on
n z
c s x
Si
c s x
Si
α α
α α
µ µ
42 TOUIJAR
II- Tests Relatifs à Une Moyenne
• 2- Test Unilatéral à gauche pour la moyenne
On doit confronter les deux hypothèses suivantes
suivantes
i )-
<
=
"
:"
#
"
:"
. .
.
0 1
0 0
µ µ
µ µ
H H G
U T
43 TOUIJAR
•
ii
)-On adopte ensuite une Règle dedécision basée sur la statistique et qui répondra à la question: à partir de quelle réalisation de décidera-t-on du rejet de H0 ?
X X
Si x < c on rejette H
0•De la même façon que précédemment, on a les règles de décision selon les cas :
≥ <
0 0
H pas
rejette ne
on
H rejette
on
c x
Si
c x
Si
44 TOUIJAR
a)Si σσσσ est connu et (X est normale ou )
n ≥ 30
−
=
≥
−
=
<
0 0
0 0
H pas rejette
ne on n
z
H rejette on
n z
µ σ µ σ
α α
α α
c x
Si
c x
Si
b)Si σσσσ est inconnu et X est normale; on a la règle de décision :
−
=
≥
−
=
<
−
−
0
; 1 0
0
; 1 0
H pas
rejette ne
on n
t
H rejette
on n
t c s
x Si
c s x
Si
n n
α α
α α
µ µ
45 TOUIJAR
c)Si σσσσ est inconnu et ; on a la règle de décision :
≥ 50 n
−
=
≥
−
=
<
0 0
0 0
H pas rejette
ne on n
z
H rejette on
n z
c s x
Si
c s x
Si
α α
α α
µ µ
II- Tests Relatifs à Une Moyenne
3- Test Bilatéral pour la moyenne
i)-
≠
=
"
:"
#
"
:"
. .
0 1
0 0
µ µ
µ µ
H H B
T
46 TOUIJAR
ii
)-On adopte la Règle de décision suivante :[ ]
[ ]
∈
∉
0 2
1
0 2
1
H pas
rejette ne
on
;
H rejette
on
; c c
x Si
c c
x Si
c1 µµµµ0 c2 R0
R0
1 2 0R0
47 TOUIJAR
D’où la règle de décision suivante
[ ]
c x
c x
c
c x
c c
x c
c c
x
≤
−
⇔ +
≤
−
≤
−
⇔
+
≤
≤
−
⇔
≤
≤
⇔
∈
0 0
0 0
2 1
2 1
;
µ µ
µ µ
≤
−
>
−
0 0
0 0
H pas
rejette ne
on
H rejette
on
c x
Si
c x
Si
µ µ
48 TOUIJAR
On a les règles de décision selon les cas :
a)Si σσσσ est connu et (X est normale ou )
n ≥ 30
σ
≤
−
>
−
0 2
/ 0
0 2
/ 0
H pas rejette
ne on n
z
H rejette on
n z
µ σ µ σ
α α
x Si
x Si
49 TOUIJAR
b)Si σσσσ est inconnu et X est normale
≤
−
>
−
−
−
0 2
/
; 1 0
0 2
/
; 1 0
H pas rejette
ne on n
t
H rejette on
n t
x s Si
x s Si
n n
α α
µ µ
c)Si σσσσ est inconnu et ; on a
n ≥ 50
≤
−
>
−
0 2
/ 0
0 2
/ 0
H pas
rejette ne
on n
z
H rejette on
n z
x s Si
x s Si
α α
µ µ
50 TOUIJAR
III- Tests Relatifs à Une Variance
• Dans ce paragraphe on supposera la normalité de la population
• 1- Test Unilatéral à droite pour la
• 1- Test Unilatéral à droite pour la variance
>
=
"
:"
#
"
:"
. .
.
2 0 2
1
2 0 2
0
σ σ
σ σ
H H D
U T
51 TOUIJAR
RD. 2
0 2
0
on rejette H
on ne rejette pas H Si s c
Si s c
α α
>
≤
αααα
χχχχ2 (n-1)
χ2 (n-1) sous H0
χχχχn−−−−1111;α;α;α;α
αααα
Y ( ) 22
0
1 S
Y n
= − σ
(
2 1;)
2 02 2 1; 02 2 1;0 0
1 1
n n n
P Y P S c
n n
α σ α α σ α
α = > χ − = > − χ − ⇒ = − χ −
2
52 TOUIJAR
De la même façon que précédemment, on a les règles de décision selon les cas : a)Si µµµµ est inconnue
La statistique utilisée est S2; d’où la R.D.
est : est :
≤ −
> −
−
−
0 2
2 0
; 1 2
0 2
2 0
; 1 2
H pas
rejette ne
on 1
H rejette
on 1
s n Si
s n Si
n n
χ σ χ σ
α α
53 TOUIJAR
2- Test Unilatéral à gauche pour la variance
<
=
"
:"
#
"
:"
. .
.
2 0 2
1
2 0 2
0
σ σ
σ σ
H H G
U T
R.D. (pour µµµµ inconnue)
≥ −
< −
−
−
−
−
0 2
2 0
1
; 1 2
0 2
2 0
1
; 1 2
H pas
rejette ne
on 1
H rejette
on 1
s n Si
s n Si
n n
χ σ χ σ
α α
54 TOUIJAR
3- Test Bilatéral pour la variance
=
#
"
:"
. .
2 0 2
0
σ σ
H B
T
≠ "
:"
# .
.
2 0 2
1
σ σ
H B
T
55 TOUIJAR
Si
µµµµ est inconnue
−
∉
− −−
−0
2 2 0
2 /
; 1 2
2 0
2 / 1
; 1 2
H rejette
on
1
1 ; n
s n
Si χ
n ασ χ
n ασ
−
∈
− −−
−0
2 2 0
2 /
; 1 2
2 0
2 / 1
; 1 2
0
H pas
rejette ne
on
; 1
1 n
s n
Si χ
n ασ χ
n ασ
56 TOUIJAR
• 1- Test Bilatéral de
comparaison de 2 Variances :
• On suppose la normalité des 2 populations
• F.H.
2
: 1 1
H
σ
=
• F.H. 0 1 2
2 2 2
0 1 2
2 2
1 1 2 2
1 2
1
2
: 1
:
# #
:
: 1
H H
H
H
σ σ σ σ
σ σ
σ σ
=
=
⇔
≠
≠
57 TOUIJAR
Cas où µµµµ est inconnue
• Rapport critique (sous H0):
Si s12 > s22
Sinon et F.H. devient alors
2 2
2 1
S Rc = S
2 2
2 1 c
R S
= S
2
2 2
0
1 2
2 2
1
1
: 1
: 1
H H
σ σ σ σ
=
≠
• Loi de Rc sous H0 : Rc
58 TOUIJAR
↝ ℱ
1,
2• R.D.
( ) ( )
[ ]
( ) ( )
[ H ]
rejette on
;
;
;
0
2 1
2 / 2
1 2
/ 1
∈
∉
−c
F F
R Si
ν ν
ν ν
ν ν
ν
ν
αα
( ) ( )
[ ]
1
H pas
rejette ne
on
;
;
;
0
2 1
2 / 2
1 2
/ 1
−
=
∈
−i i
c
n où
F F
R Si
ν
ν ν
ν
ν
αα
59 TOUIJAR
2-
Test Bilatéral de comparaison de 2 moyennes
≠
−
=
⇔ −
≠
=
0 :
#
0 :
:
#
:
2 1
1
2 1
0
2 1
1
2 1
0
µ µ
µ µ
µ µ
µ µ
H H H
H
• On propose comme estimateur de µµµµ1111−−−−µµµµ2222 :
a)Si σσσσ1111 et σσσσ2222 connus et (X1 normale ou ) et (X2 normale ou )
H
1: µ
1≠ µ
2
1 1 22
1
X
X −
1
≥ 30 n
2
≥ 30
n
60TOUIJAR
R.D.
− > +
02 2 2 1
2 1 2
/ 2
1
on rejette H
n
z σ n σ
x
αx Si
+
≤
−
0
2 2 2 1
2 1 2
/ 2
1
H pas
rejette ne
on n
z σ n σ
x
αx Si
61 TOUIJAR
b)Si σσσσ1111 et σσσσ2222 inconnus mais égales et X1 et X2 normales, alors la R.D. est la suivante :
− >
+ −+
2 1
2
; 2 / 2
1
H rejette
on
n 1 n
ˆ 1 t
1 2s x
x
Si
α n n
+
≤
−
+ −0
2 1
2
; 2 / 2
1
0
H pas
rejette ne
on
n 1 n
ˆ 1 t
H rejette
on
2
1
s
x x
Si
α n n62 TOUIJAR
•Où
( ) ( )
( 1 1 ) ( 1 1 )
ˆ
2 1
2 2 2
2 1 2 1
− +
−
− +
= −
n n
S n
S S n
•c)Si σσσσ1111 et σσσσ2222 inconnus et , alors la R.D. est la suivante :
1
≥ 50
n n
2≥ 50
63 TOUIJAR
− > +
02 2 2 1
2 1 2
/ 2
1
on rejette H
n
z n s s
x x
Si
α
+
≤
−
0
2 2 2 1
2 1 2
/ 2
1
H pas
rejette ne
on n
z n s s
x x
Si
α64 TOUIJAR
CH 0
Rappels II
II
Moments Conditionnels
65 TOUIJAR
