Robotique Manipulation et commande

(1)

Robotique

Manipulation et commande

Université de Strasbourg

Telecom Physique Strasbourg, option ISAV Master IRIV, parcours AR

Jacques Gangloff

(2)

Plan du chapitre

  Conventions

  1. Positionnement

◦  1.1. Rotation

◦  1.2. Décompositions de la rotation

◦  1.3. Attitude

◦  1.4. Matrice homogène

  2. Cinématique

◦  2.1. Vitesse d’un solide indéformable

◦  2.2. Vecteur vitesse de rotation

◦  2.3. Mouvement rigide

◦  2.4. Torseur cinématique

(3)

Conventions

Ri Rep`ere num´ero i

P Point

iP Coordonn´ees de P dans le rep`ere i

�

v ou v Vecteur

iv Coordonn´ees de �v dans le rep`ere i

−−→OP ou OP Vecteur

i(OP) Coordonn´ees de −−→

OP dans le rep`ere i

�

u ×�v Produit vectoriel

�

u ·�v Produit scalaire

0R01 ou R01 Rotation du repère 0 vers le repère 1 exprimée dans 0^∗

0M01 ou M01 Matrice homogène du repère 0 vers le repère 1 exprimée dans 0^∗

∗ Si le nombre de repères dépasse 10, mettre un espace entre les 2 numéros comme dans M12 13.

(4)

1. Positionnement

1.1. Rotations : le cas 2D

  Représentation de la rotation :

x1

y1

x0

y0

sin! cos!

!sin" cos!

! R0

R1

x1

y1

R₀₁ = cos! "sin! sin! cos!

#

$%

&

'(

0

x1 ⁰ y₁

(5)

1. Positionnement

  Propriétés :

  Ce type de matrice 2x2 appartient au

groupe spécial orthogonal d’ordre 2 noté SO(2)

R₀₁ = cos! "sin! sin! cos!

#

$%

&

'( ) det

{ }

R₀₁ ⁼ ^cos²^! ⁺ ^sin²^! ⁼ ¹

) R^"₀₁¹ = cos! sin!

"sin! cos!

#

$%

&

'( = R^T₀₁ = R₁₀

(6)

1. Positionnement

  Changement de repère :

x₀ y₀

x₁ y₁

1x_P

1P

1x_P

1y_P

!

"

##

$

%

&

1P

1x_P

1y_P

!

"

##

$

%

&

0P

0x_P = ¹x_P cos' ( ¹y_P sin'

0 y_P = ¹x_P sin' + ¹y_P cos'

!

"

##

$

%

&

) ⁰P = R₀₁¹P

1y_P

!

(7)

1. Positionnement

  Opérateur de rotation :

x₀ y₀

!

v!

!! v

y₁

x₁

!"

0v!! = ¹v! = R₁₀ ⁰v! = R_" ⁰v!

(8)

1. Positionnement

  Composition :

◦  Transformation de coordonnées :

◦  Opérateur de rotation :

R₀ R₁

R₂ P

1P = R₁₂ ²P

0P = R₀₁¹P

! ⁰P = R₀₁R₁₂ ²P = R₀₂ ²P

R₀

!₁

!₂ v!₀ v!₁ v!₂

v!₁ = R_!

1

v!₀ v!₂ = R_!

2

v!₁

" v!₂ = R_!

2R_!

1

v!₀

(9)

1. Positionnement

1.1. Rotations : généralisation à la 3D

  Positionnement :

R₀

R₁

x₁ y₁

z₁

x₀ y₀

z₀ R₀₁ =

(

⁰x₁ ⁰ y₁ ⁰z₁

)

det

{ }

R₀₁ ⁼ ¹ R₀₁^!¹ = R^T₀₁ = R₁₀ R₀₁ "SO(3)

(10)

1. Positionnement

  Changement de repère :

R₀

R₁

x₁ y₁

z₁

x₀ y₀

z₀

P

0P = R₀₁¹P

1P = R₁₂ ²P

0P = R₀₁¹P

! ⁰P = R₀₁R₁₂ ²P = R₀₂ ²P

(11)

1. Positionnement

  Opérateur de rotation :

◦  Ex : rotation de v autour de y :

◦  Autres rotations élémentaires :

!

!"

v!

R₀

R₁

x₀ y₀

z₀ x₁ y₁

z₁ R₍_y

0,!⁾ = R₁₀ =

c! 0 s!

0 1 0

"s! 0 c!

#

$

%%

&

' ((

0v =) R₁₀ ⁰v = R₍_y

0,!⁾ 0v

cos! sin!

R₍_x

0,!) = 1 0 0

0 c! "s! 0 s! c!

#

$

%%

&

'

(( R₍_z

0,!) = c! "s! 0 s! c! 0

0 0 1

#

$

%%

&

' ((

(12)

1. Positionnement

  Opérateur de rotation : cas général

◦  Rotation de v autour de h d’un angle θ :

◦  Méthode :

  Transformer v par une rotation qui amène h sur x

  Faire la rotation de θ autour de x

  Faire la transformation inverse pour ramener h à sa position initiale

! !

h v!

!

! x

y z

R₍_h,_!₎ = R₍_x_,_"₎R₍_y_,_#₎R₍_x_,_!₎R₍_y_,_$_#₎R₍_x_,_$_"₎

(13)

1. Positionnement

  Avec :

  Et :

R₍_h,_!₎ =

h_x²v_! + c! h_xh_yv_! " h_zs! h_xh_zv_! + h_ys! h_xh_yv_! + h_zs! h_y²v_! + c! h_yh_zv_! " h_xs_! h_xh_zv_! " h_ys! h_yh_zv_! + h_xs! h_z²v_! + c!

#

$

%%

&

' (( ((

v_! =1" c_! h = # h_x h_y h_z

$% &

'(

T

(14)

1. Positionnement

1.1. Rotations : résumé

  Propriétés :

◦  Ortho-normalité :

  La norme des vecteurs lignes et des vecteurs colonne est égale à 1.

  Les vecteurs ligne et les vecteurs colonne sont orthogonaux deux à deux.

◦  L’inverse est égale à la transposée.

◦  Le déterminant est égal à 1.

◦ 

◦  Pas commutatif :

R₀₂ = R₀₁R₁₂ R₍_h

1,!₁⁾⁽^h₂^,!₂⁾ = R₍_h

2,!₂⁾R₍_h

1,!₁⁾

R⁰¹R₁₂ ! R₁₂R₀₁

(15)

1. Positionnement

1.2. Représentations de la rotation : introduction

  Soit R, une matrice de rotation :

◦  R comprend 9 termes

◦  Il y a 6 relations

indépendantes entre ces termes :

◦  Il n’y a donc que 3 termes indépendants.

R =

r₁₁ r₁₂ r₁₃ r₂₁ r₂₂ r₂₃ r₃₁ r₃₂ r₃₃

!

"

##

$

%

&

= ! r_x r_y r_z

"# $

%&

r_x !r_y = 0 r_x !r_z = 0 r_y !r_z = 0 r_x = r_y = r_z = 1

(16)

1. Positionnement

1.2. Représentations de la rotation : angle/axe

  Paramétrage angle/axe :

  Toute rotation peut être représentée par un axe de rotation défini par un vecteur unitaire h autour duquel on effectue une rotation θ.

  Le vecteur θh définit entièrement la rotation.

! h!

! = arccos r₁₁ + r₂₂ + r₃₃ "1 2

#

$%

&

'( h = 1

2sin!

r₃₂ " r₂₃ r₁₃ " r₃₁ r₂₁ " r₁₂ )

* ++ ++ +

,

- .. .. .

(17)

1. Positionnement

1.2. Représentations de la rotation : quaternions

  La rotation est parfois représentée par un quaternion unitaire :

◦  Soit :

◦  Le quaternion p équivalent est défini par :

◦  Avec :

!h = ! " h_x h_y h_z

#$ %

&'

T

p = ! p₀ p₁ p₂ p₃

" #

$

T =

cos%

2 sin%

2 h_x sin%

2 h_y sin% 2 h_z

!

"

& #

$'

T

p = 1

(18)

1. Positionnement

1.2. Représentations de la rotation : angle/axe, exercice

  Trouver le paramétrage angle/axe de la rotation entre les repères R₀ et R₁ :

x⁰

z⁰

y⁰

45^° x₁ z₁

y₁ R⁰ R₁

(19)

1. Positionnement

1.2. Représentations de la rotation : roulis, tangage, lacet

  Définition :

◦  3 rotation successives

autour des axes x (roulis, roll), y (tangage, pitch), et z (lacet, yaw) de R₀.

◦  Il existe des définitions alternatives des noms des axes et/ou de la rotation associée.

x y

z !_l

!_r !_t R₀₁ = R₍_z_,_!

l)R₍_y_,_!

t)R₍_x_,_!

r)

(20)

1. Positionnement

  Matrice de rotation :

R₀₁ =

c!_l "s!_l 0 s!_l c!_l 0

0 0 1

#

$

%%

%

&

' (( (

c!_t 0 s!_t

0 1 0

"s!_t 0 c!_t

#

$

%%

%

&

' (( (

1 0 0

0 c!_r "s!_r 0 s!_r c!_r

#

$

%%

%

&

' (( (

=

c!_lc!_t "s!_lc!_r + c!_ls!_ts!_r s!_ls!_r + c!_ls!_tc!_r s!_lc!_t c!_lc!_r + s!_ls!_ts!_r "c!_ls!_r + s!_ls!_tc!_r

"s!_t c!_ts!_r c!_tc!_r

#

$

%%

&

' (( ((

(21)

1. Positionnement

  Transformation inverse :

◦  Trouver θ_r, θ_t, θ_là partir des r_ij de la matrice R₀₁

◦  On définit

◦  D’où :

R₀₁ =

r₁₁ r₁₂ r₁₃ r₂₁ r₂₂ r₂₃ r₃₁ r₃₂ r₃₃

!

"

##

$

%

&

!_t = arcsin("r₃₁)

!_l = arctan 2 r₂₁

c!_t ; r₁₁ c!_t

"

#$

%

&'

!_r = arctan 2 r₃₂

c!_t ; r₃₃ c!_t

"

#$

%

&' (

)

**

+

**

pour cos!_t , 0

(22)

1. Positionnement

  Cas singulier :

◦  Roulis et lacet ont le même effet.

◦  Gimbal lock en anglais.

!_t = ± "

2

x y

z

!_l

!_r y!

!!

!_ry

!!

xy!!!

!_t = "

2 # r₁₂ = sin(!_r $!_l) r₁₃ = cos(!_r $!_l) r₂₂ = cos(!_l $!_r ) r₂₃ = sin(!_l $!_r )

%&

' ('

On choisit !_l = 0 #!_r = arctan 2

(

r₁₂,r₂₂

)

!_t = $ "

2 : !_l = 0 #!_r = $arctan 2

(

r₁₂,r₂₂

)

(23)

1. Positionnement

1.2. Représentations de la rotation : angles d’Euler

  Principe :

◦  Faire trois rotations successives d’angle α, β, γ autour des axes z, y et x du repère courant.

z⁰

x⁰ y⁰

x_a y_a

z_a

! y_b

x_b

! y₁ !

z_b z₁

x₁

(24)

1. Positionnement

  Matrice de rotation :

R₀₁ = R₀_aR_abR_b1 avec R₀_a = c! "s! 0 s! c! 0

0 0 1

#

$

%%

%

&

' (( ( R_ab =

c) 0 s)

0 1 0

"s) 0 c)

#

$

%%

%

&

' (( (

R_b1 =

1 0 0

0 c* "s* 0 s* c*

#

$

%%

%

&

' (( ( d'où : R₀₁ =

c!c) c!s)s* " s!c* c!s)c* " s!s* s!c) s!s)s* + c!c* s!s)c* " c!s*

"s) c)s* c)c*

#

$

%%

%

&

' (( (

(25)

1. Positionnement

  Transformation inverse :

R₀₁ =

r₁₁ r₁₂ r₁₃ r₂₁ r₂₂ r₂₃ r₃₁ r₃₂ r₃₃

!

"

##

$

%

&

! = arcsin("r₃₁)

# = arctan 2 r₂₁

cos! ; r₁₁ cos!

$

%&

' ()

* = arctan 2 r₃₂

cos! ; r₃₃ cos!

$

%&

' ()

+

, -- -

. -- -

pour ! / ± 0 2

! = 0

2 : # = 0 * = arctan 2(r₁₂,r₂₂)

! = " 0

2 : # = 0 * = "arctan 2(r₁₂,r₂₂)

(26)

1. Positionnement

1.3. Attitude : définition

  L’attitude du repère R₁par rapport au

repère R₀ est définie par la translation des origines et par la rotation R₀₁ :

(

^O^{! "}^!!!₀^O₁^,^R₀₁

)

O⁰

O₁

P

(27)

1. Positionnement

1.3. Attitude : représentation

  Une attitude p (pose en anglais) est définie de manière minimale par 6 paramètres : 3 pour la translation et 3 pour la rotation :

p =

T_x T_y T_z

!

"

#

$

%

&

'

( )) )) )) )) ))

3 coordonnées de translation

3 coordonnées de rotation : Angles d’Euler, angle/axe, …

(28)

1. Positionnement

1.3. Attitude : représentation

  Une attitude peut aussi être représentée par une matrice homogène.

  La matrice homogène est aussi :

  Un opérateur de changement de repère

  Un opérateur de transformation rigide

M₀₁ = R₀₁ ⁰

(

O₀O₁

)

0 0 0 1

!

"

##

#

$

%

&

Matrice homogène de transformation entre le repère R₀ et le repère R₁

(29)

1. Positionnement

1.4. Matrices homogènes : changement de repère

  On a :

  D’où : _O₀

O₁

0P = ⁰

(

O₀O₁

)

⁺ ^R⁰¹¹^P P

0P 1

!

"

# $

%& = R₀₁ ⁰

(

O₀O₁

)

0 0 0 1

!

"

##

#

$

%

&

M₀₁

!####"####$

1P 1

!

"

# $

%&' ()

*)

Coordonnées homogènes

(30)

1. Positionnement

1.4. Matrices homogènes : transformation rigide

  La matrice homogène est un opérateur de transformation rigide

  Un opérateur de transformation rigide appliqué à tous les points d’un solide ne déforme pas ce solide

  La matrice homogène applique une transformation équivalente à la

composition d’une translation et d’une rotation

(31)

1. Positionnement

1.4. Matrices homogènes : propriétés

  Inverse :

  Pas commutatif !

M⁰² = M₀₁M₁₂ Opérateur de changement de repère de coordonnées de points de R₂ vers R₀

M = R T

0 1

!

"

# $

%& ' M ⁽¹ = R^T (R^TT

0 1

!

"

# $

%&

(32)

1. Positionnement

1.4. Matrices homogènes : exercice

  Soit le robot :

  Avec :

  a₁ la distance entre l’origine de R₀ et celle de R₁

  a₂ la longueur du premier bras

  a₃ la longueur du dernier bras

  Les angles sont nuls lorsque le bras est horizontal d

!

x₁ z₁ ! y₁ x₀ z₀

y₀

x₂ y₂ z₂

! = !

(

y₀, y₁

)

" = !

(

y₁,x₂

)

d = translation suivant z₀

(33)

1. Positionnement

1.4. Matrices homogènes : exercice

  Déterminer M₀₁ , M₁₂ puis M₀₂

(34)

2. Cinématique

2.1. Vitesse d’un solide : introduction

  Soient :

  R₁ un repère lié à un solide en mouvement par rapport à un repère R₀

  M₀₁(t) la matrice homogène de transformation entre R₀ et R₁ en fonction du temps

P

R₁ R⁰

0P(t) 1

!

"

##

$

%&

& = M₀₁(t) ¹P

1

!

"

##

$

%&

&' ⁰P(t! )

1

!

"

##

$

%&

& = M! ₀₁(t) ¹P 1

!

"

##

$

%&

&

M₀₁(t) = R₀₁(t) T₀₁(t)

0 1

!

"

##

$

%&

&' ⁰P(t! ) = R!₀₁(t)¹P+T!₀₁(t) (2.1)

Vitesse de translation de O dans R

O₁

(35)

2. Cinématique

2.1. Vitesse d’un solide : exemple

  Soient :

  P un point d’un solide lié à R₁ en mouvement par

rapport à R₀

  Le mouvement est la composition d’une

translation verticale de vitesse v et d’une rotation d’axe y₀ et de vitesse ω . Pour t=0 on a R₁=R₀ .

R₁

1P =

1 0 0

!

"

##

#

$

%

&

x₁ z₁

y₁

R⁰ x⁰ z⁰

y⁰

! v

(36)

2. Cinématique

2.1. Vitesse d’un solide : exemple

  On a :

  D’où :

R₀₁(t) =

c(!t) 0 s(!t)

0 1 0

"s!t 0 c!t

#

$

%%

%

&

' ((

( T₀₁(t) =

0 vt 0

#

$

%%

%

&

' (( (

0P(t! ) =

!"s("t) 0 "c("t)

0 0 0

!"c("t) 0 !"s("t)

#

$

%%

%

&

' (( (

1 0 0

#

$

%%

%

&

' (( (

+ 0

v 0

#

$

%%

%

&

' (( (

=

!"s("t) v

!"c("t)

#

$

%%

%

&

' ((

() ⁰P(0)! =

0 v

!"

#

$

%%

%

&

' (( (

(37)

2. Cinématique

2.2. Vecteur vitesse de rotation : définition

  C’est un vecteur dont l’axe coïncide avec l’axe de rotation, qui est dirigé suivant le

« principe du tire-bouchon » et dont la norme est égale à la valeur de la vitesse angulaire.

  Note :

  Dans l’exemple précédent, le vecteur vitesse de rotation de R₁ par rapport à R₀ est dirigé suivant y₀ et a pour norme ω.

(38)

2. Cinématique

2.2. Vecteur vitesse de rotation : application

  Application :

  Trouver la vitesse du point P lié au repère R₁ qui

tourne suivant un vecteur vitesse de rotation Ω par rapport à R₀

  On a :

  De plus :

  Et le sens de v est celui de la règle des 3 doigts.

  D’où :

! !

R₁ R⁰

P v O

v = ! ! OP! "!!

!sin"

!

v ! OP! "!!

,!

( )

v = !!OP! "!!

0v₀₁^P = ⁰!! ⁰(OP) (2.2)

Vitesse de P dans le mouvement de R₁ par rapport à R₀ exprimé dans R₀