Énoncé Une corde homogène et inextensible de masse linéique

Énoncé

Une corde homogène et inextensible de masse linéique est tendue horizontalement avec une tension constante . Déplacée de sa position d'équilibre, la corde acquiert un mouvement décrit par le déplacement quasi-vertical , mesuré à partir de la position d'équilibre. À l'instant , la tension , exercée par la partie de la corde à droite d'un point d'abscisse sur la partie gauche de la corde à gauche de , fait un petit angle par rapport à l'horizontale (voir Figure 1). On négligera les effets de la force de pesanteur et des forces de frottements devant celui de la force de tension.

schéma représentant la corde à l'équilibre et en mouvement

1. En considérant un tronçon infinitésimal de la corde compris entre et , montrer que 2. Montrer que le déplacement transversal obéit à l'équation d'onde :

Exprimer c en fonction de et .

3. La corde semi-infinie est le siège de la propagation d'une onde progressive sinusoïdale, de pulsation , se déplaçant dans le sens des croissants telle que :

.

3.a) En vérifiant que cette onde est effectivement solution de l'équation d'onde, donner l'expression de la relation de dispersion et de la vitesse de phase.

3.b) Calculer numériquement la vitesse de phase avec et .

schéma d'un tronçon de la corde avec bilan des forces 1. Voir figure 2.

En appliquant le principe fondamental de la dynamique sur le tronçon, il vient : Après projection sur l'axe horizontal , on obtient :

Le mouvement de la corde étant quasi-vertical, l'accélération selon est quasi-nulle : , alors

De plus, les angles étant petit ( ) :

Donc, la projection sur des vecteurs tensions est environ égale à leur norme Finalement :

2. Voir figure 2.

En appliquant le principe fondamental de la dynamique sur le tronçon, il vient :

Après projection sur l'axe et étant le déplacement vertical de la corde, on obtient :

Soit :

Avec (voir question 1),

et , on obtient :

Or, la masse linéique s'exprime , d'où :

Finalement : avec

3. Vérifions qu'une solution réelle de cette équation d'onde est de la forme : où est appelé nombre d'onde.

3.a) En dérivant deux fois par rapport au temps :

En dérivant deux fois par rapport à :

En remplaçant dans l'équation d'onde, il vient :

Alors, est solution de l'équation d'onde à la condition

que : c'est la relation de dispersion.

Ici, la corde est semi-infinie, il n'y a donc pas de réflexion. L'onde se propage seulement dans le sens des croissants. Le terme de la phase ( ) traduit alors forcement un retard (on récupère l'onde au bout de la corde forcement après qu'elle ait été émise puisque qu'elle parcourt le chemin entre la source et le récepteur à vitesse non infinie).

doit être négatif, soit . Dans ce cas, la condition devient unique : .

Finalement, la célérité c est aussi appelée vitesse de phase , d'où . Remarques :

o il n'y a pas de déplacement de matière selon (mouvement quasi-vertical), donc représente la vitesse de déplacement d'une d'onde( pas de matière).

o Dans un milieu non dispersif (c'est le cas ici), ne dépend que du milieu (représenté par et ), pas d'onde (représentée par et ) i.e la vitesse de propagation d'une onde est constante quelque soit sa longueur d'onde.

3.b) A.N :

Énoncé

Un corde souple homogène et inextensible, de masse linéique , de longueur et de masse pend librement, l'extrémité étant fixé au plafond. La corde à l'équilibre est matérialisée par

l'axe de la corde d'abscisse se déplace perpendiculairement à l'axe , de la petite quantité à l'instant .

1. Exprimer le module de la tension de la corde en fonction de , et . 2. Établir l'équation aux dérivées partielles régissant l'évolution du déplacement

transversal . Donner l'expression de la vitesse de propagation de l'onde transversale.

En déduire la distance parcourue par l'onde le long de la corde pour un temps de

propagation .

On prendra pour l'accélération de la pesanteur . On négligera les effets des forces de frottements.

schéma d'un tronçon de la corde avec bilan des forces 1. Voir figure 1.

Sous l'effet du poids, la tension devient fonction de x :

En appliquant le principe fondamental de la dynamique sur le tronçon, il vient :

Après projection sur l'axe vertical , on obtient :

Le mouvement de la corde étant horizontal, l'accélération selon est nulle : , alors De plus, étant petit, les angles sont petit ( ) d'où :

et avec la masse linéique , il vient :

À l'extrémité de la corde, la tension est nulle (il n'y a pas de matière

pesante) : . On peut alors intégrer l'équation précédente et se servir de cette condition aux limites pour déterminer la constante d'intégration :

où est la constante d'intégration.

Avec d'où :

Finalement, avec : 2. Voir figure 1.

En appliquant le principe fondamental de la dynamique sur le tronçon, il vient :

Après projection sur l'axe horizontal Oy et étant le déplacement vertical de la corde, on obtient :

On peut modifier cette formule de la façon suivante :

Soit :

avec (voir question 1) et , on

obtient :

avec :

On a également et ( voir question 1) :

Finalement :

avec

Pour obtenir le temps de propagation, on sait que , d'où :

d'où :

Remarque : la vitesse de propagation est donc de .

Énoncé

Des ondes mécaniques transverses, générées par le pantographe, se propagent le long de câbles électriques utilisés dans l'alimentation des locomotives. En règle générale, la tension des câbles électriques est telle que la vitesse des ondes transverses est toujours supérieure à celle du train de sorte que le contact électrique entre le pantographe et le câble d'alimentation n'est jamais rompu.

Même si l'onde transverse se déplace plus rapidement que le train, elle peut être partiellement

réfléchie au niveau des points de suspension (caténaires), revenir vers le train et déconnecter le câble électrique du pantographe. Dans ce modèle simple, le système de suspension du câble électrique est assimilé à un anneau connecté par l'intermédiaire d'un ressort à un piston coulissant dans un cylindre.

Il s'agit ici d'étudier la propagation des ondes le long du câble.

Comme l'indique la figure 1, la direction de propagation des ondes est notée et la direction transverse est notée . Le câble est attaché en à un point dont l'impédance mécanique complexe s'écrit . La propagation d'ondes mécaniques transverses le long du câble est régie par

l'équation de d'Alembert : où c est la vitesse de propagation de l'onde et représente l'amplitude transverse du mouvement du câble en , à l'instant . La masse linéique du câble est constante et la force avec laquelle il est tendu à l'équilibre est aussi constante et notée . On négligera les effets de la force de pesanteur et des forces de frottements devant celui de la force de tension.

schéma représentant la propagation d'une onde transverse dans le câble

1. Montrer que la composante transverse de la force exercée par le câble sur le système de suspension (en ) s'écrit :

2. On suppose désormais qu'une onde progressive sinusoïdale se propage le long du câble électrique. Donner, en notation complexe, l'expression d'une onde progressive sinusoïdale de pulsation et de nombre d'onde k se déplaçant dans le sens des

croissants. Même question pour une onde progressive sinusoïdale se déplaçant

dans le sens des z décroissants. Quelle est la relation de dispersion vérifiée pour ces deux ondes?

3. L'onde résultante se propageant le long du câble est la superposition d'une onde progressive sinusoïdale se déplaçant dans le sens des croissants et d'une onde progressive sinusoïdale se déplaçant dans le sens des décroissants, cette dernière onde étant issue de la réflexion de la première au niveau du système de suspension. Dans ces conditions, on

a . Sachant que l'impédance mécanique du câble est définie

par la relation et que l'impédance en s'écrit

, déterminer l'expression du coefficient de réflexion en amplitude du système de suspension.

4. En utilisant le résultat obtenu à la question 3) et sachant que l'impédance au niveau de la caténaire s'écrit avec m la masse et le taux d'amortissement du ressort de la caténaire, donner l'expression, en fonction de , et m, de la tension à donner au câble pour que les ondes ne se réfléchissent pas au niveau des points de suspension.

schéma au point de suspension avec bilan des forces 1. Voir figure 2.

En : .

On peut modifier cette formule de la façon suivante :

avec les angles petits :

et (le signe négatif vient du fait que est décroissante

en ).

On obtient :

2. En considérant le nombre d'onde , on peut écrire en notation complexe : (sens des croissants)

(sens des décroissants) En dérivant deux fois par rapport au temps :

En dérivant deux fois par rapport à :

En remplaçant dans l'équation de d'Alembert, il vient :

Alors, est solution de l'équation d'onde à la condition que : c'est la relation de dispersion.

Ici, (condition de départ de la question), alors la condition devient unique : On obtient le même résultat en suivant la même démarche avec :

3. D'après la troisième loi de Newton (principe d'action – réaction) au point de suspension :

En projetant sur l'axe , il vient :

Alors : avec

En dérivant par rapport au temps :

En :

En dérivant par rapport à :

En :

En remplaçant dans l'équation de départ, il vient :

Avec et :

Or le coefficient de réflexion

Finalement :

4. Pour qu'il n'y ait pas de réflexion au point de fixation, il faut , soit (voir question précédente).

D'où :

avec

On obtient finalement :

Énoncé

Deux cordes de masses linéiques et sont attachées en un point de jonction pour former une longue corde tendue horizontalement suivant l'axe avec une force de tension . Le point

se situe en l'abscisse .

Une onde transversale progressive se propageant dans le sens des croissants (l'onde incidente) arrive au niveau de la jonction . Il s'agit d'une onde sinusoïdale d'amplitude et de la

pulsation . Elle donne naissance à une onde réfléchie se propageant dans le sens des

décroissants ainsi qu'à une onde transmise se propageant dans le sens des croissants. Ces deux ondes sont aussi sinusoïdales et progressives (voir figure 1).

schéma représentant la propagation d'une onde transverse à la jonction de deux cordes

1. Donner, en notation réelle, les expressions mathématiques des ondes incidentes, réfléchies et transmises. Quelle est la relation de dispersion dans la corde de masse linéique ?

Quelle est la relation de dispersion dans la corde de masse linéique ?

2. En s'appuyant sur les conditions de continuité caractérisant le passage de l'onde de la corde 1 vers la corde 2, déduire les deux équations liant les amplitudes des ondes incidentes,

transmises et réfléchies.

3. Donner le coefficient de réflexion et de transmission en amplitude en fonction de et de .

4. On attache en un fil d'acier 1 de diamètre à un fils d'acier 2 de diamètre . Calculer, pour l'onde qui se propage du fil 1 vers le fil 2, les coefficients et .

1. Une solution réelle de l'équation de propagation peut s'écrire : o pour l'onde incidente (sens des croissants) :

o pour l'onde réfléchie (sens des décroissants) : o pour l'onde transmise (sens des croissants) :

avec , , la condition pour que chaque onde soit solution de l'équation (relation de

dispersion) est unique pour chaque milieu : et .

2. La relation de continuité du déplacement transversal en donne : Soit :

La relation de continuité de la force et sa direction en correspond

à : , avec il vient :

Soit :

3. On sait que et et on a :

D'où :

Soit :

Finalement, avec et :

et

Remarque : on vérifie bien à ne pas confondre avec la relation des coefficients en

puissance .

4. Avec , et (la corde est assimilée à un cylindre), il vient :

et de la même façon

Alors : et

Énoncé

Une onde transversale se propage dans une corde de longueur finie . L'onde est émise et entretenue par un vibreur sinusoïdal situé en . Le déplacement transversal associé à cette onde incidente à l'abscisse et à l'instant peut s'écrire, en notation réelle, sous la forme

et est solution de l'équation d'onde à la

condition que (relation de dispersion pour que , voir exercice de référence). On considère ici que l'amplitude du vibreur est négligeable si bien que le déplacement transversal est nulle en . L'extrémité est attachée à un support fixe.

1. La corde étant fixe, le coefficient de réflexion en amplitude à l'abscisse est égal à - 1.

a) En justifiant votre réponse, donner le déplacement transversal associé à l'onde réfléchie en fonction de

b) En déduire que le déplacement transversal de l'onde résultante qui s'est établie dans la

corde s'écrit sous la forme . Justifier le nom d'onde

stationnaire et ses conditions de survie.

2. À partir du résultat de la question 1.b), déterminer les fréquences propres de l'onde stationnaire en fonction d'un entier naturel strictement positif , de la vitesse et de la longueur de la corde. En déduire la relation qui lie la longueur de la corde à la longueur d'onde .

3. Expliquer le phénomène de résonance et donner sa condition d'existence.

Sans faire de calculs, expliquer quelle est théoriquement l'amplitude du déplacement transversal à la résonance.

Qu'en est-il en réalité ? Si elle est différente, pourquoi ?

1. a) Pour une onde se déplaçant dans le sens des décroissants avec , le

déplacement transversal de l'onde réfléchie s'écrit : .

Avec et , il vient :

b) On a :

avec , on obtient :

On a ici une équation qui ne représente plus une onde progressive (en ) mais une onde dont la dépendance en (la phase ) et la dépendance en (le terme de

propagation ) sont telles que . On a donc une onde dont la phase ne dépend pas de la position et dont l'amplitude dépend de la position . C'est une onde stationnaire.

Cette onde stationnaire ne peut subsister (il y aura une onde stationnaire qu'à des fréquences bien précises appelées fréquences propres) que si elle satisfait les conditions aux limites. Ici, la corde étant attachée aux extrémités, il faut : en et .

2. D'après la formule obtenue à la question 1.b), l'amplitude du déplacement transversal varie en . Ici, le déplacement transversal est nul en et .

Alors , soit avec n entier positif ( est exclu car il correspond à l'abscisse ).

Avec et , il vient : .

Soit : .

Avec , on obtient : . Pour qu'il y ait une onde stationnaire, la longueur de la corde doit être égale à un nombre entier de demi longueur d'onde (voir figure 1 en bas de page).

3. Le système vibreur + corde constitue un système analogue à un oscillateur forcé (on impose des oscillations à un oscillateur qui possède des fréquences propres), c'est-à-dire que, sous certaines conditions, l'amplitude de vibration de la corde devient très grande devant

l'amplitude du vibreur. C'est le phénomène de résonance.

Concrètement, lorsque l'onde progressive circulant dans la corde est en phase avec le vibreur , l'effet de la source s'ajoute constructivement avec l'onde qui vient de faire exactement un aller-retour et ainsi de suite à chaque aller-retour.

En théorie, s'il n'y a pas d'amortissements, les amplitudes peuvent s'additionner indéfiniment à chaque aller-retour et donc aboutir à une amplitude infinie au niveau des maxima de déplacement transversal.

En réalité, il y a toujours des pertes et l'amplitude de la corde n'augmentera pas à l'infini mais sera limitée par des forces telles que les frottements de l'air, les frottements au niveau des points d'attache, le poids de la corde, l'augmentation de la tension due à la déformation de la corde, etc.

illustration sur 3 fuseaux de l'existence d'une onde stationnaire

Énoncé

Un tuyau cylindrique de longueur infinie et de section constante , contient un fluide qui, au repos, est à la pression , à la température et à une masse volumique .

On considère une tranche de fluide qui, au repos, est située entre les abscisses et . Le passage de l'onde acoustique s'accompagne d'un déplacement d'ensemble des molécules contenues dans le plan d'abscisse . Soit ce déplacement à l'instant . La tranche de fluide

considérée se trouve ainsi à l'instant entre les plans d'abscisse

et (voir figure 1).

schéma représentant la tranche de fluide au repos et à l'instant t On notera :

 , la vitesse de déplacement de la section d'abscisse à l'instant

 , la surpression acoustique liée au passage de l'onde en à l'instant . Ainsi la pression s'écrira

 , la masse volumique du fluide à l'abscisse à l'instant .

On se limitera aux mouvements de faibles amplitudes : le déplacement particulaire , la surpression acoustique , la variation de la masse volumique et leurs dérivées peuvent être considérés comme des infiniments petits du premier ordre (on négligera dans la suite tous les infiniments petits d'ordre supérieur ou égal à deux). On négligera l'action de la pesanteur ainsi que toute viscosité ou frottements.

1. En raisonnant sur la tranche de fluide considérée et en précisant la loi utilisée, retrouver

l'équation :

2. En supposant que l'évolution de la portion de fluide est isentropique, le coefficient de compressibilité isentropique d'un fluide est défini par :

où est le volume du fluide et sa pression.

Pour le fluide contenu dans le tuyau cylindrique, on supposera que est une constante.

Montrer que l'on peut écrire : .

3. a) En utilisant les résultats des questions 1) et 2), établir l'équation d'onde à laquelle satisfait la grandeur . Exprimer (vitesse du son) en fonction de et .

b) Montrer que les grandeurs et satisfont à la même équation de propagation que .

4. Le fluide est de l'air considéré comme un gaz parfait :

o de (rapport des capacités calorifiques molaires à pression et à volume constants)

o de masse molaire o de température

avec (constante molaire des gaz parfaits).

Donner l'expression de en fonction de , , et . Application numérique : calculer dans l'air.

On pose et ( voir figure 2).

schéma représentant la tranche de fluide au repos et à l'instant t avec bilan des forces 1. En appliquant le principe fondamental de la dynamique sur la tranche de fluide, il vient :

Après projection sur l'axe horizontal , on obtient :

Le plan d'abscisse au repos est à l'abscisse à l'instant et à

l'abscisse à l'instant . Alors, la vitesse acoustique est égale à :

En dérivant la vitesse, l'accélération s'écrit : . Avec la conservation de la masse de la tranche de fluide, il vient : avec la force de pression , il vient :

or avec constante, d'où :

Sachant que , on peut faire un développement au ordre tel que :

D'où :

En négligeant les termes du ordre, on obtient :

Alors :

2. Dans le cas de mouvements de faible amplitude, on peut écrire :

Il faut donc déterminer la variation de pression et de volume entre la tranche de fluide au repos et à l'instant .

o au repos : et la pression est o à l'instant :

D'où :

(voir question 1).

Alors :

3. a) En combinant les formules obtenues à la question 1) et 2), il vient :

En supposant que est une constante, on obtient finalement :

avec

b) En dérivant par rapport à l'équation d'onde obtenue à la question 3.a) et en supposant que les dérivations par rapport à et commutent, on a :

En supposant que les dérivations par rapport à et commutent, on a :

Avec (voir question 2) et est constante, on obtient :

En dérivant par rapport à l'équation d'onde obtenue à la question 3.a), il vient :

En supposant que les dérivations par rapport à et et commutent, on a :

avec (voir question 1), on obtient :

4. a) Pour un gaz parfait lors d'un transformation isentropique : où est une

constante. Ou encore : . En dérivant, il vient .

On peut alors réécrire le coefficient de compressibilité isentropique d'un fluide :

où est la pression totale.

De plus, pour un gaz parfait de masse m à la température , on a :

pour de faibles variations de volume.

Alors :

b) A.N : , c'est la vitesse théorique du son dans l'air.

Énoncé

Une onde acoustique se propage dans un tube de longueur finie . L'onde est émise par un haut-parleur situé en . Le déplacement particulaire associé à cette onde incidente à l'abscisse et à l'instant s'écrit

sous la forme et solution de l'équation d'onde à la

condition que (relation de dispersion pour ). Les extrémités et du tube sont ouvertes.

1. Le tube étant ouvert, le coefficient de réflexion en amplitude en pour les déplacements particulaires est égal à +1.

a) En justifiant votre réponse, donner en notation complexe le déplacement particulaire associé à l'onde réfléchie en fonction de , , , .

b) En déduire que le déplacement particulaire de l'onde résultante qui s'est établie dans le tube s'écrit

sous la forme . Justifier le nom d'onde stationnaire.

c) Préciser l'expression de la surpression acoustique sachant

que , où le coefficient de compressibilité isentropique du fluide est une constante.

2. À partir du résultat de la question 1.c), déterminer les fréquences , pour lesquelles des résonances de surpression acoustique peuvent apparaître dans le tube, en fonction d'un entier naturel strictement positif n, de la vitesse et de la longueur du tube.

3. Trouver l'expression de la position des maxima et des minima de surpression dans le tube en fonction de . Représenter graphiquement le comportement de l'onde pour chaque résonance jusqu'à la troisième harmonique ( ) .

schéma représentant le chemin parcouru par l'onde réfléchie en L

1. a) Pour revenir à l'abscisse , l'onde réfléchie a parcourue la distance dans le sens des croissants plus la distance dans le sens des décroissants, soit au total : (voir figure 1).

D'où

avec et , il vient :

b) On a :

On peut modifier cette formule telle que :

Avec , on obtient :

On a ici une équation qui ne représente plus une onde progressive (en ) mais une onde dont la phase ne comporte pas de terme de propagation (pas de dépendance

en de la forme ) et dont l'amplitude dépend de la position . C'est une onde stationnaire.

c) Avec et l'équation obtenue à la question 1.b), il

vient :

2. D'après la formule obtenue à la question 1.c), l'amplitude de la surpression acoustique à l'intérieur du tube varie en . Ici, les deux extrémités du tube sont ouvertes et la pression y est donc égale à la pression atmosphérique, c'est-à-dire que la surpression acoustique est nulle en ces points d'abscisses et .

Alors, , soit avec n entier positif.

Avec et , il vient :

Finalement :

3. Sachant que la surpression acoustique à l'intérieur du tube varie en et que à

la résonance (voir question 2), on a une dépendance en .

Alors, la surpression acoustique est :

o minimum pour , soit où m est un

entier positif, d'où :

avec m devant respecter la condition .

o maximum pour , soit

où m est une entier positif, d'où :

avec m devant respecter la condition . Voir figure 2.

o Pour la fréquence fondamentale : , et ;

o Pour la harmonique : , , et , ;

o Pour la harmonique : , , , et ,

, ;

o Pour la harmonique : , , , , et

, , , .

schéma représentant le comportement de l'onde acoustique aux fréquences de résonance du tube ouvert

Énoncé

Une onde acoustique se propage dans un tube de longueur finie . L'onde est émise par un haut- parleur situé en . Le déplacement particulaire associé à cette onde incidente à l'abscisse et à l'instant s'écrit sous la forme et solution de l'équation d'onde

à la condition que (relation de dispersion pour ). Le tube est semi-fermé tel que l'extrémité est ouverte et l'extrémité est fermée.

1. Le tube étant fermé, le coefficient de réflexion en amplitude en pour les déplacements particulaires est égal à -1.

a) En justifiant votre réponse, donner en notation complexe le déplacement particulaire associé à l'onde réfléchie en fonction de , , , .

En déduire que le déplacement particulaire de l'onde résultante qui s'est établie dans le tube

s'écrit sous la forme . Justifier le nom d'onde

stationnaire.

La dilatation d'une tranche de fluide est son accroissement relatif de volume pendant

le passage d'une onde acoustique telle que . Montrer que l'on peut écrire

simplement et en déduire l'expression de .

2. À partir du résultat de la question 1.c), déterminer les fréquences , pour lesquelles des résonances de dilatation peuvent apparaître dans le tube, en fonction d'un entier naturel strictement positif n, de la vitesse et de la longueur du tube.

3. Trouver l'expression de la position des maxima et des minima de dilatation dans le tube en fonction de L. Représenter graphiquement le comportement de l'onde pour chaque résonance jusqu'à la troisième harmonique ( ).

schéma représentant le chemin parcouru par l'onde réfléchie en L

1. a) Pour revenir à l'abscisse , l'onde réfléchie a parcourue la distance dans le sens des croissants plus la distance dans le sens des décroissants, soit au total : (voir figure 1).

D'où

avec et , il vient :

b) On a :

On peut modifier cette formule telle que :

Avec , on obtient :

On a ici une équation qui ne représente plus une onde progressive (en ) mais une onde dont la phase ne comporte pas de terme de propagation (pas de dépendance en de la forme ) et dont l'amplitude dépend de la position

. C'est une onde stationnaire.

c) Il faut déterminer la variation de volume entre une tranche de fluide au repos et à l'instant :

Avec , il vient :

En utilisant l'équation obtenue à la question 1.b), on obtient :

2. D'après la formule obtenue à la question 1.c), l'amplitude de la dilatation à l'intérieur du tube varie en . Ici, l'extrémité du tube est ouverte et la dilatation y est

nulle. Alors, , soit avec n entier strictement

positif.

Avec et , il vient : .

Finalement : .

3. Sachant que la dilatation à l'intérieur du tube varie en et que la résonance (voir question 2), on a une dépendance

en .

Alors, la dilatation est :

o maximum pour ,

soit où m est une entier positif, d'où :

avec m devant respecter la condition .

o minimum pour ,

soit où m est une entier positif, d'où :

avec m devant respecter la condition . Voir figure 2.

Pour la fréquence fondamentale : et ;

Pour la harmonique : , et , L;

Pour la harmonique : , , et , , L;

Pour la harmonique : , , , et ,

, , L;

schéma représentant le comportement de l'onde acoustique aux fréquences de résonance du tube semi-fermé

Énoncé

Un tuyau cylindrique de longueur infinie et de section constante , contient un fluide qui au repos est à la pression , à la température et à une masse volumique .

Le passage d'une onde acoustique plane progressive s'accompagne d'un déplacement particulaire des molécules noté . On notera également la vitesse de déplacement

et la surpression acoustique liée au passage de l'onde

où est le coefficient de compressibilité isentropique du fluide.

L'onde acoustique se déplaçant dans le sens des croissants, le déplacement particulaire peut

s'écrire sous la forme et est solution de l'équation

d'onde avec , à la condition que (relation de

dispersion pour que , voir exercice de référence).

On se limitera aux mouvements de faibles amplitudes et on négligera l'action de la pesanteur ainsi que toute viscosité ou frottements.

1. On appelle résistivité acoustique (ou impédance) du milieu de propagation la grandeur

caractéristique définie par : .

a) montrer que est une constante qu'on exprimera en fonction de et c.

b) Que devient ce résultat si l'onde se propage dans le sens des décroissants?

c) Calculer la résistivité acoustique dans l'air avec

et . L'exprimer dans en unité S.I. et M.K.S.A.

La puissance sonore instantanée véhiculée par cette onde acoustique est donnée

par la relation .

2. a) Exprimer la puissance sonore temporelle moyenne en fonction de , , c, , S pour une onde se propageant dans le sens des croissants.

b) En déduire l'intensité sonore d'une onde se propageant dans le sens des croissants.

1. a) Avec , il vient :

Avec , il vient :

Alors :

Or et , d'où :

Finalement , la résistivité acoustique est constante telle que : . b) Pour une onde acoustique se déplaçant dans le sens des décroissants, on

a .

Alors, et

D'où :

Finalement , la résistivité acoustique s'écrit : c) A.N :

2. a) Avec et , il

vient : .

Or, est une fonction périodique du temps variant entre 0 et 1, donc :

Alors :

b) Avec l'intensité sonore , en , on obtient :

Énoncé

Un tube cylindrique de longueur infinie et de section constante , contient deux fluides (1) et (2) de résistivité acoustique et , respectivement. L'origine du repère est placé à l'abscisse de sorte que le fluide (1) soit dans la région des et le fluide (2) dans la région des (voir figure 1).

schéma représentant le tronçon de tube à la jonction des deux milieux Une onde acoustique plane progressive se propageant dans le sens des croissants (l'onde incidente) arrive au niveau de la jonction en . Cette onde s'accompagne d'une surpression acoustique s'écrivant sous la forme et étant solution de l'équation

d'onde avec , à la condition que (relation

de dispersion pour ). Elle donne naissance à une onde réfléchie se propageant dans le sens des décroissants ainsi qu'à une onde transmise se propageant dans le sens des croissants. Ces deux ondes sont aussi sinusoïdales et progressives.

1. Donner, en justifiant votre réponse, les expressions mathématiques réelles des surpressions acoustiques associées aux ondes réfléchies et transmises.

2. La résistivité acoustique d'un fluide à l'abscisse et à l'instant s'écrit : . a) En s'appuyant sur les conditions de continuité caractérisant le passage de l'onde du fluide (1) vers le fluide (2), déduire les deux équations liant les amplitudes des ondes incidentes, transmises et réfléchies.

b) Donner le coefficient de réflexion et de transmission en amplitude en fonction de et de .

3. La puissance sonore moyenne véhiculée par chaque onde acoustique est donnée par la

relation .

a) Déterminer le coefficient de réflexion et de transmission relatif aux puissances acoustiques. Quelle remarque peut-on faire au sujet de ces coefficients?

b) Calculer et si le milieu (1) est de l'air ( ) et le milieu (2) est de l'eau

( ).

1. Une solution réelle de l'équation de propagation peut s'écrire : pour l'onde incidente (sens des croissants) :

pour l'onde réfléchie (sens des décroissants) : pour l'onde transmise (sens des croissants) :

Avec , , la condition pour que chaque onde soit solution de l'équation (relation de dispersion) est unique pour chaque milieu : ( ).

2. a) La relation de continuité de la surpression en donne : Soit :

La relation de continuité du débit volumique en correspond à :

.

Avec , et (Z est une

constante dont le signe dépend du sens de propagation), il vient :

Soit :

b) On sait que et et on a :

D'où :

Soit : .

3. a) Le coefficient de réflexion en puissance s'écrit : .

Avec , et

, il vient :

.

Or, et est une fonction périodique du temps

variant entre 0 et 1, donc :

D'où : Soit :

Le coefficient de transmission en puissance s'écrit :

Avec , et ,

il vient :

.

Or, , et est

une fonction périodique du temps variant entre 0 et 1, donc :

D'où :

Soit :

Si on calcule la somme des deux coefficients :

S'il y a conservation de l'énergie, on doit avoir : cqfd.

b) A.N. : et .

Remarque : la réflexion de l'onde est quasi totale car la rupture d'impédance entre les deux milieux est très brutale (4 ordres de grandeur entre les impédances).

Énoncé

On considère une onde électromagnétique plane, progressive et sinusoïdale de pulsation , se propageant dans le vide (caractérisé par la constante de la loi de Coulomb , la perméabilité

magnétique du vide et la célérité ). L'espace est rapporté à un repère cartésien Oxyz de base orthonormée. L'onde se propage dans la direction . Le vecteur champ

électrique d'amplitude est parallèle à .

1. Écrire, en notation réelle, les composantes du vecteur d'onde puis celles du vecteur champ électrique au point de coordonnées ( ) tel que et à l'instant . 2. En utilisant les équations de Maxwell dans le vide (voir boîte à outils), établir l'équation de propagation de dans le vide. En déduire la relation de dispersion de cette onde dans le vide.

3. En utilisant les équations de Maxwell dans le vide (voir boîte à outils), exprimer les

composantes du vecteur champ magnétique de l'onde au point . Préciser en particulier l'expression de l'amplitude du champ magnétique.

4. Représenter sur un schéma clair les vecteurs , et . L'onde électromagnétique étudiée est-elle longitudinale ou transversale? Justifier votre réponse.

5. Calculer la densité volumique d'énergie électromagnétique . Exprimer sa valeur moyenne temporelle <

6. Déterminer les composantes du vecteur de Poynting puis son module et enfin sa valeur moyenne temporelle <

7. Cette onde transporte une puissance électromagnétique moyenne <

évaluée à travers une surface normale à la direction de propagation. Calculer les valeurs numériques de et ?

On prendra : et .

1. L'onde se propage suivant Oy , alors : .

En considérant l'onde se propageant dans le sens des croissants et étant orienté suivant , on a :

2. Les équations de Maxwell donnent : et . En supposant que les dérivations par rapport à l'espace et commutent

:

il vient alors , d'où :

(voir boîte à outils).

Or, (équation de Maxwell) et étant orienté suivant , on obtient :

Vérifions qu'une solution réelle de cette équation d'onde est de la forme : En dérivant deux fois par rapport au temps :

et en dérivant deux fois par rapport à :

En remplaçant dans l'équation d'onde, il vient :

Alors, est solution de l'équation d'onde à la condition que

: c'est la relation de dispersion.

Ici, l'onde se propage seulement dans le sens des croissants. Le terme de propagation de la phase ( ) traduit alors forcement un retard (on récupère l'onde forcement après qu'elle ait été émise puisque qu'elle parcourt le chemin entre la source et le récepteur à vitesse non

infinie). doit donc être négatif, soit . Dans ce cas, la condition devient unique : .

3. Sachant que la seule composante non nulle de est , on a :

Avec

et (équation de Maxwell), il vient :

.

n'a alors qu'une composante non nulle suivant telle que :

En intégrant par rapport à : .

En l'absence de champ statique, la constante d'intégration , d'où :

avec .

4. On a , et . Le repère étant

orthonormé est un trièdre direct. Alors ( ) est un trièdre

direct (voir figure 1).

schéma représentant les vecteurs E , B et k dans le repère orthonormé On a : c'est une onde transversale.

5. Dans le vide :

 la densité volumique d'énergie électrostatique

 la densité volumique d'énergie magnétostatique

Avec les résultats des questions 1) et 3) et , il

vient : .

Avec et , on a , d'où :

. Or, est une fonction périodique du temps

variant entre 0 et 1, donc : .

Alors . C'est une constante dépendant de l'amplitude du champ.

6. Avec les résultats des questions 1) et 3), il

vient :

D'où et avec , on obtient :

, soit .

Remarque : la norme du vecteur de Poynting est une puissance par unité de surface et est donc reliée à l'intensité de l'onde.

. Or, est une fonction périodique du temps

variant entre 0 et 1, donc : .

Alors :

Remarque : l'énergie électromagnétique se déplace à la vitesse de la lumière le long de la coordonnée de propagation .

7. La puissance électromagnétique à travers une surface est donnée par : . étant normale à la direction de propagation, sa normale est orientée selon comme , d'où : . Alors la puissance moyenne s'écrit :

,

d'où : .

Alors, et .

A.N. : et .

Énoncé

On considère une onde électromagnétique plane, progressive, sinusoïdale et monochromatique de pulsation , se propageant dans le vide (caractérisé par la constante de la loi de Coulomb , la

perméabilité magnétique du vide et la célérité ). L'espace est rapporté à un repère cartésien de base orthonormée. L'onde se propage dans le plan le long d'un axe faisant un angle avec la direction . Le vecteur champ électrique

d'amplitude est parallèle à (voir figure 1).

schéma représentant l'axe de propagation de l'onde dans le repère orthonormé

1. Écrire dans la base orthonormée les composantes et du vecteur d'onde au point de coordonnées ( ) tel que et à l'instant en fonction de son module et de .

2. Écrire dans la base orthonormée les composantes du vecteur champ électrique au point à l'instant . En déduire, à l'aide des équations de Maxwell dans le vide (voir boîte à outils de l'exercice 11), les composantes en notation réelle du vecteur champ magnétique de l'onde au point M.

3. Représenter sur un schéma les vecteurs , et en justifiant leur orientation relative.

4. Déterminer en notation réelle les composantes du vecteur de Poynting

associé à l'onde électromagnétique en fonction de , , et . En déduire sa valeur moyenne temporelle .

1. L'onde se propage suivant un axe faisant un angle avec la direction , alors :

.

2. En considérant l'onde se propageant dans le sens des et croissants, on a :

, d'où : .

Alors :

Sachant que la seule composante non nulle de est , on a :

Avec

et (équation de Maxwell), il vient :

. a alors deux composantes non nulles suivant et telles que :

En intégrant par rapport à et sachant qu'en l'absence de champ statique, les constantes d'intégration sont nulles, on obtient :

.

3. Il s'agit d'une onde plane progressive sinusoïdale, les champs sont perpendiculaires entre eux et perpendiculaires à la direction de propagation, soit .

On a normal au plan selon les croissants, dans le plan xOy selon les croissants et les décroissants et dans le plan selon les et croissants. Alors ( ) est bien un trièdre direct (voir figure 2).

schéma représentant les vecteurs E , B et k dans le repère orthonormé 4. Avec les résultats de la question 2), il vient

: D'où :

Alors :

Remarque : et sont bien colinéaires.

est une fonction périodique du temps variant entre 0 et 1, donc : .

Finalement : .

Énoncé

On considère une onde électromagnétique plane, progressive, sinusoïdale et monochromatique de pulsation , se propageant dans l'air (milieu 1). L'espace est rapporté à un repère cartésien

de base orthonormée. L'onde se propage dans la direction normalement au dioptre plan séparant l'air (milieu 1) du verre (milieu 2). Le dioptre est placé à l'abscisse .

On assimilera l'air au vide (caractérisé par la constante de la loi de Coulomb , la perméabilité

magnétique du vide et la célérité ) et le verre à un diélectrique parfait (caractérisé

par la constante diélectrique et la perméabilité magnétique telles que la célérité ).

1. Donner, en justifiant votre réponse, les expressions en notation réelle des champs électriques et magnétiques associées aux ondes incidentes, réfléchies et transmises. Préciser leur orientation relative et par rapport au sens de propagation en s'appuyant sur un schéma.

2. À l'aide des conditions de continuité caractérisant le passage de l'onde du milieu 1 vers le

milieu 2, trouver le coefficient de réflexion en amplitude et le coefficient de

réflexion énergétique . Exprimer ces coefficients en fonction de l'indice de réfraction du verre . Calculer leurs valeurs pour . Le résultat est-il en accord avec le schéma de la question 1)?

3. À l'aide des conditions de continuité caractérisant le passage de l'onde du milieu 1 vers le

milieu 2, trouver l'expression du coefficient de transmission en amplitude en

fonction de . À partir de la conservation du flux du vecteur de Poynting au passage de l'onde du milieu 1 vers le milieu 2, on peut écrire le coefficient de transmission

énergétique . En considérant , retrouver l'expression de en fonction de et vérifier la conservation de l'énergie.

1.

 champs incidents :

L'onde se propage dans le sens des croissants, donc .

On choisit arbitrairement le champ électrique selon : .

( ) étant un trièdre direct, on a forcement : .

 champs réfléchis :

À incidence normale, l'onde se propage dans le sens des décroissants après réflexion dans

le même milieu 1, donc .

On a déjà choisit le champ électrique selon :

.

( ) étant un trièdre direct, on a forcement : .

 champs transmis :

L'onde transmise se propage dans le sens des croissants dans le milieu 2,

donc .

On a déjà choisit le champ électrique selon : .

( ) étant un trièdre direct, on a forcement : .

Voir figure 1.

schéma représentant les vecteurs E , B et k des ondes incidentes, réfléchies et transmises dans le repère orthonormé

2. La continuité du champ électrique en donne : Soit :

La continuité du champ magnétique en donne :

Soit : .

Avec (voir exercice 11 : Propagation d'une onde électromagnétique plane dans le vide (1)) :

, avec (vitesse de phase dans l'air)

et (vitesse de phase dans le verre).

On a alors le système d'équations

:

Soit : . D'où :

et

L'indice de réfraction d'un milieu est défini par le rapport de la vitesse de phase dans le vide et de la vitesse de phase dans le milieu : . Ici, le milieu 1 est considéré comme le vide et le

milieu 2 est le verre, , et , d'où .

Alors : et .

A.N. : et .

Dans ce cas, est négatif, donc les champs électriques incidents et réfléchis sont déphasés de . Ici, le schéma de la question 1) n'est donc pas correct : c'est le champ électrique qui change de sens à la réflexion alors que le champ magnétique ne change pas de sens.

3. En reprenant le système d'équations de la question 2), il vient :

Soit : .

Avec les résultats de la question 1), il vient

:

Avec et , on a :

et

Alors : . Avec et , on

obtient :

Si on calcule la somme des deux coefficients énergétiques :

S'il y a conservation de l'énergie, on doit avoir : cqfd.

Énoncé

Un câble coaxial est constitué des deux cylindres conducteurs, l'un creux (tresse métallique) et l'autre plein (fil électrique central), de même axe (d'où le nom de coaxial) et séparés par un isolant (gaine) de permittivité relative . Le câble est caractérisé par sa capacité linéique l (le câble est comme un condensateur) et son coefficient d'auto-inductance l (le câble est comme une bobine).

On donne : et avec le rayon du cylindre plein, le rayon du

cylindre creux, la constante de la loi de Coulomb et la perméabilité magnétique du vide.

Par la suite, le câble sera supposé de longueur infinie et on négligera les effets de bord.

1. Un élément de câble de longueur infinitésimale peut être représenté schématiquement comme l'indique la figure 1.

représentation schématique d'un élément de câble coaxial de longueur dx a) En appliquant les lois de l'électricité sur cet élément, trouver les deux équations aux dérivées partielles liant l'intensité et la tension .

b) En déduire les équations d'onde vérifiées par et .

c) Exprimer la vitesse de propagation des ondes de courant et de tension en fonction de et , puis en fonction de , et .

d) Calculer sa valeur pour .

2. On considère une onde de tension sinusoïdale, progressive, de pulsation , se propageant le long du câble dans le sens des croissants.

a) Donner sans démonstration les expressions, en notation complexe, de et vérifiant l'équation d'onde de la question 1.b).

b) Montrer qu'un tout point du câble le rapport est égal à une constante que l'on notera . Que représente cette constante?

Calculer avec , ,

et

1. Voir figure 1.

a) La loi des mailles donne :

étant petit devant , on peut développer au premier ordre tel que :

, d'où :

Avec la tension au borne de la bobine de longueur : , il vient :

Au nœud N, on a :

étant petit devant , on peut développer au premier ordre tel que :

, d'où :

Avec et la charge , on

a :

or avec et petit devant , d'où :

Finalement :

b) On dérive (éq 1) par rapport à :

En considérant que l'on peut permuter les dérivations par rapport à et , il vient :

Or, d'après (éq 2) :

Alors :

On retrouve bien la forme d'une équation d'onde vérifiée par .

On dérive à présent par rapport à :

En considérant que l'on peut permuter les dérivations par rapport à et , il vient :

Or, d'après (éq 1) :

Alors :

On retrouve bien la forme d'une équation d'onde vérifiée par .

c) Pour une onde progressive sinusoïdale , l'équation de propagation (équation

d'onde) est de la forme où c est la vitesse de phase.

D'après les résultats de la question 1.b), la vitesse de phase de et de s'écrit :

Avec et , il vient :

Soit :

d) Avec , on obtient : .

A.N :

C'est la vitesse de propagation d'une onde électrique dans un câble coaxial.

2. a) et sont solutions de l'équation d'onde à

la condition que (relation de dispersion pour une onde de pulsation se propageant dans le sens des croissants).

b) D'après (éq 1) :

Alors :

On a donc avec la constante

représente l'impédance caractéristique du câble et s'exprime en .

c) On a : A.N. :

Énoncé

Un capteur enregistre un signal tel que : où est l'amplitude du

signal, et deux fréquences différentes.

1. Montrer que ce signal peut s'écrire et préciser les

expressions de , et .

2. Représenter le signal en fonction du temps en indiquant les échelles de temps caractéristiques.

3. Comment se nomme le phénomène observé et de quoi résulte-t-il?

1. On a :

Avec : , il vient :

D'où :

Avec : , et

2. Voir figure 1.

représentation schématique du signal x en fonction du temps

3. Il s'agit du phénomène de battements qui résulte de la superposition cohérente de deux signaux sinusoïdaux de fréquences différentes.

Énoncé

Deux ondes et "interfèrent" si à des endroits de l'espace l'intensité résultant de la superposition de ces ondes est différente de la somme des intensités de chaque onde arrivant seule :

. Trois conditions sont toutefois nécessaires pour qu'il y ait interférences :

 Il doit y avoir une zone commune de l'espace dans laquelle les deux ondes se propagent ; on parle de "zone d'interférences".

 Les deux ondes doivent avoir la même fréquence ; on parle d'ondes synchrones.

 Le décalage temporel des deux ondes doit être fixe (le déphasage de l'une par rapport à l'autre est constant) ; on parle d'ondes cohérentes.

Le meilleur moyen de réunir ces conditions est de séparer une source unique en plusieurs sources secondaires, en réalisant par exemple l'expérience des fentes d'Young. Une source de lumière monochromatique, de longueur d'onde et de pulsation , est placée avant une plaque percée de deux fentes de largeur très petite et de longueur très grande. Un écran est placé en suivant,

parallèlement à la plaque. L'espace est rapporté à un trièdre orthonormé direct attaché à l'écran, la lumière se propageant le long de l'axe et les fentes étant parallèles à l'axe . Pour des raisons de symétrie, on se limitera donc à l'étude du phénomène dans le plan . On note la distance entre la plaque et l'écran et la distance entre les fentes tel que . Le milieu entre la plaque et l'écran est considéré transparent, homogène et isotrope. Les rayons sont considérés comme respectant les conditions de Gauss.

1. Exprimer simplement, en fonction de , et , la différence de chemin optique parcouru (aussi appelée différence de marche) entre un rayon issu de la fente 1 et un rayon issu de la fente 2 pour atteindre un point de l'écran d'abscisse .

2. Retrouver l'expression du déphasage entre deux ondes issues de la fente 1 et de la fente 2 en fonction de , , et . Écrire les ondes et en tenant compte de ce

déphasage.

3. Déterminer l'intensité lumineuse résultante en en fonction de sachant que : . En déduire les abscisses pour lesquelles l'intensité est nulle et les abscisses pour lesquelles l'intensité est maximale.

4. Définir l'interfrange et donner son expression en fonction , et . Calculer sa valeur

pour , et .

schéma représentant la marche des rayons allant des deux fentes vers le point M de l'écran 1. Voir figure 1.

On a .

Dans le triangle rectangle : Dans le triangle rectangle : Dans les conditions de Gauss et Avec , il vient , soit :

2. En notation complexe, on peut écrire le champ électrique de l'onde lumineuse au point : o issue de la fente 1 :

o issue de la fente 2 :

Avec les déphasages : et

Le déphasage de l'onde issue de la fente 2 par rapport à l'onde issue de la fente 1 s'écrit :

avec , on obtient :

Les ondes étant cohérentes, on peut écrire à donnée : 3. On

a :

, soit :

avec

Pour que , il faut : , soit avec n entier.

Avec :

Alors : , marquant la position des "franges sombres".

Pour que , il faut : , soit avec n entier.

Avec :

Alors : , marquant la position des "franges brillantes".

4. L'interfrange est la distance entre deux franges consécutives de même nature.

En prenant par exemple les franges brillantes, il vient :

Alors : A.N :