La Vitesse du Son dans les Gaz

(1)

F. H . VAN D E N D U N G E N P r o f e s s e u r à l ' U n i v e r s i t é d e Bruxelle;

La

Vitesse du Son dans les Gaz

n o 3

Extrait des Bulletins de l'Académie royale de Belgique (Classe des Sciences) Séance d u 4 n o v e m b r e 1933, pp. H 8 0 - H 8 7 , n" 10-H

B R U X E L L E S

M A K C E L t ï A Y E Z , I M P U I M E U R D E L ' A C A D É M I I Î R O Y A L E D E B E L G I Q U E

H 2 , rue de Louvain, iii

1 9 3 3

(2)

La vitesse du son dans les gaz

p a r F. H. VAN DEN DUNGEN P r o f e s s e u r à l ' U n i v e r s i t é d e B r u x e l l e s

1. I N T R O D U C T I O N

O n sait q u e N e w t o n C) a, le p r e m i e r , c a l c u l é la vitesse d u s o n e n s u p p o s a n t q u e la t r a n s f o r m a t i o n d u gaz d e v a i t être i s o t h e r m i q u e . L a p l a c e a t r o u v é u n e f o r m u l e

c o n c o r d a n t m i e u x a v e c l e s m e s u r e s e x p é r i m e n t a l e s e n a d m e t t a n t q u e la t r a n s f o r m a t i o n était a d i a b a t i q u e . On a c o u t u m e de j u s t i f i e r l ' h y p o t h è s e de la t r a n s f o r m a t i o n adia- b a t i q u e e n d i s a n t q u e les c o n d e n s a t i o n s et les d i l a t a t i o n s s u c c e s s i v e s de l'air a u p a s s a g e d e s o n d e s s o n o r e s se s u c c è - d e n t si r a p i d e m e n t qu'il est b i e n d i f f i c i l e d ' a d m e t t r e u n é c i i a n g e aussi r a p i d e de c h a l e u r s o u s l'effet des é l é v a t i o n s et a b a i s s e m e n t s de t e m p é r a t u r e d u s aux c o m p r e s s i o n s et a u x d é t e n t e s .

Ce r a i s o n n e m e n t , q u e l ' o n r e t r o u v e d a n s t o u s les C o u r s d e p h y s i q u e , d o i t être l ' o b j e t d e réserves sérieuses, p u i s - qu'il s e m b l e b a s é sur u n e p r é t e n d u e inertie des é c h a n g e s c a l o r i f i q u e s q u i n'a j a m a i s p u être d é c e l é e d a n s l ' é t u d e d e s lois de la t r a n s m i s s i o n d e la c h a l e u r .

S t o k e s O a m o n t r é q u e les o n d e s p l a n e s s u b i r a i e n t u n a f f a i b l i s s e m e n t i m p o r t a n t e n f o n c t i o n de l'espace par- c o u r u si l e u r v i t e s s e n ' a v a i t p r é c i s é m e n t la v a l e u r d o n n é e par N e w t o n o u c e l l e d o n n é e par L a p l a c e ; cet i m p o r t a n t travail i n d i q u e qu'il est d é m o n t r é par l ' e x p é r i e n c e q u e l e s

(1) I. NEWTON, Principia, l i v r e II, p r o p o s i t i o n 49. L o n d r e s , 1687.

(2) S. LAPLACE, Ann. Chimie et Physique, t. 3, p. 238 (1816).

P) G. SiOKES, Phil. Mag., 4» série, t. 1, p. 305 (1851).

(3)

F. H. van den Dvngen. — La vitesse dtt son dans les gaz.

s e u l e s t r a n s f o r m a t i o n s t h e r m o d y n a m i q u e s a d m i s s i b l e s s o n t l ' i s o t h e r m i q u e et l ' a d i a b a t i q u e l o r s q u ' o n a d m e t p o u r les é c h a n g e s c a l o r i f i q u e s les lois c l a s s i q u e s de la c o n d u c - t i o n o u d u r a y o n n e m e n t .

N o u s n o u s p r o p o s o n s d ' e x a m i n e r ici l'effet sur des o n d e s s o n o r e s quelconques de la p o s s i b i l i t é d ' é c h a n g e s

par v o i e de c o n d u c t i o n , d a n s le cas des p e t i t s m o u v e m e n t s d ' u n f l u i d e , au v o i s i n a g e d ' i m état d ' é q u i l i b r e i s o b a r i q u e et i s o t h e r m i q u e .

2. LES SIX éQUATIONS FONDAMENTALES

N o u s a l l o n s é t u d i e r les petits m o u v e m e n t s d ' u n f l u i d e parfait a u v o i s i n a g e d ' u n état d ' é q u i l i b r e i s o b a r i q u e et i s o t h e r m i q u e ; n o u s d é s i g n e r o n s par

ma la m a s s e s p é c i f i q u e c o n s t a n t e , Po la p r e s s i o n c o n s t a n t e ,

To la t e m p é r a t u r e c o n s t a n t e d u f l u i d e d a n s l'état d ' é q u i l i b r e .

Les petits m o u v e m e n t s caractérisés p a r la v i t e s s e v qu'ils c o m m u n i q u e n t à u n p o i n t q u e l c o n q u e d u f l u i d e p r o d u i - s e n t d e s v a r i a t i o n s de p r e s s i o n ro et des v a r i a t i o n s de m a s s e s p é c i f i q u e p.; ils s o n t r é g i s par l ' é q u a t i o n v e c t o r i e l l e

gradnj = — m o - - (.1) dV cl et par l ' é q u a t i o n de c o n t i n u i t é

W o d i v î ; ^ - ^ - (2) dt

L e s v a r i a t i o n s d e t e m p é r a t u r e ô se d é d u i s e n t des v a r i a t i o n s rn et p. e n vertu de l ' é q u a t i o n c a r a c t é r i s t i q u e d u f l u i d e qui p e r m e t d'écrire, A et B étant f o n c t i o n d e l'état d ' é q u i l i b r e ,

nj = A 9 - f B [ a ; (3) d a n s le cas d ' u n g a z parfait, o n a

A - Rni et B = RT«.

— 1181 —

(4)

F. H. van den Dungen. — La vitesse du son dans les gaz.

La dernière é q u a t i o n r é s u l t e de l'application s i m u l t a n é e d e la loi de F o u r i e r et d u p r e m i e r p r i n c i p e de la T h e r m o - d y n a m i q u e . Si c r e p r é s e n t e la c h a l e u r s p é c i f i q u e du f l u i d e , à v o l u m e c o n s t a n t , la d é r i v é e de l ' é n e r g i e i n t e r n e d u f l u i d e par rapport a u t e m p s v a u t , par u n i t é de v o l u m e ,

Le travail e x t é r i e u r e f f e c t u é par le f l u i d e vaut, par unité de t e m p s et de v o l u m e ,

E m o dt

e n u n i t é s c a l o r i f i q u e s ; e n f i n , la q u a n t i t é de c h a l e u r r e ç u e par u n v o l u m e V de s u r f a c e S, par unité de t e m p s , est

J dn J s V

X r e p r é s e n t a n t la c o n d u c t i b i l i t é t h e r m i q u e d u f l u i d e , n la n o r m a l e i n t é r i e u r e a u v o l u m e V et A l ' o p é r a t i o n d u l a p l a c i e n .

Si n o u s s u p p o s o n s q u e l e p h é n o m è n e a c o u s t i q u e n'est pas accompa<^né d ' o n d e s de c h o c (ou de c o m b u s t i o n ) , n o u s e x p r i m e r o n s la c o n s e r v a t i o n de l'énerfïie par l ' é q u a t i o n (^)

l^^^c,.m^^--J^'Jt. (4) dt E m „ dt ^ '

Il est v i s i b l e q u e si \ était n u l o n d é d u i r a i t d e c e t t e d e r n i è r e é q u a t i o n q u e la relation entre [x et 0 est c e l l e q u e l'on o b t i e n t d a n s le cas de l'adiabaticité.

3, H Y P O T H è S E D ' U N E T R A N S F O R M A T I O N P O L Y T R O P I Q U E

A d m e t t o n s q u e la t r a n s f o r m a t i o n t h e r m o d y n a m i q u e soit u n e p o l y t r o p i q u e p a s s a n t par l'état d ' é q u i l i b r e e l c a r a c t é r i s é e par l ' e x p o s a n t A".

(M Le p r e m i e r qui ait m o n t r é qu'il n e fallait p a s t e n i r c o m p t e du m o u v e m e n t d a n s ce c a s est M. J. HADAMARU, d a n s ses i , e ç o n s sur la propagation d e s Ontles, p. 136. P a r i s (1906).

(5)

L e s v a r i a t i o n s GJ et jj. s o n t d è s l o r s l i é e s p a r GJ = fc^l^. (5)

N o u s p o s e r o n s , p o u r s i m p l i f i e r l ' é c r i t u r e , ( ; ' = t ^ . (6)

wi„

Or, il r é s u l t e d e s é q u a t i o n s (1) et (2), p a r é l i m i n a t i o n d e V, q u e

—, (0

e t d è s l o r s , d a n s le c a s d ' u n e t r a n s f o r m a t i o n p o l y t r o p i q u e , c»AnJ = — et ( ; ' = A [ A = ^ ; ( 8, 9 )

il e n r é s u l t e , i m m é d i a t e m e n t , e n v e r t u d e (3), q u e c ^ A 9 = — (10)

e t d è s l o r s q u e (4) p e u t ê t r e r e m p l a c é e p a r

•-=f,,mo r;— • ( t t )

c ^ a ; ' dt E m o 3 «

N o u s a l l o n s v é r i f i e r q u e le p r e m i e r m e m b r e d e c e t t e é q u a t i o n est nég-lig^eable d e v a n t l ' u n q u e l c o n q u e d e s t e r m e s d u s e c o n d m e m b r e ; n o u s s u p p o s e r o n s q u ' e n u n p o i n t q u e l c o n q u e d u f l u i d e la v a r i a t i o n 9 e s t u n e f o n c t i o n s i n u s o ï d a l e d u t e m p s d e f r é q u e n c e / . Le m o d u l e d u p r e - m i e r m e m b r e est a u m o d u l e d u p r e m i e r t e r m e d u s e c o n d m e m b r e d a n s l e r a p p o r t

(12) o n v o i t q u ' i l c r o î t e n r a i s o n d i r e c t e d e la f r é q u e n c e : a u

p l u s c e l l e - c i s e r a - t - e l l e é l e v é e , a u p l u s l e p r e m i e r m e m b r e p r é s e n t e r a - t - i l d e l ' i m p o r t a n c e e t la t r a n s f o r m a t i o n d i f - f é r e r a - t - e l l e d e l ' a d i a b a t i q u e .

— 1183 —

(6)

Si n o u s e x i g e o n s q u e le r a p p o r t (12) s o i t i n f é r i e u r au m i l l i o n i è m e , la f r é q u e n c e n e p o u r r a d é p a s s e r la v a l e u r

/ • = i o - ^ " ; (13)

d a n s c e cas n o u s p o u r r o n s p r é t e n d r e q u e l ' é q u a t i o n {\V) se r é d u i t p r a t i q u e m e n t à

n 36 /'o d\>. ....

0 = c„mo = -, (14)

c e q u i c o n d u i t à l ' a d i a b a t i q u e ; l ' e x p o s a n t k d e la p o l y t r o - p i q u e est d o n c é g a l a u r a p p o r t y d e s c h a l e u r s s p é c i f i q u e s c,, et c„.

D a n s l e c a s d e l'air sec, à t e m p é r a t u r e 0 ° C et s o u s pres- s i o n n o r m a l e , o n a

c = 3,31.10* cm sec-i

« 0 = 1 , 2 9 . 1 0 - 3 g r c m - 3 c„ = 1,7 .10-* cal gr-* grad-*

>. = 5,7 .10^= cal c m - ' sec"* grad"*

et la f r é q u e n c e m a x i m u m e s t f = 673 sec-'.

M a i s si n o u s n o u s c o n t e n t o n s d ' e x i g e r q u e le p r e m i e r m e m b r e soit la m i l l i è m e p a r t i e d u p r e m i e r t e r m e d u s e c o n d m e m b r e , la f r é q u e n c e m a x i m u m sera

[ = 673.000 sec-*.

C e c a l c u l i n d i q u e n e t t e m e n t p o u r q u o i l e s e x p é r i e n c e s f a i t e s d a n s l'air, m ê m e d a n s le c a s d e s u l t r a - s o n s , o n t t o u - j o u r s c o n d u i t à la m ê m e valeiu- p o u r la vitesse, d u s o n .

4. T R A N S F O R M A T I O N T H E R M O D Y N A M I Q U E E L L I P T I Q U E L ' é q u a t i o n (11) m o n t r e , p a r u n s i m p l e e x a m e n d e ses t e r m e s , q u e , si a u c u n d e s e s t e r m e s n ' e s t n é g l i g e a b l e , l ' h y p o t h è s e d e l ' a d i a b a t i q u e o u d e la p o l y t r o p i q u e n ' e s t p a s a c c e p t a b l e e n t o u t e r i g u e u r : l o r s q u e la v a r i a t i o n d e

(7)

t e m p é r a t u r e est l'onction s i n u s o ï d a l e d u t e m p s , les t e r m e s d é p e n d a n t d e 6 n e s o n t p a s e n p h a s e , m a i s b i e n d é p h a s é s , l ' u n par rapport à l'autre, de ^.

Si n o u s u t i l i s o n s la n o t a t i o n i m a g i n a i r e p o u r r e p r é s e n t e r les f o n c t i o n s s i n u s o ï d a l e s , n o u s r e p r é s e n t o n s la transfor- m a t i o n t h e r m o d y n a m i q u e p a r

C 3 = Kjji, , ( I S )

011 K sera, d'vme f a ç o n g é n é r a l e , u n e q u a n t i t é c o m p l e x e . L ' é q u a t i o n (3) d o n n e

9 = - —- [ X , (1G)

d e sorte q u e (4) d e v i e n t , K — B ,

c,,m„ K - B t a n d i s q u e (9) est r e m p l a c é e p a r

Il r é s u l t e d e s d e u x d e r n i è r e s é q u a t i o n s q u e

K — B II

Emo.

K — B

( H )

(t«)

(19)

p u i s q u o n a

3^

w é t a n t la p u l s a t i o n de la f o n c t i o n s i n u s o ï d a l e . La q u a n t i t é c o m p l e x e K d o i t dos lors être u n e des r a c i n e s de

(0-

^{" B}K

^{r +}

^{5 —} ^{+ û} ^{= 0} ovi il a été t e n u c o m p t e de la r e l a t i o n

BEml

(20)

(8)

F. II. van rien Dunf/rn. — IM rilcssc du son dans les gaz.

L o r s q u e X oi est n u l , o n r e t r o u v e la s o l u t i o n

l o r s q u e }, o) est très petit, K n ' e s t p l u s r i g o u r e u s e m e n t une q u a n t i t é réelle; si n o u s p o s o n s

K = Ai + wiA,, (21)

où kl et hi s o n t réels, ce q u i c o r r e s p o n d à la t r a n s f o r m a - tion

n j = fr,f. + / j . ! J J , ( 2 2 )

n o u s o b t e n o n s , e n p r e m i è r e a p p r o x i m a t i o n ,

à V — 1 Ai = ' (

(23)

Si n o u s c h o i s i s s o n s l ' o r i g i n e d e s t e m p s de f a ç o n q u ' a u p o i n t c o n s i d é r é d u f l u i d e n o u s a y o n s

,a = M s i n « « , (24) n o u s a u r o n s

ro = M [fc, sin + cos^MI,]; (23)

la i i a n s f o r m a t i o n t h e r m o d y n a m i q u e est, d a n s ce cas, u n e e l l i p s e d o n t le c e n t r e c o r r e s p o n d à l'état d ' é q u i l i b r e d u f l u i d e . L'équation de cette e l l i p s e est d'ailleurs

le g r a n d axe fait a v e c l'axe de la variable a un a n g l e d o n t la t a n g e n t e est é g a l e à /v, : c'est s u i v a n t cet axe q u e s'effec- tuerait la t r a n s f o r m a t i o n si elle était a d i a b a t i q u e . Le d e m i - g r a n d axe v a u t

a l o r s q u e le d e m i - p e t i t a x e v a u t

(9)

F. H. van den Dungen. — La vitesse du son dans les gaz.

il e n r é s u l t e q u e l ' e x c e n t r i c i t é d e l'ellipse est

d a n s le cas de l'air, o n a, a p p r o x i m a t i v e m e n t , E = t — 9 . 1 0 - 2° p

p o u r les f r é q u e n c e s a c o u s t i q u e s , et e x a c t e m e n t e = [l —18.10-™ Z'^]'/,.

O n voit q u e , m ê m e p o u r des u l t r a - s o n s , il est p e r m i s de r e m p l a c e r l'ellipse p a r s o n g r a n d a x e ; c'est u n e r a i s o n de p l u s p o u r c a l c u l e r la v i t e s s e d u s o n , e n s u p p o s a n t la trans- f o r m a t i o n a d i a b a t i q u e .

s. REMARQUE

L ' é q u a t i o n (20) m o n t r e q u e si le f l u i d e est très c o n d u c - teur au p o i n t de v u e c a l o r i f i q u e et si la f r é q u e n c e est é l e v é e , les r a c i n e s d e cette é q u a t i o n sont

K = 0 et K = B;

c e l f c d e r n i è r e c o r r e s p o n d à u n e t r a n s f o r m a t i o n isother- m i q u e , p u i s q u ' e l l e a s s i g n e a u x o n d e s s o n o r e s la v i t e s s e c a l c u l é e par N e w t o n .

S'il fallait r é s o u d r e l ' é q u a t i o n (20), sans p r a t i q u e r a u c u n e a p p r o x i m a t i o n , o n t r o u v e r a i t p o u r K d e u x v a l e u r s c o m p l e x e s : c'est dire qu'il y a a b s o r p t i o n des o n d e s , c o m m e S t o k e s l'avait d é j à t r o u v é ; m a i s l ' e x i s t e n c e de d e u x v a l e u r s d i f f é r e n t e s m o n t r e qu'il y a biréfringence : il y aurait intérêt à r e c h e r c h e r s'il e x i s t e e n fait des f l u i d e s b i r é f r i n g e n t s a u p o i n t de v u e a c o u s t i q u e .

N o t o n s , e n t e r m i n a n t , q u e d a n s le cas oîi les é c h a n g e s c a l o r i f i q u e s se f o n t par r a y o n n e m e n t , o n p e u t a d m e t t r e q u e le p r e m i e r m e m b r e d e (11) d é p e n d de 6 et n o n d e sa d é r i v é e s e c o n d e par r a p p o r t a u t e m p s ; m a i s l e p e u de r e n - s e i g n e m e n t s q u e l'on p o s s è d e s u r le c o e f f i c i e n t q u i devrait r e m p l a c e r la c o n d u c t i b i l i t é c a l o r i q u e r e n d aléatoire l ' é t u d e d e c e cas.

— 1187 —