Automates cellulaires non-uniformes

(1)

Automates cellulaires non-uniformes

Julien Provillard

Université Nice Sophia Antipolis, Laboratoire I3S

Jeudi 6 décembre 2012

(2)

Contexte

Les automates cellulaires sont des systèmes dynamiques discrets dont les principales caractéristiques sont :

•

l’interaction locale

•

la mise à jour synchrone

•

l’uniformité

(3)

Motivations

•

Stabilité structurelle

•

Modélisation d’une perturbation

•

Pannes aléatoires

P. Gacs. Reliable computation with cellular automata.

Journal of Computer and System Sciences, 32(1):15–78, 1986

•

Asynchronisme, bruit ambiant, réseau perturbé

N. Fatès. Critical phenomena in cellular automata: perturbing the update, the transitions, the topology.

Acta Physica Polonica B, 2010

(4)

Motivations

•

Pannes permanentes

A. Dennunzio, E. Formenti, and J. Provillard. Non-uniform cellular automata:

Classes, dynamics, and decidability.

Information and Computation, 215:32–46, 2012

(5)

Hypothèses de travail

•

Préservation de la mise à jour synchrone, de l’interaction locale et du réseau régulier

•

Différentes règles selon les sites

A. Dennunzio, E. Formenti, and J. Provillard. Local rule distributions, language complexity and non-uniform cellular automata.

Theoretical Computer Science, à paraître

(6)

Plan

Définitions de base

Automates cellulaires classiques Automates cellulaires non-uniformes Stabilité structurelle

Surjectivité et injectivité Equicontinuité et sensibilité Distributions de règles

Conservation du nombre Surjectivité et injectivité

Equicontinuité, sensibilité et ν-CA linéaires

(7)

Plan

Equicontinuité, sensibilité et ν-CA linéaires Perspectives

(8)

Espace des phases

•

Alphabet fini A

•

Configuration = élément de A^Z

•

Métrique définie par la distance de Cantor:

∀x,y ∈A^Z,d(x,y) =







0 si x=y

2⁻^min({^i∈N:x[−i,i]6=y_[−i,i]}) sinon

•

Topologie induite = topologie pro-discrète

(9)

Automates cellulaires

•

Règle locale f :A^2r⁺¹ →A

•

^Rayon ^r

•

Automate cellulaire (CA) structure (A,r,f)

•

Règle globale fonctionF :A^Z →A^Z telle que

∀x∈A^Z,∀i ∈Z,F(x)i =f(x_[i−r,i+r_])

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

x

0 0 1 0 1 1 0 1 0

f f f

f F(x)

0 1 0 0 1 1 0 1 1

(10)

Le shift

Leshift est le CA de règle locale∀x,y,z ∈A,f(x,y,z) =z

Théorème (Hedlund 1969)

Une fonction F :A^Z→A^Z est la règle globale d’un CA ssi elle est continue et commute avec le shift (σ◦F =F ◦σ)

(11)

Automates cellulaires non-uniformes

•

Automate cellulaire non-uniforme (ν-CA) structure (A,(ri, θi)i∈Z)

•

Règle globale Hθ :A^Z→A^Z telle que

∀x∈A^Z,∀i ∈Z,H_θ(x)_i =θ_i(x_[i−r_i_,i+r_i_])

•

^θ ^{est la}distribution de règles qui induitH_θ

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

x

0 0 1 0 1 1 0 1 0

θ−4 θ−1 θ₃

H(x)

0 1 0 0 1 1 0 1 1

(12)

Caractérisation et variantes

Proposition

Une fonction H:A^Z→A^Z est la règle globale d’un ν-CA ssi H est continue.

La fonctionH_θ est

•

un dν-CA si ∃f :A^2r+1 →A,Card({i ∈Z:θi 6=f})<∞

•

un pν-CA si les suites (θ_i)i∈Z et(θ−i)_i∈Z sont ultimement périodiques

•

un rν-CA si ∃r ∈N,∀i ∈Z, θi est une règle locale de rayonr

(13)

Plan

(14)

Modèles de perturbation

Définition

On appellemodèle de perturbationd’un automate cellulaireF de règle localef tout dν-CA de règle par défaut f.

Définition

Une propriété eststructurellement stablepour un automate cellulaireF si elle est vraie dans tout modèle de perturbation de F.

(15)

Surjectivité et injectivité

Proposition

SiCard(A)≥2, ni la surjectivité ni l’injectivité ne sont structurellement stables.

Proposition

Soit F un CA et H un modèle de perturbation de F , alors : 1. H surjectif ⇒ F surjectif

2. H injectif ⇒ F surjectif

(16)

Surjectivité et injectivité

Proposition

Soit F un CA et H un modèle de perturbation de F , alors : 1. H injectif ⇒ F injectif

2. H injectif ⇒ H surjectif

Injectivité⇔ réversibilité pour les dν-CA.

Proposition

La surjectivité et l’injectivité sont décidables sur les dν-CA.

(17)

Equicontinuité et sensibilité

Définitions

Définition

x∈A^Z est un point d’équicontinuité deF si

∀n∈N,∃m∈N,∀y ∈A^Z,

y_[−m,m]=x_[−m,m]⇒∀k ∈N,F^k(y)_[−n,n]=F^k(x)_[−n,n]

-m -n n m

x F(x) F²(x)

(18)

Equicontinuité et sensibilité

Définition

E =ⁿx ∈A^Z:x est un point d’équicontinuité^o Définition

•

^F est équicontinu si E =A^Z.

•

^F est presque équicontinu si E est résiduel.

•

^F est sensible si ∃n∈N,∀m∈N,∀y ∈A^Z,∃x∈A^Z y_[−m,m]=x_[−m,m] et ∃k ∈N,F^k(y)_[−n,n]6=F^k(x)_[−n,n]

(19)

Equicontinuité et sensibilité

Caractérisation pour les CA

Définition

u∈A^∗ est s-bloquantpour un automate cellulaireF si |u| ≥s et

∃d ∈[0,|u| −s]tel que

∀x,y ∈[u]0,∀n ∈N,Fⁿ(x)_[d,d+s]=Fⁿ(y)_[d,d+s]

u

d s

(20)

Equicontinuité et sensibilité

Caractérisation pour les CA

SoitF un CA de rayon r>0 Proposition

Les assertions suivantes sont équivalentes : 1. F n’est pas sensible

2. F admet un mot r -bloquant 3. F est presque équicontinu Proposition

Les assertions suivantes sont équivalentes : 1. F est équicontinu

2. Il existe k >0 tel que tout mot de A^2k+1 est r -bloquant

(21)

Equicontinuité et sensibilité

Théorème

La presque équicontinuité et la sensibilité aux conditions initiales ne sont pas des propriétés structurellement stables.

(22)

Equicontinuité et sensibilité

Définition

u∈A^∗ est fortement s-bloquantpour F ssi

|u| ≥s,∃d ∈[0,|u| −s],∀θ,∀i ∈[0,|u| −1], θi =f,

∀x,y ∈[u]0,∀n∈N,H_θⁿ(x)[d,d+s−1]=H_θⁿ(y)[d,d+s−1]

règles quelconques f règles quelconques

u

d s

(23)

Equicontinuité et sensibilité

Proposition

Soit F un CA de rayon r et H un modèle de perturbation de F . Si F admet un mot fortement r -bloquant alors H est

presque-équicontinu.

Proposition

Soit F un CA de rayon r sur un alphabet A.

Les propositions suivantes sont équivalentes : 1. F est équicontinu

2. Il existe k >0 tel que tout mot de A^2k+1 est fortement r -bloquant

3. Tout modèle de perturbation de F est ultimement périodique

(24)

Equicontinuité et sensibilité

Théorème

L’équicontinuité est une propriété structurellement stable.

Remarque

Il existe des CA qui ne sont pas équicontinus et qui admettent des modèles de perturbation équicontinus.

(25)

Plan

(26)

Cadre

•

Ensemble fini Rde règles locales f :A^2r⁺¹→A

•

Une propriété P sur les rν-CA

•

Etude de l’ensemble ⁿθ∈ R^Z:Hθ vérifie P^o

•

Vérification, génération, complexité des propriétés

(27)

Conservation du nombre

B. Durand, E. Formenti, and Z. Róka. Number-conserving cellular automata I:

decidability.

Theoretical Computer Science, 299:523–535, 2003

Equivalence des notions de conservation pour les rν-CA Théorème

L:=ⁿθ∈ R^Z:H_θ est NC^oest un SFT.

(28)

Surjectivité

Premières propriétés

Définition

Unedistribution finieest un élément ψ∈ R^∗. Elle induit une fonctionh_ψ :A^n+2r →Aⁿoù n=|ψ|définie par

∀u∈A^n+2r,∀i ∈[0,n−1],h_ψ(u)_i =ψ_i(u_[i_,i+2r_]) .

•

^L^:=ⁿ^θ^{∈ R}^Z^:^H^θ est surjectif^o est un sous-shift

•

Motifs interditsF ={ψ∈ R^∗ :h_ψ n’est pas surjective}

(29)

Surjectivité

Graphe de De Bruijn

Définition

Legraphe de De BruijndeR est le graphe étiquetéG = (V,E) oùV =A^2r et

E =ⁿ(au,(f,f (aub)),ub) :a,b ∈A,u ∈A^2r−1,f ∈ R^o

au ub

f,f(aub)

(30)

Surjectivité

Graphe de De Bruijn

•

^A⁼^{0,^1},^r ⁼¹

•

^id^(x^,^y,^{z) =}^y

•

^⊕(x^,^y,^z^{) =}^x⁺^z ^{(mod 2)}

00

01

11 10

(id,0)(⊕,1) (id,0)(⊕,0)

(id,1)(⊕,1) (id,1)(⊕,0)

(id,1)(⊕,1) (id,0)(⊕,1)

(id,0)(⊕,0)

(31)

Surjectivité

Graphe de De Bruijn

•

Un chemin bi-infini . . .−−−−−−→^(θ⁻²^,y⁻²⁾ u−1

(θ−1,y−1)

−−−−−−→u0 (θ0,y0)

−−−−→u1 (θ1,y1)

−−−−→u2 (θ2,y2)

−−−−→. . . définit une distribution θ et deux configurationsx et y (xi est lar^elettre de ui) tels queH_θ(x) =y.

•

Un chemin fini définit de même une distribution finie ψet deux motsu etv tels que h_ψ(u) =v.

(32)

Surjectivité

Graphe de De Bruijn

•

Si le graphe est vu comme un automate avec tous les états à la fois initiaux et acceptants,

L={(ψ,v)∈(R ×A)^∗:∃u ∈A^∗,h_ψ(u) =v}

•

Par passage au complémentaire,

L^c ={(ψ,v)∈(R ×A)^∗ :∀u ∈A^∗,h_ψ(u)6=v}

•

Par projection sur la première composante,

L˜={ψ∈ R^∗ :∃v ∈A^∗,∀u∈A^∗,h_ψ(u)6=v}

={ψ∈ R^∗ :h n’est pas surjective}

(33)

Surjectivité

Graphe de De Bruijn

Théorème

L:=ⁿθ∈ R^Z:Hθ est surjectif^oest un sous-shift sofique.

Corollaire

La surjectivité est décidable sur les pν-CA.

(34)

Injectivité

Graphe produit

Définition

SoitG= (V,E) le graphe de De Bruijn de R. Le graphe produit deRest le graphe P = (V²,E⁰)où

E⁰ =((u,u⁰),f,(v,v⁰))∈V²× R ×V² :

∃a∈A,(u,(f,a),v) et (u⁰,(f,a),v⁰)∈E

Proposition

∀θ∈ R^Z,∀x,y ∈A^Z, H_θ(x) =H_θ(y) ssi

(x[i−r,i+r−1],y[i−r,i+r−1]), θi,(x[i−r+1,i+r],y[i−r+1,i+r])

i∈Z

(35)

Injectivité

Graphe produit

00

00 00

01

00 10

01 01

10 11

01 11 11

11 11

10 11 01 10 10

01 00

10 00

10 01

00 11

01 10

11 00 id,⊕

id

id,⊕

⊕

⊕ id,⊕

id,⊕

id id

id,⊕

⊕

id,⊕

id id,⊕

id

id id,⊕

⊕

id,⊕

id

id id

id

id,⊕

⊕

⊕ id,⊕

id id,⊕

id

⊕

(36)

Injectivité

Graphe produit

Théorème

L:=ⁿθ∈ R^Z:Hθ est injectif^o est un langageζ-rationnel.

Corollaire

L’injectivité est décidable sur les pν-CA.

(37)

Equicontinuité, sensibilité et ν -CA linéaires

Définitions

•

^(A,^+,^·) est un anneau (fini) commutatif

•

^f ^:Â^2r+1 ^→Âêst ^linéaire s’il existeλ∈A^2r⁺¹ tel que

∀u∈A^2r⁺¹,f(u) = ^X

i∈[0,2r]

λi ·ui

•

^Un^ν^{-CA est}^linéaires’il est engendré par des règles linéaires

(38)

Equicontinuité, sensibilité et ν -CA linéaires

Propriétés

Proposition

Unν-CA H est linéaire ssi

∀x,y ∈A^Z,∀a∈A,H(x+a·y) =H(x) +a·H(y)

Proposition

Unν-CA linéaire est soit sensible soit équicontinu.

(39)

Equicontinuité, sensibilité et ν -CA linéaires

Murs

Définition

Unmur droitest une distribution finie ψ∈ R^∗ de taillen ≥r telle que, pour tout motv ∈A^r, la suite uψ(v) :N→Aⁿ définie par

u_ψ(v)₀ = 0ⁿ

u_ψ(v)₁ = h_ψ(0^ru_ψ(v)₀v)

u_ψ(v)_k+1 = h_ψ(0^ru_ψ(v)_k0^r) pour tout entier k>1 vérifie∀k ∈N,(uψ(v)_k)_[0,r−1]=0^r.

(40)

Equicontinuité, sensibilité et ν -CA linéaires

Murs

Fixé Application dehψ Fixé

0^r 0ⁿ=uψ(v)0 v

0^r u_ψ(v)₁ 0^r

0^r uψ(v)2 0^r

0^r u_ψ(v)_k 0^r

(41)

Equicontinuité, sensibilité et ν -CA linéaires

Murs

Fixé Application dehψ Fixé

0^r 0ⁿ=uψ(v)0 v

0^r u_ψ(v)₁ 0^r

0^r uψ(v)2 0^r

0^r u_ψ(v)_k 0^r

0^r 0^r 0^r

0^r

(42)

Equicontinuité, sensibilité et ν -CA linéaires

Caractérisation

Théorème

Soitθ∈ R^Z, Hθ est sensible si et seulement si une des deux conditions suivantes est vraie :

1. Il existe n∈Ntel que pour tout entier m≥n, θ_[n+1,m] n’est pas un mur droit,

2. Il existe n∈Ntel que pour tout entier m≥n, θ_{[−m,−n−1]}

n’est pas un mur gauche.

(43)

Equicontinuité, sensibilité et ν -CA linéaires

Caractérisation

−m −n n m

x

x⁻

x⁺

˜ x

=

+

0

0 0

mur gauche mur droit

(44)

Equicontinuité, sensibilité et ν -CA linéaires

Caractérisation

−m −n n m

x

x⁻

x⁺

˜ x

0

0 0

mur gauche mur droit

Même dynamique quex

(45)

Equicontinuité, sensibilité et ν -CA linéaires

Rayon 1

∀a,b,c ∈A,f(a,b,c) =λ⁻_f ·a+ ˜λf ·b+λ⁺_f ·c

Proposition

•

^ψ^{∈ R}ⁿ est un mur droit ssi^Qⁿ⁻¹_i=0 λ⁺_ψ

i =0

•

^ψ^{∈ R}ⁿ est un mur gauche ssi ^Qⁿ⁻¹_i=0 λ⁻_ψ

i =0

(46)

Equicontinuité, sensibilité et ν -CA linéaires

Rayon 1

Théorème

L:=ⁿθ∈ R^Z:H_θ est équicontinu^oet

L^c :=ⁿθ∈ R^Z :H_θ est sensible^o sontζ-rationnels.

Détection d’un mur gauche

Détection d’un mur droit Attente Transition de la partie gauche

à la partie droite

Fin de détection

Attente

Début de détection

(47)

Perspectives

•

^Dynamique

I Dichotomie sensible, presque équicontinu

I Equicontinuité pour les rν-CA linéaires de rayonr>1

I Transitivité, automates mélangeants, . . .

•

Théorie des langages : hiérarchie des ζ-rationnels

A. Dennunzio, E. Formenti, and J. Provillard. Acceptance conditions for ω-languages.

InDevelopments in Language Theory, pages 320–331, 2012

•

I Restreindre la forme des perturbations

I Combiner avec d’autres types de perturbations (asynchronisme, erreurs aléatoires, . . .)

(48)

Conservation du nombre

Définition

•

^A⁼^{0,^{1, . . . ,}^s⁻^1}.

•

Charge partielle :∀x ∈A^Z,∀n∈N, µn(x) =^Pⁿ_i=−nxi.

•

Charge globale:∀x∈A^Z, µ(x) =limn→∞µ_n(x) Définition

Unν-CAH est conservatif sur les configurations finies (FNC) si pour toute configuration finiex,µ(H(x)) =µ(x).

Définition

Unν-CAH est conservatif (NC) si 1. H(0) =0,

(49)

Conservation du nombre

Caractérisation

Proposition

Soit H un rν-CA de rayon r . L’automate H est NC si et seulement s’il est FNC.

Remarque

Il existe desν-CA FNC mais qui ne sont pas NC.

Théorème

L:=ⁿθ∈ R^Z:H_θ est NC^oest un SFT.

B. Durand, E. Formenti, and Z. Róka. Number-conserving cellular automata I: decidability.

Theoretical Computer Science, 299:523–535, 2003

(50)

Conservation du nombre

Règles élémentaires 136, 184 et 252

∀x,y,z ∈ {0,1},f(x,y,z) =

(1 si y =1 etz =1 0 sinon

g(x,y,z) =











1 si x=1 ety =0 ou si y =1 etz =1 0 sinon

h(x,y,z) =

(0 si x =0 ety =0

1 sinon .

F={ff,gf,hh,hg}.